Theorem limsuc 7789

Description: The successor of a member of a limit ordinal is also a member. (Contributed by NM, 3-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
limsuc	⊢ (Lim 𝐴 → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ suc 𝐵 ∈ 𝐴))

Proof of Theorem limsuc

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dflim4 7788	. . 3 ⊢ (Lim 𝐴 ↔ (Ord 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 suc 𝑥 ∈ 𝐴))
2		suceq 6383	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → suc 𝑥 = suc 𝐵)
3	2	eleq1d 2819	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (suc 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ suc 𝐵 ∈ 𝐴))
4	3	rspccv 3571	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 suc 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐵 ∈ 𝐴 → suc 𝐵 ∈ 𝐴))
5	4	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 suc 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 ∈ 𝐴 → suc 𝐵 ∈ 𝐴))
6	1, 5	sylbi 217	. 2 ⊢ (Lim 𝐴 → (𝐵 ∈ 𝐴 → suc 𝐵 ∈ 𝐴))
7		limord 6376	. . 3 ⊢ (Lim 𝐴 → Ord 𝐴)
8		ordtr 6329	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → Tr 𝐴)
9		trsuc 6404	. . . 4 ⊢ ((Tr 𝐴 ∧ suc 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐴)
10	9	ex 412	. . 3 ⊢ (Tr 𝐴 → (suc 𝐵 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝐴))
11	7, 8, 10	3syl 18	. 2 ⊢ (Lim 𝐴 → (suc 𝐵 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝐴))
12	6, 11	impbid 212	1 ⊢ (Lim 𝐴 → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ suc 𝐵 ∈ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049  ∅c0 4283  Tr wtr 5203  Ord word 6314  Lim wlim 6316  suc csuc 6317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-tr 5204  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321

This theorem is referenced by:  limsssuc  7790  limuni3  7792  peano2b  7823  rdgsucg  8352  rdgsucmptnf  8358  oesuclem  8450  oaordi  8471  omordi  8491  oeordi  8513  oelim2  8521  limenpsi  9078  r1tr  9686  r1ordg  9688  r1pwss  9694  r1val1  9696  rankdmr1  9711  rankr1bg  9713  pwwf  9717  rankr1c  9731  rankonidlem  9738  ranklim  9754  r1pwcl  9757  rankxplim3  9791  infxpenlem  9921  alephordi  9982  cflm  10158  cfslb2n  10176  alephreg  10491  r1limwun  10645  rankcf  10686  inatsk  10687  oldlim  27859  rankfilimbi  35206  r1filimi  35208  succlg  43512