Theorem 2f1fvneq 7259

Description: If two one-to-one functions are applied on different arguments, also the values are different. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Jan-2018.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
2f1fvneq	⊢ (((𝐸:𝐷–1-1→𝑅 ∧ 𝐹:𝐶–1-1→𝐷) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (((𝐸‘(𝐹‘𝐴)) = 𝑋 ∧ (𝐸‘(𝐹‘𝐵)) = 𝑌) → 𝑋 ≠ 𝑌))

Proof of Theorem 2f1fvneq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1214	. . 3 ⊢ (((𝐸:𝐷–1-1→𝑅 ∧ 𝐹:𝐶–1-1→𝐷) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐸:𝐷–1-1→𝑅)
2		f1f 6775	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝐶–1-1→𝐷 → 𝐹:𝐶⟶𝐷)
3	2	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸:𝐷–1-1→𝑅 ∧ 𝐹:𝐶–1-1→𝐷) → 𝐹:𝐶⟶𝐷)
4	3	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝐸:𝐷–1-1→𝑅 ∧ 𝐹:𝐶–1-1→𝐷) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) → 𝐹:𝐶⟶𝐷)
5		simpl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶)
6	5	adantl 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐸:𝐷–1-1→𝑅 ∧ 𝐹:𝐶–1-1→𝐷) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) → 𝐴 ∈ 𝐶)
7	4, 6	ffvelcdmd 7081	. . . 4 ⊢ (((𝐸:𝐷–1-1→𝑅 ∧ 𝐹:𝐶–1-1→𝐷) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐷)
8	7	3adant3 1148	. . 3 ⊢ (((𝐸:𝐷–1-1→𝑅 ∧ 𝐹:𝐶–1-1→𝐷) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐷)
9		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ 𝐶)
10	9	adantl 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐸:𝐷–1-1→𝑅 ∧ 𝐹:𝐶–1-1→𝐷) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) → 𝐵 ∈ 𝐶)
11	4, 10	ffvelcdmd 7081	. . . 4 ⊢ (((𝐸:𝐷–1-1→𝑅 ∧ 𝐹:𝐶–1-1→𝐷) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) → (𝐹‘𝐵) ∈ 𝐷)
12	11	3adant3 1148	. . 3 ⊢ (((𝐸:𝐷–1-1→𝑅 ∧ 𝐹:𝐶–1-1→𝐷) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐹‘𝐵) ∈ 𝐷)
13		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝐸:𝐷–1-1→𝑅 ∧ 𝐹:𝐶–1-1→𝐷) → 𝐹:𝐶–1-1→𝐷)
14		df-3an 1103	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))
15	14	biimpri 231	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))
16		dff14i 7258	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐶–1-1→𝐷 ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (𝐹‘𝐴) ≠ (𝐹‘𝐵))
17	13, 15, 16	syl3an132 1182	. . 3 ⊢ (((𝐸:𝐷–1-1→𝑅 ∧ 𝐹:𝐶–1-1→𝐷) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐹‘𝐴) ≠ (𝐹‘𝐵))
18		dff14i 7258	. . 3 ⊢ ((𝐸:𝐷–1-1→𝑅 ∧ ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹‘𝐴) ≠ (𝐹‘𝐵))) → (𝐸‘(𝐹‘𝐴)) ≠ (𝐸‘(𝐹‘𝐵)))
19	1, 8, 12, 17, 18	syl13anc 1397	. 2 ⊢ (((𝐸:𝐷–1-1→𝑅 ∧ 𝐹:𝐶–1-1→𝐷) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐸‘(𝐹‘𝐴)) ≠ (𝐸‘(𝐹‘𝐵)))
20		simpl 487	. . 3 ⊢ (((𝐸‘(𝐹‘𝐴)) = 𝑋 ∧ (𝐸‘(𝐹‘𝐵)) = 𝑌) → (𝐸‘(𝐹‘𝐴)) = 𝑋)
21		simpr 489	. . 3 ⊢ (((𝐸‘(𝐹‘𝐴)) = 𝑋 ∧ (𝐸‘(𝐹‘𝐵)) = 𝑌) → (𝐸‘(𝐹‘𝐵)) = 𝑌)
22	20, 21	neeq12d 3025	. 2 ⊢ (((𝐸‘(𝐹‘𝐴)) = 𝑋 ∧ (𝐸‘(𝐹‘𝐵)) = 𝑌) → ((𝐸‘(𝐹‘𝐴)) ≠ (𝐸‘(𝐹‘𝐵)) ↔ 𝑋 ≠ 𝑌))
23	19, 22	syl5ibcom 248	1 ⊢ (((𝐸:𝐷–1-1→𝑅 ∧ 𝐹:𝐶–1-1→𝐷) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (((𝐸‘(𝐹‘𝐴)) = 𝑋 ∧ (𝐸‘(𝐹‘𝐵)) = 𝑌) → 𝑋 ≠ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ⟶wf 6533  –1-1→wf1 6534  ‘cfv 6537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pr 5405

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fv 6545

This theorem is referenced by:  usgr2pthlem  30052