Theorem bren 8953

Description: Equinumerosity relation. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.) Extract breng 8952 as an intermediate result. (Revised by BTernaryTau, 23-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
bren	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem bren

Step	Hyp	Ref	Expression
1		encv 8951	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
2		f1ofn 6835	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝑓 Fn 𝐴)
3		fndm 6653	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 Fn 𝐴 → dom 𝑓 = 𝐴)
4		vex 3476	. . . . . . 7 ⊢ 𝑓 ∈ V
5	4	dmex 7906	. . . . . 6 ⊢ dom 𝑓 ∈ V
6	3, 5	eqeltrrdi 2840	. . . . 5 ⊢ (𝑓 Fn 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
7	2, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐴 ∈ V)
8		f1ofo 6841	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝑓:𝐴–onto→𝐵)
9		forn 6809	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → ran 𝑓 = 𝐵)
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ran 𝑓 = 𝐵)
11	4	rnex 7907	. . . . 5 ⊢ ran 𝑓 ∈ V
12	10, 11	eqeltrrdi 2840	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐵 ∈ V)
13	7, 12	jca 510	. . 3 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
14	13	exlimiv 1931	. 2 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
15		breng 8952	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵))
16	1, 14, 15	pm5.21nii 377	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539  ∃wex 1779   ∈ wcel 2104  Vcvv 3472   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  ran crn 5678   Fn wfn 6539  –onto→wfo 6542  –1-1-onto→wf1o 6543   ≈ cen 8940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-ext 2701  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-dm 5687  df-rn 5688  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-en 8944

This theorem is referenced by:  domen  8961  f1oen3g  8966  ener  9001  en0OLD  9018  en0ALT  9019  ensn1OLD  9022  en1OLD  9026  en2snOLD  9046  unen  9050  enfixsn  9085  canth2  9134  mapen  9145  ssenen  9155  rexdif1enOLD  9163  dif1en  9164  dif1enOLD  9166  ssfiALT  9178  ensymfib  9191  entrfil  9192  phplem2  9212  php3  9216  phplem4OLD  9224  php3OLD  9228  isinf  9264  isinfOLD  9265  domunfican  9324  fiint  9328  mapfien2  9408  unxpwdom2  9587  isinffi  9991  infxpenc2  10021  fseqen  10026  dfac8b  10030  infpwfien  10061  dfac12r  10145  infmap2  10217  cff1  10257  infpssr  10307  fin4en1  10308  enfin2i  10320  enfin1ai  10383  axcc3  10437  axcclem  10456  numth  10471  ttukey2g  10515  canthnum  10648  canthwe  10650  canthp1  10653  pwfseq  10663  tskuni  10782  gruen  10811  hasheqf1o  14315  hashfacen  14419  hashfacenOLD  14420  fz1f1o  15662  ruc  16192  cnso  16196  eulerth  16722  ablfaclem3  20000  lbslcic  21617  uvcendim  21623  indishmph  23524  ufldom  23688  ovolctb  25241  ovoliunlem3  25255  iunmbl2  25308  dyadmbl  25351  vitali  25364  cusgrfilem3  28979  padct  32209  f1ocnt  32278  volmeas  33525  eulerpart  33677  derangenlem  34458  mblfinlem1  36830  sticksstones4  41273  sticksstones20  41290  eldioph2lem1  41802  isnumbasgrplem1  42147  nnf1oxpnn  44194  sprsymrelen  46468  prproropen  46476  uspgrspren  46830  uspgrbisymrel  46832  1aryenef  47420  2aryenef  47431  rrx2xpreen  47494