Theorem difexg 5266

Description: Existence of a difference. (Contributed by NM, 26-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
difexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem difexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difss 4077	. 2 ⊢ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴
2		ssexg 5260	. 2 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ V)
3	1, 2	mpan 691	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ∖ cdif 3887   ⊆ wss 3890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-3an 1089  df-tru 1545  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-in 3897  df-ss 3907

This theorem is referenced by:  difexi  5267  difexd  5268  difex2  7707  elpwun  7716  2oconcl  8431  fnoe  8438  difsnen  8990  fodomr  9059  domss2  9067  domssex2  9068  domssex  9069  limenpsi  9083  dif1enlem  9087  sucdom2  9130  brwdom2  9481  infeq5i  9548  infdifsn  9569  dfac8clem  9945  ssfin4  10223  isf34lem1  10285  compssiso  10287  fin1a2lem7  10319  fin1a2lem13  10325  fpwwe2lem12  10556  hashgt23el  14377  pmtrfv  19418  isirred  20390  isdrng2  20711  drngmclOLD  20719  drngid2  20720  isdrngd  20733  isdrngdOLD  20735  subdrgint  20771  cnmsubglem  21420  islindf4  21828  smadiadetlem1a  22638  basdif0  22928  tgdif0  22967  clsval2  23025  cmpcld  23377  ptcmplem2  24028  iunmbl  25530  logbfval  26767  nbfusgrlevtxm2  29461  vtxdginducedm1  29627  frgrwopreglem1  30397  eigvecval  31982  elpwdifcl  32611  disjdifprg  32660  mptiffisupp  32781  resf1o  32818  xrge00  33089  xrge0tsmsd  33149  tocycf  33193  ist0cld  33993  locfinref  34001  ldsysgenld  34320  sigapildsys  34322  carsgclctun  34481  sitgclg  34502  ballotlemfrc  34687  ballotlem8  34697  bnj852  35079  bnj865  35081  subfacp1lem5  35382  iscvm  35457  cvmsval  35464  mdvval  35702  ttcwf2  36723  topdifinffinlem  37677  pibt2  37747  poimirlem15  37970  voliunnfl  37999  fdc  38080  isdrngo2  38293  lzenom  43216  diophin  43218  diophren  43259  deg1mhm  43646  stoweidlem57  46503  fourierdlem102  46654  fourierdlem114  46666  pwsal  46761  gsumge0cl  46817  caragendifcl  46960  carageniuncllem1  46967  isomenndlem  46976  hoidmv1lelem2  47038  lincdifsn  48912  lindslinindsimp1  48945  lindslinindimp2lem2  48947  lindslinindimp2lem4  48949  lindslinindsimp2lem5  48950  lindslinindsimp2  48951  lincresunit1  48965  lincresunit2  48966  lincresunit3lem2  48968  lincresunit3  48969