MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ram0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ram0 16346
Description: The Ramsey number when 𝑅 = ∅. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ram0 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 Ramsey ∅) = 𝑀)

Proof of Theorem ram0
Dummy variables 𝑏 𝑓 𝑐 𝑠 𝑥 𝑎 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2818 . . 3 (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖}) = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
2 id 22 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0)
3 0ex 5202 . . . 4 ∅ ∈ V
43a1i 11 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ0 → ∅ ∈ V)
5 f0 6553 . . . 4 ∅:∅⟶ℕ0
65a1i 11 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ0 → ∅:∅⟶ℕ0)
7 f00 6554 . . . . 5 (𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶∅ ↔ (𝑓 = ∅ ∧ (𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = ∅))
8 vex 3495 . . . . . . . . . 10 𝑠 ∈ V
9 simpl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
101hashbcval 16326 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ∣ (♯‘𝑥) = 𝑀})
118, 9, 10sylancr 587 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → (𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ∣ (♯‘𝑥) = 𝑀})
12 hashfz1 13694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑀)) = 𝑀)
1312breq1d 5067 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((♯‘(1...𝑀)) ≤ (♯‘𝑠) ↔ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)))
1413biimpar 478 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → (♯‘(1...𝑀)) ≤ (♯‘𝑠))
15 fzfid 13329 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → (1...𝑀) ∈ Fin)
16 hashdom 13728 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1...𝑀) ∈ Fin ∧ 𝑠 ∈ V) → ((♯‘(1...𝑀)) ≤ (♯‘𝑠) ↔ (1...𝑀) ≼ 𝑠))
1715, 8, 16sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → ((♯‘(1...𝑀)) ≤ (♯‘𝑠) ↔ (1...𝑀) ≼ 𝑠))
1814, 17mpbid 233 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → (1...𝑀) ≼ 𝑠)
198domen 8510 . . . . . . . . . . . . 13 ((1...𝑀) ≼ 𝑠 ↔ ∃𝑥((1...𝑀) ≈ 𝑥𝑥𝑠))
2018, 19sylib 219 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → ∃𝑥((1...𝑀) ≈ 𝑥𝑥𝑠))
21 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) ∧ ((1...𝑀) ≈ 𝑥𝑥𝑠)) → 𝑥𝑠)
22 velpw 4543 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑠𝑥𝑠)
2321, 22sylibr 235 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) ∧ ((1...𝑀) ≈ 𝑥𝑥𝑠)) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑠)
24 hasheni 13696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1...𝑀) ≈ 𝑥 → (♯‘(1...𝑀)) = (♯‘𝑥))
2524ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) ∧ ((1...𝑀) ≈ 𝑥𝑥𝑠)) → (♯‘(1...𝑀)) = (♯‘𝑥))
2612ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) ∧ ((1...𝑀) ≈ 𝑥𝑥𝑠)) → (♯‘(1...𝑀)) = 𝑀)
2725, 26eqtr3d 2855 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) ∧ ((1...𝑀) ≈ 𝑥𝑥𝑠)) → (♯‘𝑥) = 𝑀)
2823, 27jca 512 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) ∧ ((1...𝑀) ≈ 𝑥𝑥𝑠)) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ∧ (♯‘𝑥) = 𝑀))
2928ex 413 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → (((1...𝑀) ≈ 𝑥𝑥𝑠) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ∧ (♯‘𝑥) = 𝑀)))
3029eximdv 1909 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → (∃𝑥((1...𝑀) ≈ 𝑥𝑥𝑠) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ∧ (♯‘𝑥) = 𝑀)))
3120, 30mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ∧ (♯‘𝑥) = 𝑀))
32 df-rex 3141 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠(♯‘𝑥) = 𝑀 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ∧ (♯‘𝑥) = 𝑀))
3331, 32sylibr 235 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠(♯‘𝑥) = 𝑀)
34 rabn0 4336 . . . . . . . . . 10 ({𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ∣ (♯‘𝑥) = 𝑀} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠(♯‘𝑥) = 𝑀)
3533, 34sylibr 235 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ∣ (♯‘𝑥) = 𝑀} ≠ ∅)
3611, 35eqnetrd 3080 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → (𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ≠ ∅)
3736neneqd 3018 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → ¬ (𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = ∅)
3837pm2.21d 121 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → ((𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = ∅ → ∃𝑐 ∈ ∅ ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((∅‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝑐}))))
3938adantld 491 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → ((𝑓 = ∅ ∧ (𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = ∅) → ∃𝑐 ∈ ∅ ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((∅‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝑐}))))
407, 39syl5bi 243 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → (𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶∅ → ∃𝑐 ∈ ∅ ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((∅‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝑐}))))
4140impr 455 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑠) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶∅)) → ∃𝑐 ∈ ∅ ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((∅‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝑐})))
421, 2, 4, 6, 2, 41ramub 16337 . 2 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 Ramsey ∅) ≤ 𝑀)
43 nnnn0 11892 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
443a1i 11 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ∅ ∈ V)
455a1i 11 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ∅:∅⟶ℕ0)
46 nnm1nn0 11926 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
47 f0 6553 . . . . . . 7 ∅:∅⟶∅
48 fzfid 13329 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (1...(𝑀 − 1)) ∈ Fin)
491hashbc2 16330 . . . . . . . . . . 11 (((1...(𝑀 − 1)) ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (♯‘((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)) = ((♯‘(1...(𝑀 − 1)))C𝑀))
5048, 43, 49syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (♯‘((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)) = ((♯‘(1...(𝑀 − 1)))C𝑀))
51 hashfz1 13694 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(𝑀 − 1))) = (𝑀 − 1))
5246, 51syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (♯‘(1...(𝑀 − 1))) = (𝑀 − 1))
5352oveq1d 7160 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → ((♯‘(1...(𝑀 − 1)))C𝑀) = ((𝑀 − 1)C𝑀))
54 nnz 11992 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
55 nnre 11633 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
5655ltm1d 11560 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) < 𝑀)
5756olcd 870 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 < 0 ∨ (𝑀 − 1) < 𝑀))
58 bcval4 13655 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 − 1) ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 < 0 ∨ (𝑀 − 1) < 𝑀)) → ((𝑀 − 1)C𝑀) = 0)
5946, 54, 57, 58syl3anc 1363 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀 − 1)C𝑀) = 0)
6050, 53, 593eqtrd 2857 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (♯‘((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)) = 0)
61 ovex 7178 . . . . . . . . . 10 ((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ∈ V
62 hasheq0 13712 . . . . . . . . . 10 (((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ∈ V → ((♯‘((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)) = 0 ↔ ((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = ∅))
6361, 62ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((♯‘((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)) = 0 ↔ ((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = ∅)
6460, 63sylib 219 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → ((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = ∅)
6564feq2d 6493 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (∅:((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶∅ ↔ ∅:∅⟶∅))
6647, 65mpbiri 259 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ∅:((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶∅)
67 noel 4293 . . . . . . . 8 ¬ 𝑐 ∈ ∅
6867pm2.21i 119 . . . . . . 7 (𝑐 ∈ ∅ → ((𝑥(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (∅ “ {𝑐}) → (♯‘𝑥) < (∅‘𝑐)))
6968ad2antrl 724 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑐 ∈ ∅ ∧ 𝑥 ⊆ (1...(𝑀 − 1)))) → ((𝑥(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (∅ “ {𝑐}) → (♯‘𝑥) < (∅‘𝑐)))
701, 43, 44, 45, 46, 66, 69ramlb 16343 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) < (𝑀 Ramsey ∅))
71 ramubcl 16342 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ∅ ∈ V ∧ ∅:∅⟶ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 Ramsey ∅) ≤ 𝑀)) → (𝑀 Ramsey ∅) ∈ ℕ0)
722, 4, 6, 2, 42, 71syl32anc 1370 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 Ramsey ∅) ∈ ℕ0)
73 nn0lem1lt 12035 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 Ramsey ∅) ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ (𝑀 Ramsey ∅) ↔ (𝑀 − 1) < (𝑀 Ramsey ∅)))
7443, 72, 73syl2anc2 585 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ≤ (𝑀 Ramsey ∅) ↔ (𝑀 − 1) < (𝑀 Ramsey ∅)))
7570, 74mpbird 258 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ≤ (𝑀 Ramsey ∅))
7675a1i 11 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ≤ (𝑀 Ramsey ∅)))
7772nn0ge0d 11946 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝑀 Ramsey ∅))
78 breq1 5060 . . . 4 (𝑀 = 0 → (𝑀 ≤ (𝑀 Ramsey ∅) ↔ 0 ≤ (𝑀 Ramsey ∅)))
7977, 78syl5ibrcom 248 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 = 0 → 𝑀 ≤ (𝑀 Ramsey ∅)))
80 elnn0 11887 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
8180biimpi 217 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
8276, 79, 81mpjaod 854 . 2 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (𝑀 Ramsey ∅))
8372nn0red 11944 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 Ramsey ∅) ∈ ℝ)
84 nn0re 11894 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
8583, 84letri3d 10770 . 2 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑀 Ramsey ∅) = 𝑀 ↔ ((𝑀 Ramsey ∅) ≤ 𝑀𝑀 ≤ (𝑀 Ramsey ∅))))
8642, 82, 85mpbir2and 709 1 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 Ramsey ∅) = 𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wo 841   = wceq 1528  wex 1771  wcel 2105  wne 3013  wrex 3136  {crab 3139  Vcvv 3492  wss 3933  c0 4288  𝒫 cpw 4535  {csn 4557   class class class wbr 5057  ccnv 5547  cima 5551  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  cmpo 7147  cen 8494  cdom 8495  Fincfn 8497  0cc0 10525  1c1 10526   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858  cn 11626  0cn0 11885  cz 11969  ...cfz 12880  Ccbc 13650  chash 13678   Ramsey cram 16323
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-seq 13358  df-fac 13622  df-bc 13651  df-hash 13679  df-ram 16325
This theorem is referenced by:  0ramcl  16347  ramcl  16353
  Copyright terms: Public domain W3C validator