Theorem ram0 16651

Description: The Ramsey number when 𝑅 = ∅. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ram0	⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 Ramsey ∅) = 𝑀)

Proof of Theorem ram0

Dummy variables 𝑏 𝑓 𝑐 𝑠 𝑥 𝑎 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖}) = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
2		id 22	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℕ0)
3		0ex 5226	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ∅ ∈ V)
5		f0 6639	. . . 4 ⊢ ∅:∅⟶ℕ0
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ∅:∅⟶ℕ0)
7		f00 6640	. . . . 5 ⊢ (𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶∅ ↔ (𝑓 = ∅ ∧ (𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = ∅))
8		vex 3426	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑠 ∈ V
9		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
10	1	hashbcval 16631	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ∣ (♯‘𝑥) = 𝑀})
11	8, 9, 10	sylancr 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → (𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ∣ (♯‘𝑥) = 𝑀})
12		hashfz1 13988	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑀)) = 𝑀)
13	12	breq1d 5080	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((♯‘(1...𝑀)) ≤ (♯‘𝑠) ↔ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)))
14	13	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → (♯‘(1...𝑀)) ≤ (♯‘𝑠))
15		fzfid 13621	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → (1...𝑀) ∈ Fin)
16		hashdom 14022	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((1...𝑀) ∈ Fin ∧ 𝑠 ∈ V) → ((♯‘(1...𝑀)) ≤ (♯‘𝑠) ↔ (1...𝑀) ≼ 𝑠))
17	15, 8, 16	sylancl 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → ((♯‘(1...𝑀)) ≤ (♯‘𝑠) ↔ (1...𝑀) ≼ 𝑠))
18	14, 17	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → (1...𝑀) ≼ 𝑠)
19	8	domen 8706	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1...𝑀) ≼ 𝑠 ↔ ∃𝑥((1...𝑀) ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑠))
20	18, 19	sylib 217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → ∃𝑥((1...𝑀) ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑠))
21		simprr 769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) ∧ ((1...𝑀) ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑠)) → 𝑥 ⊆ 𝑠)
22		velpw 4535	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ↔ 𝑥 ⊆ 𝑠)
23	21, 22	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) ∧ ((1...𝑀) ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑠)) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑠)
24		hasheni 13990	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1...𝑀) ≈ 𝑥 → (♯‘(1...𝑀)) = (♯‘𝑥))
25	24	ad2antrl 724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) ∧ ((1...𝑀) ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑠)) → (♯‘(1...𝑀)) = (♯‘𝑥))
26	12	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) ∧ ((1...𝑀) ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑠)) → (♯‘(1...𝑀)) = 𝑀)
27	25, 26	eqtr3d 2780	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) ∧ ((1...𝑀) ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑠)) → (♯‘𝑥) = 𝑀)
28	23, 27	jca 511	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) ∧ ((1...𝑀) ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑠)) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ∧ (♯‘𝑥) = 𝑀))
29	28	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → (((1...𝑀) ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑠) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ∧ (♯‘𝑥) = 𝑀)))
30	29	eximdv 1921	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → (∃𝑥((1...𝑀) ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑠) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ∧ (♯‘𝑥) = 𝑀)))
31	20, 30	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ∧ (♯‘𝑥) = 𝑀))
32		df-rex 3069	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠(♯‘𝑥) = 𝑀 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ∧ (♯‘𝑥) = 𝑀))
33	31, 32	sylibr 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠(♯‘𝑥) = 𝑀)
34		rabn0 4316	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ∣ (♯‘𝑥) = 𝑀} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠(♯‘𝑥) = 𝑀)
35	33, 34	sylibr 233	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ∣ (♯‘𝑥) = 𝑀} ≠ ∅)
36	11, 35	eqnetrd 3010	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → (𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ≠ ∅)
37	36	neneqd 2947	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → ¬ (𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = ∅)
38	37	pm2.21d 121	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → ((𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = ∅ → ∃𝑐 ∈ ∅ ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((∅‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐}))))
39	38	adantld 490	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → ((𝑓 = ∅ ∧ (𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = ∅) → ∃𝑐 ∈ ∅ ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((∅‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐}))))
40	7, 39	syl5bi 241	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → (𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶∅ → ∃𝑐 ∈ ∅ ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((∅‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐}))))
41	40	impr 454	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑠) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶∅)) → ∃𝑐 ∈ ∅ ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((∅‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐})))
42	1, 2, 4, 6, 2, 41	ramub 16642	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 Ramsey ∅) ≤ 𝑀)
43		nnnn0 12170	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
44	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ∅ ∈ V)
45	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ∅:∅⟶ℕ0)
46		nnm1nn0 12204	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
47		f0 6639	. . . . . . 7 ⊢ ∅:∅⟶∅
48		fzfid 13621	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (1...(𝑀 − 1)) ∈ Fin)
49	1	hashbc2 16635	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1...(𝑀 − 1)) ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (♯‘((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)) = ((♯‘(1...(𝑀 − 1)))C𝑀))
50	48, 43, 49	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (♯‘((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)) = ((♯‘(1...(𝑀 − 1)))C𝑀))
51		hashfz1 13988	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(𝑀 − 1))) = (𝑀 − 1))
52	46, 51	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (♯‘(1...(𝑀 − 1))) = (𝑀 − 1))
53	52	oveq1d 7270	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((♯‘(1...(𝑀 − 1)))C𝑀) = ((𝑀 − 1)C𝑀))
54		nnz 12272	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
55		nnre 11910	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
56	55	ltm1d 11837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) < 𝑀)
57	56	olcd 870	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 < 0 ∨ (𝑀 − 1) < 𝑀))
58		bcval4 13949	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 < 0 ∨ (𝑀 − 1) < 𝑀)) → ((𝑀 − 1)C𝑀) = 0)
59	46, 54, 57, 58	syl3anc 1369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀 − 1)C𝑀) = 0)
60	50, 53, 59	3eqtrd 2782	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (♯‘((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)) = 0)
61		ovex 7288	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ∈ V
62		hasheq0 14006	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ∈ V → ((♯‘((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)) = 0 ↔ ((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = ∅))
63	61, 62	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)) = 0 ↔ ((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = ∅)
64	60, 63	sylib 217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = ∅)
65	64	feq2d 6570	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (∅:((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶∅ ↔ ∅:∅⟶∅))
66	47, 65	mpbiri 257	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ∅:((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶∅)
67		noel 4261	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 𝑐 ∈ ∅
68	67	pm2.21i 119	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 ∈ ∅ → ((𝑥(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (◡∅ “ {𝑐}) → (♯‘𝑥) < (∅‘𝑐)))
69	68	ad2antrl 724	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑐 ∈ ∅ ∧ 𝑥 ⊆ (1...(𝑀 − 1)))) → ((𝑥(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (◡∅ “ {𝑐}) → (♯‘𝑥) < (∅‘𝑐)))
70	1, 43, 44, 45, 46, 66, 69	ramlb 16648	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) < (𝑀 Ramsey ∅))
71		ramubcl 16647	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ∅ ∈ V ∧ ∅:∅⟶ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 Ramsey ∅) ≤ 𝑀)) → (𝑀 Ramsey ∅) ∈ ℕ0)
72	2, 4, 6, 2, 42, 71	syl32anc 1376	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 Ramsey ∅) ∈ ℕ0)
73		nn0lem1lt 12315	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 Ramsey ∅) ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ (𝑀 Ramsey ∅) ↔ (𝑀 − 1) < (𝑀 Ramsey ∅)))
74	43, 72, 73	syl2anc2 584	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ≤ (𝑀 Ramsey ∅) ↔ (𝑀 − 1) < (𝑀 Ramsey ∅)))
75	70, 74	mpbird 256	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ≤ (𝑀 Ramsey ∅))
76	75	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ≤ (𝑀 Ramsey ∅)))
77	72	nn0ge0d 12226	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝑀 Ramsey ∅))
78		breq1 5073	. . . 4 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀 ≤ (𝑀 Ramsey ∅) ↔ 0 ≤ (𝑀 Ramsey ∅)))
79	77, 78	syl5ibrcom 246	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 = 0 → 𝑀 ≤ (𝑀 Ramsey ∅)))
80		elnn0 12165	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
81	80	biimpi 215	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
82	76, 79, 81	mpjaod 856	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ≤ (𝑀 Ramsey ∅))
83	72	nn0red 12224	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 Ramsey ∅) ∈ ℝ)
84		nn0re 12172	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℝ)
85	83, 84	letri3d 11047	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑀 Ramsey ∅) = 𝑀 ↔ ((𝑀 Ramsey ∅) ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ (𝑀 Ramsey ∅))))
86	42, 82, 85	mpbir2and 709	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 Ramsey ∅) = 𝑀)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   = wceq 1539  ∃wex 1783   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∃wrex 3064  {crab 3067  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  𝒫 cpw 4530  {csn 4558   class class class wbr 5070  ^◡ccnv 5579   “ cima 5583  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∈ cmpo 7257   ≈ cen 8688   ≼ cdom 8689  Fincfn 8691  0cc0 10802  1c1 10803   < clt 10940   ≤ cle 10941   − cmin 11135  ℕcn 11903  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  ...cfz 13168  Ccbc 13944  ♯chash 13972   Ramsey cram 16628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-oadd 8271  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-seq 13650  df-fac 13916  df-bc 13945  df-hash 13973  df-ram 16630

This theorem is referenced by:  0ramcl  16652  ramcl  16658