Theorem ramub2 16715

Description: It is sufficient to check the Ramsey property on finite sets of size equal to the upper bound. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rami.c	⊢ 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
rami.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
rami.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
rami.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑅⟶ℕ0)
ramub2.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
ramub2.i	⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = 𝑁 ∧ 𝑓:(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅)) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐})))

Assertion

Ref	Expression
ramub2	⊢ (𝜑 → (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁)

Distinct variable groups:   𝑓,𝑐,𝑠,𝑥,𝐶   𝜑,𝑐,𝑓,𝑠,𝑥   𝐹,𝑐,𝑓,𝑠,𝑥   𝑎,𝑏,𝑐,𝑓,𝑖,𝑠,𝑥,𝑀   𝑅,𝑐,𝑓,𝑠,𝑥   𝑁,𝑎,𝑐,𝑓,𝑖,𝑠,𝑥   𝑉,𝑐,𝑓,𝑠,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑎,𝑏)   𝐶(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑅(𝑖,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑁(𝑏)   𝑉(𝑖,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem ramub2

Dummy variables 𝑔 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rami.c	. 2 ⊢ 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
2		rami.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
3		rami.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
4		rami.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑅⟶ℕ0)
5		ramub2.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
6	5	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
7		hashfz1 14060	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
9		simprl 768	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) → 𝑁 ≤ (♯‘𝑡))
10	8, 9	eqbrtrd 5096	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) → (♯‘(1...𝑁)) ≤ (♯‘𝑡))
11		fzfid 13693	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) → (1...𝑁) ∈ Fin)
12		vex 3436	. . . . . 6 ⊢ 𝑡 ∈ V
13		hashdom 14094	. . . . . 6 ⊢ (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ 𝑡 ∈ V) → ((♯‘(1...𝑁)) ≤ (♯‘𝑡) ↔ (1...𝑁) ≼ 𝑡))
14	11, 12, 13	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) → ((♯‘(1...𝑁)) ≤ (♯‘𝑡) ↔ (1...𝑁) ≼ 𝑡))
15	10, 14	mpbid 231	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) → (1...𝑁) ≼ 𝑡)
16	12	domen 8751	. . . 4 ⊢ ((1...𝑁) ≼ 𝑡 ↔ ∃𝑠((1...𝑁) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡))
17	15, 16	sylib 217	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) → ∃𝑠((1...𝑁) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡))
18		simpll 764	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡)) → 𝜑)
19		ensym 8789	. . . . . . . 8 ⊢ ((1...𝑁) ≈ 𝑠 → 𝑠 ≈ (1...𝑁))
20	19	ad2antrl 725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡)) → 𝑠 ≈ (1...𝑁))
21		hasheni 14062	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ≈ (1...𝑁) → (♯‘𝑠) = (♯‘(1...𝑁)))
22	20, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡)) → (♯‘𝑠) = (♯‘(1...𝑁)))
23	5	ad2antrr 723	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
24	23, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡)) → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
25	22, 24	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡)) → (♯‘𝑠) = 𝑁)
26		simplrr 775	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡)) → 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)
27		simprr 770	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡)) → 𝑠 ⊆ 𝑡)
28	2	ad2antrr 723	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
29	1	hashbcss 16705	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑡 ∈ V ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑠𝐶𝑀) ⊆ (𝑡𝐶𝑀))
30	12, 27, 28, 29	mp3an2i 1465	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡)) → (𝑠𝐶𝑀) ⊆ (𝑡𝐶𝑀))
31	26, 30	fssresd 6641	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡)) → (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)):(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅)
32		vex 3436	. . . . . . 7 ⊢ 𝑔 ∈ V
33	32	resex 5939	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) ∈ V
34		feq1 6581	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) → (𝑓:(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅 ↔ (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)):(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅))
35	34	anbi2d 629	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) → (((♯‘𝑠) = 𝑁 ∧ 𝑓:(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅) ↔ ((♯‘𝑠) = 𝑁 ∧ (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)):(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅)))
36	35	anbi2d 629	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) → ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = 𝑁 ∧ 𝑓:(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅)) ↔ (𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = 𝑁 ∧ (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)):(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅))))
37		cnveq 5782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) → ◡𝑓 = ◡(𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)))
38	37	imaeq1d 5968	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) → (◡𝑓 “ {𝑐}) = (◡(𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) “ {𝑐}))
39		cnvresima 6133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (◡(𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) “ {𝑐}) = ((◡𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀))
40	38, 39	eqtrdi 2794	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) → (◡𝑓 “ {𝑐}) = ((◡𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀)))
41	40	sseq2d 3953	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) → ((𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐}) ↔ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((◡𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀))))
42	41	anbi2d 629	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) → (((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐})) ↔ ((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((◡𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀)))))
43	42	2rexbidv 3229	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) → (∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐})) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((◡𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀)))))
44	36, 43	imbi12d 345	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)) → (((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = 𝑁 ∧ 𝑓:(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅)) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐}))) ↔ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = 𝑁 ∧ (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)):(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅)) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((◡𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀))))))
45		ramub2.i	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = 𝑁 ∧ 𝑓:(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅)) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐})))
46	33, 44, 45	vtocl 3498	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑠) = 𝑁 ∧ (𝑔 ↾ (𝑠𝐶𝑀)):(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅)) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((◡𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀))))
47	18, 25, 31, 46	syl12anc 834	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡)) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((◡𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀))))
48		sstr 3929	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡) → 𝑥 ⊆ 𝑡)
49	48	expcom 414	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ⊆ 𝑡 → (𝑥 ⊆ 𝑠 → 𝑥 ⊆ 𝑡))
50	49	ad2antll 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡)) → (𝑥 ⊆ 𝑠 → 𝑥 ⊆ 𝑡))
51		velpw 4538	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ↔ 𝑥 ⊆ 𝑠)
52		velpw 4538	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑡 ↔ 𝑥 ⊆ 𝑡)
53	50, 51, 52	3imtr4g 296	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡)) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡))
54		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((◡𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀)) → (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((◡𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀)))
55		inss1 4162	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((◡𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀)) ⊆ (◡𝑔 “ {𝑐})
56	54, 55	sstrdi 3933	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((◡𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀)) → (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑔 “ {𝑐}))
57	56	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡)) → ((𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((◡𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀)) → (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑔 “ {𝑐})))
58	57	anim2d 612	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡)) → (((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((◡𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀))) → ((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑔 “ {𝑐}))))
59	53, 58	anim12d 609	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡)) → ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑠 ∧ ((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((◡𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀)))) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝑡 ∧ ((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑔 “ {𝑐})))))
60	59	reximdv2 3199	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡)) → (∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((◡𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀))) → ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑔 “ {𝑐}))))
61	60	reximdv 3202	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡)) → (∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ ((◡𝑔 “ {𝑐}) ∩ (𝑠𝐶𝑀))) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑔 “ {𝑐}))))
62	47, 61	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) ∧ ((1...𝑁) ≈ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑡)) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑔 “ {𝑐})))
63	17, 62	exlimddv 1938	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑡) ∧ 𝑔:(𝑡𝐶𝑀)⟶𝑅)) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑔 “ {𝑐})))
64	1, 2, 3, 4, 5, 63	ramub 16714	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539  ∃wex 1782   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3065  {crab 3068  Vcvv 3432   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  𝒫 cpw 4533  {csn 4561   class class class wbr 5074  ^◡ccnv 5588   ↾ cres 5591   “ cima 5592  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ∈ cmpo 7277   ≈ cen 8730   ≼ cdom 8731  Fincfn 8733  1c1 10872   ≤ cle 11010  ℕ₀cn0 12233  ...cfz 13239  ♯chash 14044   Ramsey cram 16700

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-hash 14045  df-ram 16702

This theorem is referenced by:  ramub1  16729