Theorem limsuc 7828

Description: The successor of a member of a limit ordinal is also a member. (Contributed by NM, 3-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
limsuc	⊢ (Lim 𝐴 → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ suc 𝐵 ∈ 𝐴))

Proof of Theorem limsuc

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dflim4 7827	. . 3 ⊢ (Lim 𝐴 ↔ (Ord 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 suc 𝑥 ∈ 𝐴))
2		suceq 6403	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → suc 𝑥 = suc 𝐵)
3	2	eleq1d 2814	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (suc 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ suc 𝐵 ∈ 𝐴))
4	3	rspccv 3588	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 suc 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐵 ∈ 𝐴 → suc 𝐵 ∈ 𝐴))
5	4	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 suc 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 ∈ 𝐴 → suc 𝐵 ∈ 𝐴))
6	1, 5	sylbi 217	. 2 ⊢ (Lim 𝐴 → (𝐵 ∈ 𝐴 → suc 𝐵 ∈ 𝐴))
7		limord 6396	. . 3 ⊢ (Lim 𝐴 → Ord 𝐴)
8		ordtr 6349	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → Tr 𝐴)
9		trsuc 6424	. . . 4 ⊢ ((Tr 𝐴 ∧ suc 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐴)
10	9	ex 412	. . 3 ⊢ (Tr 𝐴 → (suc 𝐵 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝐴))
11	7, 8, 10	3syl 18	. 2 ⊢ (Lim 𝐴 → (suc 𝐵 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝐴))
12	6, 11	impbid 212	1 ⊢ (Lim 𝐴 → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ suc 𝐵 ∈ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  ∅c0 4299  Tr wtr 5217  Ord word 6334  Lim wlim 6336  suc csuc 6337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-tr 5218  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341

This theorem is referenced by:  limsssuc  7829  limuni3  7831  peano2b  7862  rdgsucg  8394  rdgsucmptnf  8400  oesuclem  8492  oaordi  8513  omordi  8533  oeordi  8554  oelim2  8562  limenpsi  9122  r1tr  9736  r1ordg  9738  r1pwss  9744  r1val1  9746  rankdmr1  9761  rankr1bg  9763  pwwf  9767  rankr1c  9781  rankonidlem  9788  ranklim  9804  r1pwcl  9807  rankxplim3  9841  infxpenlem  9973  alephordi  10034  cflm  10210  cfslb2n  10228  alephreg  10542  r1limwun  10696  rankcf  10737  inatsk  10738  oldlim  27805  succlg  43324