Theorem dfdisjs2 38990

Description: Alternate definition of the class of disjoints. (Contributed by Peter Mazsa, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dfdisjs2	⊢ Disjs = {𝑟 ∈ Rels ∣ ≀ ◡𝑟 ⊆ I }

Proof of Theorem dfdisjs2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdisjs 38989	. 2 ⊢ Disjs = {𝑟 ∈ Rels ∣ ≀ ◡𝑟 ∈ CnvRefRels }
2		cosselcnvrefrels2 38813	. . 3 ⊢ ( ≀ ◡𝑟 ∈ CnvRefRels ↔ ( ≀ ◡𝑟 ⊆ I ∧ ≀ ◡𝑟 ∈ Rels ))
3		cosscnvelrels 38772	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ Rels → ≀ ◡𝑟 ∈ Rels )
4	3	biantrud 531	. . 3 ⊢ (𝑟 ∈ Rels → ( ≀ ◡𝑟 ⊆ I ↔ ( ≀ ◡𝑟 ⊆ I ∧ ≀ ◡𝑟 ∈ Rels )))
5	2, 4	bitr4id 290	. 2 ⊢ (𝑟 ∈ Rels → ( ≀ ◡𝑟 ∈ CnvRefRels ↔ ≀ ◡𝑟 ⊆ I ))
6	1, 5	rabimbieq 38452	1 ⊢ Disjs = {𝑟 ∈ Rels ∣ ≀ ◡𝑟 ⊆ I }

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {crab 3399   ⊆ wss 3901   I cid 5518  ^◡ccnv 5623   ≀ ccoss 38386   Rels crels 38388   CnvRefRels ccnvrefrels 38394   Disjs cdisjs 38419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-11 2162  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-rels 38638  df-coss 38696  df-ssr 38773  df-cnvrefs 38800  df-cnvrefrels 38801  df-disjss 38984  df-disjs 38985

This theorem is referenced by:  dfdisjs3  38991  dfdisjs4  38992  dfdisjs5  38993