MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limsuc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsuc 7552
Description: The successor of a member of a limit ordinal is also a member. (Contributed by NM, 3-Sep-2003.)
Assertion
Ref Expression
limsuc (Lim 𝐴 → (𝐵𝐴 ↔ suc 𝐵𝐴))

Proof of Theorem limsuc
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dflim4 7551 . . 3 (Lim 𝐴 ↔ (Ord 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 suc 𝑥𝐴))
2 suceq 6250 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → suc 𝑥 = suc 𝐵)
32eleq1d 2897 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (suc 𝑥𝐴 ↔ suc 𝐵𝐴))
43rspccv 3619 . . . 4 (∀𝑥𝐴 suc 𝑥𝐴 → (𝐵𝐴 → suc 𝐵𝐴))
543ad2ant3 1127 . . 3 ((Ord 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 suc 𝑥𝐴) → (𝐵𝐴 → suc 𝐵𝐴))
61, 5sylbi 218 . 2 (Lim 𝐴 → (𝐵𝐴 → suc 𝐵𝐴))
7 limord 6244 . . 3 (Lim 𝐴 → Ord 𝐴)
8 ordtr 6199 . . 3 (Ord 𝐴 → Tr 𝐴)
9 trsuc 6269 . . . 4 ((Tr 𝐴 ∧ suc 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
109ex 413 . . 3 (Tr 𝐴 → (suc 𝐵𝐴𝐵𝐴))
117, 8, 103syl 18 . 2 (Lim 𝐴 → (suc 𝐵𝐴𝐵𝐴))
126, 11impbid 213 1 (Lim 𝐴 → (𝐵𝐴 ↔ suc 𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3138  c0 4290  Tr wtr 5164  Ord word 6184  Lim wlim 6186  suc csuc 6187
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pr 5321  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-br 5059  df-opab 5121  df-tr 5165  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191
This theorem is referenced by:  limsssuc  7553  limuni3  7555  peano2b  7584  rdgsucg  8050  rdgsucmptnf  8056  oesuclem  8141  oaordi  8162  omordi  8182  oeordi  8203  oelim2  8211  limenpsi  8681  r1tr  9194  r1ordg  9196  r1pwss  9202  r1val1  9204  rankdmr1  9219  rankr1bg  9221  pwwf  9225  rankr1c  9239  rankonidlem  9246  ranklim  9262  r1pwcl  9265  rankxplim3  9299  infxpenlem  9428  alephordi  9489  cflm  9661  cfslb2n  9679  alephreg  9993  r1limwun  10147  rankcf  10188  inatsk  10189
  Copyright terms: Public domain W3C validator