Theorem dfdisjs2 38691

Description: Alternate definition of the class of disjoints. (Contributed by Peter Mazsa, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dfdisjs2	⊢ Disjs = {𝑟 ∈ Rels ∣ ≀ ◡𝑟 ⊆ I }

Proof of Theorem dfdisjs2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdisjs 38690	. 2 ⊢ Disjs = {𝑟 ∈ Rels ∣ ≀ ◡𝑟 ∈ CnvRefRels }
2		cosselcnvrefrels2 38520	. . 3 ⊢ ( ≀ ◡𝑟 ∈ CnvRefRels ↔ ( ≀ ◡𝑟 ⊆ I ∧ ≀ ◡𝑟 ∈ Rels ))
3		cosscnvelrels 38479	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ Rels → ≀ ◡𝑟 ∈ Rels )
4	3	biantrud 531	. . 3 ⊢ (𝑟 ∈ Rels → ( ≀ ◡𝑟 ⊆ I ↔ ( ≀ ◡𝑟 ⊆ I ∧ ≀ ◡𝑟 ∈ Rels )))
5	2, 4	bitr4id 290	. 2 ⊢ (𝑟 ∈ Rels → ( ≀ ◡𝑟 ∈ CnvRefRels ↔ ≀ ◡𝑟 ⊆ I ))
6	1, 5	rabimbieq 38233	1 ⊢ Disjs = {𝑟 ∈ Rels ∣ ≀ ◡𝑟 ⊆ I }

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  {crab 3433   ⊆ wss 3963   I cid 5582  ^◡ccnv 5688   ≀ ccoss 38162   Rels crels 38164   CnvRefRels ccnvrefrels 38170   Disjs cdisjs 38195

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-coss 38393  df-rels 38467  df-ssr 38480  df-cnvrefs 38507  df-cnvrefrels 38508  df-disjss 38685  df-disjs 38686

This theorem is referenced by:  dfdisjs3  38692  dfdisjs4  38693  dfdisjs5  38694