Theorem ramub2 16985

Description: It is sufficient to check the Ramsey property on finite sets of size equal to the upper bound. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rami.c	⊢ 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
rami.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
rami.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
rami.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑅⟶ℕ0)
ramub2.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
ramub2.i	⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = 𝑁 ∧ 𝑓:(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅)) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐})))

Assertion

Ref	Expression
ramub2	⊢ (𝜑 → (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁)

Distinct variable groups:   𝑓,𝑐,𝑠,𝑥,𝐶   𝜑,𝑐,𝑓,𝑠,𝑥   𝐹,𝑐,𝑓,𝑠,𝑥   𝑎,𝑏,𝑐,𝑓,𝑖,𝑠,𝑥,𝑀   𝑅,𝑐,𝑓,𝑠,𝑥   𝑁,𝑎,𝑐,𝑓,𝑖,𝑠,𝑥   𝑉,𝑐,𝑓,𝑠,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑎,𝑏)   𝐶(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑅(𝑖,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑁(𝑏)   𝑉(𝑖,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem ramub2

Dummy variables 𝑔 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rami.c	. 2 ⊢ 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
2		rami.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
3		rami.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
4		rami.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑅⟶ℕ0)
5		ramub2.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
6	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
7		hashfz1 14311	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
9		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) → 𝑁 ≤ (♯‘𝑡))
10	8, 9	eqbrtrd 5129	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) → (♯‘(1...𝑁)) ≤ (♯‘𝑡))
11		fzfid 13938	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) → (1...𝑁) ∈ Fin)
12		vex 3451	. . . . . 6 ⊢ 𝑡 ∈ V
13		hashdom 14344	. . . . . 6 ⊢ (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ 𝑡 ∈ V) → ((♯‘(1...𝑁)) ≤ (♯‘𝑡) ↔ (1...𝑁) ≼ 𝑡))
14	11, 12, 13	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) → ((♯‘(1...𝑁)) ≤ (♯‘𝑡) ↔ (1...𝑁) ≼ 𝑡))
15	10, 14	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) → (1...𝑁) ≼ 𝑡)
16	12	domen 8933	. . . 4 ⊢ ((1...𝑁) ≼ 𝑡 ↔ ∃𝑠((1...𝑁) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡))
17	15, 16	sylib 218	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) → ∃𝑠((1...𝑁) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡))
18		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡)) → 𝜑)
19		ensym 8974	. . . . . . . 8 ⊢ ((1...𝑁) ≈ 𝑠 → 𝑠 ≈ (1...𝑁))
20	19	ad2antrl 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡)) → 𝑠 ≈ (1...𝑁))
21		hasheni 14313	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ≈ (1...𝑁) → (♯‘𝑠) = (♯‘(1...𝑁)))
22	20, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡)) → (♯‘𝑠) = (♯‘(1...𝑁)))
23	5	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
24	23, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡)) → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
25	22, 24	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡)) → (♯‘𝑠) = 𝑁)
26		simplrr 777	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡)) → 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)
27		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡)) → 𝑠 ⊆ 𝑡)
28	2	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
29	1	hashbcss 16975	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑡 ∈ V ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑠𝐶𝑀) ⊆ (𝑡𝐶𝑀))
30	12, 27, 28, 29	mp3an2i 1468	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡)) → (𝑠𝐶𝑀) ⊆ (𝑡𝐶𝑀))
31	26, 30	fssresd 6727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡)) → (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)):(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅)
32		vex 3451	. . . . . . 7 ⊢ 𝑔 ∈ V
33	32	resex 6000	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) ∈ V
34		feq1 6666	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) → (𝑓:(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅 ↔ (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)):(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅))
35	34	anbi2d 630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) → (((♯‘𝑠) = 𝑁 ∧ 𝑓:(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅) ↔ ((♯‘𝑠) = 𝑁 ∧ (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)):(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅)))
36	35	anbi2d 630	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) → ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = 𝑁 ∧ 𝑓:(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅)) ↔ (𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = 𝑁 ∧ (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)):(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅))))
37		cnveq 5837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) → ◡𝑓 = ◡(𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)))
38	37	imaeq1d 6030	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) → (◡𝑓 “ {𝑐}) = (◡(𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) “ {𝑐}))
39		cnvresima 6203	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (◡(𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) “ {𝑐}) = ((◡𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀))
40	38, 39	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) → (◡𝑓 “ {𝑐}) = ((◡𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀)))
41	40	sseq2d 3979	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) → ((𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐}) ↔ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((◡𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀))))
42	41	anbi2d 630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) → (((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐})) ↔ ((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((◡𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀)))))
43	42	2rexbidv 3202	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) → (∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐})) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((◡𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀)))))
44	36, 43	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) → (((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = 𝑁 ∧ 𝑓:(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅)) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐}))) ↔ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = 𝑁 ∧ (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)):(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅)) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((◡𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀))))))
45		ramub2.i	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = 𝑁 ∧ 𝑓:(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅)) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐})))
46	33, 44, 45	vtocl 3524	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = 𝑁 ∧ (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)):(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅)) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((◡𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀))))
47	18, 25, 31, 46	syl12anc 836	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡)) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((◡𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀))))
48		sstr 3955	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡) → 𝑥 ⊆ 𝑡)
49	48	expcom 413	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ⊆ 𝑡 → (𝑥 ⊆ 𝑠 → 𝑥 ⊆ 𝑡))
50	49	ad2antll 729	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡)) → (𝑥 ⊆ 𝑠 → 𝑥 ⊆ 𝑡))
51		velpw 4568	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ↔ 𝑥 ⊆ 𝑠)
52		velpw 4568	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑡 ↔ 𝑥 ⊆ 𝑡)
53	50, 51, 52	3imtr4g 296	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡)) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡))
54		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((◡𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀)) → (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((◡𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀)))
55		inss1 4200	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((◡𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀)) ⊆ (◡𝑔 “ {𝑐})
56	54, 55	sstrdi 3959	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((◡𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀)) → (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑔 “ {𝑐}))
57	56	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡)) → ((𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((◡𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀)) → (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑔 “ {𝑐})))
58	57	anim2d 612	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡)) → (((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((◡𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀))) → ((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑔 “ {𝑐}))))
59	53, 58	anim12d 609	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡)) → ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ∧ ((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((◡𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀)))) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝑡 ∧ ((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑔 “ {𝑐})))))
60	59	reximdv2 3143	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡)) → (∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((◡𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀))) → ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑔 “ {𝑐}))))
61	60	reximdv 3148	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡)) → (∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((◡𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀))) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑔 “ {𝑐}))))
62	47, 61	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡)) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑔 “ {𝑐})))
63	17, 62	exlimddv 1935	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑔 “ {𝑐})))
64	1, 2, 3, 4, 5, 63	ramub 16984	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  {crab 3405  Vcvv 3447   ∩ cin 3913   ⊆ wss 3914  𝒫 cpw 4563  {csn 4589   class class class wbr 5107  ^◡ccnv 5637   ↾ cres 5640   “ cima 5641  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ∈ cmpo 7389   ≈ cen 8915   ≼ cdom 8916  Fincfn 8918  1c1 11069   ≤ cle 11209  ℕ₀cn0 12442  ...cfz 13468  ♯chash 14295   Ramsey cram 16970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-oadd 8438  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-xnn0 12516  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-hash 14296  df-ram 16972

This theorem is referenced by:  ramub1  16999