Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measssd Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem measssd 33867
Description: A measure is monotone with respect to set inclusion. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
measssd.1 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†))
measssd.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
measssd.3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑆)
measssd.4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
Assertion
Ref Expression
measssd (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΄) ≀ (π‘€β€˜π΅))
Proof of Theorem measssd
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 measssd.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†))
2 measbase 33849 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
4 measssd.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑆)
5 measssd.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
6 difelsiga 33785 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (𝐡 βˆ– 𝐴) ∈ 𝑆)
73, 4, 5, 6syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ– 𝐴) ∈ 𝑆)
8 measvxrge0 33857 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐡 βˆ– 𝐴) ∈ 𝑆) β†’ (π‘€β€˜(𝐡 βˆ– 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
91, 7, 8syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(𝐡 βˆ– 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
10 elxrge0 13474 . . . . 5 ((π‘€β€˜(𝐡 βˆ– 𝐴)) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((π‘€β€˜(𝐡 βˆ– 𝐴)) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (π‘€β€˜(𝐡 βˆ– 𝐴))))
1110simprbi 495 . . . 4 ((π‘€β€˜(𝐡 βˆ– 𝐴)) ∈ (0[,]+∞) β†’ 0 ≀ (π‘€β€˜(𝐡 βˆ– 𝐴)))
129, 11syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (π‘€β€˜(𝐡 βˆ– 𝐴)))
13 measvxrge0 33857 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (π‘€β€˜π΄) ∈ (0[,]+∞))
141, 5, 13syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΄) ∈ (0[,]+∞))
15 elxrge0 13474 . . . . . 6 ((π‘€β€˜π΄) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (π‘€β€˜π΄)))
1615simplbi 496 . . . . 5 ((π‘€β€˜π΄) ∈ (0[,]+∞) β†’ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ*)
1714, 16syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ*)
1810simplbi 496 . . . . 5 ((π‘€β€˜(𝐡 βˆ– 𝐴)) ∈ (0[,]+∞) β†’ (π‘€β€˜(𝐡 βˆ– 𝐴)) ∈ ℝ*)
199, 18syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(𝐡 βˆ– 𝐴)) ∈ ℝ*)
20 xraddge02 32547 . . . 4 (((π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ* ∧ (π‘€β€˜(𝐡 βˆ– 𝐴)) ∈ ℝ*) β†’ (0 ≀ (π‘€β€˜(𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ (π‘€β€˜π΄) ≀ ((π‘€β€˜π΄) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐡 βˆ– 𝐴)))))
2117, 19, 20syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ (0 ≀ (π‘€β€˜(𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ (π‘€β€˜π΄) ≀ ((π‘€β€˜π΄) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐡 βˆ– 𝐴)))))
2212, 21mpd 15 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΄) ≀ ((π‘€β€˜π΄) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐡 βˆ– 𝐴))))
23 prssi 4829 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝐡 βˆ– 𝐴) ∈ 𝑆) β†’ {𝐴, (𝐡 βˆ– 𝐴)} βŠ† 𝑆)
245, 7, 23syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {𝐴, (𝐡 βˆ– 𝐴)} βŠ† 𝑆)
25 prex 5438 . . . . . 6 {𝐴, (𝐡 βˆ– 𝐴)} ∈ V
2625elpw 4610 . . . . 5 ({𝐴, (𝐡 βˆ– 𝐴)} ∈ 𝒫 𝑆 ↔ {𝐴, (𝐡 βˆ– 𝐴)} βŠ† 𝑆)
2724, 26sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ {𝐴, (𝐡 βˆ– 𝐴)} ∈ 𝒫 𝑆)
28 prct 32517 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝐡 βˆ– 𝐴) ∈ 𝑆) β†’ {𝐴, (𝐡 βˆ– 𝐴)} β‰Ό Ο‰)
295, 7, 28syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ {𝐴, (𝐡 βˆ– 𝐴)} β‰Ό Ο‰)
30 disjdifprg 32386 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) β†’ Disj 𝑦 ∈ {(𝐡 βˆ– 𝐴), 𝐴}𝑦)
315, 4, 30syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Disj 𝑦 ∈ {(𝐡 βˆ– 𝐴), 𝐴}𝑦)
32 prcom 4741 . . . . . . 7 {(𝐡 βˆ– 𝐴), 𝐴} = {𝐴, (𝐡 βˆ– 𝐴)}
3332a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {(𝐡 βˆ– 𝐴), 𝐴} = {𝐴, (𝐡 βˆ– 𝐴)})
3433disjeq1d 5125 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Disj 𝑦 ∈ {(𝐡 βˆ– 𝐴), 𝐴}𝑦 ↔ Disj 𝑦 ∈ {𝐴, (𝐡 βˆ– 𝐴)}𝑦))
3531, 34mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ Disj 𝑦 ∈ {𝐴, (𝐡 βˆ– 𝐴)}𝑦)
36 measvun 33861 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ {𝐴, (𝐡 βˆ– 𝐴)} ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ({𝐴, (𝐡 βˆ– 𝐴)} β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ {𝐴, (𝐡 βˆ– 𝐴)}𝑦)) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ {𝐴, (𝐡 βˆ– 𝐴)}) = Ξ£*𝑦 ∈ {𝐴, (𝐡 βˆ– 𝐴)} (π‘€β€˜π‘¦))
371, 27, 29, 35, 36syl112anc 1371 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆͺ {𝐴, (𝐡 βˆ– 𝐴)}) = Ξ£*𝑦 ∈ {𝐴, (𝐡 βˆ– 𝐴)} (π‘€β€˜π‘¦))
38 uniprg 4928 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝐡 βˆ– 𝐴) ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ {𝐴, (𝐡 βˆ– 𝐴)} = (𝐴 βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝐴)))
395, 7, 38syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆͺ {𝐴, (𝐡 βˆ– 𝐴)} = (𝐴 βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝐴)))
40 measssd.4 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
41 undif 4485 . . . . . 6 (𝐴 βŠ† 𝐡 ↔ (𝐴 βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝐴)) = 𝐡)
4240, 41sylib 217 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝐴)) = 𝐡)
4339, 42eqtrd 2768 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ {𝐴, (𝐡 βˆ– 𝐴)} = 𝐡)
4443fveq2d 6906 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆͺ {𝐴, (𝐡 βˆ– 𝐴)}) = (π‘€β€˜π΅))
45 fveq2 6902 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 β†’ (π‘€β€˜π‘¦) = (π‘€β€˜π΄))
4645adantl 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 = 𝐴) β†’ (π‘€β€˜π‘¦) = (π‘€β€˜π΄))
47 fveq2 6902 . . . . 5 (𝑦 = (𝐡 βˆ– 𝐴) β†’ (π‘€β€˜π‘¦) = (π‘€β€˜(𝐡 βˆ– 𝐴)))
4847adantl 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 = (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ (π‘€β€˜π‘¦) = (π‘€β€˜(𝐡 βˆ– 𝐴)))
49 eqimss 4040 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = (𝐡 βˆ– 𝐴) β†’ 𝐴 βŠ† (𝐡 βˆ– 𝐴))
50 ssdifeq0 4490 . . . . . . . . . 10 (𝐴 βŠ† (𝐡 βˆ– 𝐴) ↔ 𝐴 = βˆ…)
5149, 50sylib 217 . . . . . . . . 9 (𝐴 = (𝐡 βˆ– 𝐴) β†’ 𝐴 = βˆ…)
5251adantl 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ 𝐴 = βˆ…)
5352fveq2d 6906 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ (π‘€β€˜π΄) = (π‘€β€˜βˆ…))
54 measvnul 33858 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ (π‘€β€˜βˆ…) = 0)
551, 54syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆ…) = 0)
5655adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ (π‘€β€˜βˆ…) = 0)
5753, 56eqtrd 2768 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ (π‘€β€˜π΄) = 0)
5857orcd 871 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ ((π‘€β€˜π΄) = 0 ∨ (π‘€β€˜π΄) = +∞))
5958ex 411 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 = (𝐡 βˆ– 𝐴) β†’ ((π‘€β€˜π΄) = 0 ∨ (π‘€β€˜π΄) = +∞)))
6046, 48, 5, 7, 14, 9, 59esumpr2 33719 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£*𝑦 ∈ {𝐴, (𝐡 βˆ– 𝐴)} (π‘€β€˜π‘¦) = ((π‘€β€˜π΄) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐡 βˆ– 𝐴))))
6137, 44, 603eqtr3d 2776 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΅) = ((π‘€β€˜π΄) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐡 βˆ– 𝐴))))
6222, 61breqtrrd 5180 1 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΄) ≀ (π‘€β€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4326  π’« cpw 4606  {cpr 4634  βˆͺ cuni 4912  Disj wdisj 5117   class class class wbr 5152  ran crn 5683  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Ο‰com 7876   β‰Ό cdom 8968  0cc0 11146  +∞cpnf 11283  β„*cxr 11285   ≀ cle 11287   +𝑒 cxad 13130  [,]cicc 13367  Ξ£*cesum 33679  sigAlgebracsiga 33760  measurescmeas 33847
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-ac2 10494  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225  ax-mulf 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-disj 5118  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-dju 9932  df-card 9970  df-acn 9973  df-ac 10147  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13368  df-ioc 13369  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-mod 13875  df-seq 14007  df-exp 14067  df-fac 14273  df-bc 14302  df-hash 14330  df-shft 15054  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-limsup 15455  df-clim 15472  df-rlim 15473  df-sum 15673  df-ef 16051  df-sin 16053  df-cos 16054  df-pi 16056  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-hom 17264  df-cco 17265  df-rest 17411  df-topn 17412  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-topgen 17432  df-pt 17433  df-prds 17436  df-ordt 17490  df-xrs 17491  df-qtop 17496  df-imas 17497  df-xps 17499  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-ps 18565  df-tsr 18566  df-plusf 18606  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mhm 18747  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-mulg 19031  df-subg 19085  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-subrng 20490  df-subrg 20515  df-abv 20704  df-lmod 20752  df-scaf 20753  df-sra 21065  df-rgmod 21066  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-fbas 21283  df-fg 21284  df-cnfld 21287  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22869  df-cld 22943  df-ntr 22944  df-cls 22945  df-nei 23022  df-lp 23060  df-perf 23061  df-cn 23151  df-cnp 23152  df-haus 23239  df-tx 23486  df-hmeo 23679  df-fil 23770  df-fm 23862  df-flim 23863  df-flf 23864  df-tmd 23996  df-tgp 23997  df-tsms 24051  df-trg 24084  df-xms 24246  df-ms 24247  df-tms 24248  df-nm 24511  df-ngp 24512  df-nrg 24514  df-nlm 24515  df-ii 24817  df-cncf 24818  df-limc 25815  df-dv 25816  df-log 26510  df-esum 33680  df-siga 33761  df-meas 33848
This theorem is referenced by:  measiun  33870  aean  33896  sibfinima  33992  prob01  34066  probinc  34074  probmeasb  34083  cndprob01  34088  dstfrvinc  34129
  Copyright terms: Public domain W3C validator