Theorem dff14i 7251

Description: A one-to-one function maps different arguments onto different values. Implication of the alternate definition dff14a 7262. (Contributed by AV, 30-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
dff14i	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑌))

Proof of Theorem dff14i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1veqaeq 7248	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑌) → 𝑋 = 𝑌))
2	1	necon3d 2953	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) → (𝑋 ≠ 𝑌 → (𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑌)))
3	2	exp32 420	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝑌 ∈ 𝐴 → (𝑋 ≠ 𝑌 → (𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑌)))))
4	3	3imp2 1350	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝐹‘𝑋) ≠ (𝐹‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  –1-1→wf1 6527  ‘cfv 6530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fv 6538

This theorem is referenced by:  2f1fvneq  7252  upgrimpthslem2  47869