Theorem 2f1fvneq 7244

Description: If two one-to-one functions are applied on different arguments, also the values are different. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Jan-2018.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
2f1fvneq	⊢ (((𝐸:𝐷–1-1→𝑅 ∧ 𝐹:𝐶–1-1→𝐷) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (((𝐸‘(𝐹‘𝐴)) = 𝑋 ∧ (𝐸‘(𝐹‘𝐵)) = 𝑌) → 𝑋 ≠ 𝑌))

Proof of Theorem 2f1fvneq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1211	. . 3 ⊢ (((𝐸:𝐷–1-1→𝑅 ∧ 𝐹:𝐶–1-1→𝐷) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐸:𝐷–1-1→𝑅)
2		f1f 6760	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝐶–1-1→𝐷 → 𝐹:𝐶⟶𝐷)
3	2	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸:𝐷–1-1→𝑅 ∧ 𝐹:𝐶–1-1→𝐷) → 𝐹:𝐶⟶𝐷)
4	3	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐸:𝐷–1-1→𝑅 ∧ 𝐹:𝐶–1-1→𝐷) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) → 𝐹:𝐶⟶𝐷)
5		simpl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶)
6	5	adantl 485	. . . . 5 ⊢ (((𝐸:𝐷–1-1→𝑅 ∧ 𝐹:𝐶–1-1→𝐷) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) → 𝐴 ∈ 𝐶)
7	4, 6	ffvelcdmd 7066	. . . 4 ⊢ (((𝐸:𝐷–1-1→𝑅 ∧ 𝐹:𝐶–1-1→𝐷) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐷)
8	7	3adant3 1145	. . 3 ⊢ (((𝐸:𝐷–1-1→𝑅 ∧ 𝐹:𝐶–1-1→𝐷) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐷)
9		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ 𝐶)
10	9	adantl 485	. . . . 5 ⊢ (((𝐸:𝐷–1-1→𝑅 ∧ 𝐹:𝐶–1-1→𝐷) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) → 𝐵 ∈ 𝐶)
11	4, 10	ffvelcdmd 7066	. . . 4 ⊢ (((𝐸:𝐷–1-1→𝑅 ∧ 𝐹:𝐶–1-1→𝐷) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) → (𝐹‘𝐵) ∈ 𝐷)
12	11	3adant3 1145	. . 3 ⊢ (((𝐸:𝐷–1-1→𝑅 ∧ 𝐹:𝐶–1-1→𝐷) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐹‘𝐵) ∈ 𝐷)
13		simpr 488	. . . 4 ⊢ ((𝐸:𝐷–1-1→𝑅 ∧ 𝐹:𝐶–1-1→𝐷) → 𝐹:𝐶–1-1→𝐷)
14		df-3an 1100	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))
15	14	biimpri 230	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))
16		dff14i 7243	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐶–1-1→𝐷 ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (𝐹‘𝐴) ≠ (𝐹‘𝐵))
17	13, 15, 16	syl3an132 1179	. . 3 ⊢ (((𝐸:𝐷–1-1→𝑅 ∧ 𝐹:𝐶–1-1→𝐷) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐹‘𝐴) ≠ (𝐹‘𝐵))
18		dff14i 7243	. . 3 ⊢ ((𝐸:𝐷–1-1→𝑅 ∧ ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹‘𝐴) ≠ (𝐹‘𝐵))) → (𝐸‘(𝐹‘𝐴)) ≠ (𝐸‘(𝐹‘𝐵)))
19	1, 8, 12, 17, 18	syl13anc 1391	. 2 ⊢ (((𝐸:𝐷–1-1→𝑅 ∧ 𝐹:𝐶–1-1→𝐷) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐸‘(𝐹‘𝐴)) ≠ (𝐸‘(𝐹‘𝐵)))
20		simpl 486	. . 3 ⊢ (((𝐸‘(𝐹‘𝐴)) = 𝑋 ∧ (𝐸‘(𝐹‘𝐵)) = 𝑌) → (𝐸‘(𝐹‘𝐴)) = 𝑋)
21		simpr 488	. . 3 ⊢ (((𝐸‘(𝐹‘𝐴)) = 𝑋 ∧ (𝐸‘(𝐹‘𝐵)) = 𝑌) → (𝐸‘(𝐹‘𝐵)) = 𝑌)
22	20, 21	neeq12d 3018	. 2 ⊢ (((𝐸‘(𝐹‘𝐴)) = 𝑋 ∧ (𝐸‘(𝐹‘𝐵)) = 𝑌) → ((𝐸‘(𝐹‘𝐴)) ≠ (𝐸‘(𝐹‘𝐵)) ↔ 𝑋 ≠ 𝑌))
23	19, 22	syl5ibcom 247	1 ⊢ (((𝐸:𝐷–1-1→𝑅 ∧ 𝐹:𝐶–1-1→𝐷) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (((𝐸‘(𝐹‘𝐴)) = 𝑋 ∧ (𝐸‘(𝐹‘𝐵)) = 𝑌) → 𝑋 ≠ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ⟶wf 6517  –1-1→wf1 6518  ‘cfv 6521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fv 6529

This theorem is referenced by:  usgr2pthlem  29963