Proof of Theorem 2f1fvneq
| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | f1veqaeq 7278 | . . . . 5
⊢ ((𝐹:𝐶–1-1→𝐷 ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) → ((𝐹‘𝐴) = (𝐹‘𝐵) → 𝐴 = 𝐵)) | 
| 2 | 1 | adantll 714 | . . . 4
⊢ (((𝐸:𝐷–1-1→𝑅 ∧ 𝐹:𝐶–1-1→𝐷) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) → ((𝐹‘𝐴) = (𝐹‘𝐵) → 𝐴 = 𝐵)) | 
| 3 | 2 | necon3ad 2952 | . . 3
⊢ (((𝐸:𝐷–1-1→𝑅 ∧ 𝐹:𝐶–1-1→𝐷) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) → (𝐴 ≠ 𝐵 → ¬ (𝐹‘𝐴) = (𝐹‘𝐵))) | 
| 4 | 3 | 3impia 1117 | . 2
⊢ (((𝐸:𝐷–1-1→𝑅 ∧ 𝐹:𝐶–1-1→𝐷) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ¬ (𝐹‘𝐴) = (𝐹‘𝐵)) | 
| 5 |  | simpll 766 | . . . . . . 7
⊢ (((𝐸:𝐷–1-1→𝑅 ∧ 𝐹:𝐶–1-1→𝐷) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) → 𝐸:𝐷–1-1→𝑅) | 
| 6 |  | f1f 6803 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝐹:𝐶–1-1→𝐷 → 𝐹:𝐶⟶𝐷) | 
| 7 |  | ffvelcdm 7100 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐹:𝐶⟶𝐷 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐷) | 
| 8 |  | ffvelcdm 7100 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐹:𝐶⟶𝐷 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝐵) ∈ 𝐷) | 
| 9 | 7, 8 | anim12dan 619 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐹:𝐶⟶𝐷 ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝐷)) | 
| 10 | 9 | ex 412 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝐹:𝐶⟶𝐷 → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝐷))) | 
| 11 | 6, 10 | syl 17 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝐹:𝐶–1-1→𝐷 → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝐷))) | 
| 12 | 11 | adantl 481 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝐸:𝐷–1-1→𝑅 ∧ 𝐹:𝐶–1-1→𝐷) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝐷))) | 
| 13 | 12 | imp 406 | . . . . . . 7
⊢ (((𝐸:𝐷–1-1→𝑅 ∧ 𝐹:𝐶–1-1→𝐷) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝐷)) | 
| 14 |  | f1veqaeq 7278 | . . . . . . 7
⊢ ((𝐸:𝐷–1-1→𝑅 ∧ ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝐷)) → ((𝐸‘(𝐹‘𝐴)) = (𝐸‘(𝐹‘𝐵)) → (𝐹‘𝐴) = (𝐹‘𝐵))) | 
| 15 | 5, 13, 14 | syl2anc 584 | . . . . . 6
⊢ (((𝐸:𝐷–1-1→𝑅 ∧ 𝐹:𝐶–1-1→𝐷) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) → ((𝐸‘(𝐹‘𝐴)) = (𝐸‘(𝐹‘𝐵)) → (𝐹‘𝐴) = (𝐹‘𝐵))) | 
| 16 | 15 | con3dimp 408 | . . . . 5
⊢ ((((𝐸:𝐷–1-1→𝑅 ∧ 𝐹:𝐶–1-1→𝐷) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = (𝐹‘𝐵)) → ¬ (𝐸‘(𝐹‘𝐴)) = (𝐸‘(𝐹‘𝐵))) | 
| 17 |  | eqeq12 2753 | . . . . . . 7
⊢ (((𝐸‘(𝐹‘𝐴)) = 𝑋 ∧ (𝐸‘(𝐹‘𝐵)) = 𝑌) → ((𝐸‘(𝐹‘𝐴)) = (𝐸‘(𝐹‘𝐵)) ↔ 𝑋 = 𝑌)) | 
| 18 | 17 | notbid 318 | . . . . . 6
⊢ (((𝐸‘(𝐹‘𝐴)) = 𝑋 ∧ (𝐸‘(𝐹‘𝐵)) = 𝑌) → (¬ (𝐸‘(𝐹‘𝐴)) = (𝐸‘(𝐹‘𝐵)) ↔ ¬ 𝑋 = 𝑌)) | 
| 19 |  | neqne 2947 | . . . . . 6
⊢ (¬
𝑋 = 𝑌 → 𝑋 ≠ 𝑌) | 
| 20 | 18, 19 | biimtrdi 253 | . . . . 5
⊢ (((𝐸‘(𝐹‘𝐴)) = 𝑋 ∧ (𝐸‘(𝐹‘𝐵)) = 𝑌) → (¬ (𝐸‘(𝐹‘𝐴)) = (𝐸‘(𝐹‘𝐵)) → 𝑋 ≠ 𝑌)) | 
| 21 | 16, 20 | syl5com 31 | . . . 4
⊢ ((((𝐸:𝐷–1-1→𝑅 ∧ 𝐹:𝐶–1-1→𝐷) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = (𝐹‘𝐵)) → (((𝐸‘(𝐹‘𝐴)) = 𝑋 ∧ (𝐸‘(𝐹‘𝐵)) = 𝑌) → 𝑋 ≠ 𝑌)) | 
| 22 | 21 | ex 412 | . . 3
⊢ (((𝐸:𝐷–1-1→𝑅 ∧ 𝐹:𝐶–1-1→𝐷) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) → (¬ (𝐹‘𝐴) = (𝐹‘𝐵) → (((𝐸‘(𝐹‘𝐴)) = 𝑋 ∧ (𝐸‘(𝐹‘𝐵)) = 𝑌) → 𝑋 ≠ 𝑌))) | 
| 23 | 22 | 3adant3 1132 | . 2
⊢ (((𝐸:𝐷–1-1→𝑅 ∧ 𝐹:𝐶–1-1→𝐷) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (¬ (𝐹‘𝐴) = (𝐹‘𝐵) → (((𝐸‘(𝐹‘𝐴)) = 𝑋 ∧ (𝐸‘(𝐹‘𝐵)) = 𝑌) → 𝑋 ≠ 𝑌))) | 
| 24 | 4, 23 | mpd 15 | 1
⊢ (((𝐸:𝐷–1-1→𝑅 ∧ 𝐹:𝐶–1-1→𝐷) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (((𝐸‘(𝐹‘𝐴)) = 𝑋 ∧ (𝐸‘(𝐹‘𝐵)) = 𝑌) → 𝑋 ≠ 𝑌)) |