Theorem bren 9011

Description: Equinumerosity relation. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.) Extract breng 9010 as an intermediate result. (Revised by BTernaryTau, 23-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
bren	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴⟶1-1onto𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem bren

Step	Hyp	Ref	Expression
1		encv 9009	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
2		f1ofn 6847	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴⟶1-1onto𝐵 → 𝑓 Fn 𝐴)
3		fndm 6664	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 Fn 𝐴 → dom 𝑓 = 𝐴)
4		vex 3458	. . . . . . 7 ⊢ 𝑓 ∈ V
5	4	dmex 7945	. . . . . 6 ⊢ dom 𝑓 ∈ V
6	3, 5	eqeltrrdi 2873	. . . . 5 ⊢ (𝑓 Fn 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
7	2, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝐴⟶1-1onto𝐵 → 𝐴 ∈ V)
8		f1ofo 6854	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴⟶1-1onto𝐵 → 𝑓:𝐴⟶onto𝐵)
9		forn 6821	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴⟶onto𝐵 → ran 𝑓 = 𝐵)
10	8, 9	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴⟶1-1onto𝐵 → ran 𝑓 = 𝐵)
11	4	rnex 7946	. . . . 5 ⊢ ran 𝑓 ∈ V
12	10, 11	eqeltrrdi 2873	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝐴⟶1-1onto𝐵 → 𝐵 ∈ V)
13	7, 12	jca 521	. . 3 ⊢ (𝑓:𝐴⟶1-1onto𝐵 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
14	13	exlimiv 1965	. 2 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐴⟶1-1onto𝐵 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
15		breng 9010	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴⟶1-1onto𝐵))
16	1, 14, 15	pm5.21nii 381	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴⟶1-1onto𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   class class class wbr 5106  dom cdm 5655  ran crn 5656   Fn wfn 6553  ⟶ontowfo 6556  ⟶1-1ontowf1o 6557   ≈ cen 8998

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-dm 5665  df-rn 5666  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-en 9002

This theorem is used by:  domen  9016  f1oen3g  9021  ener  9056  en0ALT  9074  unen  9101  enfixsn  9133  canth2  9177  mapen  9188  ssenen  9198  dif1en  9205  ssfiALT  9217  ensymfib  9227  entrfil  9228  phplem2  9248  php3  9252  isinf  9284  domunfican  9341  fiint  9346  mapfien2  9428  unxpwdom2  9609  isinffi  10100  infxpenc2  10128  fseqen  10133  dfac8b  10137  infpwfien  10168  dfac12r  10252  infmap2  10322  cff1  10363  infpssr  10413  fin4en1  10414  enfin2i  10426  enfin1ai  10489  axcc3  10543  axcclem  10562  numth  10577  ttukey2g  10621  canthnum  10761  canthwe  10763  canthp1  10766  pwfseq  10776  tskuni  10895  gruen  10924  hasheqf1o  14520  hashfacen  14626  fz1f1o  15905  ruc  16440  cnso  16444  eulerth  16989  ablfaclem3  20333  lbslcic  22177  uvcendim  22183  indishmph  24147  ufldom  24311  ovolctb  25841  ovoliunlem3  25855  iunmbl2  25908  dyadmbl  25951  vitali  25964  cusgrfilem3  30068  padct  33381  f1ocnt  33462  volmeas  34934  eulerpart  35084  dfac15  35845  derangenlem  36103  mblfinlem1  38767  sticksstones4  43391  sticksstones20  43408  eldioph2lem1  43964  isnumbasgrplem1  44295  fingrphf  46231  nnf1oxpnn  46415  sprsymrelen  48787  prproropen  48795  uspgrspren  49455  uspgrbisymrel  49457  1aryenef  49962  2aryenef  49973  rrx2xpreen  50037