Theorem dff14i 7258

Description: A one-to-one function maps different arguments onto different values. Implication of the alternate definition dff14a 7269. (Contributed by AV, 30-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
dff14i	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑌))

Proof of Theorem dff14i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1veqaeq 7255	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑌) → 𝑋 = 𝑌))
2	1	necon3d 2985	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) → (𝑋 ≠ 𝑌 → (𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑌)))
3	2	exp32 425	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝑌 ∈ 𝐴 → (𝑋 ≠ 𝑌 → (𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑌)))))
4	3	3imp2 1366	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  –1-1→wf1 6534  ‘cfv 6537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5405

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3423  df-v 3463  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4491  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fv 6545

This theorem is referenced by:  2f1fvneq  7259  upgrimpthslem2  48597