Theorem bren 8954

Description: Equinumerosity relation. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.) Extract breng 8953 as an intermediate result. (Revised by BTernaryTau, 23-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
bren	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem bren

Step	Hyp	Ref	Expression
1		encv 8952	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
2		f1ofn 6823	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝑓 Fn 𝐴)
3		fndm 6640	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 Fn 𝐴 → dom 𝑓 = 𝐴)
4		vex 3459	. . . . . . 7 ⊢ 𝑓 ∈ V
5	4	dmex 7907	. . . . . 6 ⊢ dom 𝑓 ∈ V
6	3, 5	eqeltrrdi 2872	. . . . 5 ⊢ (𝑓 Fn 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
7	2, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐴 ∈ V)
8		f1ofo 6830	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝑓:𝐴–onto→𝐵)
9		forn 6797	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → ran 𝑓 = 𝐵)
10	8, 9	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ran 𝑓 = 𝐵)
11	4	rnex 7908	. . . . 5 ⊢ ran 𝑓 ∈ V
12	10, 11	eqeltrrdi 2872	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐵 ∈ V)
13	7, 12	jca 520	. . 3 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
14	13	exlimiv 1960	. 2 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
15		breng 8953	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵))
16	1, 14, 15	pm5.21nii 381	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   class class class wbr 5110  dom cdm 5663  ran crn 5664   Fn wfn 6533  –onto→wfo 6536  –1-1-onto→wf1o 6537   ≈ cen 8941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-sb 2097  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-dm 5673  df-rn 5674  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-en 8945

This theorem is referenced by:  domen  8959  f1oen3g  8964  ener  8999  en0ALT  9017  unen  9043  enfixsn  9075  canth2  9119  mapen  9130  ssenen  9140  dif1en  9147  ssfiALT  9159  ensymfib  9169  entrfil  9170  phplem2  9190  php3  9194  isinf  9226  domunfican  9282  fiint  9287  mapfien2  9370  unxpwdom2  9551  isinffi  9979  infxpenc2  10007  fseqen  10012  dfac8b  10016  infpwfien  10047  dfac12r  10131  infmap2  10201  cff1  10243  infpssr  10293  fin4en1  10294  enfin2i  10306  enfin1ai  10369  axcc3  10423  axcclem  10442  numth  10457  ttukey2g  10501  canthnum  10635  canthwe  10637  canthp1  10640  pwfseq  10650  tskuni  10769  gruen  10798  hasheqf1o  14387  hashfacen  14493  fz1f1o  15763  ruc  16300  cnso  16304  eulerth  16843  ablfaclem3  20160  lbslcic  21972  uvcendim  21978  indishmph  23936  ufldom  24100  ovolctb  25630  ovoliunlem3  25644  iunmbl2  25697  dyadmbl  25740  vitali  25753  cusgrfilem3  29785  padct  33041  f1ocnt  33123  volmeas  34599  eulerpart  34750  derangenlem  35641  mblfinlem1  38286  sticksstones4  42894  sticksstones20  42911  eldioph2lem1  43471  isnumbasgrplem1  43808  nnf1oxpnn  45893  sprsymrelen  48226  prproropen  48234  uspgrspren  48894  uspgrbisymrel  48896  1aryenef  49402  2aryenef  49413  rrx2xpreen  49476