Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measssd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem measssd 34216
Description: A measure is monotone with respect to set inclusion. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
measssd.1 (𝜑𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
measssd.2 (𝜑𝐴𝑆)
measssd.3 (𝜑𝐵𝑆)
measssd.4 (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
measssd (𝜑 → (𝑀𝐴) ≤ (𝑀𝐵))

Proof of Theorem measssd
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 measssd.1 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
2 measbase 34198 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ran sigAlgebra)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ran sigAlgebra)
4 measssd.3 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑆)
5 measssd.2 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑆)
6 difelsiga 34134 . . . . . 6 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝐵𝑆𝐴𝑆) → (𝐵𝐴) ∈ 𝑆)
73, 4, 5, 6syl3anc 1373 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ 𝑆)
8 measvxrge0 34206 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐵𝐴) ∈ 𝑆) → (𝑀‘(𝐵𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
91, 7, 8syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝐵𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
10 elxrge0 13497 . . . . 5 ((𝑀‘(𝐵𝐴)) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑀‘(𝐵𝐴)) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑀‘(𝐵𝐴))))
1110simprbi 496 . . . 4 ((𝑀‘(𝐵𝐴)) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝑀‘(𝐵𝐴)))
129, 11syl 17 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ (𝑀‘(𝐵𝐴)))
13 measvxrge0 34206 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) → (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
141, 5, 13syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
15 elxrge0 13497 . . . . . 6 ((𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑀𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑀𝐴)))
1615simplbi 497 . . . . 5 ((𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞) → (𝑀𝐴) ∈ ℝ*)
1714, 16syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ ℝ*)
1810simplbi 497 . . . . 5 ((𝑀‘(𝐵𝐴)) ∈ (0[,]+∞) → (𝑀‘(𝐵𝐴)) ∈ ℝ*)
199, 18syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝐵𝐴)) ∈ ℝ*)
20 xraddge02 32760 . . . 4 (((𝑀𝐴) ∈ ℝ* ∧ (𝑀‘(𝐵𝐴)) ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝑀‘(𝐵𝐴)) → (𝑀𝐴) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀‘(𝐵𝐴)))))
2117, 19, 20syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (0 ≤ (𝑀‘(𝐵𝐴)) → (𝑀𝐴) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀‘(𝐵𝐴)))))
2212, 21mpd 15 . 2 (𝜑 → (𝑀𝐴) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀‘(𝐵𝐴))))
23 prssi 4821 . . . . . 6 ((𝐴𝑆 ∧ (𝐵𝐴) ∈ 𝑆) → {𝐴, (𝐵𝐴)} ⊆ 𝑆)
245, 7, 23syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → {𝐴, (𝐵𝐴)} ⊆ 𝑆)
25 prex 5437 . . . . . 6 {𝐴, (𝐵𝐴)} ∈ V
2625elpw 4604 . . . . 5 ({𝐴, (𝐵𝐴)} ∈ 𝒫 𝑆 ↔ {𝐴, (𝐵𝐴)} ⊆ 𝑆)
2724, 26sylibr 234 . . . 4 (𝜑 → {𝐴, (𝐵𝐴)} ∈ 𝒫 𝑆)
28 prct 32726 . . . . 5 ((𝐴𝑆 ∧ (𝐵𝐴) ∈ 𝑆) → {𝐴, (𝐵𝐴)} ≼ ω)
295, 7, 28syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → {𝐴, (𝐵𝐴)} ≼ ω)
30 disjdifprg 32588 . . . . . 6 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → Disj 𝑦 ∈ {(𝐵𝐴), 𝐴}𝑦)
315, 4, 30syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑Disj 𝑦 ∈ {(𝐵𝐴), 𝐴}𝑦)
32 prcom 4732 . . . . . . 7 {(𝐵𝐴), 𝐴} = {𝐴, (𝐵𝐴)}
3332a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → {(𝐵𝐴), 𝐴} = {𝐴, (𝐵𝐴)})
3433disjeq1d 5118 . . . . 5 (𝜑 → (Disj 𝑦 ∈ {(𝐵𝐴), 𝐴}𝑦Disj 𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)}𝑦))
3531, 34mpbid 232 . . . 4 (𝜑Disj 𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)}𝑦)
36 measvun 34210 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ {𝐴, (𝐵𝐴)} ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ({𝐴, (𝐵𝐴)} ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)}𝑦)) → (𝑀 {𝐴, (𝐵𝐴)}) = Σ*𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)} (𝑀𝑦))
371, 27, 29, 35, 36syl112anc 1376 . . 3 (𝜑 → (𝑀 {𝐴, (𝐵𝐴)}) = Σ*𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)} (𝑀𝑦))
38 uniprg 4923 . . . . . 6 ((𝐴𝑆 ∧ (𝐵𝐴) ∈ 𝑆) → {𝐴, (𝐵𝐴)} = (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)))
395, 7, 38syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 {𝐴, (𝐵𝐴)} = (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)))
40 measssd.4 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐵)
41 undif 4482 . . . . . 6 (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = 𝐵)
4240, 41sylib 218 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = 𝐵)
4339, 42eqtrd 2777 . . . 4 (𝜑 {𝐴, (𝐵𝐴)} = 𝐵)
4443fveq2d 6910 . . 3 (𝜑 → (𝑀 {𝐴, (𝐵𝐴)}) = (𝑀𝐵))
45 fveq2 6906 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 → (𝑀𝑦) = (𝑀𝐴))
4645adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑦 = 𝐴) → (𝑀𝑦) = (𝑀𝐴))
47 fveq2 6906 . . . . 5 (𝑦 = (𝐵𝐴) → (𝑀𝑦) = (𝑀‘(𝐵𝐴)))
4847adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑦 = (𝐵𝐴)) → (𝑀𝑦) = (𝑀‘(𝐵𝐴)))
49 eqimss 4042 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = (𝐵𝐴) → 𝐴 ⊆ (𝐵𝐴))
50 ssdifeq0 4487 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ⊆ (𝐵𝐴) ↔ 𝐴 = ∅)
5149, 50sylib 218 . . . . . . . . 9 (𝐴 = (𝐵𝐴) → 𝐴 = ∅)
5251adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 = (𝐵𝐴)) → 𝐴 = ∅)
5352fveq2d 6910 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 = (𝐵𝐴)) → (𝑀𝐴) = (𝑀‘∅))
54 measvnul 34207 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → (𝑀‘∅) = 0)
551, 54syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
5655adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 = (𝐵𝐴)) → (𝑀‘∅) = 0)
5753, 56eqtrd 2777 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = (𝐵𝐴)) → (𝑀𝐴) = 0)
5857orcd 874 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = (𝐵𝐴)) → ((𝑀𝐴) = 0 ∨ (𝑀𝐴) = +∞))
5958ex 412 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 = (𝐵𝐴) → ((𝑀𝐴) = 0 ∨ (𝑀𝐴) = +∞)))
6046, 48, 5, 7, 14, 9, 59esumpr2 34068 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)} (𝑀𝑦) = ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀‘(𝐵𝐴))))
6137, 44, 603eqtr3d 2785 . 2 (𝜑 → (𝑀𝐵) = ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀‘(𝐵𝐴))))
6222, 61breqtrrd 5171 1 (𝜑 → (𝑀𝐴) ≤ (𝑀𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  cdif 3948  cun 3949  wss 3951  c0 4333  𝒫 cpw 4600  {cpr 4628   cuni 4907  Disj wdisj 5110   class class class wbr 5143  ran crn 5686  cfv 6561  (class class class)co 7431  ωcom 7887  cdom 8983  0cc0 11155  +∞cpnf 11292  *cxr 11294  cle 11296   +𝑒 cxad 13152  [,]cicc 13390  Σ*cesum 34028  sigAlgebracsiga 34109  measurescmeas 34196
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-ac2 10503  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-acn 9982  df-ac 10156  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-ordt 17546  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-ps 18611  df-tsr 18612  df-plusf 18652  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-abv 20810  df-lmod 20860  df-scaf 20861  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-tmd 24080  df-tgp 24081  df-tsms 24135  df-trg 24168  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-nm 24595  df-ngp 24596  df-nrg 24598  df-nlm 24599  df-ii 24903  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598  df-esum 34029  df-siga 34110  df-meas 34197
This theorem is referenced by:  measiun  34219  aean  34245  sibfinima  34341  prob01  34415  probinc  34423  probmeasb  34432  cndprob01  34437  dstfrvinc  34479
  Copyright terms: Public domain W3C validator