Theorem bren 8879

Description: Equinumerosity relation. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.) Extract breng 8878 as an intermediate result. (Revised by BTernaryTau, 23-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
bren	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem bren

Step	Hyp	Ref	Expression
1		encv 8877	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
2		f1ofn 6764	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝑓 Fn 𝐴)
3		fndm 6584	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 Fn 𝐴 → dom 𝑓 = 𝐴)
4		vex 3440	. . . . . . 7 ⊢ 𝑓 ∈ V
5	4	dmex 7839	. . . . . 6 ⊢ dom 𝑓 ∈ V
6	3, 5	eqeltrrdi 2840	. . . . 5 ⊢ (𝑓 Fn 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
7	2, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐴 ∈ V)
8		f1ofo 6770	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝑓:𝐴–onto→𝐵)
9		forn 6738	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → ran 𝑓 = 𝐵)
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ran 𝑓 = 𝐵)
11	4	rnex 7840	. . . . 5 ⊢ ran 𝑓 ∈ V
12	10, 11	eqeltrrdi 2840	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐵 ∈ V)
13	7, 12	jca 511	. . 3 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
14	13	exlimiv 1931	. 2 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
15		breng 8878	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵))
16	1, 14, 15	pm5.21nii 378	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   class class class wbr 5091  dom cdm 5616  ran crn 5617   Fn wfn 6476  –onto→wfo 6479  –1-1-onto→wf1o 6480   ≈ cen 8866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pr 5370  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-dm 5626  df-rn 5627  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-en 8870

This theorem is referenced by:  domen  8884  f1oen3g  8889  ener  8923  en0ALT  8941  unen  8967  enfixsn  8999  canth2  9043  mapen  9054  ssenen  9064  dif1en  9071  ssfiALT  9083  ensymfib  9093  entrfil  9094  phplem2  9114  php3  9118  isinf  9149  domunfican  9206  fiint  9211  mapfien2  9293  unxpwdom2  9474  isinffi  9882  infxpenc2  9910  fseqen  9915  dfac8b  9919  infpwfien  9950  dfac12r  10035  infmap2  10105  cff1  10146  infpssr  10196  fin4en1  10197  enfin2i  10209  enfin1ai  10272  axcc3  10326  axcclem  10345  numth  10360  ttukey2g  10404  canthnum  10537  canthwe  10539  canthp1  10542  pwfseq  10552  tskuni  10671  gruen  10700  hasheqf1o  14253  hashfacen  14358  fz1f1o  15614  ruc  16149  cnso  16153  eulerth  16691  ablfaclem3  19999  lbslcic  21776  uvcendim  21782  indishmph  23711  ufldom  23875  ovolctb  25416  ovoliunlem3  25430  iunmbl2  25483  dyadmbl  25526  vitali  25539  cusgrfilem3  29434  padct  32696  f1ocnt  32777  volmeas  34239  eulerpart  34390  derangenlem  35203  mblfinlem1  37696  sticksstones4  42181  sticksstones20  42198  eldioph2lem1  42792  isnumbasgrplem1  43133  nnf1oxpnn  45231  sprsymrelen  47530  prproropen  47538  uspgrspren  48182  uspgrbisymrel  48184  1aryenef  48676  2aryenef  48687  rrx2xpreen  48750