MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bren Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bren 8827
Description: Equinumerosity relation. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.) Extract breng 8826 as an intermediate result. (Revised by BTernaryTau, 23-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
bren (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem bren
StepHypRef Expression
1 encv 8825 . 2 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
2 f1ofn 6781 . . . . 5 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑓 Fn 𝐴)
3 fndm 6601 . . . . . 6 (𝑓 Fn 𝐴 → dom 𝑓 = 𝐴)
4 vex 3448 . . . . . . 7 𝑓 ∈ V
54dmex 7839 . . . . . 6 dom 𝑓 ∈ V
63, 5eqeltrrdi 2848 . . . . 5 (𝑓 Fn 𝐴𝐴 ∈ V)
72, 6syl 17 . . . 4 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ V)
8 f1ofo 6787 . . . . . 6 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐴onto𝐵)
9 forn 6755 . . . . . 6 (𝑓:𝐴onto𝐵 → ran 𝑓 = 𝐵)
108, 9syl 17 . . . . 5 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → ran 𝑓 = 𝐵)
114rnex 7840 . . . . 5 ran 𝑓 ∈ V
1210, 11eqeltrrdi 2848 . . . 4 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐵 ∈ V)
137, 12jca 513 . . 3 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
1413exlimiv 1934 . 2 (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
15 breng 8826 . 2 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵))
161, 14, 15pm5.21nii 380 1 (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  Vcvv 3444   class class class wbr 5104  dom cdm 5631  ran crn 5632   Fn wfn 6487  ontowfo 6490  1-1-ontowf1o 6491  cen 8814
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pr 5383  ax-un 7663
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-br 5105  df-opab 5167  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-dm 5641  df-rn 5642  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-en 8818
This theorem is referenced by:  domen  8835  f1oen3g  8840  ener  8875  en0OLD  8892  en0ALT  8893  ensn1OLD  8896  en1OLD  8900  en2snOLD  8920  unen  8924  enfixsn  8959  canth2  9008  mapen  9019  ssenen  9029  rexdif1enOLD  9037  dif1en  9038  dif1enOLD  9040  ssfiALT  9052  ensymfib  9065  entrfil  9066  phplem2  9086  php3  9090  phplem4OLD  9098  php3OLD  9102  isinf  9138  isinfOLD  9139  domunfican  9198  fiint  9202  mapfien2  9279  unxpwdom2  9458  isinffi  9862  infxpenc2  9892  fseqen  9897  dfac8b  9901  infpwfien  9932  dfac12r  10016  infmap2  10088  cff1  10128  infpssr  10178  fin4en1  10179  enfin2i  10191  enfin1ai  10254  axcc3  10308  axcclem  10327  numth  10342  ttukey2g  10386  canthnum  10519  canthwe  10521  canthp1  10524  pwfseq  10534  tskuni  10653  gruen  10682  hasheqf1o  14177  hashfacen  14279  hashfacenOLD  14280  fz1f1o  15530  ruc  16060  cnso  16064  eulerth  16590  ablfaclem3  19795  lbslcic  21170  uvcendim  21176  indishmph  23071  ufldom  23235  ovolctb  24776  ovoliunlem3  24790  iunmbl2  24843  dyadmbl  24886  vitali  24899  cusgrfilem3  28191  padct  31418  f1ocnt  31487  volmeas  32591  eulerpart  32743  derangenlem  33526  mblfinlem1  36001  sticksstones4  40443  sticksstones20  40460  eldioph2lem1  40917  isnumbasgrplem1  41262  nnf1oxpnn  43141  sprsymrelen  45410  prproropen  45418  uspgrspren  45772  uspgrbisymrel  45774  1aryenef  46449  2aryenef  46460  rrx2xpreen  46523
  Copyright terms: Public domain W3C validator