Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measssd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem measssd 32814
Description: A measure is monotone with respect to set inclusion. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
measssd.1 (𝜑𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
measssd.2 (𝜑𝐴𝑆)
measssd.3 (𝜑𝐵𝑆)
measssd.4 (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
measssd (𝜑 → (𝑀𝐴) ≤ (𝑀𝐵))

Proof of Theorem measssd
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 measssd.1 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
2 measbase 32796 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ran sigAlgebra)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ran sigAlgebra)
4 measssd.3 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑆)
5 measssd.2 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑆)
6 difelsiga 32732 . . . . . 6 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝐵𝑆𝐴𝑆) → (𝐵𝐴) ∈ 𝑆)
73, 4, 5, 6syl3anc 1371 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ 𝑆)
8 measvxrge0 32804 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐵𝐴) ∈ 𝑆) → (𝑀‘(𝐵𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
91, 7, 8syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝐵𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
10 elxrge0 13374 . . . . 5 ((𝑀‘(𝐵𝐴)) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑀‘(𝐵𝐴)) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑀‘(𝐵𝐴))))
1110simprbi 497 . . . 4 ((𝑀‘(𝐵𝐴)) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝑀‘(𝐵𝐴)))
129, 11syl 17 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ (𝑀‘(𝐵𝐴)))
13 measvxrge0 32804 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) → (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
141, 5, 13syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
15 elxrge0 13374 . . . . . 6 ((𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑀𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑀𝐴)))
1615simplbi 498 . . . . 5 ((𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞) → (𝑀𝐴) ∈ ℝ*)
1714, 16syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ ℝ*)
1810simplbi 498 . . . . 5 ((𝑀‘(𝐵𝐴)) ∈ (0[,]+∞) → (𝑀‘(𝐵𝐴)) ∈ ℝ*)
199, 18syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝐵𝐴)) ∈ ℝ*)
20 xraddge02 31661 . . . 4 (((𝑀𝐴) ∈ ℝ* ∧ (𝑀‘(𝐵𝐴)) ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝑀‘(𝐵𝐴)) → (𝑀𝐴) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀‘(𝐵𝐴)))))
2117, 19, 20syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (0 ≤ (𝑀‘(𝐵𝐴)) → (𝑀𝐴) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀‘(𝐵𝐴)))))
2212, 21mpd 15 . 2 (𝜑 → (𝑀𝐴) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀‘(𝐵𝐴))))
23 prssi 4781 . . . . . 6 ((𝐴𝑆 ∧ (𝐵𝐴) ∈ 𝑆) → {𝐴, (𝐵𝐴)} ⊆ 𝑆)
245, 7, 23syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → {𝐴, (𝐵𝐴)} ⊆ 𝑆)
25 prex 5389 . . . . . 6 {𝐴, (𝐵𝐴)} ∈ V
2625elpw 4564 . . . . 5 ({𝐴, (𝐵𝐴)} ∈ 𝒫 𝑆 ↔ {𝐴, (𝐵𝐴)} ⊆ 𝑆)
2724, 26sylibr 233 . . . 4 (𝜑 → {𝐴, (𝐵𝐴)} ∈ 𝒫 𝑆)
28 prct 31631 . . . . 5 ((𝐴𝑆 ∧ (𝐵𝐴) ∈ 𝑆) → {𝐴, (𝐵𝐴)} ≼ ω)
295, 7, 28syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → {𝐴, (𝐵𝐴)} ≼ ω)
30 disjdifprg 31493 . . . . . 6 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → Disj 𝑦 ∈ {(𝐵𝐴), 𝐴}𝑦)
315, 4, 30syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑Disj 𝑦 ∈ {(𝐵𝐴), 𝐴}𝑦)
32 prcom 4693 . . . . . . 7 {(𝐵𝐴), 𝐴} = {𝐴, (𝐵𝐴)}
3332a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → {(𝐵𝐴), 𝐴} = {𝐴, (𝐵𝐴)})
3433disjeq1d 5078 . . . . 5 (𝜑 → (Disj 𝑦 ∈ {(𝐵𝐴), 𝐴}𝑦Disj 𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)}𝑦))
3531, 34mpbid 231 . . . 4 (𝜑Disj 𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)}𝑦)
36 measvun 32808 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ {𝐴, (𝐵𝐴)} ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ({𝐴, (𝐵𝐴)} ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)}𝑦)) → (𝑀 {𝐴, (𝐵𝐴)}) = Σ*𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)} (𝑀𝑦))
371, 27, 29, 35, 36syl112anc 1374 . . 3 (𝜑 → (𝑀 {𝐴, (𝐵𝐴)}) = Σ*𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)} (𝑀𝑦))
38 uniprg 4882 . . . . . 6 ((𝐴𝑆 ∧ (𝐵𝐴) ∈ 𝑆) → {𝐴, (𝐵𝐴)} = (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)))
395, 7, 38syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 {𝐴, (𝐵𝐴)} = (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)))
40 measssd.4 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐵)
41 undif 4441 . . . . . 6 (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = 𝐵)
4240, 41sylib 217 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = 𝐵)
4339, 42eqtrd 2776 . . . 4 (𝜑 {𝐴, (𝐵𝐴)} = 𝐵)
4443fveq2d 6846 . . 3 (𝜑 → (𝑀 {𝐴, (𝐵𝐴)}) = (𝑀𝐵))
45 fveq2 6842 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 → (𝑀𝑦) = (𝑀𝐴))
4645adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑦 = 𝐴) → (𝑀𝑦) = (𝑀𝐴))
47 fveq2 6842 . . . . 5 (𝑦 = (𝐵𝐴) → (𝑀𝑦) = (𝑀‘(𝐵𝐴)))
4847adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑦 = (𝐵𝐴)) → (𝑀𝑦) = (𝑀‘(𝐵𝐴)))
49 eqimss 4000 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = (𝐵𝐴) → 𝐴 ⊆ (𝐵𝐴))
50 ssdifeq0 4444 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ⊆ (𝐵𝐴) ↔ 𝐴 = ∅)
5149, 50sylib 217 . . . . . . . . 9 (𝐴 = (𝐵𝐴) → 𝐴 = ∅)
5251adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 = (𝐵𝐴)) → 𝐴 = ∅)
5352fveq2d 6846 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 = (𝐵𝐴)) → (𝑀𝐴) = (𝑀‘∅))
54 measvnul 32805 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → (𝑀‘∅) = 0)
551, 54syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
5655adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 = (𝐵𝐴)) → (𝑀‘∅) = 0)
5753, 56eqtrd 2776 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = (𝐵𝐴)) → (𝑀𝐴) = 0)
5857orcd 871 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = (𝐵𝐴)) → ((𝑀𝐴) = 0 ∨ (𝑀𝐴) = +∞))
5958ex 413 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 = (𝐵𝐴) → ((𝑀𝐴) = 0 ∨ (𝑀𝐴) = +∞)))
6046, 48, 5, 7, 14, 9, 59esumpr2 32666 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)} (𝑀𝑦) = ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀‘(𝐵𝐴))))
6137, 44, 603eqtr3d 2784 . 2 (𝜑 → (𝑀𝐵) = ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀‘(𝐵𝐴))))
6222, 61breqtrrd 5133 1 (𝜑 → (𝑀𝐴) ≤ (𝑀𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  cdif 3907  cun 3908  wss 3910  c0 4282  𝒫 cpw 4560  {cpr 4588   cuni 4865  Disj wdisj 5070   class class class wbr 5105  ran crn 5634  cfv 6496  (class class class)co 7357  ωcom 7802  cdom 8881  0cc0 11051  +∞cpnf 11186  *cxr 11188  cle 11190   +𝑒 cxad 13031  [,]cicc 13267  Σ*cesum 32626  sigAlgebracsiga 32707  measurescmeas 32794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-ac2 10399  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-acn 9878  df-ac 10052  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-ordt 17383  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-ps 18455  df-tsr 18456  df-plusf 18496  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-subrg 20220  df-abv 20276  df-lmod 20324  df-scaf 20325  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-tmd 23423  df-tgp 23424  df-tsms 23478  df-trg 23511  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-nm 23938  df-ngp 23939  df-nrg 23941  df-nlm 23942  df-ii 24240  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-log 25912  df-esum 32627  df-siga 32708  df-meas 32795
This theorem is referenced by:  measiun  32817  aean  32843  sibfinima  32939  prob01  33013  probinc  33021  probmeasb  33030  cndprob01  33035  dstfrvinc  33076
  Copyright terms: Public domain W3C validator