Theorem disjdmqs 39079

Description: If a relation is disjoint, its domain quotient is equal to the domain quotient of the cosets by it. Lemma for partim2 39082 and petlem 39087 via disjdmqseq 39080. (Contributed by Peter Mazsa, 16-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
disjdmqs	⊢ ( Disj 𝑅 → (dom 𝑅 / 𝑅) = (dom ≀ 𝑅 / ≀ 𝑅))

Proof of Theorem disjdmqs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		disjdmqsss 39077	. 2 ⊢ ( Disj 𝑅 → (dom 𝑅 / 𝑅) ⊆ (dom ≀ 𝑅 / ≀ 𝑅))
2		disjdmqscossss 39078	. 2 ⊢ ( Disj 𝑅 → (dom ≀ 𝑅 / ≀ 𝑅) ⊆ (dom 𝑅 / 𝑅))
3	1, 2	eqssd 3952	1 ⊢ ( Disj 𝑅 → (dom 𝑅 / 𝑅) = (dom ≀ 𝑅 / ≀ 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542  dom cdm 5625   / cqs 8636   ≀ ccoss 38355   Disj wdisjALTV 38391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pr 5378

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-rab 3401  df-v 3443  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-br 5100  df-opab 5162  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-ec 8639  df-qs 8643  df-coss 38673  df-cnvrefrel 38779  df-disjALTV 38962

This theorem is referenced by:  disjdmqseq  39080  disjimeldisjdmqs  39105