MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ramub2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ramub2 16943
Description: It is sufficient to check the Ramsey property on finite sets of size equal to the upper bound. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rami.c 𝐢 = (π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})
rami.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
rami.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑉)
rami.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0)
ramub2.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
ramub2.i ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π‘ ) = 𝑁 ∧ 𝑓:(𝑠𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝑐})))
Assertion
Ref Expression
ramub2 (πœ‘ β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝑁)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑐,𝑠,π‘₯,𝐢   πœ‘,𝑐,𝑓,𝑠,π‘₯   𝐹,𝑐,𝑓,𝑠,π‘₯   π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑓,𝑖,𝑠,π‘₯,𝑀   𝑅,𝑐,𝑓,𝑠,π‘₯   𝑁,π‘Ž,𝑐,𝑓,𝑖,𝑠,π‘₯   𝑉,𝑐,𝑓,𝑠,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑖,π‘Ž,𝑏)   𝐢(𝑖,π‘Ž,𝑏)   𝑅(𝑖,π‘Ž,𝑏)   𝐹(𝑖,π‘Ž,𝑏)   𝑁(𝑏)   𝑉(𝑖,π‘Ž,𝑏)
Proof of Theorem ramub2
Dummy variables 𝑔 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rami.c . 2 𝐢 = (π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})
2 rami.m . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
3 rami.r . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑉)
4 rami.f . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0)
5 ramub2.n . 2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
65adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
7 hashfz1 14302 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜(1...𝑁)) = 𝑁)
86, 7syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ (β™―β€˜(1...𝑁)) = 𝑁)
9 simprl 769 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ 𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘))
108, 9eqbrtrd 5169 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ (β™―β€˜(1...𝑁)) ≀ (β™―β€˜π‘‘))
11 fzfid 13934 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ (1...𝑁) ∈ Fin)
12 vex 3478 . . . . . 6 𝑑 ∈ V
13 hashdom 14335 . . . . . 6 (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ V) β†’ ((β™―β€˜(1...𝑁)) ≀ (β™―β€˜π‘‘) ↔ (1...𝑁) β‰Ό 𝑑))
1411, 12, 13sylancl 586 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ ((β™―β€˜(1...𝑁)) ≀ (β™―β€˜π‘‘) ↔ (1...𝑁) β‰Ό 𝑑))
1510, 14mpbid 231 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ (1...𝑁) β‰Ό 𝑑)
1612domen 8953 . . . 4 ((1...𝑁) β‰Ό 𝑑 ↔ βˆƒπ‘ ((1...𝑁) β‰ˆ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑))
1715, 16sylib 217 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ βˆƒπ‘ ((1...𝑁) β‰ˆ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑))
18 simpll 765 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) ∧ ((1...𝑁) β‰ˆ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑)) β†’ πœ‘)
19 ensym 8995 . . . . . . . 8 ((1...𝑁) β‰ˆ 𝑠 β†’ 𝑠 β‰ˆ (1...𝑁))
2019ad2antrl 726 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) ∧ ((1...𝑁) β‰ˆ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑)) β†’ 𝑠 β‰ˆ (1...𝑁))
21 hasheni 14304 . . . . . . 7 (𝑠 β‰ˆ (1...𝑁) β†’ (β™―β€˜π‘ ) = (β™―β€˜(1...𝑁)))
2220, 21syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) ∧ ((1...𝑁) β‰ˆ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑)) β†’ (β™―β€˜π‘ ) = (β™―β€˜(1...𝑁)))
235ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) ∧ ((1...𝑁) β‰ˆ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑)) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2423, 7syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) ∧ ((1...𝑁) β‰ˆ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑)) β†’ (β™―β€˜(1...𝑁)) = 𝑁)
2522, 24eqtrd 2772 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) ∧ ((1...𝑁) β‰ˆ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑)) β†’ (β™―β€˜π‘ ) = 𝑁)
26 simplrr 776 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) ∧ ((1...𝑁) β‰ˆ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑)) β†’ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)
27 simprr 771 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) ∧ ((1...𝑁) β‰ˆ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑)) β†’ 𝑠 βŠ† 𝑑)
282ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) ∧ ((1...𝑁) β‰ˆ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑)) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
291hashbcss 16933 . . . . . . 7 ((𝑑 ∈ V ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑 ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑠𝐢𝑀) βŠ† (𝑑𝐢𝑀))
3012, 27, 28, 29mp3an2i 1466 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) ∧ ((1...𝑁) β‰ˆ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑)) β†’ (𝑠𝐢𝑀) βŠ† (𝑑𝐢𝑀))
3126, 30fssresd 6755 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) ∧ ((1...𝑁) β‰ˆ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑)) β†’ (𝑔 β†Ύ (𝑠𝐢𝑀)):(𝑠𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)
32 vex 3478 . . . . . . 7 𝑔 ∈ V
3332resex 6027 . . . . . 6 (𝑔 β†Ύ (𝑠𝐢𝑀)) ∈ V
34 feq1 6695 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑔 β†Ύ (𝑠𝐢𝑀)) β†’ (𝑓:(𝑠𝐢𝑀)βŸΆπ‘… ↔ (𝑔 β†Ύ (𝑠𝐢𝑀)):(𝑠𝐢𝑀)βŸΆπ‘…))
3534anbi2d 629 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑔 β†Ύ (𝑠𝐢𝑀)) β†’ (((β™―β€˜π‘ ) = 𝑁 ∧ 𝑓:(𝑠𝐢𝑀)βŸΆπ‘…) ↔ ((β™―β€˜π‘ ) = 𝑁 ∧ (𝑔 β†Ύ (𝑠𝐢𝑀)):(𝑠𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)))
3635anbi2d 629 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑔 β†Ύ (𝑠𝐢𝑀)) β†’ ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π‘ ) = 𝑁 ∧ 𝑓:(𝑠𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) ↔ (πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π‘ ) = 𝑁 ∧ (𝑔 β†Ύ (𝑠𝐢𝑀)):(𝑠𝐢𝑀)βŸΆπ‘…))))
37 cnveq 5871 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (𝑔 β†Ύ (𝑠𝐢𝑀)) β†’ ◑𝑓 = β—‘(𝑔 β†Ύ (𝑠𝐢𝑀)))
3837imaeq1d 6056 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝑔 β†Ύ (𝑠𝐢𝑀)) β†’ (◑𝑓 β€œ {𝑐}) = (β—‘(𝑔 β†Ύ (𝑠𝐢𝑀)) β€œ {𝑐}))
39 cnvresima 6226 . . . . . . . . . . 11 (β—‘(𝑔 β†Ύ (𝑠𝐢𝑀)) β€œ {𝑐}) = ((◑𝑔 β€œ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐢𝑀))
4038, 39eqtrdi 2788 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝑔 β†Ύ (𝑠𝐢𝑀)) β†’ (◑𝑓 β€œ {𝑐}) = ((◑𝑔 β€œ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐢𝑀)))
4140sseq2d 4013 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑔 β†Ύ (𝑠𝐢𝑀)) β†’ ((π‘₯𝐢𝑀) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝑐}) ↔ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† ((◑𝑔 β€œ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐢𝑀))))
4241anbi2d 629 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑔 β†Ύ (𝑠𝐢𝑀)) β†’ (((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝑐})) ↔ ((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† ((◑𝑔 β€œ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐢𝑀)))))
43422rexbidv 3219 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑔 β†Ύ (𝑠𝐢𝑀)) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝑐})) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† ((◑𝑔 β€œ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐢𝑀)))))
4436, 43imbi12d 344 . . . . . 6 (𝑓 = (𝑔 β†Ύ (𝑠𝐢𝑀)) β†’ (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π‘ ) = 𝑁 ∧ 𝑓:(𝑠𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝑐}))) ↔ ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π‘ ) = 𝑁 ∧ (𝑔 β†Ύ (𝑠𝐢𝑀)):(𝑠𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† ((◑𝑔 β€œ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐢𝑀))))))
45 ramub2.i . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π‘ ) = 𝑁 ∧ 𝑓:(𝑠𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝑐})))
4633, 44, 45vtocl 3549 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π‘ ) = 𝑁 ∧ (𝑔 β†Ύ (𝑠𝐢𝑀)):(𝑠𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† ((◑𝑔 β€œ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐢𝑀))))
4718, 25, 31, 46syl12anc 835 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) ∧ ((1...𝑁) β‰ˆ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† ((◑𝑔 β€œ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐢𝑀))))
48 sstr 3989 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ βŠ† 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑) β†’ π‘₯ βŠ† 𝑑)
4948expcom 414 . . . . . . . . 9 (𝑠 βŠ† 𝑑 β†’ (π‘₯ βŠ† 𝑠 β†’ π‘₯ βŠ† 𝑑))
5049ad2antll 727 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) ∧ ((1...𝑁) β‰ˆ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑)) β†’ (π‘₯ βŠ† 𝑠 β†’ π‘₯ βŠ† 𝑑))
51 velpw 4606 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠 ↔ π‘₯ βŠ† 𝑠)
52 velpw 4606 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑 ↔ π‘₯ βŠ† 𝑑)
5350, 51, 523imtr4g 295 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) ∧ ((1...𝑁) β‰ˆ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠 β†’ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑))
54 id 22 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯𝐢𝑀) βŠ† ((◑𝑔 β€œ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐢𝑀)) β†’ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† ((◑𝑔 β€œ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐢𝑀)))
55 inss1 4227 . . . . . . . . . 10 ((◑𝑔 β€œ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐢𝑀)) βŠ† (◑𝑔 β€œ {𝑐})
5654, 55sstrdi 3993 . . . . . . . . 9 ((π‘₯𝐢𝑀) βŠ† ((◑𝑔 β€œ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐢𝑀)) β†’ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† (◑𝑔 β€œ {𝑐}))
5756a1i 11 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) ∧ ((1...𝑁) β‰ˆ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑)) β†’ ((π‘₯𝐢𝑀) βŠ† ((◑𝑔 β€œ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐢𝑀)) β†’ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† (◑𝑔 β€œ {𝑐})))
5857anim2d 612 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) ∧ ((1...𝑁) β‰ˆ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑)) β†’ (((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† ((◑𝑔 β€œ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐢𝑀))) β†’ ((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† (◑𝑔 β€œ {𝑐}))))
5953, 58anim12d 609 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) ∧ ((1...𝑁) β‰ˆ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠 ∧ ((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† ((◑𝑔 β€œ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐢𝑀)))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑 ∧ ((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† (◑𝑔 β€œ {𝑐})))))
6059reximdv2 3164 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) ∧ ((1...𝑁) β‰ˆ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑)) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† ((◑𝑔 β€œ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐢𝑀))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑑((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† (◑𝑔 β€œ {𝑐}))))
6160reximdv 3170 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) ∧ ((1...𝑁) β‰ˆ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑)) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† ((◑𝑔 β€œ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐢𝑀))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑑((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† (◑𝑔 β€œ {𝑐}))))
6247, 61mpd 15 . . 3 (((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) ∧ ((1...𝑁) β‰ˆ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑑((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† (◑𝑔 β€œ {𝑐})))
6317, 62exlimddv 1938 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑑((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† (◑𝑔 β€œ {𝑐})))
641, 2, 3, 4, 5, 63ramub 16942 1 (πœ‘ β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3070  {crab 3432  Vcvv 3474   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4601  {csn 4627   class class class wbr 5147  β—‘ccnv 5674   β†Ύ cres 5677   β€œ cima 5678  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407   β‰ˆ cen 8932   β‰Ό cdom 8933  Fincfn 8935  1c1 11107   ≀ cle 11245  β„•0cn0 12468  ...cfz 13480  β™―chash 14286   Ramsey cram 16928
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-hash 14287  df-ram 16930
This theorem is referenced by:  ramub1  16957
  Copyright terms: Public domain W3C validator