Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ramub2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ramub2 16405
 Description: It is sufficient to check the Ramsey property on finite sets of size equal to the upper bound. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rami.c 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
rami.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
rami.r (𝜑𝑅𝑉)
rami.f (𝜑𝐹:𝑅⟶ℕ0)
ramub2.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
ramub2.i ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = 𝑁𝑓:(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅)) → ∃𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝑐})))
Assertion
Ref Expression
ramub2 (𝜑 → (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑐,𝑠,𝑥,𝐶   𝜑,𝑐,𝑓,𝑠,𝑥   𝐹,𝑐,𝑓,𝑠,𝑥   𝑎,𝑏,𝑐,𝑓,𝑖,𝑠,𝑥,𝑀   𝑅,𝑐,𝑓,𝑠,𝑥   𝑁,𝑎,𝑐,𝑓,𝑖,𝑠,𝑥   𝑉,𝑐,𝑓,𝑠,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑎,𝑏)   𝐶(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑅(𝑖,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑁(𝑏)   𝑉(𝑖,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem ramub2
Dummy variables 𝑔 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rami.c . 2 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
2 rami.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
3 rami.r . 2 (𝜑𝑅𝑉)
4 rami.f . 2 (𝜑𝐹:𝑅⟶ℕ0)
5 ramub2.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
65adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
7 hashfz1 13756 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
86, 7syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
9 simprl 770 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) → 𝑁 ≤ (♯‘𝑡))
108, 9eqbrtrd 5054 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) → (♯‘(1...𝑁)) ≤ (♯‘𝑡))
11 fzfid 13390 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) → (1...𝑁) ∈ Fin)
12 vex 3413 . . . . . 6 𝑡 ∈ V
13 hashdom 13790 . . . . . 6 (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ 𝑡 ∈ V) → ((♯‘(1...𝑁)) ≤ (♯‘𝑡) ↔ (1...𝑁) ≼ 𝑡))
1411, 12, 13sylancl 589 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) → ((♯‘(1...𝑁)) ≤ (♯‘𝑡) ↔ (1...𝑁) ≼ 𝑡))
1510, 14mpbid 235 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) → (1...𝑁) ≼ 𝑡)
1612domen 8540 . . . 4 ((1...𝑁) ≼ 𝑡 ↔ ∃𝑠((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡))
1715, 16sylib 221 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) → ∃𝑠((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡))
18 simpll 766 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → 𝜑)
19 ensym 8576 . . . . . . . 8 ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠 ≈ (1...𝑁))
2019ad2antrl 727 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → 𝑠 ≈ (1...𝑁))
21 hasheni 13758 . . . . . . 7 (𝑠 ≈ (1...𝑁) → (♯‘𝑠) = (♯‘(1...𝑁)))
2220, 21syl 17 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → (♯‘𝑠) = (♯‘(1...𝑁)))
235ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2423, 7syl 17 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
2522, 24eqtrd 2793 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → (♯‘𝑠) = 𝑁)
26 simplrr 777 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)
27 simprr 772 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → 𝑠𝑡)
282ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
291hashbcss 16395 . . . . . . 7 ((𝑡 ∈ V ∧ 𝑠𝑡𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑠𝐶𝑀) ⊆ (𝑡𝐶𝑀))
3012, 27, 28, 29mp3an2i 1463 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → (𝑠𝐶𝑀) ⊆ (𝑡𝐶𝑀))
3126, 30fssresd 6530 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)):(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅)
32 vex 3413 . . . . . . 7 𝑔 ∈ V
3332resex 5871 . . . . . 6 (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) ∈ V
34 feq1 6479 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) → (𝑓:(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅 ↔ (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)):(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅))
3534anbi2d 631 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) → (((♯‘𝑠) = 𝑁𝑓:(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅) ↔ ((♯‘𝑠) = 𝑁 ∧ (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)):(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅)))
3635anbi2d 631 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) → ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = 𝑁𝑓:(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅)) ↔ (𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = 𝑁 ∧ (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)):(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅))))
37 cnveq 5713 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) → 𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)))
3837imaeq1d 5900 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) → (𝑓 “ {𝑐}) = ((𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) “ {𝑐}))
39 cnvresima 6059 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) “ {𝑐}) = ((𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀))
4038, 39eqtrdi 2809 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) → (𝑓 “ {𝑐}) = ((𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀)))
4140sseq2d 3924 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) → ((𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝑐}) ↔ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀))))
4241anbi2d 631 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) → (((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝑐})) ↔ ((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀)))))
43422rexbidv 3224 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) → (∃𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝑐})) ↔ ∃𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀)))))
4436, 43imbi12d 348 . . . . . 6 (𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) → (((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = 𝑁𝑓:(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅)) → ∃𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝑐}))) ↔ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = 𝑁 ∧ (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)):(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅)) → ∃𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀))))))
45 ramub2.i . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = 𝑁𝑓:(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅)) → ∃𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝑐})))
4633, 44, 45vtocl 3477 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = 𝑁 ∧ (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)):(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅)) → ∃𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀))))
4718, 25, 31, 46syl12anc 835 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → ∃𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀))))
48 sstr 3900 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑠𝑠𝑡) → 𝑥𝑡)
4948expcom 417 . . . . . . . . 9 (𝑠𝑡 → (𝑥𝑠𝑥𝑡))
5049ad2antll 728 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → (𝑥𝑠𝑥𝑡))
51 velpw 4499 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑠𝑥𝑠)
52 velpw 4499 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑡𝑥𝑡)
5350, 51, 523imtr4g 299 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝑠𝑥 ∈ 𝒫 𝑡))
54 id 22 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀)) → (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀)))
55 inss1 4133 . . . . . . . . . 10 ((𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀)) ⊆ (𝑔 “ {𝑐})
5654, 55sstrdi 3904 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀)) → (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝑔 “ {𝑐}))
5756a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → ((𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀)) → (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝑔 “ {𝑐})))
5857anim2d 614 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → (((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀))) → ((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝑔 “ {𝑐}))))
5953, 58anim12d 611 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ∧ ((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀)))) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝑡 ∧ ((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝑔 “ {𝑐})))))
6059reximdv2 3195 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → (∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀))) → ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝑔 “ {𝑐}))))
6160reximdv 3197 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → (∃𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀))) → ∃𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝑔 “ {𝑐}))))
6247, 61mpd 15 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → ∃𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝑔 “ {𝑐})))
6317, 62exlimddv 1936 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) → ∃𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝑔 “ {𝑐})))
641, 2, 3, 4, 5, 63ramub 16404 1 (𝜑 → (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3071  {crab 3074  Vcvv 3409   ∩ cin 3857   ⊆ wss 3858  𝒫 cpw 4494  {csn 4522   class class class wbr 5032  ◡ccnv 5523   ↾ cres 5526   “ cima 5527  ⟶wf 6331  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150   ∈ cmpo 7152   ≈ cen 8524   ≼ cdom 8525  Fincfn 8527  1c1 10576   ≤ cle 10714  ℕ0cn0 11934  ...cfz 12939  ♯chash 13740   Ramsey cram 16390 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-oadd 8116  df-er 8299  df-map 8418  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-sup 8939  df-inf 8940  df-card 9401  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-n0 11935  df-xnn0 12007  df-z 12021  df-uz 12283  df-fz 12940  df-hash 13741  df-ram 16392 This theorem is referenced by:  ramub1  16419
 Copyright terms: Public domain W3C validator