Theorem dfdisjs2 38817

Description: Alternate definition of the class of disjoints. (Contributed by Peter Mazsa, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dfdisjs2	⊢ Disjs = {𝑟 ∈ Rels ∣ ≀ ◡𝑟 ⊆ I }

Proof of Theorem dfdisjs2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdisjs 38816	. 2 ⊢ Disjs = {𝑟 ∈ Rels ∣ ≀ ◡𝑟 ∈ CnvRefRels }
2		cosselcnvrefrels2 38640	. . 3 ⊢ ( ≀ ◡𝑟 ∈ CnvRefRels ↔ ( ≀ ◡𝑟 ⊆ I ∧ ≀ ◡𝑟 ∈ Rels ))
3		cosscnvelrels 38599	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ Rels → ≀ ◡𝑟 ∈ Rels )
4	3	biantrud 531	. . 3 ⊢ (𝑟 ∈ Rels → ( ≀ ◡𝑟 ⊆ I ↔ ( ≀ ◡𝑟 ⊆ I ∧ ≀ ◡𝑟 ∈ Rels )))
5	2, 4	bitr4id 290	. 2 ⊢ (𝑟 ∈ Rels → ( ≀ ◡𝑟 ∈ CnvRefRels ↔ ≀ ◡𝑟 ⊆ I ))
6	1, 5	rabimbieq 38298	1 ⊢ Disjs = {𝑟 ∈ Rels ∣ ≀ ◡𝑟 ⊆ I }

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {crab 3395   ⊆ wss 3897   I cid 5508  ^◡ccnv 5613   ≀ ccoss 38232   Rels crels 38234   CnvRefRels ccnvrefrels 38240   Disjs cdisjs 38265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-11 2160  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-rels 38474  df-coss 38523  df-ssr 38600  df-cnvrefs 38627  df-cnvrefrels 38628  df-disjss 38811  df-disjs 38812

This theorem is referenced by:  dfdisjs3  38818  dfdisjs4  38819  dfdisjs5  38820