Theorem dif0 4332

Description: The difference between a class and the empty set. Part of Exercise 4.4 of [Stoll] p. 16. (Contributed by NM, 17-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
dif0	⊢ (𝐴 ∖ ∅) = 𝐴

Proof of Theorem dif0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difid 4330	. . 3 ⊢ (𝐴 ∖ 𝐴) = ∅
2	1	difeq2i 4077	. 2 ⊢ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝐴)) = (𝐴 ∖ ∅)
3		difdif 4089	. 2 ⊢ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝐴)) = 𝐴
4	2, 3	eqtr3i 2762	1 ⊢ (𝐴 ∖ ∅) = 𝐴

Syntax hints:   = wceq 1542   ∖ cdif 3900  ∅c0 4287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-nul 4288

This theorem is referenced by:  unvdif  4429  disjdif2  4434  csbdif  4480  iinvdif  5037  symdif0  5042  dffv2  6937  2oconcl  8440  oe0m0  8457  oev2  8460  infdiffi  9579  cnfcom2lem  9622  brttrcl2  9635  ttrcltr  9637  rnttrcl  9643  m1bits  16379  mreexdomd  17584  efgi0  19661  vrgpinv  19710  frgpuptinv  19712  frgpnabllem1  19814  gsumval3  19848  gsumcllem  19849  dprddisj2  19982  0cld  22994  indiscld  23047  mretopd  23048  hauscmplem  23362  cfinfil  23849  csdfil  23850  filufint  23876  bcth3  25299  rembl  25509  volsup  25525  new0  27872  disjdifprg  32661  indconst0  32949  tocycf  33210  tocyc01  33211  prsiga  34308  sigapildsyslem  34338  sigapildsys  34339  sxbrsigalem3  34449  0elcarsg  34484  carsgclctunlem3  34497  onint1  36662  lindsdom  37862  oe0rif  43639  tfsconcat0i  43699  ntrclscls00  44419  ntrclskb  44422  compne  44793  prsal  46673  saluni  46680  caragen0  46861  carageniuncllem1  46876  iscnrm3rlem4  49299  aacllem  50157