Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  disjdifprg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem disjdifprg 29726
Description: A trivial partition into a subset and its complement. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
disjdifprg ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → Disj 𝑥 ∈ {(𝐵𝐴), 𝐴}𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem disjdifprg
StepHypRef Expression
1 disjxsn 4780 . . . . . 6 Disj 𝑥 ∈ {∅}𝑥
2 simpr 471 . . . . . . . 8 ((𝐵𝑊𝐵 = ∅) → 𝐵 = ∅)
3 eqidd 2772 . . . . . . . 8 ((𝐵𝑊𝐵 = ∅) → ∅ = ∅)
4 elex 3364 . . . . . . . . . 10 (𝐵𝑊𝐵 ∈ V)
5 0ex 4924 . . . . . . . . . . 11 ∅ ∈ V
65a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐵𝑊 → ∅ ∈ V)
74, 6preqsnd 4523 . . . . . . . . 9 (𝐵𝑊 → ({𝐵, ∅} = {∅} ↔ (𝐵 = ∅ ∧ ∅ = ∅)))
87adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝐵𝑊𝐵 = ∅) → ({𝐵, ∅} = {∅} ↔ (𝐵 = ∅ ∧ ∅ = ∅)))
92, 3, 8mpbir2and 692 . . . . . . 7 ((𝐵𝑊𝐵 = ∅) → {𝐵, ∅} = {∅})
109disjeq1d 4762 . . . . . 6 ((𝐵𝑊𝐵 = ∅) → (Disj 𝑥 ∈ {𝐵, ∅}𝑥Disj 𝑥 ∈ {∅}𝑥))
111, 10mpbiri 248 . . . . 5 ((𝐵𝑊𝐵 = ∅) → Disj 𝑥 ∈ {𝐵, ∅}𝑥)
12 in0 4112 . . . . . 6 (𝐵 ∩ ∅) = ∅
134adantr 466 . . . . . . 7 ((𝐵𝑊𝐵 ≠ ∅) → 𝐵 ∈ V)
145a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐵𝑊𝐵 ≠ ∅) → ∅ ∈ V)
15 simpr 471 . . . . . . 7 ((𝐵𝑊𝐵 ≠ ∅) → 𝐵 ≠ ∅)
16 id 22 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵𝑥 = 𝐵)
17 id 22 . . . . . . . 8 (𝑥 = ∅ → 𝑥 = ∅)
1816, 17disjprg 4782 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ V ∧ ∅ ∈ V ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (Disj 𝑥 ∈ {𝐵, ∅}𝑥 ↔ (𝐵 ∩ ∅) = ∅))
1913, 14, 15, 18syl3anc 1476 . . . . . 6 ((𝐵𝑊𝐵 ≠ ∅) → (Disj 𝑥 ∈ {𝐵, ∅}𝑥 ↔ (𝐵 ∩ ∅) = ∅))
2012, 19mpbiri 248 . . . . 5 ((𝐵𝑊𝐵 ≠ ∅) → Disj 𝑥 ∈ {𝐵, ∅}𝑥)
2111, 20pm2.61dane 3030 . . . 4 (𝐵𝑊Disj 𝑥 ∈ {𝐵, ∅}𝑥)
2221ad2antlr 706 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ 𝐴 = ∅) → Disj 𝑥 ∈ {𝐵, ∅}𝑥)
23 difeq2 3873 . . . . . . 7 (𝐴 = ∅ → (𝐵𝐴) = (𝐵 ∖ ∅))
24 dif0 4097 . . . . . . 7 (𝐵 ∖ ∅) = 𝐵
2523, 24syl6eq 2821 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → (𝐵𝐴) = 𝐵)
26 id 22 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
2725, 26preq12d 4412 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → {(𝐵𝐴), 𝐴} = {𝐵, ∅})
2827disjeq1d 4762 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (Disj 𝑥 ∈ {(𝐵𝐴), 𝐴}𝑥Disj 𝑥 ∈ {𝐵, ∅}𝑥))
2928adantl 467 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ 𝐴 = ∅) → (Disj 𝑥 ∈ {(𝐵𝐴), 𝐴}𝑥Disj 𝑥 ∈ {𝐵, ∅}𝑥))
3022, 29mpbird 247 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ 𝐴 = ∅) → Disj 𝑥 ∈ {(𝐵𝐴), 𝐴}𝑥)
31 incom 3956 . . . 4 (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ((𝐵𝐴) ∩ 𝐴)
32 disjdif 4182 . . . 4 (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ∅
3331, 32eqtr3i 2795 . . 3 ((𝐵𝐴) ∩ 𝐴) = ∅
34 difexg 4942 . . . . 5 (𝐵𝑊 → (𝐵𝐴) ∈ V)
3534ad2antlr 706 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → (𝐵𝐴) ∈ V)
36 elex 3364 . . . . 5 (𝐴𝑉𝐴 ∈ V)
3736ad2antrr 705 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ∈ V)
38 ssid 3773 . . . . . 6 (𝐵𝐴) ⊆ (𝐵𝐴)
39 ssdifeq0 4193 . . . . . . . 8 (𝐴 ⊆ (𝐵𝐴) ↔ 𝐴 = ∅)
4039notbii 309 . . . . . . 7 𝐴 ⊆ (𝐵𝐴) ↔ ¬ 𝐴 = ∅)
41 nssne2 3811 . . . . . . 7 (((𝐵𝐴) ⊆ (𝐵𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ⊆ (𝐵𝐴)) → (𝐵𝐴) ≠ 𝐴)
4240, 41sylan2br 582 . . . . . 6 (((𝐵𝐴) ⊆ (𝐵𝐴) ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → (𝐵𝐴) ≠ 𝐴)
4338, 42mpan 670 . . . . 5 𝐴 = ∅ → (𝐵𝐴) ≠ 𝐴)
4443adantl 467 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → (𝐵𝐴) ≠ 𝐴)
45 id 22 . . . . 5 (𝑥 = (𝐵𝐴) → 𝑥 = (𝐵𝐴))
46 id 22 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴𝑥 = 𝐴)
4745, 46disjprg 4782 . . . 4 (((𝐵𝐴) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ (𝐵𝐴) ≠ 𝐴) → (Disj 𝑥 ∈ {(𝐵𝐴), 𝐴}𝑥 ↔ ((𝐵𝐴) ∩ 𝐴) = ∅))
4835, 37, 44, 47syl3anc 1476 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → (Disj 𝑥 ∈ {(𝐵𝐴), 𝐴}𝑥 ↔ ((𝐵𝐴) ∩ 𝐴) = ∅))
4933, 48mpbiri 248 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → Disj 𝑥 ∈ {(𝐵𝐴), 𝐴}𝑥)
5030, 49pm2.61dan 814 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → Disj 𝑥 ∈ {(𝐵𝐴), 𝐴}𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  Vcvv 3351  cdif 3720  cin 3722  wss 3723  c0 4063  {csn 4316  {cpr 4318  Disj wdisj 4754
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-sn 4317  df-pr 4319  df-disj 4755
This theorem is referenced by:  disjdifprg2  29727  measssd  30618
  Copyright terms: Public domain W3C validator