Theorem dff14i 7259

Description: A one-to-one function maps different arguments onto different values. Implication of the alternate definition dff14a 7270. (Contributed by AV, 30-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
dff14i	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑌))

Proof of Theorem dff14i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1veqaeq 7256	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑌) → 𝑋 = 𝑌))
2	1	necon3d 2978	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) → (𝑋 ≠ 𝑌 → (𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑌)))
3	2	exp32 426	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝑌 ∈ 𝐴 → (𝑋 ≠ 𝑌 → (𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑌)))))
4	3	3imp2 1368	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  –1-1→wf1 6534  ‘cfv 6537

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fv 6545

This theorem is used by:  2f1fvneq  7260  upgrimpthslem2  48826