Theorem limsuc 7671

Description: The successor of a member of a limit ordinal is also a member. (Contributed by NM, 3-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
limsuc	⊢ (Lim 𝐴 → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ suc 𝐵 ∈ 𝐴))

Proof of Theorem limsuc

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dflim4 7670	. . 3 ⊢ (Lim 𝐴 ↔ (Ord 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 suc 𝑥 ∈ 𝐴))
2		suceq 6316	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → suc 𝑥 = suc 𝐵)
3	2	eleq1d 2823	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (suc 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ suc 𝐵 ∈ 𝐴))
4	3	rspccv 3549	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 suc 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐵 ∈ 𝐴 → suc 𝐵 ∈ 𝐴))
5	4	3ad2ant3 1133	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 suc 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 ∈ 𝐴 → suc 𝐵 ∈ 𝐴))
6	1, 5	sylbi 216	. 2 ⊢ (Lim 𝐴 → (𝐵 ∈ 𝐴 → suc 𝐵 ∈ 𝐴))
7		limord 6310	. . 3 ⊢ (Lim 𝐴 → Ord 𝐴)
8		ordtr 6265	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → Tr 𝐴)
9		trsuc 6335	. . . 4 ⊢ ((Tr 𝐴 ∧ suc 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐴)
10	9	ex 412	. . 3 ⊢ (Tr 𝐴 → (suc 𝐵 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝐴))
11	7, 8, 10	3syl 18	. 2 ⊢ (Lim 𝐴 → (suc 𝐵 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝐴))
12	6, 11	impbid 211	1 ⊢ (Lim 𝐴 → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ suc 𝐵 ∈ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∅c0 4253  Tr wtr 5187  Ord word 6250  Lim wlim 6252  suc csuc 6253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-11 2156  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-tr 5188  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257

This theorem is referenced by:  limsssuc  7672  limuni3  7674  peano2b  7704  rdgsucg  8225  rdgsucmptnf  8231  oesuclem  8317  oaordi  8339  omordi  8359  oeordi  8380  oelim2  8388  limenpsi  8888  r1tr  9465  r1ordg  9467  r1pwss  9473  r1val1  9475  rankdmr1  9490  rankr1bg  9492  pwwf  9496  rankr1c  9510  rankonidlem  9517  ranklim  9533  r1pwcl  9536  rankxplim3  9570  infxpenlem  9700  alephordi  9761  cflm  9937  cfslb2n  9955  alephreg  10269  r1limwun  10423  rankcf  10464  inatsk  10465  oldlim  33996