MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ram0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ram0 17024
Description: The Ramsey number when 𝑅 = ∅. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ram0 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 Ramsey ∅) = 𝑀)

Proof of Theorem ram0
Dummy variables 𝑏 𝑓 𝑐 𝑠 𝑥 𝑎 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . 3 (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖}) = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
2 id 22 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0)
3 0ex 5312 . . . 4 ∅ ∈ V
43a1i 11 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ0 → ∅ ∈ V)
5 f0 6783 . . . 4 ∅:∅⟶ℕ0
65a1i 11 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ0 → ∅:∅⟶ℕ0)
7 f00 6784 . . . . 5 (𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶∅ ↔ (𝑓 = ∅ ∧ (𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = ∅))
8 vex 3466 . . . . . . . . . 10 𝑠 ∈ V
9 simpl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
101hashbcval 17004 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ∣ (♯‘𝑥) = 𝑀})
118, 9, 10sylancr 585 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → (𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ∣ (♯‘𝑥) = 𝑀})
12 hashfz1 14363 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑀)) = 𝑀)
1312breq1d 5163 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((♯‘(1...𝑀)) ≤ (♯‘𝑠) ↔ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)))
1413biimpar 476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → (♯‘(1...𝑀)) ≤ (♯‘𝑠))
15 fzfid 13993 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → (1...𝑀) ∈ Fin)
16 hashdom 14396 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1...𝑀) ∈ Fin ∧ 𝑠 ∈ V) → ((♯‘(1...𝑀)) ≤ (♯‘𝑠) ↔ (1...𝑀) ≼ 𝑠))
1715, 8, 16sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → ((♯‘(1...𝑀)) ≤ (♯‘𝑠) ↔ (1...𝑀) ≼ 𝑠))
1814, 17mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → (1...𝑀) ≼ 𝑠)
198domen 8992 . . . . . . . . . . . . 13 ((1...𝑀) ≼ 𝑠 ↔ ∃𝑥((1...𝑀) ≈ 𝑥𝑥𝑠))
2018, 19sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → ∃𝑥((1...𝑀) ≈ 𝑥𝑥𝑠))
21 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) ∧ ((1...𝑀) ≈ 𝑥𝑥𝑠)) → 𝑥𝑠)
22 velpw 4612 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑠𝑥𝑠)
2321, 22sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) ∧ ((1...𝑀) ≈ 𝑥𝑥𝑠)) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑠)
24 hasheni 14365 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1...𝑀) ≈ 𝑥 → (♯‘(1...𝑀)) = (♯‘𝑥))
2524ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) ∧ ((1...𝑀) ≈ 𝑥𝑥𝑠)) → (♯‘(1...𝑀)) = (♯‘𝑥))
2612ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) ∧ ((1...𝑀) ≈ 𝑥𝑥𝑠)) → (♯‘(1...𝑀)) = 𝑀)
2725, 26eqtr3d 2768 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) ∧ ((1...𝑀) ≈ 𝑥𝑥𝑠)) → (♯‘𝑥) = 𝑀)
2823, 27jca 510 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) ∧ ((1...𝑀) ≈ 𝑥𝑥𝑠)) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ∧ (♯‘𝑥) = 𝑀))
2928ex 411 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → (((1...𝑀) ≈ 𝑥𝑥𝑠) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ∧ (♯‘𝑥) = 𝑀)))
3029eximdv 1913 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → (∃𝑥((1...𝑀) ≈ 𝑥𝑥𝑠) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ∧ (♯‘𝑥) = 𝑀)))
3120, 30mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ∧ (♯‘𝑥) = 𝑀))
32 df-rex 3061 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠(♯‘𝑥) = 𝑀 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ∧ (♯‘𝑥) = 𝑀))
3331, 32sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠(♯‘𝑥) = 𝑀)
34 rabn0 4390 . . . . . . . . . 10 ({𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ∣ (♯‘𝑥) = 𝑀} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠(♯‘𝑥) = 𝑀)
3533, 34sylibr 233 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ∣ (♯‘𝑥) = 𝑀} ≠ ∅)
3611, 35eqnetrd 2998 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → (𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ≠ ∅)
3736neneqd 2935 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → ¬ (𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = ∅)
3837pm2.21d 121 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → ((𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = ∅ → ∃𝑐 ∈ ∅ ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((∅‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝑐}))))
3938adantld 489 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → ((𝑓 = ∅ ∧ (𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = ∅) → ∃𝑐 ∈ ∅ ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((∅‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝑐}))))
407, 39biimtrid 241 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → (𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶∅ → ∃𝑐 ∈ ∅ ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((∅‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝑐}))))
4140impr 453 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑠) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶∅)) → ∃𝑐 ∈ ∅ ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((∅‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝑐})))
421, 2, 4, 6, 2, 41ramub 17015 . 2 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 Ramsey ∅) ≤ 𝑀)
43 nnnn0 12531 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
443a1i 11 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ∅ ∈ V)
455a1i 11 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ∅:∅⟶ℕ0)
46 nnm1nn0 12565 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
47 f0 6783 . . . . . . 7 ∅:∅⟶∅
48 fzfid 13993 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (1...(𝑀 − 1)) ∈ Fin)
491hashbc2 17008 . . . . . . . . . . 11 (((1...(𝑀 − 1)) ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (♯‘((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)) = ((♯‘(1...(𝑀 − 1)))C𝑀))
5048, 43, 49syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (♯‘((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)) = ((♯‘(1...(𝑀 − 1)))C𝑀))
51 hashfz1 14363 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(𝑀 − 1))) = (𝑀 − 1))
5246, 51syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (♯‘(1...(𝑀 − 1))) = (𝑀 − 1))
5352oveq1d 7439 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → ((♯‘(1...(𝑀 − 1)))C𝑀) = ((𝑀 − 1)C𝑀))
54 nnz 12631 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
55 nnre 12271 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
5655ltm1d 12198 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) < 𝑀)
5756olcd 872 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 < 0 ∨ (𝑀 − 1) < 𝑀))
58 bcval4 14324 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 − 1) ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 < 0 ∨ (𝑀 − 1) < 𝑀)) → ((𝑀 − 1)C𝑀) = 0)
5946, 54, 57, 58syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀 − 1)C𝑀) = 0)
6050, 53, 593eqtrd 2770 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (♯‘((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)) = 0)
61 ovex 7457 . . . . . . . . . 10 ((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ∈ V
62 hasheq0 14380 . . . . . . . . . 10 (((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ∈ V → ((♯‘((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)) = 0 ↔ ((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = ∅))
6361, 62ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((♯‘((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)) = 0 ↔ ((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = ∅)
6460, 63sylib 217 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → ((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = ∅)
6564feq2d 6714 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (∅:((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶∅ ↔ ∅:∅⟶∅))
6647, 65mpbiri 257 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ∅:((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶∅)
67 noel 4333 . . . . . . . 8 ¬ 𝑐 ∈ ∅
6867pm2.21i 119 . . . . . . 7 (𝑐 ∈ ∅ → ((𝑥(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (∅ “ {𝑐}) → (♯‘𝑥) < (∅‘𝑐)))
6968ad2antrl 726 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑐 ∈ ∅ ∧ 𝑥 ⊆ (1...(𝑀 − 1)))) → ((𝑥(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (∅ “ {𝑐}) → (♯‘𝑥) < (∅‘𝑐)))
701, 43, 44, 45, 46, 66, 69ramlb 17021 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) < (𝑀 Ramsey ∅))
71 ramubcl 17020 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ∅ ∈ V ∧ ∅:∅⟶ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 Ramsey ∅) ≤ 𝑀)) → (𝑀 Ramsey ∅) ∈ ℕ0)
722, 4, 6, 2, 42, 71syl32anc 1375 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 Ramsey ∅) ∈ ℕ0)
73 nn0lem1lt 12679 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 Ramsey ∅) ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ (𝑀 Ramsey ∅) ↔ (𝑀 − 1) < (𝑀 Ramsey ∅)))
7443, 72, 73syl2anc2 583 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ≤ (𝑀 Ramsey ∅) ↔ (𝑀 − 1) < (𝑀 Ramsey ∅)))
7570, 74mpbird 256 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ≤ (𝑀 Ramsey ∅))
7675a1i 11 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ≤ (𝑀 Ramsey ∅)))
7772nn0ge0d 12587 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝑀 Ramsey ∅))
78 breq1 5156 . . . 4 (𝑀 = 0 → (𝑀 ≤ (𝑀 Ramsey ∅) ↔ 0 ≤ (𝑀 Ramsey ∅)))
7977, 78syl5ibrcom 246 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 = 0 → 𝑀 ≤ (𝑀 Ramsey ∅)))
80 elnn0 12526 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
8180biimpi 215 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
8276, 79, 81mpjaod 858 . 2 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (𝑀 Ramsey ∅))
8372nn0red 12585 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 Ramsey ∅) ∈ ℝ)
84 nn0re 12533 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
8583, 84letri3d 11406 . 2 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑀 Ramsey ∅) = 𝑀 ↔ ((𝑀 Ramsey ∅) ≤ 𝑀𝑀 ≤ (𝑀 Ramsey ∅))))
8642, 82, 85mpbir2and 711 1 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 Ramsey ∅) = 𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845   = wceq 1534  wex 1774  wcel 2099  wne 2930  wrex 3060  {crab 3419  Vcvv 3462  wss 3947  c0 4325  𝒫 cpw 4607  {csn 4633   class class class wbr 5153  ccnv 5681  cima 5685  wf 6550  cfv 6554  (class class class)co 7424  cmpo 7426  cen 8971  cdom 8972  Fincfn 8974  0cc0 11158  1c1 11159   < clt 11298  cle 11299  cmin 11494  cn 12264  0cn0 12524  cz 12610  ...cfz 13538  Ccbc 14319  chash 14347   Ramsey cram 17001
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-oadd 8500  df-er 8734  df-map 8857  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9485  df-inf 9486  df-dju 9944  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-n0 12525  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-uz 12875  df-rp 13029  df-fz 13539  df-seq 14022  df-fac 14291  df-bc 14320  df-hash 14348  df-ram 17003
This theorem is referenced by:  0ramcl  17025  ramcl  17031
  Copyright terms: Public domain W3C validator