MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ramub2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ramub2 16954
Description: It is sufficient to check the Ramsey property on finite sets of size equal to the upper bound. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rami.c 𝐢 = (π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})
rami.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
rami.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑉)
rami.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0)
ramub2.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
ramub2.i ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π‘ ) = 𝑁 ∧ 𝑓:(𝑠𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝑐})))
Assertion
Ref Expression
ramub2 (πœ‘ β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝑁)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑐,𝑠,π‘₯,𝐢   πœ‘,𝑐,𝑓,𝑠,π‘₯   𝐹,𝑐,𝑓,𝑠,π‘₯   π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑓,𝑖,𝑠,π‘₯,𝑀   𝑅,𝑐,𝑓,𝑠,π‘₯   𝑁,π‘Ž,𝑐,𝑓,𝑖,𝑠,π‘₯   𝑉,𝑐,𝑓,𝑠,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑖,π‘Ž,𝑏)   𝐢(𝑖,π‘Ž,𝑏)   𝑅(𝑖,π‘Ž,𝑏)   𝐹(𝑖,π‘Ž,𝑏)   𝑁(𝑏)   𝑉(𝑖,π‘Ž,𝑏)
Proof of Theorem ramub2
Dummy variables 𝑔 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rami.c . 2 𝐢 = (π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})
2 rami.m . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
3 rami.r . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑉)
4 rami.f . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0)
5 ramub2.n . 2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
65adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
7 hashfz1 14309 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜(1...𝑁)) = 𝑁)
86, 7syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ (β™―β€˜(1...𝑁)) = 𝑁)
9 simprl 768 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ 𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘))
108, 9eqbrtrd 5163 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ (β™―β€˜(1...𝑁)) ≀ (β™―β€˜π‘‘))
11 fzfid 13941 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ (1...𝑁) ∈ Fin)
12 vex 3472 . . . . . 6 𝑑 ∈ V
13 hashdom 14342 . . . . . 6 (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ V) β†’ ((β™―β€˜(1...𝑁)) ≀ (β™―β€˜π‘‘) ↔ (1...𝑁) β‰Ό 𝑑))
1411, 12, 13sylancl 585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ ((β™―β€˜(1...𝑁)) ≀ (β™―β€˜π‘‘) ↔ (1...𝑁) β‰Ό 𝑑))
1510, 14mpbid 231 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ (1...𝑁) β‰Ό 𝑑)
1612domen 8956 . . . 4 ((1...𝑁) β‰Ό 𝑑 ↔ βˆƒπ‘ ((1...𝑁) β‰ˆ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑))
1715, 16sylib 217 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ βˆƒπ‘ ((1...𝑁) β‰ˆ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑))
18 simpll 764 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) ∧ ((1...𝑁) β‰ˆ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑)) β†’ πœ‘)
19 ensym 8998 . . . . . . . 8 ((1...𝑁) β‰ˆ 𝑠 β†’ 𝑠 β‰ˆ (1...𝑁))
2019ad2antrl 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) ∧ ((1...𝑁) β‰ˆ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑)) β†’ 𝑠 β‰ˆ (1...𝑁))
21 hasheni 14311 . . . . . . 7 (𝑠 β‰ˆ (1...𝑁) β†’ (β™―β€˜π‘ ) = (β™―β€˜(1...𝑁)))
2220, 21syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) ∧ ((1...𝑁) β‰ˆ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑)) β†’ (β™―β€˜π‘ ) = (β™―β€˜(1...𝑁)))
235ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) ∧ ((1...𝑁) β‰ˆ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑)) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2423, 7syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) ∧ ((1...𝑁) β‰ˆ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑)) β†’ (β™―β€˜(1...𝑁)) = 𝑁)
2522, 24eqtrd 2766 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) ∧ ((1...𝑁) β‰ˆ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑)) β†’ (β™―β€˜π‘ ) = 𝑁)
26 simplrr 775 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) ∧ ((1...𝑁) β‰ˆ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑)) β†’ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)
27 simprr 770 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) ∧ ((1...𝑁) β‰ˆ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑)) β†’ 𝑠 βŠ† 𝑑)
282ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) ∧ ((1...𝑁) β‰ˆ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑)) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
291hashbcss 16944 . . . . . . 7 ((𝑑 ∈ V ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑 ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑠𝐢𝑀) βŠ† (𝑑𝐢𝑀))
3012, 27, 28, 29mp3an2i 1462 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) ∧ ((1...𝑁) β‰ˆ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑)) β†’ (𝑠𝐢𝑀) βŠ† (𝑑𝐢𝑀))
3126, 30fssresd 6751 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) ∧ ((1...𝑁) β‰ˆ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑)) β†’ (𝑔 β†Ύ (𝑠𝐢𝑀)):(𝑠𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)
32 vex 3472 . . . . . . 7 𝑔 ∈ V
3332resex 6022 . . . . . 6 (𝑔 β†Ύ (𝑠𝐢𝑀)) ∈ V
34 feq1 6691 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑔 β†Ύ (𝑠𝐢𝑀)) β†’ (𝑓:(𝑠𝐢𝑀)βŸΆπ‘… ↔ (𝑔 β†Ύ (𝑠𝐢𝑀)):(𝑠𝐢𝑀)βŸΆπ‘…))
3534anbi2d 628 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑔 β†Ύ (𝑠𝐢𝑀)) β†’ (((β™―β€˜π‘ ) = 𝑁 ∧ 𝑓:(𝑠𝐢𝑀)βŸΆπ‘…) ↔ ((β™―β€˜π‘ ) = 𝑁 ∧ (𝑔 β†Ύ (𝑠𝐢𝑀)):(𝑠𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)))
3635anbi2d 628 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑔 β†Ύ (𝑠𝐢𝑀)) β†’ ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π‘ ) = 𝑁 ∧ 𝑓:(𝑠𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) ↔ (πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π‘ ) = 𝑁 ∧ (𝑔 β†Ύ (𝑠𝐢𝑀)):(𝑠𝐢𝑀)βŸΆπ‘…))))
37 cnveq 5866 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (𝑔 β†Ύ (𝑠𝐢𝑀)) β†’ ◑𝑓 = β—‘(𝑔 β†Ύ (𝑠𝐢𝑀)))
3837imaeq1d 6051 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝑔 β†Ύ (𝑠𝐢𝑀)) β†’ (◑𝑓 β€œ {𝑐}) = (β—‘(𝑔 β†Ύ (𝑠𝐢𝑀)) β€œ {𝑐}))
39 cnvresima 6222 . . . . . . . . . . 11 (β—‘(𝑔 β†Ύ (𝑠𝐢𝑀)) β€œ {𝑐}) = ((◑𝑔 β€œ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐢𝑀))
4038, 39eqtrdi 2782 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝑔 β†Ύ (𝑠𝐢𝑀)) β†’ (◑𝑓 β€œ {𝑐}) = ((◑𝑔 β€œ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐢𝑀)))
4140sseq2d 4009 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑔 β†Ύ (𝑠𝐢𝑀)) β†’ ((π‘₯𝐢𝑀) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝑐}) ↔ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† ((◑𝑔 β€œ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐢𝑀))))
4241anbi2d 628 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑔 β†Ύ (𝑠𝐢𝑀)) β†’ (((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝑐})) ↔ ((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† ((◑𝑔 β€œ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐢𝑀)))))
43422rexbidv 3213 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑔 β†Ύ (𝑠𝐢𝑀)) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝑐})) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† ((◑𝑔 β€œ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐢𝑀)))))
4436, 43imbi12d 344 . . . . . 6 (𝑓 = (𝑔 β†Ύ (𝑠𝐢𝑀)) β†’ (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π‘ ) = 𝑁 ∧ 𝑓:(𝑠𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝑐}))) ↔ ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π‘ ) = 𝑁 ∧ (𝑔 β†Ύ (𝑠𝐢𝑀)):(𝑠𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† ((◑𝑔 β€œ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐢𝑀))))))
45 ramub2.i . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π‘ ) = 𝑁 ∧ 𝑓:(𝑠𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝑐})))
4633, 44, 45vtocl 3540 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π‘ ) = 𝑁 ∧ (𝑔 β†Ύ (𝑠𝐢𝑀)):(𝑠𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† ((◑𝑔 β€œ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐢𝑀))))
4718, 25, 31, 46syl12anc 834 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) ∧ ((1...𝑁) β‰ˆ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† ((◑𝑔 β€œ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐢𝑀))))
48 sstr 3985 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ βŠ† 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑) β†’ π‘₯ βŠ† 𝑑)
4948expcom 413 . . . . . . . . 9 (𝑠 βŠ† 𝑑 β†’ (π‘₯ βŠ† 𝑠 β†’ π‘₯ βŠ† 𝑑))
5049ad2antll 726 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) ∧ ((1...𝑁) β‰ˆ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑)) β†’ (π‘₯ βŠ† 𝑠 β†’ π‘₯ βŠ† 𝑑))
51 velpw 4602 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠 ↔ π‘₯ βŠ† 𝑠)
52 velpw 4602 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑 ↔ π‘₯ βŠ† 𝑑)
5350, 51, 523imtr4g 296 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) ∧ ((1...𝑁) β‰ˆ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠 β†’ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑))
54 id 22 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯𝐢𝑀) βŠ† ((◑𝑔 β€œ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐢𝑀)) β†’ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† ((◑𝑔 β€œ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐢𝑀)))
55 inss1 4223 . . . . . . . . . 10 ((◑𝑔 β€œ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐢𝑀)) βŠ† (◑𝑔 β€œ {𝑐})
5654, 55sstrdi 3989 . . . . . . . . 9 ((π‘₯𝐢𝑀) βŠ† ((◑𝑔 β€œ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐢𝑀)) β†’ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† (◑𝑔 β€œ {𝑐}))
5756a1i 11 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) ∧ ((1...𝑁) β‰ˆ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑)) β†’ ((π‘₯𝐢𝑀) βŠ† ((◑𝑔 β€œ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐢𝑀)) β†’ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† (◑𝑔 β€œ {𝑐})))
5857anim2d 611 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) ∧ ((1...𝑁) β‰ˆ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑)) β†’ (((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† ((◑𝑔 β€œ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐢𝑀))) β†’ ((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† (◑𝑔 β€œ {𝑐}))))
5953, 58anim12d 608 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) ∧ ((1...𝑁) β‰ˆ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠 ∧ ((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† ((◑𝑔 β€œ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐢𝑀)))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑 ∧ ((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† (◑𝑔 β€œ {𝑐})))))
6059reximdv2 3158 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) ∧ ((1...𝑁) β‰ˆ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑)) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† ((◑𝑔 β€œ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐢𝑀))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑑((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† (◑𝑔 β€œ {𝑐}))))
6160reximdv 3164 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) ∧ ((1...𝑁) β‰ˆ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑)) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† ((◑𝑔 β€œ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐢𝑀))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑑((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† (◑𝑔 β€œ {𝑐}))))
6247, 61mpd 15 . . 3 (((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) ∧ ((1...𝑁) β‰ˆ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑑((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† (◑𝑔 β€œ {𝑐})))
6317, 62exlimddv 1930 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑑((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† (◑𝑔 β€œ {𝑐})))
641, 2, 3, 4, 5, 63ramub 16953 1 (πœ‘ β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3064  {crab 3426  Vcvv 3468   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  π’« cpw 4597  {csn 4623   class class class wbr 5141  β—‘ccnv 5668   β†Ύ cres 5671   β€œ cima 5672  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   ∈ cmpo 7406   β‰ˆ cen 8935   β‰Ό cdom 8936  Fincfn 8938  1c1 11110   ≀ cle 11250  β„•0cn0 12473  ...cfz 13487  β™―chash 14293   Ramsey cram 16939
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-oadd 8468  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-n0 12474  df-xnn0 12546  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-hash 14294  df-ram 16941
This theorem is referenced by:  ramub1  16968
  Copyright terms: Public domain W3C validator