MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ram0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ram0 16955
Description: The Ramsey number when 𝑅 = βˆ…. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ram0 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝑀 Ramsey βˆ…) = 𝑀)

Proof of Theorem ram0
Dummy variables 𝑏 𝑓 𝑐 𝑠 π‘₯ π‘Ž 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . 3 (π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖}) = (π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})
2 id 22 . . 3 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
3 0ex 5308 . . . 4 βˆ… ∈ V
43a1i 11 . . 3 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ βˆ… ∈ V)
5 f0 6773 . . . 4 βˆ…:βˆ…βŸΆβ„•0
65a1i 11 . . 3 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ βˆ…:βˆ…βŸΆβ„•0)
7 f00 6774 . . . . 5 (𝑓:(𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆβˆ… ↔ (𝑓 = βˆ… ∧ (𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) = βˆ…))
8 vex 3479 . . . . . . . . . 10 𝑠 ∈ V
9 simpl 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ (β™―β€˜π‘ )) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
101hashbcval 16935 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) = {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠 ∣ (β™―β€˜π‘₯) = 𝑀})
118, 9, 10sylancr 588 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ (β™―β€˜π‘ )) β†’ (𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) = {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠 ∣ (β™―β€˜π‘₯) = 𝑀})
12 hashfz1 14306 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜(1...𝑀)) = 𝑀)
1312breq1d 5159 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ ((β™―β€˜(1...𝑀)) ≀ (β™―β€˜π‘ ) ↔ 𝑀 ≀ (β™―β€˜π‘ )))
1413biimpar 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ (β™―β€˜π‘ )) β†’ (β™―β€˜(1...𝑀)) ≀ (β™―β€˜π‘ ))
15 fzfid 13938 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ (β™―β€˜π‘ )) β†’ (1...𝑀) ∈ Fin)
16 hashdom 14339 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1...𝑀) ∈ Fin ∧ 𝑠 ∈ V) β†’ ((β™―β€˜(1...𝑀)) ≀ (β™―β€˜π‘ ) ↔ (1...𝑀) β‰Ό 𝑠))
1715, 8, 16sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ (β™―β€˜π‘ )) β†’ ((β™―β€˜(1...𝑀)) ≀ (β™―β€˜π‘ ) ↔ (1...𝑀) β‰Ό 𝑠))
1814, 17mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ (β™―β€˜π‘ )) β†’ (1...𝑀) β‰Ό 𝑠)
198domen 8957 . . . . . . . . . . . . 13 ((1...𝑀) β‰Ό 𝑠 ↔ βˆƒπ‘₯((1...𝑀) β‰ˆ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝑠))
2018, 19sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ (β™―β€˜π‘ )) β†’ βˆƒπ‘₯((1...𝑀) β‰ˆ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝑠))
21 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ (β™―β€˜π‘ )) ∧ ((1...𝑀) β‰ˆ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝑠)) β†’ π‘₯ βŠ† 𝑠)
22 velpw 4608 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠 ↔ π‘₯ βŠ† 𝑠)
2321, 22sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ (β™―β€˜π‘ )) ∧ ((1...𝑀) β‰ˆ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝑠)) β†’ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠)
24 hasheni 14308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1...𝑀) β‰ˆ π‘₯ β†’ (β™―β€˜(1...𝑀)) = (β™―β€˜π‘₯))
2524ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ (β™―β€˜π‘ )) ∧ ((1...𝑀) β‰ˆ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝑠)) β†’ (β™―β€˜(1...𝑀)) = (β™―β€˜π‘₯))
2612ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ (β™―β€˜π‘ )) ∧ ((1...𝑀) β‰ˆ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝑠)) β†’ (β™―β€˜(1...𝑀)) = 𝑀)
2725, 26eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ (β™―β€˜π‘ )) ∧ ((1...𝑀) β‰ˆ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝑠)) β†’ (β™―β€˜π‘₯) = 𝑀)
2823, 27jca 513 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ (β™―β€˜π‘ )) ∧ ((1...𝑀) β‰ˆ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝑠)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠 ∧ (β™―β€˜π‘₯) = 𝑀))
2928ex 414 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ (β™―β€˜π‘ )) β†’ (((1...𝑀) β‰ˆ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝑠) β†’ (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠 ∧ (β™―β€˜π‘₯) = 𝑀)))
3029eximdv 1921 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ (β™―β€˜π‘ )) β†’ (βˆƒπ‘₯((1...𝑀) β‰ˆ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝑠) β†’ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠 ∧ (β™―β€˜π‘₯) = 𝑀)))
3120, 30mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ (β™―β€˜π‘ )) β†’ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠 ∧ (β™―β€˜π‘₯) = 𝑀))
32 df-rex 3072 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑠(β™―β€˜π‘₯) = 𝑀 ↔ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠 ∧ (β™―β€˜π‘₯) = 𝑀))
3331, 32sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ (β™―β€˜π‘ )) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑠(β™―β€˜π‘₯) = 𝑀)
34 rabn0 4386 . . . . . . . . . 10 ({π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠 ∣ (β™―β€˜π‘₯) = 𝑀} β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑠(β™―β€˜π‘₯) = 𝑀)
3533, 34sylibr 233 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ (β™―β€˜π‘ )) β†’ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠 ∣ (β™―β€˜π‘₯) = 𝑀} β‰  βˆ…)
3611, 35eqnetrd 3009 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ (β™―β€˜π‘ )) β†’ (𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) β‰  βˆ…)
3736neneqd 2946 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ (β™―β€˜π‘ )) β†’ Β¬ (𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) = βˆ…)
3837pm2.21d 121 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ (β™―β€˜π‘ )) β†’ ((𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) = βˆ… β†’ βˆƒπ‘ ∈ βˆ… βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((βˆ…β€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝑐}))))
3938adantld 492 . . . . 5 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ (β™―β€˜π‘ )) β†’ ((𝑓 = βˆ… ∧ (𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) = βˆ…) β†’ βˆƒπ‘ ∈ βˆ… βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((βˆ…β€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝑐}))))
407, 39biimtrid 241 . . . 4 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ (β™―β€˜π‘ )) β†’ (𝑓:(𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆβˆ… β†’ βˆƒπ‘ ∈ βˆ… βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((βˆ…β€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝑐}))))
4140impr 456 . . 3 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝑀 ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ 𝑓:(𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆβˆ…)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ βˆ… βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((βˆ…β€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝑐})))
421, 2, 4, 6, 2, 41ramub 16946 . 2 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝑀 Ramsey βˆ…) ≀ 𝑀)
43 nnnn0 12479 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
443a1i 11 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„• β†’ βˆ… ∈ V)
455a1i 11 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„• β†’ βˆ…:βˆ…βŸΆβ„•0)
46 nnm1nn0 12513 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
47 f0 6773 . . . . . . 7 βˆ…:βˆ…βŸΆβˆ…
48 fzfid 13938 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„• β†’ (1...(𝑀 βˆ’ 1)) ∈ Fin)
491hashbc2 16939 . . . . . . . . . . 11 (((1...(𝑀 βˆ’ 1)) ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (β™―β€˜((1...(𝑀 βˆ’ 1))(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)) = ((β™―β€˜(1...(𝑀 βˆ’ 1)))C𝑀))
5048, 43, 49syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„• β†’ (β™―β€˜((1...(𝑀 βˆ’ 1))(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)) = ((β™―β€˜(1...(𝑀 βˆ’ 1)))C𝑀))
51 hashfz1 14306 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 βˆ’ 1) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜(1...(𝑀 βˆ’ 1))) = (𝑀 βˆ’ 1))
5246, 51syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„• β†’ (β™―β€˜(1...(𝑀 βˆ’ 1))) = (𝑀 βˆ’ 1))
5352oveq1d 7424 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((β™―β€˜(1...(𝑀 βˆ’ 1)))C𝑀) = ((𝑀 βˆ’ 1)C𝑀))
54 nnz 12579 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„€)
55 nnre 12219 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
5655ltm1d 12146 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀 βˆ’ 1) < 𝑀)
5756olcd 873 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀 < 0 ∨ (𝑀 βˆ’ 1) < 𝑀))
58 bcval4 14267 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 βˆ’ 1) ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ (𝑀 < 0 ∨ (𝑀 βˆ’ 1) < 𝑀)) β†’ ((𝑀 βˆ’ 1)C𝑀) = 0)
5946, 54, 57, 58syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((𝑀 βˆ’ 1)C𝑀) = 0)
6050, 53, 593eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„• β†’ (β™―β€˜((1...(𝑀 βˆ’ 1))(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)) = 0)
61 ovex 7442 . . . . . . . . . 10 ((1...(𝑀 βˆ’ 1))(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) ∈ V
62 hasheq0 14323 . . . . . . . . . 10 (((1...(𝑀 βˆ’ 1))(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) ∈ V β†’ ((β™―β€˜((1...(𝑀 βˆ’ 1))(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)) = 0 ↔ ((1...(𝑀 βˆ’ 1))(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) = βˆ…))
6361, 62ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((β™―β€˜((1...(𝑀 βˆ’ 1))(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)) = 0 ↔ ((1...(𝑀 βˆ’ 1))(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) = βˆ…)
6460, 63sylib 217 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((1...(𝑀 βˆ’ 1))(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) = βˆ…)
6564feq2d 6704 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„• β†’ (βˆ…:((1...(𝑀 βˆ’ 1))(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆβˆ… ↔ βˆ…:βˆ…βŸΆβˆ…))
6647, 65mpbiri 258 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„• β†’ βˆ…:((1...(𝑀 βˆ’ 1))(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆβˆ…)
67 noel 4331 . . . . . . . 8 Β¬ 𝑐 ∈ βˆ…
6867pm2.21i 119 . . . . . . 7 (𝑐 ∈ βˆ… β†’ ((π‘₯(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) βŠ† (β—‘βˆ… β€œ {𝑐}) β†’ (β™―β€˜π‘₯) < (βˆ…β€˜π‘)))
6968ad2antrl 727 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ β„• ∧ (𝑐 ∈ βˆ… ∧ π‘₯ βŠ† (1...(𝑀 βˆ’ 1)))) β†’ ((π‘₯(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) βŠ† (β—‘βˆ… β€œ {𝑐}) β†’ (β™―β€˜π‘₯) < (βˆ…β€˜π‘)))
701, 43, 44, 45, 46, 66, 69ramlb 16952 . . . . 5 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀 βˆ’ 1) < (𝑀 Ramsey βˆ…))
71 ramubcl 16951 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ βˆ… ∈ V ∧ βˆ…:βˆ…βŸΆβ„•0) ∧ (𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝑀 Ramsey βˆ…) ≀ 𝑀)) β†’ (𝑀 Ramsey βˆ…) ∈ β„•0)
722, 4, 6, 2, 42, 71syl32anc 1379 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝑀 Ramsey βˆ…) ∈ β„•0)
73 nn0lem1lt 12627 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝑀 Ramsey βˆ…) ∈ β„•0) β†’ (𝑀 ≀ (𝑀 Ramsey βˆ…) ↔ (𝑀 βˆ’ 1) < (𝑀 Ramsey βˆ…)))
7443, 72, 73syl2anc2 586 . . . . 5 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀 ≀ (𝑀 Ramsey βˆ…) ↔ (𝑀 βˆ’ 1) < (𝑀 Ramsey βˆ…)))
7570, 74mpbird 257 . . . 4 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ≀ (𝑀 Ramsey βˆ…))
7675a1i 11 . . 3 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ≀ (𝑀 Ramsey βˆ…)))
7772nn0ge0d 12535 . . . 4 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ 0 ≀ (𝑀 Ramsey βˆ…))
78 breq1 5152 . . . 4 (𝑀 = 0 β†’ (𝑀 ≀ (𝑀 Ramsey βˆ…) ↔ 0 ≀ (𝑀 Ramsey βˆ…)))
7977, 78syl5ibrcom 246 . . 3 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝑀 = 0 β†’ 𝑀 ≀ (𝑀 Ramsey βˆ…)))
80 elnn0 12474 . . . 4 (𝑀 ∈ β„•0 ↔ (𝑀 ∈ β„• ∨ 𝑀 = 0))
8180biimpi 215 . . 3 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝑀 ∈ β„• ∨ 𝑀 = 0))
8276, 79, 81mpjaod 859 . 2 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ 𝑀 ≀ (𝑀 Ramsey βˆ…))
8372nn0red 12533 . . 3 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝑀 Ramsey βˆ…) ∈ ℝ)
84 nn0re 12481 . . 3 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
8583, 84letri3d 11356 . 2 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ ((𝑀 Ramsey βˆ…) = 𝑀 ↔ ((𝑀 Ramsey βˆ…) ≀ 𝑀 ∧ 𝑀 ≀ (𝑀 Ramsey βˆ…))))
8642, 82, 85mpbir2and 712 1 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝑀 Ramsey βˆ…) = 𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆƒwrex 3071  {crab 3433  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  π’« cpw 4603  {csn 4629   class class class wbr 5149  β—‘ccnv 5676   β€œ cima 5680  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411   β‰ˆ cen 8936   β‰Ό cdom 8937  Fincfn 8939  0cc0 11110  1c1 11111   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  β„•cn 12212  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  ...cfz 13484  Ccbc 14262  β™―chash 14290   Ramsey cram 16932
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-seq 13967  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-ram 16934
This theorem is referenced by:  0ramcl  16956  ramcl  16962
  Copyright terms: Public domain W3C validator