MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limsuc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsuc 7790
Description: The successor of a member of a limit ordinal is also a member. (Contributed by NM, 3-Sep-2003.)
Assertion
Ref Expression
limsuc (Lim 𝐴 → (𝐵𝐴 ↔ suc 𝐵𝐴))

Proof of Theorem limsuc
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dflim4 7789 . . 3 (Lim 𝐴 ↔ (Ord 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 suc 𝑥𝐴))
2 suceq 6388 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → suc 𝑥 = suc 𝐵)
32eleq1d 2823 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (suc 𝑥𝐴 ↔ suc 𝐵𝐴))
43rspccv 3581 . . . 4 (∀𝑥𝐴 suc 𝑥𝐴 → (𝐵𝐴 → suc 𝐵𝐴))
543ad2ant3 1136 . . 3 ((Ord 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 suc 𝑥𝐴) → (𝐵𝐴 → suc 𝐵𝐴))
61, 5sylbi 216 . 2 (Lim 𝐴 → (𝐵𝐴 → suc 𝐵𝐴))
7 limord 6382 . . 3 (Lim 𝐴 → Ord 𝐴)
8 ordtr 6336 . . 3 (Ord 𝐴 → Tr 𝐴)
9 trsuc 6409 . . . 4 ((Tr 𝐴 ∧ suc 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
109ex 414 . . 3 (Tr 𝐴 → (suc 𝐵𝐴𝐵𝐴))
117, 8, 103syl 18 . 2 (Lim 𝐴 → (suc 𝐵𝐴𝐵𝐴))
126, 11impbid 211 1 (Lim 𝐴 → (𝐵𝐴 ↔ suc 𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3065  c0 4287  Tr wtr 5227  Ord word 6321  Lim wlim 6323  suc csuc 6324
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-tr 5228  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328
This theorem is referenced by:  limsssuc  7791  limuni3  7793  peano2b  7824  rdgsucg  8374  rdgsucmptnf  8380  oesuclem  8476  oaordi  8498  omordi  8518  oeordi  8539  oelim2  8547  limenpsi  9103  r1tr  9719  r1ordg  9721  r1pwss  9727  r1val1  9729  rankdmr1  9744  rankr1bg  9746  pwwf  9750  rankr1c  9764  rankonidlem  9771  ranklim  9787  r1pwcl  9790  rankxplim3  9824  infxpenlem  9956  alephordi  10017  cflm  10193  cfslb2n  10211  alephreg  10525  r1limwun  10679  rankcf  10720  inatsk  10721  oldlim  27238  succlg  41692
  Copyright terms: Public domain W3C validator