Theorem partim2 38763

Description: Disjoint relation on its natural domain implies an equivalence relation on the cosets of the relation, on its natural domain, cf. partim 38764. Lemma for petlem 38768. (Contributed by Peter Mazsa, 17-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
partim2	⊢ (( Disj 𝑅 ∧ (dom 𝑅 / 𝑅) = 𝐴) → ( EqvRel ≀ 𝑅 ∧ (dom ≀ 𝑅 / ≀ 𝑅) = 𝐴))

Proof of Theorem partim2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		disjim 38737	. . 3 ⊢ ( Disj 𝑅 → EqvRel ≀ 𝑅)
2	1	adantr 480	. 2 ⊢ (( Disj 𝑅 ∧ (dom 𝑅 / 𝑅) = 𝐴) → EqvRel ≀ 𝑅)
3		disjdmqseq 38761	. . 3 ⊢ ( Disj 𝑅 → ((dom 𝑅 / 𝑅) = 𝐴 ↔ (dom ≀ 𝑅 / ≀ 𝑅) = 𝐴))
4	3	biimpa 476	. 2 ⊢ (( Disj 𝑅 ∧ (dom 𝑅 / 𝑅) = 𝐴) → (dom ≀ 𝑅 / ≀ 𝑅) = 𝐴)
5	2, 4	jca 511	1 ⊢ (( Disj 𝑅 ∧ (dom 𝑅 / 𝑅) = 𝐴) → ( EqvRel ≀ 𝑅 ∧ (dom ≀ 𝑅 / ≀ 𝑅) = 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537  dom cdm 5700   / cqs 8762   ≀ ccoss 38135   EqvRel weqvrel 38152   Disj wdisjALTV 38169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-br 5167  df-opab 5229  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-ec 8765  df-qs 8769  df-coss 38367  df-refrel 38468  df-cnvrefrel 38483  df-symrel 38500  df-trrel 38530  df-eqvrel 38541  df-disjALTV 38661

This theorem is referenced by:  partim  38764  petlem  38768