Theorem bren 8966

Description: Equinumerosity relation. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.) Extract breng 8965 as an intermediate result. (Revised by BTernaryTau, 23-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
bren	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem bren

Step	Hyp	Ref	Expression
1		encv 8964	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
2		f1ofn 6822	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝑓 Fn 𝐴)
3		fndm 6639	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 Fn 𝐴 → dom 𝑓 = 𝐴)
4		vex 3457	. . . . . . 7 ⊢ 𝑓 ∈ V
5	4	dmex 7910	. . . . . 6 ⊢ dom 𝑓 ∈ V
6	3, 5	eqeltrrdi 2871	. . . . 5 ⊢ (𝑓 Fn 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
7	2, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐴 ∈ V)
8		f1ofo 6829	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝑓:𝐴–onto→𝐵)
9		forn 6796	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → ran 𝑓 = 𝐵)
10	8, 9	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ran 𝑓 = 𝐵)
11	4	rnex 7911	. . . . 5 ⊢ ran 𝑓 ∈ V
12	10, 11	eqeltrrdi 2871	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐵 ∈ V)
13	7, 12	jca 521	. . 3 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
14	13	exlimiv 1963	. 2 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
15		breng 8965	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵))
16	1, 14, 15	pm5.21nii 381	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   class class class wbr 5107  dom cdm 5659  ran crn 5660   Fn wfn 6532  –onto→wfo 6535  –1-1-onto→wf1o 6536   ≈ cen 8953

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-dm 5669  df-rn 5670  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-en 8957

This theorem is used by:  domen  8971  f1oen3g  8976  ener  9011  en0ALT  9029  unen  9056  enfixsn  9088  canth2  9132  mapen  9143  ssenen  9153  dif1en  9160  ssfiALT  9172  ensymfib  9182  entrfil  9183  phplem2  9203  php3  9207  isinf  9239  domunfican  9295  fiint  9300  mapfien2  9383  unxpwdom2  9564  isinffi  10001  infxpenc2  10029  fseqen  10034  dfac8b  10038  infpwfien  10069  dfac12r  10153  infmap2  10223  cff1  10264  infpssr  10314  fin4en1  10315  enfin2i  10327  enfin1ai  10390  axcc3  10444  axcclem  10463  numth  10478  ttukey2g  10522  canthnum  10662  canthwe  10664  canthp1  10667  pwfseq  10677  tskuni  10796  gruen  10825  hasheqf1o  14417  hashfacen  14523  fz1f1o  15800  ruc  16337  cnso  16341  eulerth  16880  ablfaclem3  20222  lbslcic  22060  uvcendim  22066  indishmph  24030  ufldom  24194  ovolctb  25724  ovoliunlem3  25738  iunmbl2  25791  dyadmbl  25834  vitali  25847  cusgrfilem3  29925  padct  33197  f1ocnt  33279  volmeas  34750  eulerpart  34901  derangenlem  35758  mblfinlem1  38414  sticksstones4  43023  sticksstones20  43040  eldioph2lem1  43613  isnumbasgrplem1  43950  nnf1oxpnn  46035  sprsymrelen  48408  prproropen  48416  uspgrspren  49076  uspgrbisymrel  49078  1aryenef  49583  2aryenef  49594  rrx2xpreen  49657