Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measssd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem measssd 34059
Description: A measure is monotone with respect to set inclusion. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
measssd.1 (𝜑𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
measssd.2 (𝜑𝐴𝑆)
measssd.3 (𝜑𝐵𝑆)
measssd.4 (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
measssd (𝜑 → (𝑀𝐴) ≤ (𝑀𝐵))

Proof of Theorem measssd
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 measssd.1 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
2 measbase 34041 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ran sigAlgebra)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ran sigAlgebra)
4 measssd.3 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑆)
5 measssd.2 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑆)
6 difelsiga 33977 . . . . . 6 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝐵𝑆𝐴𝑆) → (𝐵𝐴) ∈ 𝑆)
73, 4, 5, 6syl3anc 1368 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ 𝑆)
8 measvxrge0 34049 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐵𝐴) ∈ 𝑆) → (𝑀‘(𝐵𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
91, 7, 8syl2anc 582 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝐵𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
10 elxrge0 13480 . . . . 5 ((𝑀‘(𝐵𝐴)) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑀‘(𝐵𝐴)) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑀‘(𝐵𝐴))))
1110simprbi 495 . . . 4 ((𝑀‘(𝐵𝐴)) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝑀‘(𝐵𝐴)))
129, 11syl 17 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ (𝑀‘(𝐵𝐴)))
13 measvxrge0 34049 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) → (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
141, 5, 13syl2anc 582 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
15 elxrge0 13480 . . . . . 6 ((𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑀𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑀𝐴)))
1615simplbi 496 . . . . 5 ((𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞) → (𝑀𝐴) ∈ ℝ*)
1714, 16syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ ℝ*)
1810simplbi 496 . . . . 5 ((𝑀‘(𝐵𝐴)) ∈ (0[,]+∞) → (𝑀‘(𝐵𝐴)) ∈ ℝ*)
199, 18syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝐵𝐴)) ∈ ℝ*)
20 xraddge02 32661 . . . 4 (((𝑀𝐴) ∈ ℝ* ∧ (𝑀‘(𝐵𝐴)) ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝑀‘(𝐵𝐴)) → (𝑀𝐴) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀‘(𝐵𝐴)))))
2117, 19, 20syl2anc 582 . . 3 (𝜑 → (0 ≤ (𝑀‘(𝐵𝐴)) → (𝑀𝐴) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀‘(𝐵𝐴)))))
2212, 21mpd 15 . 2 (𝜑 → (𝑀𝐴) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀‘(𝐵𝐴))))
23 prssi 4821 . . . . . 6 ((𝐴𝑆 ∧ (𝐵𝐴) ∈ 𝑆) → {𝐴, (𝐵𝐴)} ⊆ 𝑆)
245, 7, 23syl2anc 582 . . . . 5 (𝜑 → {𝐴, (𝐵𝐴)} ⊆ 𝑆)
25 prex 5429 . . . . . 6 {𝐴, (𝐵𝐴)} ∈ V
2625elpw 4602 . . . . 5 ({𝐴, (𝐵𝐴)} ∈ 𝒫 𝑆 ↔ {𝐴, (𝐵𝐴)} ⊆ 𝑆)
2724, 26sylibr 233 . . . 4 (𝜑 → {𝐴, (𝐵𝐴)} ∈ 𝒫 𝑆)
28 prct 32626 . . . . 5 ((𝐴𝑆 ∧ (𝐵𝐴) ∈ 𝑆) → {𝐴, (𝐵𝐴)} ≼ ω)
295, 7, 28syl2anc 582 . . . 4 (𝜑 → {𝐴, (𝐵𝐴)} ≼ ω)
30 disjdifprg 32493 . . . . . 6 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → Disj 𝑦 ∈ {(𝐵𝐴), 𝐴}𝑦)
315, 4, 30syl2anc 582 . . . . 5 (𝜑Disj 𝑦 ∈ {(𝐵𝐴), 𝐴}𝑦)
32 prcom 4732 . . . . . . 7 {(𝐵𝐴), 𝐴} = {𝐴, (𝐵𝐴)}
3332a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → {(𝐵𝐴), 𝐴} = {𝐴, (𝐵𝐴)})
3433disjeq1d 5119 . . . . 5 (𝜑 → (Disj 𝑦 ∈ {(𝐵𝐴), 𝐴}𝑦Disj 𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)}𝑦))
3531, 34mpbid 231 . . . 4 (𝜑Disj 𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)}𝑦)
36 measvun 34053 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ {𝐴, (𝐵𝐴)} ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ({𝐴, (𝐵𝐴)} ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)}𝑦)) → (𝑀 {𝐴, (𝐵𝐴)}) = Σ*𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)} (𝑀𝑦))
371, 27, 29, 35, 36syl112anc 1371 . . 3 (𝜑 → (𝑀 {𝐴, (𝐵𝐴)}) = Σ*𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)} (𝑀𝑦))
38 uniprg 4922 . . . . . 6 ((𝐴𝑆 ∧ (𝐵𝐴) ∈ 𝑆) → {𝐴, (𝐵𝐴)} = (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)))
395, 7, 38syl2anc 582 . . . . 5 (𝜑 {𝐴, (𝐵𝐴)} = (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)))
40 measssd.4 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐵)
41 undif 4477 . . . . . 6 (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = 𝐵)
4240, 41sylib 217 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = 𝐵)
4339, 42eqtrd 2766 . . . 4 (𝜑 {𝐴, (𝐵𝐴)} = 𝐵)
4443fveq2d 6895 . . 3 (𝜑 → (𝑀 {𝐴, (𝐵𝐴)}) = (𝑀𝐵))
45 fveq2 6891 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 → (𝑀𝑦) = (𝑀𝐴))
4645adantl 480 . . . 4 ((𝜑𝑦 = 𝐴) → (𝑀𝑦) = (𝑀𝐴))
47 fveq2 6891 . . . . 5 (𝑦 = (𝐵𝐴) → (𝑀𝑦) = (𝑀‘(𝐵𝐴)))
4847adantl 480 . . . 4 ((𝜑𝑦 = (𝐵𝐴)) → (𝑀𝑦) = (𝑀‘(𝐵𝐴)))
49 eqimss 4038 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = (𝐵𝐴) → 𝐴 ⊆ (𝐵𝐴))
50 ssdifeq0 4482 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ⊆ (𝐵𝐴) ↔ 𝐴 = ∅)
5149, 50sylib 217 . . . . . . . . 9 (𝐴 = (𝐵𝐴) → 𝐴 = ∅)
5251adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 = (𝐵𝐴)) → 𝐴 = ∅)
5352fveq2d 6895 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 = (𝐵𝐴)) → (𝑀𝐴) = (𝑀‘∅))
54 measvnul 34050 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → (𝑀‘∅) = 0)
551, 54syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
5655adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 = (𝐵𝐴)) → (𝑀‘∅) = 0)
5753, 56eqtrd 2766 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = (𝐵𝐴)) → (𝑀𝐴) = 0)
5857orcd 871 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = (𝐵𝐴)) → ((𝑀𝐴) = 0 ∨ (𝑀𝐴) = +∞))
5958ex 411 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 = (𝐵𝐴) → ((𝑀𝐴) = 0 ∨ (𝑀𝐴) = +∞)))
6046, 48, 5, 7, 14, 9, 59esumpr2 33911 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)} (𝑀𝑦) = ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀‘(𝐵𝐴))))
6137, 44, 603eqtr3d 2774 . 2 (𝜑 → (𝑀𝐵) = ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀‘(𝐵𝐴))))
6222, 61breqtrrd 5172 1 (𝜑 → (𝑀𝐴) ≤ (𝑀𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  wo 845   = wceq 1534  wcel 2099  cdif 3944  cun 3945  wss 3947  c0 4323  𝒫 cpw 4598  {cpr 4626   cuni 4906  Disj wdisj 5111   class class class wbr 5144  ran crn 5674  cfv 6544  (class class class)co 7414  ωcom 7866  cdom 8962  0cc0 11147  +∞cpnf 11284  *cxr 11286  cle 11288   +𝑒 cxad 13136  [,]cicc 13373  Σ*cesum 33871  sigAlgebracsiga 33952  measurescmeas 34039
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-inf2 9675  ax-ac2 10495  ax-cnex 11203  ax-resscn 11204  ax-1cn 11205  ax-icn 11206  ax-addcl 11207  ax-addrcl 11208  ax-mulcl 11209  ax-mulrcl 11210  ax-mulcom 11211  ax-addass 11212  ax-mulass 11213  ax-distr 11214  ax-i2m1 11215  ax-1ne0 11216  ax-1rid 11217  ax-rnegex 11218  ax-rrecex 11219  ax-cnre 11220  ax-pre-lttri 11221  ax-pre-lttrn 11222  ax-pre-ltadd 11223  ax-pre-mulgt0 11224  ax-pre-sup 11225  ax-addf 11226  ax-mulf 11227
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4907  df-int 4948  df-iun 4996  df-iin 4997  df-disj 5112  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6303  df-ord 6369  df-on 6370  df-lim 6371  df-suc 6372  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7680  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-2o 8487  df-er 8724  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9397  df-fi 9445  df-sup 9476  df-inf 9477  df-oi 9544  df-dju 9935  df-card 9973  df-acn 9976  df-ac 10150  df-pnf 11289  df-mnf 11290  df-xr 11291  df-ltxr 11292  df-le 11293  df-sub 11485  df-neg 11486  df-div 11911  df-nn 12257  df-2 12319  df-3 12320  df-4 12321  df-5 12322  df-6 12323  df-7 12324  df-8 12325  df-9 12326  df-n0 12517  df-z 12603  df-dec 12722  df-uz 12867  df-q 12977  df-rp 13021  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-ioo 13374  df-ioc 13375  df-ico 13376  df-icc 13377  df-fz 13531  df-fzo 13674  df-fl 13804  df-mod 13882  df-seq 14014  df-exp 14074  df-fac 14284  df-bc 14313  df-hash 14341  df-shft 15065  df-cj 15097  df-re 15098  df-im 15099  df-sqrt 15233  df-abs 15234  df-limsup 15466  df-clim 15483  df-rlim 15484  df-sum 15684  df-ef 16062  df-sin 16064  df-cos 16065  df-pi 16067  df-struct 17142  df-sets 17159  df-slot 17177  df-ndx 17189  df-base 17207  df-ress 17236  df-plusg 17272  df-mulr 17273  df-starv 17274  df-sca 17275  df-vsca 17276  df-ip 17277  df-tset 17278  df-ple 17279  df-ds 17281  df-unif 17282  df-hom 17283  df-cco 17284  df-rest 17430  df-topn 17431  df-0g 17449  df-gsum 17450  df-topgen 17451  df-pt 17452  df-prds 17455  df-ordt 17509  df-xrs 17510  df-qtop 17515  df-imas 17516  df-xps 17518  df-mre 17592  df-mrc 17593  df-acs 17595  df-ps 18584  df-tsr 18585  df-plusf 18625  df-mgm 18626  df-sgrp 18705  df-mnd 18721  df-mhm 18766  df-submnd 18767  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-sbg 18926  df-mulg 19056  df-subg 19111  df-cntz 19305  df-cmn 19774  df-abl 19775  df-mgp 20112  df-rng 20130  df-ur 20159  df-ring 20212  df-cring 20213  df-subrng 20522  df-subrg 20547  df-abv 20782  df-lmod 20832  df-scaf 20833  df-sra 21145  df-rgmod 21146  df-psmet 21329  df-xmet 21330  df-met 21331  df-bl 21332  df-mopn 21333  df-fbas 21334  df-fg 21335  df-cnfld 21338  df-top 22882  df-topon 22899  df-topsp 22921  df-bases 22935  df-cld 23009  df-ntr 23010  df-cls 23011  df-nei 23088  df-lp 23126  df-perf 23127  df-cn 23217  df-cnp 23218  df-haus 23305  df-tx 23552  df-hmeo 23745  df-fil 23836  df-fm 23928  df-flim 23929  df-flf 23930  df-tmd 24062  df-tgp 24063  df-tsms 24117  df-trg 24150  df-xms 24312  df-ms 24313  df-tms 24314  df-nm 24577  df-ngp 24578  df-nrg 24580  df-nlm 24581  df-ii 24883  df-cncf 24884  df-limc 25881  df-dv 25882  df-log 26578  df-esum 33872  df-siga 33953  df-meas 34040
This theorem is referenced by:  measiun  34062  aean  34088  sibfinima  34184  prob01  34258  probinc  34266  probmeasb  34275  cndprob01  34280  dstfrvinc  34321
  Copyright terms: Public domain W3C validator