Theorem bren 8701

Description: Equinumerosity relation. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.) (Proof shortened by BTernaryTau, 23-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
bren	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem bren

Step	Hyp	Ref	Expression
1		encv 8699	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
2		f1ofn 6701	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝑓 Fn 𝐴)
3		fndm 6520	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 Fn 𝐴 → dom 𝑓 = 𝐴)
4		vex 3426	. . . . . . 7 ⊢ 𝑓 ∈ V
5	4	dmex 7732	. . . . . 6 ⊢ dom 𝑓 ∈ V
6	3, 5	eqeltrrdi 2848	. . . . 5 ⊢ (𝑓 Fn 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
7	2, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐴 ∈ V)
8		f1ofo 6707	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝑓:𝐴–onto→𝐵)
9		forn 6675	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → ran 𝑓 = 𝐵)
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ran 𝑓 = 𝐵)
11	4	rnex 7733	. . . . 5 ⊢ ran 𝑓 ∈ V
12	10, 11	eqeltrrdi 2848	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐵 ∈ V)
13	7, 12	jca 511	. . 3 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
14	13	exlimiv 1934	. 2 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
15		breng 8700	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵))
16	1, 14, 15	pm5.21nii 379	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539  ∃wex 1783   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   class class class wbr 5070  dom cdm 5580  ran crn 5581   Fn wfn 6413  –onto→wfo 6416  –1-1-onto→wf1o 6417   ≈ cen 8688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-dm 5590  df-rn 5591  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-en 8692

This theorem is referenced by:  domen  8706  f1oen3g  8709  ener  8742  en0OLD  8759  en0ALT  8760  ensn1OLD  8762  en1OLD  8766  en2snOLD  8786  unen  8790  enfixsn  8821  canth2  8866  mapen  8877  ssenen  8887  phplem4  8895  php3  8899  rexdif1en  8906  dif1en  8907  ssfiALT  8919  ensymfib  8930  entrfil  8931  isinf  8965  domunfican  9017  fiint  9021  mapfien2  9098  unxpwdom2  9277  isinffi  9681  infxpenc2  9709  fseqen  9714  dfac8b  9718  infpwfien  9749  dfac12r  9833  infmap2  9905  cff1  9945  infpssr  9995  fin4en1  9996  enfin2i  10008  enfin1ai  10071  axcc3  10125  axcclem  10144  numth  10159  ttukey2g  10203  canthnum  10336  canthwe  10338  canthp1  10341  pwfseq  10351  tskuni  10470  gruen  10499  hasheqf1o  13991  hashfacen  14094  hashfacenOLD  14095  fz1f1o  15350  ruc  15880  cnso  15884  eulerth  16412  ablfaclem3  19605  lbslcic  20958  uvcendim  20964  indishmph  22857  ufldom  23021  ovolctb  24559  ovoliunlem3  24573  iunmbl2  24626  dyadmbl  24669  vitali  24682  cusgrfilem3  27727  padct  30956  f1ocnt  31025  volmeas  32099  eulerpart  32249  derangenlem  33033  mblfinlem1  35741  sticksstones4  40033  sticksstones20  40050  eldioph2lem1  40498  isnumbasgrplem1  40842  nnf1oxpnn  42623  sprsymrelen  44840  prproropen  44848  uspgrspren  45202  uspgrbisymrel  45204  1aryenef  45879  2aryenef  45890  rrx2xpreen  45953