Theorem bren 8501

Description: Equinumerosity relation. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
bren	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem bren

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		encv 8500	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
2		f1ofn 6591	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝑓 Fn 𝐴)
3		fndm 6425	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 Fn 𝐴 → dom 𝑓 = 𝐴)
4		vex 3444	. . . . . . 7 ⊢ 𝑓 ∈ V
5	4	dmex 7598	. . . . . 6 ⊢ dom 𝑓 ∈ V
6	3, 5	eqeltrrdi 2899	. . . . 5 ⊢ (𝑓 Fn 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
7	2, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐴 ∈ V)
8		f1ofo 6597	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝑓:𝐴–onto→𝐵)
9		forn 6568	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → ran 𝑓 = 𝐵)
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ran 𝑓 = 𝐵)
11	4	rnex 7599	. . . . 5 ⊢ ran 𝑓 ∈ V
12	10, 11	eqeltrrdi 2899	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐵 ∈ V)
13	7, 12	jca 515	. . 3 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
14	13	exlimiv 1931	. 2 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
15		f1oeq2 6580	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑦 ↔ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝑦))
16	15	exbidv 1922	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∃𝑓 𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑦 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝑦))
17		f1oeq3 6581	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝑦 ↔ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵))
18	17	exbidv 1922	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝑦 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵))
19		df-en 8493	. . 3 ⊢ ≈ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑓 𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑦}
20	16, 18, 19	brabg 5391	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵))
21	1, 14, 20	pm5.21nii 383	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   class class class wbr 5030  dom cdm 5519  ran crn 5520   Fn wfn 6319  –onto→wfo 6322  –1-1-onto→wf1o 6323   ≈ cen 8489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-dm 5529  df-rn 5530  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-en 8493

This theorem is referenced by:  domen  8505  f1oen3g  8508  ener  8539  en0  8555  ensn1  8556  en1  8559  unen  8579  enfixsn  8609  canth2  8654  mapen  8665  ssenen  8675  phplem4  8683  php3  8687  isinf  8715  ssfi  8722  domunfican  8775  fiint  8779  mapfien2  8856  unxpwdom2  9036  isinffi  9405  infxpenc2  9433  fseqen  9438  dfac8b  9442  infpwfien  9473  dfac12r  9557  infmap2  9629  cff1  9669  infpssr  9719  fin4en1  9720  enfin2i  9732  enfin1ai  9795  axcc3  9849  axcclem  9868  numth  9883  ttukey2g  9927  canthnum  10060  canthwe  10062  canthp1  10065  pwfseq  10075  tskuni  10194  gruen  10223  hasheqf1o  13705  hashfacen  13808  fz1f1o  15059  ruc  15588  cnso  15592  eulerth  16110  ablfaclem3  19202  lbslcic  20530  uvcendim  20536  indishmph  22403  ufldom  22567  ovolctb  24094  ovoliunlem3  24108  iunmbl2  24161  dyadmbl  24204  vitali  24217  cusgrfilem3  27247  padct  30481  f1ocnt  30551  volmeas  31600  eulerpart  31750  derangenlem  32531  mblfinlem1  35094  eldioph2lem1  39701  isnumbasgrplem1  40045  nnf1oxpnn  41823  sprsymrelen  44017  prproropen  44025  uspgrspren  44380  uspgrbisymrel  44382  1aryenef  45059  2aryenef  45070  rrx2xpreen  45133