Theorem disjdmqs 38802

Description: If a relation is disjoint, its domain quotient is equal to the domain quotient of the cosets by it. Lemma for partim2 38805 and petlem 38810 via disjdmqseq 38803. (Contributed by Peter Mazsa, 16-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
disjdmqs	⊢ ( Disj 𝑅 → (dom 𝑅 / 𝑅) = (dom ≀ 𝑅 / ≀ 𝑅))

Proof of Theorem disjdmqs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		disjdmqsss 38800	. 2 ⊢ ( Disj 𝑅 → (dom 𝑅 / 𝑅) ⊆ (dom ≀ 𝑅 / ≀ 𝑅))
2		disjdmqscossss 38801	. 2 ⊢ ( Disj 𝑅 → (dom ≀ 𝑅 / ≀ 𝑅) ⊆ (dom 𝑅 / 𝑅))
3	1, 2	eqssd 3953	1 ⊢ ( Disj 𝑅 → (dom 𝑅 / 𝑅) = (dom ≀ 𝑅 / ≀ 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540  dom cdm 5619   / cqs 8624   ≀ ccoss 38175   Disj wdisjALTV 38209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-rab 3395  df-v 3438  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-br 5093  df-opab 5155  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-ec 8627  df-qs 8631  df-coss 38408  df-cnvrefrel 38524  df-disjALTV 38703

This theorem is referenced by:  disjdmqseq  38803