MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ram0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ram0 16961
Description: The Ramsey number when 𝑅 = βˆ…. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ram0 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝑀 Ramsey βˆ…) = 𝑀)

Proof of Theorem ram0
Dummy variables 𝑏 𝑓 𝑐 𝑠 π‘₯ π‘Ž 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2730 . . 3 (π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖}) = (π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})
2 id 22 . . 3 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
3 0ex 5308 . . . 4 βˆ… ∈ V
43a1i 11 . . 3 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ βˆ… ∈ V)
5 f0 6773 . . . 4 βˆ…:βˆ…βŸΆβ„•0
65a1i 11 . . 3 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ βˆ…:βˆ…βŸΆβ„•0)
7 f00 6774 . . . . 5 (𝑓:(𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆβˆ… ↔ (𝑓 = βˆ… ∧ (𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) = βˆ…))
8 vex 3476 . . . . . . . . . 10 𝑠 ∈ V
9 simpl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ (β™―β€˜π‘ )) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
101hashbcval 16941 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) = {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠 ∣ (β™―β€˜π‘₯) = 𝑀})
118, 9, 10sylancr 585 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ (β™―β€˜π‘ )) β†’ (𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) = {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠 ∣ (β™―β€˜π‘₯) = 𝑀})
12 hashfz1 14312 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜(1...𝑀)) = 𝑀)
1312breq1d 5159 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ ((β™―β€˜(1...𝑀)) ≀ (β™―β€˜π‘ ) ↔ 𝑀 ≀ (β™―β€˜π‘ )))
1413biimpar 476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ (β™―β€˜π‘ )) β†’ (β™―β€˜(1...𝑀)) ≀ (β™―β€˜π‘ ))
15 fzfid 13944 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ (β™―β€˜π‘ )) β†’ (1...𝑀) ∈ Fin)
16 hashdom 14345 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1...𝑀) ∈ Fin ∧ 𝑠 ∈ V) β†’ ((β™―β€˜(1...𝑀)) ≀ (β™―β€˜π‘ ) ↔ (1...𝑀) β‰Ό 𝑠))
1715, 8, 16sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ (β™―β€˜π‘ )) β†’ ((β™―β€˜(1...𝑀)) ≀ (β™―β€˜π‘ ) ↔ (1...𝑀) β‰Ό 𝑠))
1814, 17mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ (β™―β€˜π‘ )) β†’ (1...𝑀) β‰Ό 𝑠)
198domen 8961 . . . . . . . . . . . . 13 ((1...𝑀) β‰Ό 𝑠 ↔ βˆƒπ‘₯((1...𝑀) β‰ˆ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝑠))
2018, 19sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ (β™―β€˜π‘ )) β†’ βˆƒπ‘₯((1...𝑀) β‰ˆ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝑠))
21 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ (β™―β€˜π‘ )) ∧ ((1...𝑀) β‰ˆ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝑠)) β†’ π‘₯ βŠ† 𝑠)
22 velpw 4608 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠 ↔ π‘₯ βŠ† 𝑠)
2321, 22sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ (β™―β€˜π‘ )) ∧ ((1...𝑀) β‰ˆ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝑠)) β†’ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠)
24 hasheni 14314 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1...𝑀) β‰ˆ π‘₯ β†’ (β™―β€˜(1...𝑀)) = (β™―β€˜π‘₯))
2524ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ (β™―β€˜π‘ )) ∧ ((1...𝑀) β‰ˆ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝑠)) β†’ (β™―β€˜(1...𝑀)) = (β™―β€˜π‘₯))
2612ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ (β™―β€˜π‘ )) ∧ ((1...𝑀) β‰ˆ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝑠)) β†’ (β™―β€˜(1...𝑀)) = 𝑀)
2725, 26eqtr3d 2772 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ (β™―β€˜π‘ )) ∧ ((1...𝑀) β‰ˆ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝑠)) β†’ (β™―β€˜π‘₯) = 𝑀)
2823, 27jca 510 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ (β™―β€˜π‘ )) ∧ ((1...𝑀) β‰ˆ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝑠)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠 ∧ (β™―β€˜π‘₯) = 𝑀))
2928ex 411 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ (β™―β€˜π‘ )) β†’ (((1...𝑀) β‰ˆ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝑠) β†’ (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠 ∧ (β™―β€˜π‘₯) = 𝑀)))
3029eximdv 1918 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ (β™―β€˜π‘ )) β†’ (βˆƒπ‘₯((1...𝑀) β‰ˆ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝑠) β†’ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠 ∧ (β™―β€˜π‘₯) = 𝑀)))
3120, 30mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ (β™―β€˜π‘ )) β†’ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠 ∧ (β™―β€˜π‘₯) = 𝑀))
32 df-rex 3069 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑠(β™―β€˜π‘₯) = 𝑀 ↔ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠 ∧ (β™―β€˜π‘₯) = 𝑀))
3331, 32sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ (β™―β€˜π‘ )) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑠(β™―β€˜π‘₯) = 𝑀)
34 rabn0 4386 . . . . . . . . . 10 ({π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠 ∣ (β™―β€˜π‘₯) = 𝑀} β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑠(β™―β€˜π‘₯) = 𝑀)
3533, 34sylibr 233 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ (β™―β€˜π‘ )) β†’ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠 ∣ (β™―β€˜π‘₯) = 𝑀} β‰  βˆ…)
3611, 35eqnetrd 3006 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ (β™―β€˜π‘ )) β†’ (𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) β‰  βˆ…)
3736neneqd 2943 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ (β™―β€˜π‘ )) β†’ Β¬ (𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) = βˆ…)
3837pm2.21d 121 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ (β™―β€˜π‘ )) β†’ ((𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) = βˆ… β†’ βˆƒπ‘ ∈ βˆ… βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((βˆ…β€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝑐}))))
3938adantld 489 . . . . 5 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ (β™―β€˜π‘ )) β†’ ((𝑓 = βˆ… ∧ (𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) = βˆ…) β†’ βˆƒπ‘ ∈ βˆ… βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((βˆ…β€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝑐}))))
407, 39biimtrid 241 . . . 4 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ (β™―β€˜π‘ )) β†’ (𝑓:(𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆβˆ… β†’ βˆƒπ‘ ∈ βˆ… βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((βˆ…β€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝑐}))))
4140impr 453 . . 3 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝑀 ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ 𝑓:(𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆβˆ…)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ βˆ… βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((βˆ…β€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝑐})))
421, 2, 4, 6, 2, 41ramub 16952 . 2 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝑀 Ramsey βˆ…) ≀ 𝑀)
43 nnnn0 12485 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
443a1i 11 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„• β†’ βˆ… ∈ V)
455a1i 11 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„• β†’ βˆ…:βˆ…βŸΆβ„•0)
46 nnm1nn0 12519 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
47 f0 6773 . . . . . . 7 βˆ…:βˆ…βŸΆβˆ…
48 fzfid 13944 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„• β†’ (1...(𝑀 βˆ’ 1)) ∈ Fin)
491hashbc2 16945 . . . . . . . . . . 11 (((1...(𝑀 βˆ’ 1)) ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (β™―β€˜((1...(𝑀 βˆ’ 1))(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)) = ((β™―β€˜(1...(𝑀 βˆ’ 1)))C𝑀))
5048, 43, 49syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„• β†’ (β™―β€˜((1...(𝑀 βˆ’ 1))(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)) = ((β™―β€˜(1...(𝑀 βˆ’ 1)))C𝑀))
51 hashfz1 14312 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 βˆ’ 1) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜(1...(𝑀 βˆ’ 1))) = (𝑀 βˆ’ 1))
5246, 51syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„• β†’ (β™―β€˜(1...(𝑀 βˆ’ 1))) = (𝑀 βˆ’ 1))
5352oveq1d 7428 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((β™―β€˜(1...(𝑀 βˆ’ 1)))C𝑀) = ((𝑀 βˆ’ 1)C𝑀))
54 nnz 12585 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„€)
55 nnre 12225 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
5655ltm1d 12152 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀 βˆ’ 1) < 𝑀)
5756olcd 870 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀 < 0 ∨ (𝑀 βˆ’ 1) < 𝑀))
58 bcval4 14273 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 βˆ’ 1) ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ (𝑀 < 0 ∨ (𝑀 βˆ’ 1) < 𝑀)) β†’ ((𝑀 βˆ’ 1)C𝑀) = 0)
5946, 54, 57, 58syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((𝑀 βˆ’ 1)C𝑀) = 0)
6050, 53, 593eqtrd 2774 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„• β†’ (β™―β€˜((1...(𝑀 βˆ’ 1))(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)) = 0)
61 ovex 7446 . . . . . . . . . 10 ((1...(𝑀 βˆ’ 1))(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) ∈ V
62 hasheq0 14329 . . . . . . . . . 10 (((1...(𝑀 βˆ’ 1))(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) ∈ V β†’ ((β™―β€˜((1...(𝑀 βˆ’ 1))(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)) = 0 ↔ ((1...(𝑀 βˆ’ 1))(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) = βˆ…))
6361, 62ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((β™―β€˜((1...(𝑀 βˆ’ 1))(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)) = 0 ↔ ((1...(𝑀 βˆ’ 1))(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) = βˆ…)
6460, 63sylib 217 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((1...(𝑀 βˆ’ 1))(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) = βˆ…)
6564feq2d 6704 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„• β†’ (βˆ…:((1...(𝑀 βˆ’ 1))(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆβˆ… ↔ βˆ…:βˆ…βŸΆβˆ…))
6647, 65mpbiri 257 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„• β†’ βˆ…:((1...(𝑀 βˆ’ 1))(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆβˆ…)
67 noel 4331 . . . . . . . 8 Β¬ 𝑐 ∈ βˆ…
6867pm2.21i 119 . . . . . . 7 (𝑐 ∈ βˆ… β†’ ((π‘₯(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) βŠ† (β—‘βˆ… β€œ {𝑐}) β†’ (β™―β€˜π‘₯) < (βˆ…β€˜π‘)))
6968ad2antrl 724 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ β„• ∧ (𝑐 ∈ βˆ… ∧ π‘₯ βŠ† (1...(𝑀 βˆ’ 1)))) β†’ ((π‘₯(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) βŠ† (β—‘βˆ… β€œ {𝑐}) β†’ (β™―β€˜π‘₯) < (βˆ…β€˜π‘)))
701, 43, 44, 45, 46, 66, 69ramlb 16958 . . . . 5 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀 βˆ’ 1) < (𝑀 Ramsey βˆ…))
71 ramubcl 16957 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ βˆ… ∈ V ∧ βˆ…:βˆ…βŸΆβ„•0) ∧ (𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝑀 Ramsey βˆ…) ≀ 𝑀)) β†’ (𝑀 Ramsey βˆ…) ∈ β„•0)
722, 4, 6, 2, 42, 71syl32anc 1376 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝑀 Ramsey βˆ…) ∈ β„•0)
73 nn0lem1lt 12633 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝑀 Ramsey βˆ…) ∈ β„•0) β†’ (𝑀 ≀ (𝑀 Ramsey βˆ…) ↔ (𝑀 βˆ’ 1) < (𝑀 Ramsey βˆ…)))
7443, 72, 73syl2anc2 583 . . . . 5 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀 ≀ (𝑀 Ramsey βˆ…) ↔ (𝑀 βˆ’ 1) < (𝑀 Ramsey βˆ…)))
7570, 74mpbird 256 . . . 4 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ≀ (𝑀 Ramsey βˆ…))
7675a1i 11 . . 3 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ≀ (𝑀 Ramsey βˆ…)))
7772nn0ge0d 12541 . . . 4 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ 0 ≀ (𝑀 Ramsey βˆ…))
78 breq1 5152 . . . 4 (𝑀 = 0 β†’ (𝑀 ≀ (𝑀 Ramsey βˆ…) ↔ 0 ≀ (𝑀 Ramsey βˆ…)))
7977, 78syl5ibrcom 246 . . 3 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝑀 = 0 β†’ 𝑀 ≀ (𝑀 Ramsey βˆ…)))
80 elnn0 12480 . . . 4 (𝑀 ∈ β„•0 ↔ (𝑀 ∈ β„• ∨ 𝑀 = 0))
8180biimpi 215 . . 3 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝑀 ∈ β„• ∨ 𝑀 = 0))
8276, 79, 81mpjaod 856 . 2 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ 𝑀 ≀ (𝑀 Ramsey βˆ…))
8372nn0red 12539 . . 3 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝑀 Ramsey βˆ…) ∈ ℝ)
84 nn0re 12487 . . 3 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
8583, 84letri3d 11362 . 2 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ ((𝑀 Ramsey βˆ…) = 𝑀 ↔ ((𝑀 Ramsey βˆ…) ≀ 𝑀 ∧ 𝑀 ≀ (𝑀 Ramsey βˆ…))))
8642, 82, 85mpbir2and 709 1 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝑀 Ramsey βˆ…) = 𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 843   = wceq 1539  βˆƒwex 1779   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆƒwrex 3068  {crab 3430  Vcvv 3472   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  π’« cpw 4603  {csn 4629   class class class wbr 5149  β—‘ccnv 5676   β€œ cima 5680  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7413   ∈ cmpo 7415   β‰ˆ cen 8940   β‰Ό cdom 8941  Fincfn 8943  0cc0 11114  1c1 11115   < clt 11254   ≀ cle 11255   βˆ’ cmin 11450  β„•cn 12218  β„•0cn0 12478  β„€cz 12564  ...cfz 13490  Ccbc 14268  β™―chash 14296   Ramsey cram 16938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-oadd 8474  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-inf 9442  df-dju 9900  df-card 9938  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878  df-nn 12219  df-n0 12479  df-xnn0 12551  df-z 12565  df-uz 12829  df-rp 12981  df-fz 13491  df-seq 13973  df-fac 14240  df-bc 14269  df-hash 14297  df-ram 16940
This theorem is referenced by:  0ramcl  16962  ramcl  16968
  Copyright terms: Public domain W3C validator