Theorem difexg 5296

Description: Existence of a difference. (Contributed by NM, 26-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
difexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem difexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difss 4075	. 2 ⊢ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴
2		ssexg 5286	. 2 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ V)
3	1, 2	mpan 703	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5253

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-3an 1105  df-tru 1573  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094

This theorem is used by:  difexi  5297  difexd  5298  difex2  7804  elpwun  7813  2oconcl  8547  fnoe  8554  difsnen  9114  fodomr  9183  domss2  9191  domssex2  9192  domssex  9193  limenpsi  9207  dif1enlem  9211  sucdom2  9254  brwdom2  9602  infeq5i  9672  infdifsn  9693  dfac8clem  10148  ssfin4  10425  isf34lem1  10487  compssiso  10489  fin1a2lem7  10521  fin1a2lem13  10527  fpwwe2lem12  10764  hashgt23el  14608  pmtrfv  19708  isirred  20691  isdrng2  21039  drngid2  21052  isdrngd  21064  isdrngdOLD  21066  subdrgint  21102  cnmsubglem  21780  islindf4  22188  smadiadetlem1a  23022  basdif0  23315  tgdif0  23354  clsval2  23412  cmpcld  23764  ptcmplem2  24416  iunmbl  25918  logbfval  27164  nbfusgrlevtxm2  30005  vtxdginducedm1  30170  frgrwopreglem1  30959  eigvecval  32544  elpwdifcl  33210  disjdifprg  33257  mptiffisupp  33373  resf1o  33408  xrge00  33664  xrge0tsmsd  33723  tocycf  33767  ist0cld  34569  locfinref  34577  ldsysgenld  34897  sigapildsys  34899  carsgclctun  35057  sitgclg  35078  ballotlemfrc  35263  ballotlem8  35273  bnj852  35655  bnj865  35657  subfacp1lem5  36150  iscvm  36225  cvmsval  36232  mdvval  36470  ttcwf2  37521  topdifinffinlem  38531  pibt2  38601  poimirlem15  38814  voliunnfl  38843  fdc  38938  isdrngo2  39151  lzenom  44041  diophin  44043  diophren  44080  deg1mhm  44457  stoweidlem57  47334  fourierdlem102  47485  fourierdlem114  47497  pwsal  47592  gsumge0cl  47648  caragendifcl  47791  carageniuncllem1  47798  isomenndlem  47807  hoidmv1lelem2  47869  lincdifsn  49861  lindslinindsimp1  49894  lindslinindimp2lem2  49896  lindslinindimp2lem4  49898  lindslinindsimp2lem5  49899  lindslinindsimp2  49900  lincresunit1  49914  lincresunit2  49915  lincresunit3lem2  49917  lincresunit3  49918