Theorem ram0 16962

Description: The Ramsey number when 𝑅 = ∅. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ram0	⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 Ramsey ∅) = 𝑀)

Proof of Theorem ram0

Dummy variables 𝑏 𝑓 𝑐 𝑠 𝑥 𝑎 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖}) = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
2		id 22	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℕ0)
3		0ex 5254	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ∅ ∈ V)
5		f0 6723	. . . 4 ⊢ ∅:∅⟶ℕ0
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ∅:∅⟶ℕ0)
7		f00 6724	. . . . 5 ⊢ (𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶∅ ↔ (𝑓 = ∅ ∧ (𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = ∅))
8		vex 3446	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑠 ∈ V
9		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
10	1	hashbcval 16942	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ∣ (♯‘𝑥) = 𝑀})
11	8, 9, 10	sylancr 588	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → (𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ∣ (♯‘𝑥) = 𝑀})
12		hashfz1 14281	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑀)) = 𝑀)
13	12	breq1d 5110	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((♯‘(1...𝑀)) ≤ (♯‘𝑠) ↔ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)))
14	13	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → (♯‘(1...𝑀)) ≤ (♯‘𝑠))
15		fzfid 13908	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → (1...𝑀) ∈ Fin)
16		hashdom 14314	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((1...𝑀) ∈ Fin ∧ 𝑠 ∈ V) → ((♯‘(1...𝑀)) ≤ (♯‘𝑠) ↔ (1...𝑀) ≼ 𝑠))
17	15, 8, 16	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → ((♯‘(1...𝑀)) ≤ (♯‘𝑠) ↔ (1...𝑀) ≼ 𝑠))
18	14, 17	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → (1...𝑀) ≼ 𝑠)
19	8	domen 8910	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1...𝑀) ≼ 𝑠 ↔ ∃𝑥((1...𝑀) ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑠))
20	18, 19	sylib 218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → ∃𝑥((1...𝑀) ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑠))
21		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) ∧ ((1...𝑀) ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑠)) → 𝑥 ⊆ 𝑠)
22		velpw 4561	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ↔ 𝑥 ⊆ 𝑠)
23	21, 22	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) ∧ ((1...𝑀) ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑠)) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑠)
24		hasheni 14283	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1...𝑀) ≈ 𝑥 → (♯‘(1...𝑀)) = (♯‘𝑥))
25	24	ad2antrl 729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) ∧ ((1...𝑀) ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑠)) → (♯‘(1...𝑀)) = (♯‘𝑥))
26	12	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) ∧ ((1...𝑀) ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑠)) → (♯‘(1...𝑀)) = 𝑀)
27	25, 26	eqtr3d 2774	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) ∧ ((1...𝑀) ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑠)) → (♯‘𝑥) = 𝑀)
28	23, 27	jca 511	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) ∧ ((1...𝑀) ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑠)) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ∧ (♯‘𝑥) = 𝑀))
29	28	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → (((1...𝑀) ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑠) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ∧ (♯‘𝑥) = 𝑀)))
30	29	eximdv 1919	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → (∃𝑥((1...𝑀) ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑠) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ∧ (♯‘𝑥) = 𝑀)))
31	20, 30	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ∧ (♯‘𝑥) = 𝑀))
32		df-rex 3063	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠(♯‘𝑥) = 𝑀 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ∧ (♯‘𝑥) = 𝑀))
33	31, 32	sylibr 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠(♯‘𝑥) = 𝑀)
34		rabn0 4343	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ∣ (♯‘𝑥) = 𝑀} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠(♯‘𝑥) = 𝑀)
35	33, 34	sylibr 234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ∣ (♯‘𝑥) = 𝑀} ≠ ∅)
36	11, 35	eqnetrd 3000	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → (𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ≠ ∅)
37	36	neneqd 2938	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → ¬ (𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = ∅)
38	37	pm2.21d 121	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → ((𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = ∅ → ∃𝑐 ∈ ∅ ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((∅‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐}))))
39	38	adantld 490	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → ((𝑓 = ∅ ∧ (𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = ∅) → ∃𝑐 ∈ ∅ ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((∅‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐}))))
40	7, 39	biimtrid 242	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → (𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶∅ → ∃𝑐 ∈ ∅ ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((∅‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐}))))
41	40	impr 454	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑠) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶∅)) → ∃𝑐 ∈ ∅ ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((∅‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐})))
42	1, 2, 4, 6, 2, 41	ramub 16953	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 Ramsey ∅) ≤ 𝑀)
43		nnnn0 12420	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
44	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ∅ ∈ V)
45	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ∅:∅⟶ℕ0)
46		nnm1nn0 12454	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
47		f0 6723	. . . . . . 7 ⊢ ∅:∅⟶∅
48		fzfid 13908	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (1...(𝑀 − 1)) ∈ Fin)
49	1	hashbc2 16946	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1...(𝑀 − 1)) ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (♯‘((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)) = ((♯‘(1...(𝑀 − 1)))C𝑀))
50	48, 43, 49	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (♯‘((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)) = ((♯‘(1...(𝑀 − 1)))C𝑀))
51		hashfz1 14281	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(𝑀 − 1))) = (𝑀 − 1))
52	46, 51	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (♯‘(1...(𝑀 − 1))) = (𝑀 − 1))
53	52	oveq1d 7383	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((♯‘(1...(𝑀 − 1)))C𝑀) = ((𝑀 − 1)C𝑀))
54		nnz 12521	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
55		nnre 12164	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
56	55	ltm1d 12086	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) < 𝑀)
57	56	olcd 875	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 < 0 ∨ (𝑀 − 1) < 𝑀))
58		bcval4 14242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 < 0 ∨ (𝑀 − 1) < 𝑀)) → ((𝑀 − 1)C𝑀) = 0)
59	46, 54, 57, 58	syl3anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀 − 1)C𝑀) = 0)
60	50, 53, 59	3eqtrd 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (♯‘((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)) = 0)
61		ovex 7401	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ∈ V
62		hasheq0 14298	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ∈ V → ((♯‘((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)) = 0 ↔ ((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = ∅))
63	61, 62	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)) = 0 ↔ ((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = ∅)
64	60, 63	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = ∅)
65	64	feq2d 6654	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (∅:((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶∅ ↔ ∅:∅⟶∅))
66	47, 65	mpbiri 258	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ∅:((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶∅)
67		noel 4292	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 𝑐 ∈ ∅
68	67	pm2.21i 119	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 ∈ ∅ → ((𝑥(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (◡∅ “ {𝑐}) → (♯‘𝑥) < (∅‘𝑐)))
69	68	ad2antrl 729	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑐 ∈ ∅ ∧ 𝑥 ⊆ (1...(𝑀 − 1)))) → ((𝑥(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (◡∅ “ {𝑐}) → (♯‘𝑥) < (∅‘𝑐)))
70	1, 43, 44, 45, 46, 66, 69	ramlb 16959	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) < (𝑀 Ramsey ∅))
71		ramubcl 16958	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ∅ ∈ V ∧ ∅:∅⟶ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 Ramsey ∅) ≤ 𝑀)) → (𝑀 Ramsey ∅) ∈ ℕ0)
72	2, 4, 6, 2, 42, 71	syl32anc 1381	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 Ramsey ∅) ∈ ℕ0)
73		nn0lem1lt 12569	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 Ramsey ∅) ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ (𝑀 Ramsey ∅) ↔ (𝑀 − 1) < (𝑀 Ramsey ∅)))
74	43, 72, 73	syl2anc2 586	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ≤ (𝑀 Ramsey ∅) ↔ (𝑀 − 1) < (𝑀 Ramsey ∅)))
75	70, 74	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ≤ (𝑀 Ramsey ∅))
76	75	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ≤ (𝑀 Ramsey ∅)))
77	72	nn0ge0d 12477	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝑀 Ramsey ∅))
78		breq1 5103	. . . 4 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀 ≤ (𝑀 Ramsey ∅) ↔ 0 ≤ (𝑀 Ramsey ∅)))
79	77, 78	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 = 0 → 𝑀 ≤ (𝑀 Ramsey ∅)))
80		elnn0 12415	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
81	80	biimpi 216	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
82	76, 79, 81	mpjaod 861	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ≤ (𝑀 Ramsey ∅))
83	72	nn0red 12475	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 Ramsey ∅) ∈ ℝ)
84		nn0re 12422	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℝ)
85	83, 84	letri3d 11287	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑀 Ramsey ∅) = 𝑀 ↔ ((𝑀 Ramsey ∅) ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ (𝑀 Ramsey ∅))))
86	42, 82, 85	mpbir2and 714	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 Ramsey ∅) = 𝑀)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062  {crab 3401  Vcvv 3442   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  𝒫 cpw 4556  {csn 4582   class class class wbr 5100  ^◡ccnv 5631   “ cima 5635  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ∈ cmpo 7370   ≈ cen 8892   ≼ cdom 8893  Fincfn 8895  0cc0 11038  1c1 11039   < clt 11178   ≤ cle 11179   − cmin 11376  ℕcn 12157  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12500  ...cfz 13435  Ccbc 14237  ♯chash 14265   Ramsey cram 16939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-oadd 8411  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-n0 12414  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-seq 13937  df-fac 14209  df-bc 14238  df-hash 14266  df-ram 16941

This theorem is referenced by:  0ramcl  16963  ramcl  16969