Theorem ram0 17060

Description: The Ramsey number when 𝑅 = ∅. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ram0	⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 Ramsey ∅) = 𝑀)

Proof of Theorem ram0

Dummy variables 𝑏 𝑓 𝑐 𝑠 𝑥 𝑎 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖}) = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
2		id 22	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℕ0)
3		0ex 5307	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ∅ ∈ V)
5		f0 6789	. . . 4 ⊢ ∅:∅⟶ℕ0
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ∅:∅⟶ℕ0)
7		f00 6790	. . . . 5 ⊢ (𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶∅ ↔ (𝑓 = ∅ ∧ (𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = ∅))
8		vex 3484	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑠 ∈ V
9		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
10	1	hashbcval 17040	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ∣ (♯‘𝑥) = 𝑀})
11	8, 9, 10	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → (𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ∣ (♯‘𝑥) = 𝑀})
12		hashfz1 14385	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑀)) = 𝑀)
13	12	breq1d 5153	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((♯‘(1...𝑀)) ≤ (♯‘𝑠) ↔ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)))
14	13	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → (♯‘(1...𝑀)) ≤ (♯‘𝑠))
15		fzfid 14014	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → (1...𝑀) ∈ Fin)
16		hashdom 14418	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((1...𝑀) ∈ Fin ∧ 𝑠 ∈ V) → ((♯‘(1...𝑀)) ≤ (♯‘𝑠) ↔ (1...𝑀) ≼ 𝑠))
17	15, 8, 16	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → ((♯‘(1...𝑀)) ≤ (♯‘𝑠) ↔ (1...𝑀) ≼ 𝑠))
18	14, 17	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → (1...𝑀) ≼ 𝑠)
19	8	domen 9002	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1...𝑀) ≼ 𝑠 ↔ ∃𝑥((1...𝑀) ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑠))
20	18, 19	sylib 218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → ∃𝑥((1...𝑀) ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑠))
21		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) ∧ ((1...𝑀) ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑠)) → 𝑥 ⊆ 𝑠)
22		velpw 4605	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ↔ 𝑥 ⊆ 𝑠)
23	21, 22	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) ∧ ((1...𝑀) ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑠)) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑠)
24		hasheni 14387	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1...𝑀) ≈ 𝑥 → (♯‘(1...𝑀)) = (♯‘𝑥))
25	24	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) ∧ ((1...𝑀) ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑠)) → (♯‘(1...𝑀)) = (♯‘𝑥))
26	12	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) ∧ ((1...𝑀) ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑠)) → (♯‘(1...𝑀)) = 𝑀)
27	25, 26	eqtr3d 2779	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) ∧ ((1...𝑀) ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑠)) → (♯‘𝑥) = 𝑀)
28	23, 27	jca 511	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) ∧ ((1...𝑀) ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑠)) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ∧ (♯‘𝑥) = 𝑀))
29	28	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → (((1...𝑀) ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑠) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ∧ (♯‘𝑥) = 𝑀)))
30	29	eximdv 1917	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → (∃𝑥((1...𝑀) ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑠) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ∧ (♯‘𝑥) = 𝑀)))
31	20, 30	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ∧ (♯‘𝑥) = 𝑀))
32		df-rex 3071	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠(♯‘𝑥) = 𝑀 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ∧ (♯‘𝑥) = 𝑀))
33	31, 32	sylibr 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠(♯‘𝑥) = 𝑀)
34		rabn0 4389	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ∣ (♯‘𝑥) = 𝑀} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠(♯‘𝑥) = 𝑀)
35	33, 34	sylibr 234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ∣ (♯‘𝑥) = 𝑀} ≠ ∅)
36	11, 35	eqnetrd 3008	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → (𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ≠ ∅)
37	36	neneqd 2945	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → ¬ (𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = ∅)
38	37	pm2.21d 121	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → ((𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = ∅ → ∃𝑐 ∈ ∅ ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((∅‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐}))))
39	38	adantld 490	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → ((𝑓 = ∅ ∧ (𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = ∅) → ∃𝑐 ∈ ∅ ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((∅‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐}))))
40	7, 39	biimtrid 242	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑠)) → (𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶∅ → ∃𝑐 ∈ ∅ ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((∅‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐}))))
41	40	impr 454	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑠) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶∅)) → ∃𝑐 ∈ ∅ ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((∅‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐})))
42	1, 2, 4, 6, 2, 41	ramub 17051	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 Ramsey ∅) ≤ 𝑀)
43		nnnn0 12533	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
44	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ∅ ∈ V)
45	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ∅:∅⟶ℕ0)
46		nnm1nn0 12567	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
47		f0 6789	. . . . . . 7 ⊢ ∅:∅⟶∅
48		fzfid 14014	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (1...(𝑀 − 1)) ∈ Fin)
49	1	hashbc2 17044	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1...(𝑀 − 1)) ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (♯‘((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)) = ((♯‘(1...(𝑀 − 1)))C𝑀))
50	48, 43, 49	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (♯‘((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)) = ((♯‘(1...(𝑀 − 1)))C𝑀))
51		hashfz1 14385	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(𝑀 − 1))) = (𝑀 − 1))
52	46, 51	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (♯‘(1...(𝑀 − 1))) = (𝑀 − 1))
53	52	oveq1d 7446	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((♯‘(1...(𝑀 − 1)))C𝑀) = ((𝑀 − 1)C𝑀))
54		nnz 12634	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
55		nnre 12273	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
56	55	ltm1d 12200	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) < 𝑀)
57	56	olcd 875	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 < 0 ∨ (𝑀 − 1) < 𝑀))
58		bcval4 14346	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 < 0 ∨ (𝑀 − 1) < 𝑀)) → ((𝑀 − 1)C𝑀) = 0)
59	46, 54, 57, 58	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀 − 1)C𝑀) = 0)
60	50, 53, 59	3eqtrd 2781	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (♯‘((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)) = 0)
61		ovex 7464	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ∈ V
62		hasheq0 14402	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ∈ V → ((♯‘((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)) = 0 ↔ ((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = ∅))
63	61, 62	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)) = 0 ↔ ((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = ∅)
64	60, 63	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = ∅)
65	64	feq2d 6722	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (∅:((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶∅ ↔ ∅:∅⟶∅))
66	47, 65	mpbiri 258	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ∅:((1...(𝑀 − 1))(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶∅)
67		noel 4338	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 𝑐 ∈ ∅
68	67	pm2.21i 119	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 ∈ ∅ → ((𝑥(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (◡∅ “ {𝑐}) → (♯‘𝑥) < (∅‘𝑐)))
69	68	ad2antrl 728	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑐 ∈ ∅ ∧ 𝑥 ⊆ (1...(𝑀 − 1)))) → ((𝑥(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (◡∅ “ {𝑐}) → (♯‘𝑥) < (∅‘𝑐)))
70	1, 43, 44, 45, 46, 66, 69	ramlb 17057	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) < (𝑀 Ramsey ∅))
71		ramubcl 17056	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ∅ ∈ V ∧ ∅:∅⟶ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 Ramsey ∅) ≤ 𝑀)) → (𝑀 Ramsey ∅) ∈ ℕ0)
72	2, 4, 6, 2, 42, 71	syl32anc 1380	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 Ramsey ∅) ∈ ℕ0)
73		nn0lem1lt 12683	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 Ramsey ∅) ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ (𝑀 Ramsey ∅) ↔ (𝑀 − 1) < (𝑀 Ramsey ∅)))
74	43, 72, 73	syl2anc2 585	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ≤ (𝑀 Ramsey ∅) ↔ (𝑀 − 1) < (𝑀 Ramsey ∅)))
75	70, 74	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ≤ (𝑀 Ramsey ∅))
76	75	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ≤ (𝑀 Ramsey ∅)))
77	72	nn0ge0d 12590	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝑀 Ramsey ∅))
78		breq1 5146	. . . 4 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀 ≤ (𝑀 Ramsey ∅) ↔ 0 ≤ (𝑀 Ramsey ∅)))
79	77, 78	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 = 0 → 𝑀 ≤ (𝑀 Ramsey ∅)))
80		elnn0 12528	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
81	80	biimpi 216	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
82	76, 79, 81	mpjaod 861	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ≤ (𝑀 Ramsey ∅))
83	72	nn0red 12588	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 Ramsey ∅) ∈ ℝ)
84		nn0re 12535	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℝ)
85	83, 84	letri3d 11403	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑀 Ramsey ∅) = 𝑀 ↔ ((𝑀 Ramsey ∅) ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ (𝑀 Ramsey ∅))))
86	42, 82, 85	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 Ramsey ∅) = 𝑀)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∃wrex 3070  {crab 3436  Vcvv 3480   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333  𝒫 cpw 4600  {csn 4626   class class class wbr 5143  ^◡ccnv 5684   “ cima 5688  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433   ≈ cen 8982   ≼ cdom 8983  Fincfn 8985  0cc0 11155  1c1 11156   < clt 11295   ≤ cle 11296   − cmin 11492  ℕcn 12266  ℕ₀cn0 12526  ℤcz 12613  ...cfz 13547  Ccbc 14341  ♯chash 14369   Ramsey cram 17037

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-seq 14043  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-ram 17039

This theorem is referenced by:  0ramcl  17061  ramcl  17067