MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ramub2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ramub2 17047
Description: It is sufficient to check the Ramsey property on finite sets of size equal to the upper bound. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rami.c 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
rami.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
rami.r (𝜑𝑅𝑉)
rami.f (𝜑𝐹:𝑅⟶ℕ0)
ramub2.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
ramub2.i ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = 𝑁𝑓:(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅)) → ∃𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝑐})))
Assertion
Ref Expression
ramub2 (𝜑 → (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑐,𝑠,𝑥,𝐶   𝜑,𝑐,𝑓,𝑠,𝑥   𝐹,𝑐,𝑓,𝑠,𝑥   𝑎,𝑏,𝑐,𝑓,𝑖,𝑠,𝑥,𝑀   𝑅,𝑐,𝑓,𝑠,𝑥   𝑁,𝑎,𝑐,𝑓,𝑖,𝑠,𝑥   𝑉,𝑐,𝑓,𝑠,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑎,𝑏)   𝐶(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑅(𝑖,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑁(𝑏)   𝑉(𝑖,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem ramub2
Dummy variables 𝑔 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rami.c . 2 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
2 rami.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
3 rami.r . 2 (𝜑𝑅𝑉)
4 rami.f . 2 (𝜑𝐹:𝑅⟶ℕ0)
5 ramub2.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
65adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
7 hashfz1 14381 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
86, 7syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
9 simprl 771 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) → 𝑁 ≤ (♯‘𝑡))
108, 9eqbrtrd 5169 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) → (♯‘(1...𝑁)) ≤ (♯‘𝑡))
11 fzfid 14010 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) → (1...𝑁) ∈ Fin)
12 vex 3481 . . . . . 6 𝑡 ∈ V
13 hashdom 14414 . . . . . 6 (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ 𝑡 ∈ V) → ((♯‘(1...𝑁)) ≤ (♯‘𝑡) ↔ (1...𝑁) ≼ 𝑡))
1411, 12, 13sylancl 586 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) → ((♯‘(1...𝑁)) ≤ (♯‘𝑡) ↔ (1...𝑁) ≼ 𝑡))
1510, 14mpbid 232 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) → (1...𝑁) ≼ 𝑡)
1612domen 9000 . . . 4 ((1...𝑁) ≼ 𝑡 ↔ ∃𝑠((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡))
1715, 16sylib 218 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) → ∃𝑠((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡))
18 simpll 767 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → 𝜑)
19 ensym 9041 . . . . . . . 8 ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠 ≈ (1...𝑁))
2019ad2antrl 728 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → 𝑠 ≈ (1...𝑁))
21 hasheni 14383 . . . . . . 7 (𝑠 ≈ (1...𝑁) → (♯‘𝑠) = (♯‘(1...𝑁)))
2220, 21syl 17 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → (♯‘𝑠) = (♯‘(1...𝑁)))
235ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2423, 7syl 17 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
2522, 24eqtrd 2774 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → (♯‘𝑠) = 𝑁)
26 simplrr 778 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)
27 simprr 773 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → 𝑠𝑡)
282ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
291hashbcss 17037 . . . . . . 7 ((𝑡 ∈ V ∧ 𝑠𝑡𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑠𝐶𝑀) ⊆ (𝑡𝐶𝑀))
3012, 27, 28, 29mp3an2i 1465 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → (𝑠𝐶𝑀) ⊆ (𝑡𝐶𝑀))
3126, 30fssresd 6775 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)):(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅)
32 vex 3481 . . . . . . 7 𝑔 ∈ V
3332resex 6048 . . . . . 6 (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) ∈ V
34 feq1 6716 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) → (𝑓:(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅 ↔ (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)):(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅))
3534anbi2d 630 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) → (((♯‘𝑠) = 𝑁𝑓:(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅) ↔ ((♯‘𝑠) = 𝑁 ∧ (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)):(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅)))
3635anbi2d 630 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) → ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = 𝑁𝑓:(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅)) ↔ (𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = 𝑁 ∧ (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)):(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅))))
37 cnveq 5886 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) → 𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)))
3837imaeq1d 6078 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) → (𝑓 “ {𝑐}) = ((𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) “ {𝑐}))
39 cnvresima 6251 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) “ {𝑐}) = ((𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀))
4038, 39eqtrdi 2790 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) → (𝑓 “ {𝑐}) = ((𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀)))
4140sseq2d 4027 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) → ((𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝑐}) ↔ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀))))
4241anbi2d 630 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) → (((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝑐})) ↔ ((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀)))))
43422rexbidv 3219 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) → (∃𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝑐})) ↔ ∃𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀)))))
4436, 43imbi12d 344 . . . . . 6 (𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) → (((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = 𝑁𝑓:(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅)) → ∃𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝑐}))) ↔ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = 𝑁 ∧ (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)):(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅)) → ∃𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀))))))
45 ramub2.i . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = 𝑁𝑓:(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅)) → ∃𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝑐})))
4633, 44, 45vtocl 3557 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = 𝑁 ∧ (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)):(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅)) → ∃𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀))))
4718, 25, 31, 46syl12anc 837 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → ∃𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀))))
48 sstr 4003 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑠𝑠𝑡) → 𝑥𝑡)
4948expcom 413 . . . . . . . . 9 (𝑠𝑡 → (𝑥𝑠𝑥𝑡))
5049ad2antll 729 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → (𝑥𝑠𝑥𝑡))
51 velpw 4609 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑠𝑥𝑠)
52 velpw 4609 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑡𝑥𝑡)
5350, 51, 523imtr4g 296 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝑠𝑥 ∈ 𝒫 𝑡))
54 id 22 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀)) → (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀)))
55 inss1 4244 . . . . . . . . . 10 ((𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀)) ⊆ (𝑔 “ {𝑐})
5654, 55sstrdi 4007 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀)) → (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝑔 “ {𝑐}))
5756a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → ((𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀)) → (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝑔 “ {𝑐})))
5857anim2d 612 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → (((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀))) → ((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝑔 “ {𝑐}))))
5953, 58anim12d 609 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ∧ ((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀)))) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝑡 ∧ ((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝑔 “ {𝑐})))))
6059reximdv2 3161 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → (∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀))) → ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝑔 “ {𝑐}))))
6160reximdv 3167 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → (∃𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀))) → ∃𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝑔 “ {𝑐}))))
6247, 61mpd 15 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠𝑠𝑡)) → ∃𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝑔 “ {𝑐})))
6317, 62exlimddv 1932 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) → ∃𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝑔 “ {𝑐})))
641, 2, 3, 4, 5, 63ramub 17046 1 (𝜑 → (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wex 1775  wcel 2105  wrex 3067  {crab 3432  Vcvv 3477  cin 3961  wss 3962  𝒫 cpw 4604  {csn 4630   class class class wbr 5147  ccnv 5687  cres 5690  cima 5691  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  cmpo 7432  cen 8980  cdom 8981  Fincfn 8983  1c1 11153  cle 11293  0cn0 12523  ...cfz 13543  chash 14365   Ramsey cram 17032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-hash 14366  df-ram 17034
This theorem is referenced by:  ramub1  17061
  Copyright terms: Public domain W3C validator