MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limuni3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limuni3 7249
Description: The union of a nonempty class of limit ordinals is a limit ordinal. (Contributed by NM, 1-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
limuni3 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 Lim 𝑥) → Lim 𝐴)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem limuni3
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limeq 5919 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (Lim 𝑥 ↔ Lim 𝑧))
21rspcv 3456 . . . . . 6 (𝑧𝐴 → (∀𝑥𝐴 Lim 𝑥 → Lim 𝑧))
3 vex 3352 . . . . . . 7 𝑧 ∈ V
4 limelon 5970 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ V ∧ Lim 𝑧) → 𝑧 ∈ On)
53, 4mpan 681 . . . . . 6 (Lim 𝑧𝑧 ∈ On)
62, 5syl6com 37 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 Lim 𝑥 → (𝑧𝐴𝑧 ∈ On))
76ssrdv 3766 . . . 4 (∀𝑥𝐴 Lim 𝑥𝐴 ⊆ On)
8 ssorduni 7182 . . . 4 (𝐴 ⊆ On → Ord 𝐴)
97, 8syl 17 . . 3 (∀𝑥𝐴 Lim 𝑥 → Ord 𝐴)
109adantl 473 . 2 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 Lim 𝑥) → Ord 𝐴)
11 n0 4094 . . . 4 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧𝐴)
12 0ellim 5969 . . . . . . 7 (Lim 𝑧 → ∅ ∈ 𝑧)
13 elunii 4598 . . . . . . . 8 ((∅ ∈ 𝑧𝑧𝐴) → ∅ ∈ 𝐴)
1413expcom 402 . . . . . . 7 (𝑧𝐴 → (∅ ∈ 𝑧 → ∅ ∈ 𝐴))
1512, 14syl5 34 . . . . . 6 (𝑧𝐴 → (Lim 𝑧 → ∅ ∈ 𝐴))
162, 15syld 47 . . . . 5 (𝑧𝐴 → (∀𝑥𝐴 Lim 𝑥 → ∅ ∈ 𝐴))
1716exlimiv 2025 . . . 4 (∃𝑧 𝑧𝐴 → (∀𝑥𝐴 Lim 𝑥 → ∅ ∈ 𝐴))
1811, 17sylbi 208 . . 3 (𝐴 ≠ ∅ → (∀𝑥𝐴 Lim 𝑥 → ∅ ∈ 𝐴))
1918imp 395 . 2 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 Lim 𝑥) → ∅ ∈ 𝐴)
20 eluni2 4597 . . . . 5 (𝑦 𝐴 ↔ ∃𝑧𝐴 𝑦𝑧)
211rspccv 3457 . . . . . . 7 (∀𝑥𝐴 Lim 𝑥 → (𝑧𝐴 → Lim 𝑧))
22 limsuc 7246 . . . . . . . . . . 11 (Lim 𝑧 → (𝑦𝑧 ↔ suc 𝑦𝑧))
2322anbi1d 623 . . . . . . . . . 10 (Lim 𝑧 → ((𝑦𝑧𝑧𝐴) ↔ (suc 𝑦𝑧𝑧𝐴)))
24 elunii 4598 . . . . . . . . . 10 ((suc 𝑦𝑧𝑧𝐴) → suc 𝑦 𝐴)
2523, 24syl6bi 244 . . . . . . . . 9 (Lim 𝑧 → ((𝑦𝑧𝑧𝐴) → suc 𝑦 𝐴))
2625expd 404 . . . . . . . 8 (Lim 𝑧 → (𝑦𝑧 → (𝑧𝐴 → suc 𝑦 𝐴)))
2726com3r 87 . . . . . . 7 (𝑧𝐴 → (Lim 𝑧 → (𝑦𝑧 → suc 𝑦 𝐴)))
2821, 27sylcom 30 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴 Lim 𝑥 → (𝑧𝐴 → (𝑦𝑧 → suc 𝑦 𝐴)))
2928rexlimdv 3176 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 Lim 𝑥 → (∃𝑧𝐴 𝑦𝑧 → suc 𝑦 𝐴))
3020, 29syl5bi 233 . . . 4 (∀𝑥𝐴 Lim 𝑥 → (𝑦 𝐴 → suc 𝑦 𝐴))
3130ralrimiv 3111 . . 3 (∀𝑥𝐴 Lim 𝑥 → ∀𝑦 𝐴 suc 𝑦 𝐴)
3231adantl 473 . 2 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 Lim 𝑥) → ∀𝑦 𝐴 suc 𝑦 𝐴)
33 dflim4 7245 . 2 (Lim 𝐴 ↔ (Ord 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 𝐴 suc 𝑦 𝐴))
3410, 19, 32, 33syl3anbrc 1443 1 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 Lim 𝑥) → Lim 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wex 1874  wcel 2155  wne 2936  wral 3054  wrex 3055  Vcvv 3349  wss 3731  c0 4078   cuni 4593  Ord word 5906  Oncon0 5907  Lim wlim 5908  suc csuc 5909
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pr 5061  ax-un 7146
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-ral 3059  df-rex 3060  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-pss 3747  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-tp 4338  df-op 4340  df-uni 4594  df-br 4809  df-opab 4871  df-tr 4911  df-eprel 5189  df-po 5197  df-so 5198  df-fr 5235  df-we 5237  df-ord 5910  df-on 5911  df-lim 5912  df-suc 5913
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator