Theorem dfdisjs2 39367

Description: Alternate definition of the class of disjoints. (Contributed by Peter Mazsa, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dfdisjs2	⊢ Disjs = {𝑟 ∈ Rels ∣ ≀ ◡𝑟 ⊆ I }

Proof of Theorem dfdisjs2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdisjs 39366	. 2 ⊢ Disjs = {𝑟 ∈ Rels ∣ ≀ ◡𝑟 ∈ CnvRefRels }
2		cosselcnvrefrels2 39191	. . 3 ⊢ ( ≀ ◡𝑟 ∈ CnvRefRels ↔ ( ≀ ◡𝑟 ⊆ I ∧ ≀ ◡𝑟 ∈ Rels ))
3		cosscnvelrels 39150	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ Rels → ≀ ◡𝑟 ∈ Rels )
4	3	biantrud 540	. . 3 ⊢ (𝑟 ∈ Rels → ( ≀ ◡𝑟 ⊆ I ↔ ( ≀ ◡𝑟 ⊆ I ∧ ≀ ◡𝑟 ∈ Rels )))
5	2, 4	bitr4id 293	. 2 ⊢ (𝑟 ∈ Rels → ( ≀ ◡𝑟 ∈ CnvRefRels ↔ ≀ ◡𝑟 ⊆ I ))
6	1, 5	rabimbieq 38826	1 ⊢ Disjs = {𝑟 ∈ Rels ∣ ≀ ◡𝑟 ⊆ I }

Syntax hints:   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {crab 3423   ⊆ wss 3913   I cid 5556  ^◡ccnv 5661   ≀ ccoss 38756   Rels crels 38758   CnvRefRels ccnvrefrels 38764   Disjs cdisjs 38791

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-11 2198  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-sb 2098  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-rels 39013  df-coss 39074  df-ssr 39151  df-cnvrefs 39178  df-cnvrefrels 39179  df-disjss 39361  df-disjs 39362

This theorem is referenced by:  dfdisjs3  39368  dfdisjs4  39369  dfdisjs5  39370