Theorem partim2 39005

Description: Disjoint relation on its natural domain implies an equivalence relation on the cosets of the relation, on its natural domain, cf. partim 39006. Lemma for petlem 39010. (Contributed by Peter Mazsa, 17-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
partim2	⊢ (( Disj 𝑅 ∧ (dom 𝑅 / 𝑅) = 𝐴) → ( EqvRel ≀ 𝑅 ∧ (dom ≀ 𝑅 / ≀ 𝑅) = 𝐴))

Proof of Theorem partim2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		disjim 38979	. . 3 ⊢ ( Disj 𝑅 → EqvRel ≀ 𝑅)
2	1	adantr 480	. 2 ⊢ (( Disj 𝑅 ∧ (dom 𝑅 / 𝑅) = 𝐴) → EqvRel ≀ 𝑅)
3		disjdmqseq 39003	. . 3 ⊢ ( Disj 𝑅 → ((dom 𝑅 / 𝑅) = 𝐴 ↔ (dom ≀ 𝑅 / ≀ 𝑅) = 𝐴))
4	3	biimpa 476	. 2 ⊢ (( Disj 𝑅 ∧ (dom 𝑅 / 𝑅) = 𝐴) → (dom ≀ 𝑅 / ≀ 𝑅) = 𝐴)
5	2, 4	jca 511	1 ⊢ (( Disj 𝑅 ∧ (dom 𝑅 / 𝑅) = 𝐴) → ( EqvRel ≀ 𝑅 ∧ (dom ≀ 𝑅 / ≀ 𝑅) = 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541  dom cdm 5622   / cqs 8632   ≀ ccoss 38322   EqvRel weqvrel 38339   Disj wdisjALTV 38356

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-rab 3398  df-v 3440  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-br 5097  df-opab 5159  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-ec 8635  df-qs 8639  df-coss 38613  df-refrel 38704  df-cnvrefrel 38719  df-symrel 38736  df-trrel 38770  df-eqvrel 38781  df-disjALTV 38903

This theorem is referenced by:  partim  39006  petlem  39010