Theorem ramub2 17052

Description: It is sufficient to check the Ramsey property on finite sets of size equal to the upper bound. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rami.c	⊢ 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
rami.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
rami.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
rami.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑅⟶ℕ0)
ramub2.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
ramub2.i	⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = 𝑁 ∧ 𝑓:(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅)) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐})))

Assertion

Ref	Expression
ramub2	⊢ (𝜑 → (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁)

Distinct variable groups:   𝑓,𝑐,𝑠,𝑥,𝐶   𝜑,𝑐,𝑓,𝑠,𝑥   𝐹,𝑐,𝑓,𝑠,𝑥   𝑎,𝑏,𝑐,𝑓,𝑖,𝑠,𝑥,𝑀   𝑅,𝑐,𝑓,𝑠,𝑥   𝑁,𝑎,𝑐,𝑓,𝑖,𝑠,𝑥   𝑉,𝑐,𝑓,𝑠,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑎,𝑏)   𝐶(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑅(𝑖,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑁(𝑏)   𝑉(𝑖,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem ramub2

Dummy variables 𝑔 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rami.c	. 2 ⊢ 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
2		rami.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
3		rami.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
4		rami.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑅⟶ℕ0)
5		ramub2.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
6	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
7		hashfz1 14385	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
9		simprl 771	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) → 𝑁 ≤ (♯‘𝑡))
10	8, 9	eqbrtrd 5165	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) → (♯‘(1...𝑁)) ≤ (♯‘𝑡))
11		fzfid 14014	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) → (1...𝑁) ∈ Fin)
12		vex 3484	. . . . . 6 ⊢ 𝑡 ∈ V
13		hashdom 14418	. . . . . 6 ⊢ (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ 𝑡 ∈ V) → ((♯‘(1...𝑁)) ≤ (♯‘𝑡) ↔ (1...𝑁) ≼ 𝑡))
14	11, 12, 13	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) → ((♯‘(1...𝑁)) ≤ (♯‘𝑡) ↔ (1...𝑁) ≼ 𝑡))
15	10, 14	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) → (1...𝑁) ≼ 𝑡)
16	12	domen 9002	. . . 4 ⊢ ((1...𝑁) ≼ 𝑡 ↔ ∃𝑠((1...𝑁) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡))
17	15, 16	sylib 218	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) → ∃𝑠((1...𝑁) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡))
18		simpll 767	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡)) → 𝜑)
19		ensym 9043	. . . . . . . 8 ⊢ ((1...𝑁) ≈ 𝑠 → 𝑠 ≈ (1...𝑁))
20	19	ad2antrl 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡)) → 𝑠 ≈ (1...𝑁))
21		hasheni 14387	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ≈ (1...𝑁) → (♯‘𝑠) = (♯‘(1...𝑁)))
22	20, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡)) → (♯‘𝑠) = (♯‘(1...𝑁)))
23	5	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
24	23, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡)) → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
25	22, 24	eqtrd 2777	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡)) → (♯‘𝑠) = 𝑁)
26		simplrr 778	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡)) → 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)
27		simprr 773	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡)) → 𝑠 ⊆ 𝑡)
28	2	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
29	1	hashbcss 17042	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑡 ∈ V ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑠𝐶𝑀) ⊆ (𝑡𝐶𝑀))
30	12, 27, 28, 29	mp3an2i 1468	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡)) → (𝑠𝐶𝑀) ⊆ (𝑡𝐶𝑀))
31	26, 30	fssresd 6775	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡)) → (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)):(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅)
32		vex 3484	. . . . . . 7 ⊢ 𝑔 ∈ V
33	32	resex 6047	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) ∈ V
34		feq1 6716	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) → (𝑓:(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅 ↔ (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)):(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅))
35	34	anbi2d 630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) → (((♯‘𝑠) = 𝑁 ∧ 𝑓:(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅) ↔ ((♯‘𝑠) = 𝑁 ∧ (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)):(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅)))
36	35	anbi2d 630	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) → ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = 𝑁 ∧ 𝑓:(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅)) ↔ (𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = 𝑁 ∧ (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)):(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅))))
37		cnveq 5884	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) → ◡𝑓 = ◡(𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)))
38	37	imaeq1d 6077	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) → (◡𝑓 “ {𝑐}) = (◡(𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) “ {𝑐}))
39		cnvresima 6250	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (◡(𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) “ {𝑐}) = ((◡𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀))
40	38, 39	eqtrdi 2793	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) → (◡𝑓 “ {𝑐}) = ((◡𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀)))
41	40	sseq2d 4016	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) → ((𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐}) ↔ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((◡𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀))))
42	41	anbi2d 630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) → (((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐})) ↔ ((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((◡𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀)))))
43	42	2rexbidv 3222	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) → (∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐})) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((◡𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀)))))
44	36, 43	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) → (((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = 𝑁 ∧ 𝑓:(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅)) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐}))) ↔ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = 𝑁 ∧ (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)):(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅)) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((◡𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀))))))
45		ramub2.i	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = 𝑁 ∧ 𝑓:(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅)) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐})))
46	33, 44, 45	vtocl 3558	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = 𝑁 ∧ (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)):(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅)) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((◡𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀))))
47	18, 25, 31, 46	syl12anc 837	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡)) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((◡𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀))))
48		sstr 3992	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡) → 𝑥 ⊆ 𝑡)
49	48	expcom 413	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ⊆ 𝑡 → (𝑥 ⊆ 𝑠 → 𝑥 ⊆ 𝑡))
50	49	ad2antll 729	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡)) → (𝑥 ⊆ 𝑠 → 𝑥 ⊆ 𝑡))
51		velpw 4605	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ↔ 𝑥 ⊆ 𝑠)
52		velpw 4605	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑡 ↔ 𝑥 ⊆ 𝑡)
53	50, 51, 52	3imtr4g 296	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡)) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡))
54		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((◡𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀)) → (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((◡𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀)))
55		inss1 4237	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((◡𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀)) ⊆ (◡𝑔 “ {𝑐})
56	54, 55	sstrdi 3996	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((◡𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀)) → (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑔 “ {𝑐}))
57	56	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡)) → ((𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((◡𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀)) → (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑔 “ {𝑐})))
58	57	anim2d 612	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡)) → (((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((◡𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀))) → ((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑔 “ {𝑐}))))
59	53, 58	anim12d 609	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡)) → ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ∧ ((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((◡𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀)))) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝑡 ∧ ((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑔 “ {𝑐})))))
60	59	reximdv2 3164	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡)) → (∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((◡𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀))) → ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑔 “ {𝑐}))))
61	60	reximdv 3170	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡)) → (∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((◡𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀))) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑔 “ {𝑐}))))
62	47, 61	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡)) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑔 “ {𝑐})))
63	17, 62	exlimddv 1935	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑔 “ {𝑐})))
64	1, 2, 3, 4, 5, 63	ramub 17051	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3070  {crab 3436  Vcvv 3480   ∩ cin 3950   ⊆ wss 3951  𝒫 cpw 4600  {csn 4626   class class class wbr 5143  ^◡ccnv 5684   ↾ cres 5687   “ cima 5688  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433   ≈ cen 8982   ≼ cdom 8983  Fincfn 8985  1c1 11156   ≤ cle 11296  ℕ₀cn0 12526  ...cfz 13547  ♯chash 14369   Ramsey cram 17037

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-hash 14370  df-ram 17039

This theorem is referenced by:  ramub1  17066