Theorem bren 8933

Description: Equinumerosity relation. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.) Extract breng 8932 as an intermediate result. (Revised by BTernaryTau, 23-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
bren	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem bren

Step	Hyp	Ref	Expression
1		encv 8931	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
2		f1ofn 6803	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝑓 Fn 𝐴)
3		fndm 6620	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 Fn 𝐴 → dom 𝑓 = 𝐴)
4		vex 3457	. . . . . . 7 ⊢ 𝑓 ∈ V
5	4	dmex 7886	. . . . . 6 ⊢ dom 𝑓 ∈ V
6	3, 5	eqeltrrdi 2870	. . . . 5 ⊢ (𝑓 Fn 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
7	2, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐴 ∈ V)
8		f1ofo 6810	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝑓:𝐴–onto→𝐵)
9		forn 6777	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → ran 𝑓 = 𝐵)
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ran 𝑓 = 𝐵)
11	4	rnex 7887	. . . . 5 ⊢ ran 𝑓 ∈ V
12	10, 11	eqeltrrdi 2870	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐵 ∈ V)
13	7, 12	jca 519	. . 3 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
14	13	exlimiv 1949	. 2 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
15		breng 8932	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵))
16	1, 14, 15	pm5.21nii 380	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559  ∃wex 1798   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453   class class class wbr 5099  dom cdm 5645  ran crn 5646   Fn wfn 6512  –onto→wfo 6515  –1-1-onto→wf1o 6516   ≈ cen 8920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-pr 5389  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-sb 2090  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-dm 5655  df-rn 5656  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-en 8924

This theorem is referenced by:  domen  8938  f1oen3g  8943  ener  8978  en0ALT  8996  unen  9022  enfixsn  9054  canth2  9098  mapen  9109  ssenen  9119  dif1en  9126  ssfiALT  9138  ensymfib  9148  entrfil  9149  phplem2  9169  php3  9173  isinf  9205  domunfican  9262  fiint  9267  mapfien2  9352  unxpwdom2  9533  isinffi  9947  infxpenc2  9975  fseqen  9980  dfac8b  9984  infpwfien  10015  dfac12r  10100  infmap2  10170  cff1  10212  infpssr  10262  fin4en1  10263  enfin2i  10275  enfin1ai  10338  axcc3  10392  axcclem  10411  numth  10426  ttukey2g  10470  canthnum  10604  canthwe  10606  canthp1  10609  pwfseq  10619  tskuni  10738  gruen  10767  hasheqf1o  14359  hashfacen  14464  fz1f1o  15720  ruc  16258  cnso  16262  eulerth  16801  ablfaclem3  20112  lbslcic  21873  uvcendim  21879  indishmph  23838  ufldom  24002  ovolctb  25532  ovoliunlem3  25546  iunmbl2  25599  dyadmbl  25642  vitali  25655  cusgrfilem3  29604  padct  32870  f1ocnt  32952  volmeas  34489  eulerpart  34640  derangenlem  35485  mblfinlem1  38120  sticksstones4  42730  sticksstones20  42747  eldioph2lem1  43305  isnumbasgrplem1  43642  nnf1oxpnn  45737  sprsymrelen  48070  prproropen  48078  uspgrspren  48738  uspgrbisymrel  48740  1aryenef  49231  2aryenef  49242  rrx2xpreen  49305