Theorem difexg 5326

Description: Existence of a difference. (Contributed by NM, 26-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
difexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem difexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difss 4128	. 2 ⊢ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴
2		ssexg 5320	. 2 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ V)
3	1, 2	mpan 688	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2099  Vcvv 3462   ∖ cdif 3943   ⊆ wss 3946

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-ext 2697  ax-sep 5296

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-3an 1086  df-tru 1537  df-ex 1775  df-sb 2061  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-rab 3420  df-v 3464  df-dif 3949  df-in 3953  df-ss 3963

This theorem is referenced by:  difexi  5327  difexd  5328  difex2  7760  elpwun  7769  2oconcl  8525  fnoe  8532  difsnen  9083  sucdom2OLD  9112  fodomr  9158  domss2  9166  domssex2  9167  domssex  9168  limenpsi  9182  dif1enlem  9186  sucdom2  9233  brwdom2  9609  infeq5i  9672  infdifsn  9693  dfac8clem  10068  ssfin4  10344  isf34lem1  10406  compssiso  10408  fin1a2lem7  10440  fin1a2lem13  10446  fpwwe2lem12  10676  hashgt23el  14436  hashf1lem1OLD  14469  pmtrfv  19446  isirred  20397  isdrng2  20717  drngmclOLD  20725  drngid2  20726  isdrngd  20739  isdrngdOLD  20741  subdrgint  20778  cnmsubglem  21423  islindf4  21832  smadiadetlem1a  22653  basdif0  22944  tgdif0  22983  clsval2  23042  cmpcld  23394  ptcmplem2  24045  iunmbl  25570  tdeglem4OLD  26084  logbfval  26815  nbfusgrlevtxm2  29311  vtxdginducedm1  29477  frgrwopreglem1  30242  eigvecval  31826  elpwdifcl  32454  disjdifprg  32495  mptiffisupp  32605  padct  32633  resf1o  32644  xrge00  32898  xrge0tsmsd  32930  tocycf  32999  ist0cld  33661  locfinref  33669  ldsysgenld  34006  sigapildsys  34008  carsgclctun  34168  sitgclg  34189  ballotlemfrc  34373  ballotlem8  34383  bnj852  34779  bnj865  34781  subfacp1lem5  35025  iscvm  35100  cvmsval  35107  mdvval  35345  topdifinffinlem  37067  pibt2  37137  poimirlem15  37349  voliunnfl  37378  fdc  37459  isdrngo2  37672  lzenom  42464  diophin  42466  diophren  42507  deg1mhm  42902  stoweidlem57  45714  fourierdlem102  45865  fourierdlem114  45877  pwsal  45972  gsumge0cl  46028  caragendifcl  46171  carageniuncllem1  46178  isomenndlem  46187  hoidmv1lelem2  46249  lincdifsn  47843  lindslinindsimp1  47876  lindslinindimp2lem2  47878  lindslinindimp2lem4  47880  lindslinindsimp2lem5  47881  lindslinindsimp2  47882  lincresunit1  47896  lincresunit2  47897  lincresunit3lem2  47899  lincresunit3  47900