Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  disjdifprg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem disjdifprg 32495
Description: A trivial partition into a subset and its complement. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
disjdifprg ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → Disj 𝑥 ∈ {(𝐵𝐴), 𝐴}𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem disjdifprg
StepHypRef Expression
1 disjxsn 5138 . . . . . 6 Disj 𝑥 ∈ {∅}𝑥
2 simpr 483 . . . . . . . 8 ((𝐵𝑊𝐵 = ∅) → 𝐵 = ∅)
3 eqidd 2727 . . . . . . . 8 ((𝐵𝑊𝐵 = ∅) → ∅ = ∅)
4 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝐵𝑊𝐵𝑊)
5 0ex 5304 . . . . . . . . . . 11 ∅ ∈ V
65a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐵𝑊 → ∅ ∈ V)
74, 6preqsnd 4857 . . . . . . . . 9 (𝐵𝑊 → ({𝐵, ∅} = {∅} ↔ (𝐵 = ∅ ∧ ∅ = ∅)))
87adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝐵𝑊𝐵 = ∅) → ({𝐵, ∅} = {∅} ↔ (𝐵 = ∅ ∧ ∅ = ∅)))
92, 3, 8mpbir2and 711 . . . . . . 7 ((𝐵𝑊𝐵 = ∅) → {𝐵, ∅} = {∅})
109disjeq1d 5118 . . . . . 6 ((𝐵𝑊𝐵 = ∅) → (Disj 𝑥 ∈ {𝐵, ∅}𝑥Disj 𝑥 ∈ {∅}𝑥))
111, 10mpbiri 257 . . . . 5 ((𝐵𝑊𝐵 = ∅) → Disj 𝑥 ∈ {𝐵, ∅}𝑥)
12 in0 4389 . . . . . 6 (𝐵 ∩ ∅) = ∅
13 elex 3482 . . . . . . . 8 (𝐵𝑊𝐵 ∈ V)
1413adantr 479 . . . . . . 7 ((𝐵𝑊𝐵 ≠ ∅) → 𝐵 ∈ V)
155a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐵𝑊𝐵 ≠ ∅) → ∅ ∈ V)
16 simpr 483 . . . . . . 7 ((𝐵𝑊𝐵 ≠ ∅) → 𝐵 ≠ ∅)
17 id 22 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵𝑥 = 𝐵)
18 id 22 . . . . . . . 8 (𝑥 = ∅ → 𝑥 = ∅)
1917, 18disjprg 5141 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ V ∧ ∅ ∈ V ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (Disj 𝑥 ∈ {𝐵, ∅}𝑥 ↔ (𝐵 ∩ ∅) = ∅))
2014, 15, 16, 19syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝐵𝑊𝐵 ≠ ∅) → (Disj 𝑥 ∈ {𝐵, ∅}𝑥 ↔ (𝐵 ∩ ∅) = ∅))
2112, 20mpbiri 257 . . . . 5 ((𝐵𝑊𝐵 ≠ ∅) → Disj 𝑥 ∈ {𝐵, ∅}𝑥)
2211, 21pm2.61dane 3019 . . . 4 (𝐵𝑊Disj 𝑥 ∈ {𝐵, ∅}𝑥)
2322ad2antlr 725 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ 𝐴 = ∅) → Disj 𝑥 ∈ {𝐵, ∅}𝑥)
24 difeq2 4112 . . . . . . 7 (𝐴 = ∅ → (𝐵𝐴) = (𝐵 ∖ ∅))
25 dif0 4370 . . . . . . 7 (𝐵 ∖ ∅) = 𝐵
2624, 25eqtrdi 2782 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → (𝐵𝐴) = 𝐵)
27 id 22 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
2826, 27preq12d 4740 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → {(𝐵𝐴), 𝐴} = {𝐵, ∅})
2928disjeq1d 5118 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (Disj 𝑥 ∈ {(𝐵𝐴), 𝐴}𝑥Disj 𝑥 ∈ {𝐵, ∅}𝑥))
3029adantl 480 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ 𝐴 = ∅) → (Disj 𝑥 ∈ {(𝐵𝐴), 𝐴}𝑥Disj 𝑥 ∈ {𝐵, ∅}𝑥))
3123, 30mpbird 256 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ 𝐴 = ∅) → Disj 𝑥 ∈ {(𝐵𝐴), 𝐴}𝑥)
32 disjdifr 4467 . . 3 ((𝐵𝐴) ∩ 𝐴) = ∅
33 difexg 5326 . . . . 5 (𝐵𝑊 → (𝐵𝐴) ∈ V)
3433ad2antlr 725 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → (𝐵𝐴) ∈ V)
35 elex 3482 . . . . 5 (𝐴𝑉𝐴 ∈ V)
3635ad2antrr 724 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ∈ V)
37 ssid 4001 . . . . . 6 (𝐵𝐴) ⊆ (𝐵𝐴)
38 ssdifeq0 4481 . . . . . . . 8 (𝐴 ⊆ (𝐵𝐴) ↔ 𝐴 = ∅)
3938notbii 319 . . . . . . 7 𝐴 ⊆ (𝐵𝐴) ↔ ¬ 𝐴 = ∅)
40 nssne2 4042 . . . . . . 7 (((𝐵𝐴) ⊆ (𝐵𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ⊆ (𝐵𝐴)) → (𝐵𝐴) ≠ 𝐴)
4139, 40sylan2br 593 . . . . . 6 (((𝐵𝐴) ⊆ (𝐵𝐴) ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → (𝐵𝐴) ≠ 𝐴)
4237, 41mpan 688 . . . . 5 𝐴 = ∅ → (𝐵𝐴) ≠ 𝐴)
4342adantl 480 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → (𝐵𝐴) ≠ 𝐴)
44 id 22 . . . . 5 (𝑥 = (𝐵𝐴) → 𝑥 = (𝐵𝐴))
45 id 22 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴𝑥 = 𝐴)
4644, 45disjprg 5141 . . . 4 (((𝐵𝐴) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ (𝐵𝐴) ≠ 𝐴) → (Disj 𝑥 ∈ {(𝐵𝐴), 𝐴}𝑥 ↔ ((𝐵𝐴) ∩ 𝐴) = ∅))
4734, 36, 43, 46syl3anc 1368 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → (Disj 𝑥 ∈ {(𝐵𝐴), 𝐴}𝑥 ↔ ((𝐵𝐴) ∩ 𝐴) = ∅))
4832, 47mpbiri 257 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → Disj 𝑥 ∈ {(𝐵𝐴), 𝐴}𝑥)
4931, 48pm2.61dan 811 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → Disj 𝑥 ∈ {(𝐵𝐴), 𝐴}𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  Vcvv 3462  cdif 3943  cin 3945  wss 3946  c0 4322  {csn 4623  {cpr 4625  Disj wdisj 5110
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4323  df-sn 4624  df-pr 4626  df-disj 5111
This theorem is referenced by:  disjdifprg2  32496  measssd  34061
  Copyright terms: Public domain W3C validator