MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ram0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ram0 16345
Description: The Ramsey number when 𝑅 = ∅. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ram0 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 Ramsey ∅) = 𝑀)

Proof of Theorem ram0
Dummy variables 𝑏 𝑓 𝑐 𝑠 𝑥 𝑎 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2824 . . 3 (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖}) = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
2 id 22 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0)
3 0ex 5192 . . . 4 ∅ ∈ V
43a1i 11 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ0 → ∅ ∈ V)
5 f0 6541 . . . 4 ∅:∅⟶ℕ0
65a1i 11 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ0 → ∅:∅⟶ℕ0)
7 f00 6542 . . . . 5 (𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶∅ ↔ (𝑓 = ∅ ∧ (𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = ∅))
8 vex 3482 . . . . . . . . . 10 𝑠 ∈ V
9 simpl 486 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
101hashbcval 16325 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ∣ (♯‘𝑥) = 𝑀})
118, 9, 10sylancr 590 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → (𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ∣ (♯‘𝑥) = 𝑀})
12 hashfz1 13700 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑀)) = 𝑀)
1312breq1d 5057 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((♯‘(1...𝑀)) ≤ (♯‘𝑠) ↔ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)))
1413biimpar 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → (♯‘(1...𝑀)) ≤ (♯‘𝑠))
15 fzfid 13334 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → (1...𝑀) ∈ Fin)
16 hashdom 13734 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1...𝑀) ∈ Fin ∧ 𝑠 ∈ V) → ((♯‘(1...𝑀)) ≤ (♯‘𝑠) ↔ (1...𝑀) ≼ 𝑠))
1715, 8, 16sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → ((♯‘(1...𝑀)) ≤ (♯‘𝑠) ↔ (1...𝑀) ≼ 𝑠))
1814, 17mpbid 235 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → (1...𝑀) ≼ 𝑠)
198domen 8505 . . . . . . . . . . . . 13 ((1...𝑀) ≼ 𝑠 ↔ ∃𝑥((1...𝑀) ≈ 𝑥𝑥𝑠))
2018, 19sylib 221 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → ∃𝑥((1...𝑀) ≈ 𝑥𝑥𝑠))
21 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) ∧ ((1...𝑀) ≈ 𝑥𝑥𝑠)) → 𝑥𝑠)
22 velpw 4525 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑠𝑥𝑠)
2321, 22sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) ∧ ((1...𝑀) ≈ 𝑥𝑥𝑠)) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑠)
24 hasheni 13702 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1...𝑀) ≈ 𝑥 → (♯‘(1...𝑀)) = (♯‘𝑥))
2524ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) ∧ ((1...𝑀) ≈ 𝑥𝑥𝑠)) → (♯‘(1...𝑀)) = (♯‘𝑥))
2612ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) ∧ ((1...𝑀) ≈ 𝑥𝑥𝑠)) → (♯‘(1...𝑀)) = 𝑀)
2725, 26eqtr3d 2861 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) ∧ ((1...𝑀) ≈ 𝑥𝑥𝑠)) → (♯‘𝑥) = 𝑀)
2823, 27jca 515 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) ∧ ((1...𝑀) ≈ 𝑥𝑥𝑠)) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ∧ (♯‘𝑥) = 𝑀))
2928ex 416 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → (((1...𝑀) ≈ 𝑥𝑥𝑠) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ∧ (♯‘𝑥) = 𝑀)))
3029eximdv 1919 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → (∃𝑥((1...𝑀) ≈ 𝑥𝑥𝑠) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ∧ (♯‘𝑥) = 𝑀)))
3120, 30mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ∧ (♯‘𝑥) = 𝑀))
32 df-rex 3138 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠(♯‘𝑥) = 𝑀 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ∧ (♯‘𝑥) = 𝑀))
3331, 32sylibr 237 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠(♯‘𝑥) = 𝑀)
34 rabn0 4320 . . . . . . . . . 10 ({𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ∣ (♯‘𝑥) = 𝑀} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠(♯‘𝑥) = 𝑀)
3533, 34sylibr 237 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ∣ (♯‘𝑥) = 𝑀} ≠ ∅)
3611, 35eqnetrd 3080 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → (𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ≠ ∅)
3736neneqd 3018 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → ¬ (𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = ∅)
3837pm2.21d 121 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → ((𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = ∅ → ∃𝑐 ∈ ∅ ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((∅‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝑐}))))
3938adantld 494 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → ((𝑓 = ∅ ∧ (𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = ∅) → ∃𝑐 ∈ ∅ ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((∅‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝑐}))))
407, 39syl5bi 245 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → (𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶∅ → ∃𝑐 ∈ ∅ ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((∅‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝑐}))))
4140impr 458 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑠) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶∅)) → ∃𝑐 ∈ ∅ ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((∅‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝑐})))
421, 2, 4, 6, 2, 41ramub 16336 . 2 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 Ramsey ∅) ≤ 𝑀)
43 nnnn0 11890 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
443a1i 11 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ∅ ∈ V)
455a1i 11 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ∅:∅⟶ℕ0)
46 nnm1nn0 11924 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
47 f0 6541 . . . . . . 7 ∅:∅⟶∅
48 fzfid 13334 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (1...(𝑀 − 1)) ∈ Fin)
491hashbc2 16329 . . . . . . . . . . 11 (((1...(𝑀 − 1)) ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (♯‘((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)) = ((♯‘(1...(𝑀 − 1)))C𝑀))
5048, 43, 49syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (♯‘((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)) = ((♯‘(1...(𝑀 − 1)))C𝑀))
51 hashfz1 13700 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(𝑀 − 1))) = (𝑀 − 1))
5246, 51syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (♯‘(1...(𝑀 − 1))) = (𝑀 − 1))
5352oveq1d 7153 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → ((♯‘(1...(𝑀 − 1)))C𝑀) = ((𝑀 − 1)C𝑀))
54 nnz 11990 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
55 nnre 11630 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
5655ltm1d 11557 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) < 𝑀)
5756olcd 871 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 < 0 ∨ (𝑀 − 1) < 𝑀))
58 bcval4 13661 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 − 1) ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 < 0 ∨ (𝑀 − 1) < 𝑀)) → ((𝑀 − 1)C𝑀) = 0)
5946, 54, 57, 58syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀 − 1)C𝑀) = 0)
6050, 53, 593eqtrd 2863 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (♯‘((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)) = 0)
61 ovex 7171 . . . . . . . . . 10 ((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ∈ V
62 hasheq0 13718 . . . . . . . . . 10 (((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ∈ V → ((♯‘((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)) = 0 ↔ ((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = ∅))
6361, 62ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((♯‘((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)) = 0 ↔ ((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = ∅)
6460, 63sylib 221 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → ((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = ∅)
6564feq2d 6481 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (∅:((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶∅ ↔ ∅:∅⟶∅))
6647, 65mpbiri 261 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ∅:((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶∅)
67 noel 4278 . . . . . . . 8 ¬ 𝑐 ∈ ∅
6867pm2.21i 119 . . . . . . 7 (𝑐 ∈ ∅ → ((𝑥(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (∅ “ {𝑐}) → (♯‘𝑥) < (∅‘𝑐)))
6968ad2antrl 727 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑐 ∈ ∅ ∧ 𝑥 ⊆ (1...(𝑀 − 1)))) → ((𝑥(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (∅ “ {𝑐}) → (♯‘𝑥) < (∅‘𝑐)))
701, 43, 44, 45, 46, 66, 69ramlb 16342 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) < (𝑀 Ramsey ∅))
71 ramubcl 16341 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ∅ ∈ V ∧ ∅:∅⟶ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 Ramsey ∅) ≤ 𝑀)) → (𝑀 Ramsey ∅) ∈ ℕ0)
722, 4, 6, 2, 42, 71syl32anc 1375 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 Ramsey ∅) ∈ ℕ0)
73 nn0lem1lt 12033 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 Ramsey ∅) ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ (𝑀 Ramsey ∅) ↔ (𝑀 − 1) < (𝑀 Ramsey ∅)))
7443, 72, 73syl2anc2 588 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ≤ (𝑀 Ramsey ∅) ↔ (𝑀 − 1) < (𝑀 Ramsey ∅)))
7570, 74mpbird 260 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ≤ (𝑀 Ramsey ∅))
7675a1i 11 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ≤ (𝑀 Ramsey ∅)))
7772nn0ge0d 11944 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝑀 Ramsey ∅))
78 breq1 5050 . . . 4 (𝑀 = 0 → (𝑀 ≤ (𝑀 Ramsey ∅) ↔ 0 ≤ (𝑀 Ramsey ∅)))
7977, 78syl5ibrcom 250 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 = 0 → 𝑀 ≤ (𝑀 Ramsey ∅)))
80 elnn0 11885 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
8180biimpi 219 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
8276, 79, 81mpjaod 857 . 2 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (𝑀 Ramsey ∅))
8372nn0red 11942 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 Ramsey ∅) ∈ ℝ)
84 nn0re 11892 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
8583, 84letri3d 10767 . 2 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑀 Ramsey ∅) = 𝑀 ↔ ((𝑀 Ramsey ∅) ≤ 𝑀𝑀 ≤ (𝑀 Ramsey ∅))))
8642, 82, 85mpbir2and 712 1 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 Ramsey ∅) = 𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844   = wceq 1538  wex 1781  wcel 2115  wne 3013  wrex 3133  {crab 3136  Vcvv 3479  wss 3918  c0 4274  𝒫 cpw 4520  {csn 4548   class class class wbr 5047  ccnv 5535  cima 5539  wf 6332  cfv 6336  (class class class)co 7138  cmpo 7140  cen 8489  cdom 8490  Fincfn 8492  0cc0 10522  1c1 10523   < clt 10660  cle 10661  cmin 10855  cn 11623  0cn0 11883  cz 11967  ...cfz 12883  Ccbc 13656  chash 13684   Ramsey cram 16322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-dju 9314  df-card 9352  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-div 11283  df-nn 11624  df-n0 11884  df-xnn0 11954  df-z 11968  df-uz 12230  df-rp 12376  df-fz 12884  df-seq 13363  df-fac 13628  df-bc 13657  df-hash 13685  df-ram 16324
This theorem is referenced by:  0ramcl  16346  ramcl  16352
  Copyright terms: Public domain W3C validator