Theorem domeng 8937

Description: Dominance in terms of equinumerosity, with the sethood requirement expressed as an antecedent. Example 1 of [Enderton] p. 146. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
domeng	⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem domeng

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5114	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐴 ≼ 𝑦 ↔ 𝐴 ≼ 𝐵))
2		sseq2 3976	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑥 ⊆ 𝑦 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐵))
3	2	anbi2d 630	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦) ↔ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)))
4	3	exbidv 1921	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦) ↔ ∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)))
5		vex 3454	. . 3 ⊢ 𝑦 ∈ V
6	5	domen 8936	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ 𝑦 ↔ ∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦))
7	1, 4, 6	vtoclbg 3526	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3917   class class class wbr 5110   ≈ cen 8918   ≼ cdom 8919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-11 2158  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-dm 5651  df-rn 5652  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-en 8922  df-dom 8923

This theorem is referenced by:  undomOLD  9034  mapdom1  9112  mapdom2  9118  domfi  9159  isfinite2  9252  unxpwdom  9549  djuinf  10149  domfin4  10271  pwfseq  10624  grudomon  10777  ufldom  23856  erdsze2lem1  35197