MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ramub2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ramub2 16893
Description: It is sufficient to check the Ramsey property on finite sets of size equal to the upper bound. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rami.c 𝐢 = (π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})
rami.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
rami.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑉)
rami.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0)
ramub2.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
ramub2.i ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π‘ ) = 𝑁 ∧ 𝑓:(𝑠𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝑐})))
Assertion
Ref Expression
ramub2 (πœ‘ β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝑁)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑐,𝑠,π‘₯,𝐢   πœ‘,𝑐,𝑓,𝑠,π‘₯   𝐹,𝑐,𝑓,𝑠,π‘₯   π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑓,𝑖,𝑠,π‘₯,𝑀   𝑅,𝑐,𝑓,𝑠,π‘₯   𝑁,π‘Ž,𝑐,𝑓,𝑖,𝑠,π‘₯   𝑉,𝑐,𝑓,𝑠,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑖,π‘Ž,𝑏)   𝐢(𝑖,π‘Ž,𝑏)   𝑅(𝑖,π‘Ž,𝑏)   𝐹(𝑖,π‘Ž,𝑏)   𝑁(𝑏)   𝑉(𝑖,π‘Ž,𝑏)

Proof of Theorem ramub2
Dummy variables 𝑔 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rami.c . 2 𝐢 = (π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})
2 rami.m . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
3 rami.r . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑉)
4 rami.f . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0)
5 ramub2.n . 2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
65adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
7 hashfz1 14253 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜(1...𝑁)) = 𝑁)
86, 7syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ (β™―β€˜(1...𝑁)) = 𝑁)
9 simprl 770 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ 𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘))
108, 9eqbrtrd 5132 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ (β™―β€˜(1...𝑁)) ≀ (β™―β€˜π‘‘))
11 fzfid 13885 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ (1...𝑁) ∈ Fin)
12 vex 3452 . . . . . 6 𝑑 ∈ V
13 hashdom 14286 . . . . . 6 (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ V) β†’ ((β™―β€˜(1...𝑁)) ≀ (β™―β€˜π‘‘) ↔ (1...𝑁) β‰Ό 𝑑))
1411, 12, 13sylancl 587 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ ((β™―β€˜(1...𝑁)) ≀ (β™―β€˜π‘‘) ↔ (1...𝑁) β‰Ό 𝑑))
1510, 14mpbid 231 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ (1...𝑁) β‰Ό 𝑑)
1612domen 8908 . . . 4 ((1...𝑁) β‰Ό 𝑑 ↔ βˆƒπ‘ ((1...𝑁) β‰ˆ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑))
1715, 16sylib 217 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ βˆƒπ‘ ((1...𝑁) β‰ˆ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑))
18 simpll 766 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) ∧ ((1...𝑁) β‰ˆ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑)) β†’ πœ‘)
19 ensym 8950 . . . . . . . 8 ((1...𝑁) β‰ˆ 𝑠 β†’ 𝑠 β‰ˆ (1...𝑁))
2019ad2antrl 727 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) ∧ ((1...𝑁) β‰ˆ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑)) β†’ 𝑠 β‰ˆ (1...𝑁))
21 hasheni 14255 . . . . . . 7 (𝑠 β‰ˆ (1...𝑁) β†’ (β™―β€˜π‘ ) = (β™―β€˜(1...𝑁)))
2220, 21syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) ∧ ((1...𝑁) β‰ˆ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑)) β†’ (β™―β€˜π‘ ) = (β™―β€˜(1...𝑁)))
235ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) ∧ ((1...𝑁) β‰ˆ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑)) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2423, 7syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) ∧ ((1...𝑁) β‰ˆ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑)) β†’ (β™―β€˜(1...𝑁)) = 𝑁)
2522, 24eqtrd 2777 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) ∧ ((1...𝑁) β‰ˆ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑)) β†’ (β™―β€˜π‘ ) = 𝑁)
26 simplrr 777 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) ∧ ((1...𝑁) β‰ˆ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑)) β†’ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)
27 simprr 772 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) ∧ ((1...𝑁) β‰ˆ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑)) β†’ 𝑠 βŠ† 𝑑)
282ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) ∧ ((1...𝑁) β‰ˆ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑)) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
291hashbcss 16883 . . . . . . 7 ((𝑑 ∈ V ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑 ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑠𝐢𝑀) βŠ† (𝑑𝐢𝑀))
3012, 27, 28, 29mp3an2i 1467 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) ∧ ((1...𝑁) β‰ˆ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑)) β†’ (𝑠𝐢𝑀) βŠ† (𝑑𝐢𝑀))
3126, 30fssresd 6714 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) ∧ ((1...𝑁) β‰ˆ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑)) β†’ (𝑔 β†Ύ (𝑠𝐢𝑀)):(𝑠𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)
32 vex 3452 . . . . . . 7 𝑔 ∈ V
3332resex 5990 . . . . . 6 (𝑔 β†Ύ (𝑠𝐢𝑀)) ∈ V
34 feq1 6654 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑔 β†Ύ (𝑠𝐢𝑀)) β†’ (𝑓:(𝑠𝐢𝑀)βŸΆπ‘… ↔ (𝑔 β†Ύ (𝑠𝐢𝑀)):(𝑠𝐢𝑀)βŸΆπ‘…))
3534anbi2d 630 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑔 β†Ύ (𝑠𝐢𝑀)) β†’ (((β™―β€˜π‘ ) = 𝑁 ∧ 𝑓:(𝑠𝐢𝑀)βŸΆπ‘…) ↔ ((β™―β€˜π‘ ) = 𝑁 ∧ (𝑔 β†Ύ (𝑠𝐢𝑀)):(𝑠𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)))
3635anbi2d 630 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑔 β†Ύ (𝑠𝐢𝑀)) β†’ ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π‘ ) = 𝑁 ∧ 𝑓:(𝑠𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) ↔ (πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π‘ ) = 𝑁 ∧ (𝑔 β†Ύ (𝑠𝐢𝑀)):(𝑠𝐢𝑀)βŸΆπ‘…))))
37 cnveq 5834 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (𝑔 β†Ύ (𝑠𝐢𝑀)) β†’ ◑𝑓 = β—‘(𝑔 β†Ύ (𝑠𝐢𝑀)))
3837imaeq1d 6017 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝑔 β†Ύ (𝑠𝐢𝑀)) β†’ (◑𝑓 β€œ {𝑐}) = (β—‘(𝑔 β†Ύ (𝑠𝐢𝑀)) β€œ {𝑐}))
39 cnvresima 6187 . . . . . . . . . . 11 (β—‘(𝑔 β†Ύ (𝑠𝐢𝑀)) β€œ {𝑐}) = ((◑𝑔 β€œ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐢𝑀))
4038, 39eqtrdi 2793 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝑔 β†Ύ (𝑠𝐢𝑀)) β†’ (◑𝑓 β€œ {𝑐}) = ((◑𝑔 β€œ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐢𝑀)))
4140sseq2d 3981 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑔 β†Ύ (𝑠𝐢𝑀)) β†’ ((π‘₯𝐢𝑀) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝑐}) ↔ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† ((◑𝑔 β€œ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐢𝑀))))
4241anbi2d 630 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑔 β†Ύ (𝑠𝐢𝑀)) β†’ (((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝑐})) ↔ ((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† ((◑𝑔 β€œ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐢𝑀)))))
43422rexbidv 3214 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑔 β†Ύ (𝑠𝐢𝑀)) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝑐})) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† ((◑𝑔 β€œ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐢𝑀)))))
4436, 43imbi12d 345 . . . . . 6 (𝑓 = (𝑔 β†Ύ (𝑠𝐢𝑀)) β†’ (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π‘ ) = 𝑁 ∧ 𝑓:(𝑠𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝑐}))) ↔ ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π‘ ) = 𝑁 ∧ (𝑔 β†Ύ (𝑠𝐢𝑀)):(𝑠𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† ((◑𝑔 β€œ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐢𝑀))))))
45 ramub2.i . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π‘ ) = 𝑁 ∧ 𝑓:(𝑠𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝑐})))
4633, 44, 45vtocl 3521 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π‘ ) = 𝑁 ∧ (𝑔 β†Ύ (𝑠𝐢𝑀)):(𝑠𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† ((◑𝑔 β€œ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐢𝑀))))
4718, 25, 31, 46syl12anc 836 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) ∧ ((1...𝑁) β‰ˆ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† ((◑𝑔 β€œ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐢𝑀))))
48 sstr 3957 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ βŠ† 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑) β†’ π‘₯ βŠ† 𝑑)
4948expcom 415 . . . . . . . . 9 (𝑠 βŠ† 𝑑 β†’ (π‘₯ βŠ† 𝑠 β†’ π‘₯ βŠ† 𝑑))
5049ad2antll 728 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) ∧ ((1...𝑁) β‰ˆ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑)) β†’ (π‘₯ βŠ† 𝑠 β†’ π‘₯ βŠ† 𝑑))
51 velpw 4570 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠 ↔ π‘₯ βŠ† 𝑠)
52 velpw 4570 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑 ↔ π‘₯ βŠ† 𝑑)
5350, 51, 523imtr4g 296 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) ∧ ((1...𝑁) β‰ˆ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠 β†’ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑))
54 id 22 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯𝐢𝑀) βŠ† ((◑𝑔 β€œ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐢𝑀)) β†’ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† ((◑𝑔 β€œ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐢𝑀)))
55 inss1 4193 . . . . . . . . . 10 ((◑𝑔 β€œ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐢𝑀)) βŠ† (◑𝑔 β€œ {𝑐})
5654, 55sstrdi 3961 . . . . . . . . 9 ((π‘₯𝐢𝑀) βŠ† ((◑𝑔 β€œ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐢𝑀)) β†’ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† (◑𝑔 β€œ {𝑐}))
5756a1i 11 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) ∧ ((1...𝑁) β‰ˆ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑)) β†’ ((π‘₯𝐢𝑀) βŠ† ((◑𝑔 β€œ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐢𝑀)) β†’ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† (◑𝑔 β€œ {𝑐})))
5857anim2d 613 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) ∧ ((1...𝑁) β‰ˆ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑)) β†’ (((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† ((◑𝑔 β€œ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐢𝑀))) β†’ ((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† (◑𝑔 β€œ {𝑐}))))
5953, 58anim12d 610 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) ∧ ((1...𝑁) β‰ˆ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠 ∧ ((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† ((◑𝑔 β€œ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐢𝑀)))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑 ∧ ((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† (◑𝑔 β€œ {𝑐})))))
6059reximdv2 3162 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) ∧ ((1...𝑁) β‰ˆ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑)) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† ((◑𝑔 β€œ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐢𝑀))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑑((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† (◑𝑔 β€œ {𝑐}))))
6160reximdv 3168 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) ∧ ((1...𝑁) β‰ˆ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑)) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† ((◑𝑔 β€œ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐢𝑀))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑑((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† (◑𝑔 β€œ {𝑐}))))
6247, 61mpd 15 . . 3 (((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) ∧ ((1...𝑁) β‰ˆ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑑)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑑((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† (◑𝑔 β€œ {𝑐})))
6317, 62exlimddv 1939 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘‘) ∧ 𝑔:(𝑑𝐢𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑑((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† (◑𝑔 β€œ {𝑐})))
641, 2, 3, 4, 5, 63ramub 16892 1 (πœ‘ β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3074  {crab 3410  Vcvv 3448   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  π’« cpw 4565  {csn 4591   class class class wbr 5110  β—‘ccnv 5637   β†Ύ cres 5640   β€œ cima 5641  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ∈ cmpo 7364   β‰ˆ cen 8887   β‰Ό cdom 8888  Fincfn 8890  1c1 11059   ≀ cle 11197  β„•0cn0 12420  ...cfz 13431  β™―chash 14237   Ramsey cram 16878
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-hash 14238  df-ram 16880
This theorem is referenced by:  ramub1  16907
  Copyright terms: Public domain W3C validator