Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measssd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem measssd 30618
Description: A measure is monotone with respect to set inclusion. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
measssd.1 (𝜑𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
measssd.2 (𝜑𝐴𝑆)
measssd.3 (𝜑𝐵𝑆)
measssd.4 (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
measssd (𝜑 → (𝑀𝐴) ≤ (𝑀𝐵))

Proof of Theorem measssd
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 measssd.1 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
2 measbase 30600 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ran sigAlgebra)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ran sigAlgebra)
4 measssd.3 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑆)
5 measssd.2 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑆)
6 difelsiga 30536 . . . . . 6 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝐵𝑆𝐴𝑆) → (𝐵𝐴) ∈ 𝑆)
73, 4, 5, 6syl3anc 1476 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ 𝑆)
8 measvxrge0 30608 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐵𝐴) ∈ 𝑆) → (𝑀‘(𝐵𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
91, 7, 8syl2anc 573 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝐵𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
10 elxrge0 12488 . . . . 5 ((𝑀‘(𝐵𝐴)) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑀‘(𝐵𝐴)) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑀‘(𝐵𝐴))))
1110simprbi 484 . . . 4 ((𝑀‘(𝐵𝐴)) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝑀‘(𝐵𝐴)))
129, 11syl 17 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ (𝑀‘(𝐵𝐴)))
13 measvxrge0 30608 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) → (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
141, 5, 13syl2anc 573 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
15 elxrge0 12488 . . . . . 6 ((𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑀𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑀𝐴)))
1615simplbi 485 . . . . 5 ((𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞) → (𝑀𝐴) ∈ ℝ*)
1714, 16syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ ℝ*)
1810simplbi 485 . . . . 5 ((𝑀‘(𝐵𝐴)) ∈ (0[,]+∞) → (𝑀‘(𝐵𝐴)) ∈ ℝ*)
199, 18syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝐵𝐴)) ∈ ℝ*)
20 xraddge02 29861 . . . 4 (((𝑀𝐴) ∈ ℝ* ∧ (𝑀‘(𝐵𝐴)) ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝑀‘(𝐵𝐴)) → (𝑀𝐴) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀‘(𝐵𝐴)))))
2117, 19, 20syl2anc 573 . . 3 (𝜑 → (0 ≤ (𝑀‘(𝐵𝐴)) → (𝑀𝐴) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀‘(𝐵𝐴)))))
2212, 21mpd 15 . 2 (𝜑 → (𝑀𝐴) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀‘(𝐵𝐴))))
23 prssi 4488 . . . . . 6 ((𝐴𝑆 ∧ (𝐵𝐴) ∈ 𝑆) → {𝐴, (𝐵𝐴)} ⊆ 𝑆)
245, 7, 23syl2anc 573 . . . . 5 (𝜑 → {𝐴, (𝐵𝐴)} ⊆ 𝑆)
25 prex 5038 . . . . . 6 {𝐴, (𝐵𝐴)} ∈ V
2625elpw 4304 . . . . 5 ({𝐴, (𝐵𝐴)} ∈ 𝒫 𝑆 ↔ {𝐴, (𝐵𝐴)} ⊆ 𝑆)
2724, 26sylibr 224 . . . 4 (𝜑 → {𝐴, (𝐵𝐴)} ∈ 𝒫 𝑆)
28 prct 29832 . . . . 5 ((𝐴𝑆 ∧ (𝐵𝐴) ∈ 𝑆) → {𝐴, (𝐵𝐴)} ≼ ω)
295, 7, 28syl2anc 573 . . . 4 (𝜑 → {𝐴, (𝐵𝐴)} ≼ ω)
30 disjdifprg 29726 . . . . . 6 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → Disj 𝑦 ∈ {(𝐵𝐴), 𝐴}𝑦)
315, 4, 30syl2anc 573 . . . . 5 (𝜑Disj 𝑦 ∈ {(𝐵𝐴), 𝐴}𝑦)
32 prcom 4404 . . . . . . 7 {(𝐵𝐴), 𝐴} = {𝐴, (𝐵𝐴)}
3332a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → {(𝐵𝐴), 𝐴} = {𝐴, (𝐵𝐴)})
3433disjeq1d 4763 . . . . 5 (𝜑 → (Disj 𝑦 ∈ {(𝐵𝐴), 𝐴}𝑦Disj 𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)}𝑦))
3531, 34mpbid 222 . . . 4 (𝜑Disj 𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)}𝑦)
36 measvun 30612 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ {𝐴, (𝐵𝐴)} ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ({𝐴, (𝐵𝐴)} ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)}𝑦)) → (𝑀 {𝐴, (𝐵𝐴)}) = Σ*𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)} (𝑀𝑦))
371, 27, 29, 35, 36syl112anc 1480 . . 3 (𝜑 → (𝑀 {𝐴, (𝐵𝐴)}) = Σ*𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)} (𝑀𝑦))
38 uniprg 4589 . . . . . 6 ((𝐴𝑆 ∧ (𝐵𝐴) ∈ 𝑆) → {𝐴, (𝐵𝐴)} = (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)))
395, 7, 38syl2anc 573 . . . . 5 (𝜑 {𝐴, (𝐵𝐴)} = (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)))
40 measssd.4 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐵)
41 undif 4192 . . . . . 6 (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = 𝐵)
4240, 41sylib 208 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = 𝐵)
4339, 42eqtrd 2805 . . . 4 (𝜑 {𝐴, (𝐵𝐴)} = 𝐵)
4443fveq2d 6337 . . 3 (𝜑 → (𝑀 {𝐴, (𝐵𝐴)}) = (𝑀𝐵))
45 fveq2 6333 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 → (𝑀𝑦) = (𝑀𝐴))
4645adantl 467 . . . 4 ((𝜑𝑦 = 𝐴) → (𝑀𝑦) = (𝑀𝐴))
47 fveq2 6333 . . . . 5 (𝑦 = (𝐵𝐴) → (𝑀𝑦) = (𝑀‘(𝐵𝐴)))
4847adantl 467 . . . 4 ((𝜑𝑦 = (𝐵𝐴)) → (𝑀𝑦) = (𝑀‘(𝐵𝐴)))
49 eqimss 3806 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = (𝐵𝐴) → 𝐴 ⊆ (𝐵𝐴))
50 ssdifeq0 4194 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ⊆ (𝐵𝐴) ↔ 𝐴 = ∅)
5149, 50sylib 208 . . . . . . . . 9 (𝐴 = (𝐵𝐴) → 𝐴 = ∅)
5251adantl 467 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 = (𝐵𝐴)) → 𝐴 = ∅)
5352fveq2d 6337 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 = (𝐵𝐴)) → (𝑀𝐴) = (𝑀‘∅))
54 measvnul 30609 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → (𝑀‘∅) = 0)
551, 54syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
5655adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 = (𝐵𝐴)) → (𝑀‘∅) = 0)
5753, 56eqtrd 2805 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = (𝐵𝐴)) → (𝑀𝐴) = 0)
5857orcd 862 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = (𝐵𝐴)) → ((𝑀𝐴) = 0 ∨ (𝑀𝐴) = +∞))
5958ex 397 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 = (𝐵𝐴) → ((𝑀𝐴) = 0 ∨ (𝑀𝐴) = +∞)))
6046, 48, 5, 7, 14, 9, 59esumpr2 30469 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑦 ∈ {𝐴, (𝐵𝐴)} (𝑀𝑦) = ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀‘(𝐵𝐴))))
6137, 44, 603eqtr3d 2813 . 2 (𝜑 → (𝑀𝐵) = ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀‘(𝐵𝐴))))
6222, 61breqtrrd 4815 1 (𝜑 → (𝑀𝐴) ≤ (𝑀𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wo 836   = wceq 1631  wcel 2145  cdif 3720  cun 3721  wss 3723  c0 4063  𝒫 cpw 4298  {cpr 4319   cuni 4575  Disj wdisj 4755   class class class wbr 4787  ran crn 5251  cfv 6030  (class class class)co 6796  ωcom 7216  cdom 8111  0cc0 10142  +∞cpnf 10277  *cxr 10279  cle 10281   +𝑒 cxad 12149  [,]cicc 12383  Σ*cesum 30429  sigAlgebracsiga 30510  measurescmeas 30598
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-ac2 9491  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220  ax-addf 10221  ax-mulf 10222
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-disj 4756  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-of 7048  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-supp 7451  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-pm 8016  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8436  df-fi 8477  df-sup 8508  df-inf 8509  df-oi 8575  df-card 8969  df-acn 8972  df-ac 9143  df-cda 9196  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-q 11997  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-ioc 12385  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14015  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-limsup 14410  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625  df-ef 15004  df-sin 15006  df-cos 15007  df-pi 15009  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-ordt 16369  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-ps 17408  df-tsr 17409  df-plusf 17449  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mhm 17543  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-mulg 17749  df-subg 17799  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-cring 18758  df-subrg 18988  df-abv 19027  df-lmod 19075  df-scaf 19076  df-sra 19387  df-rgmod 19388  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-fbas 19958  df-fg 19959  df-cnfld 19962  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cld 21044  df-ntr 21045  df-cls 21046  df-nei 21123  df-lp 21161  df-perf 21162  df-cn 21252  df-cnp 21253  df-haus 21340  df-tx 21586  df-hmeo 21779  df-fil 21870  df-fm 21962  df-flim 21963  df-flf 21964  df-tmd 22096  df-tgp 22097  df-tsms 22150  df-trg 22183  df-xms 22345  df-ms 22346  df-tms 22347  df-nm 22607  df-ngp 22608  df-nrg 22610  df-nlm 22611  df-ii 22900  df-cncf 22901  df-limc 23850  df-dv 23851  df-log 24524  df-esum 30430  df-siga 30511  df-meas 30599
This theorem is referenced by:  measiun  30621  aean  30647  sibfinima  30741  prob01  30815  probinc  30823  probmeasb  30832  cndprob01  30837  dstfrvinc  30878
  Copyright terms: Public domain W3C validator