Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvhvscaval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvhvscaval 39965
Description: The scalar product operation for the constructed full vector space H. (Contributed by NM, 20-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
dvhvscaval.s ยท = (๐‘  โˆˆ ๐ธ, ๐‘“ โˆˆ (๐‘‡ ร— ๐ธ) โ†ฆ โŸจ(๐‘ โ€˜(1st โ€˜๐‘“)), (๐‘  โˆ˜ (2nd โ€˜๐‘“))โŸฉ)
Assertion
Ref Expression
dvhvscaval ((๐‘ˆ โˆˆ ๐ธ โˆง ๐น โˆˆ (๐‘‡ ร— ๐ธ)) โ†’ (๐‘ˆ ยท ๐น) = โŸจ(๐‘ˆโ€˜(1st โ€˜๐น)), (๐‘ˆ โˆ˜ (2nd โ€˜๐น))โŸฉ)
Distinct variable groups:   ๐‘“,๐‘ ,๐ธ   ๐‘‡,๐‘ ,๐‘“
Allowed substitution hints:   ยท (๐‘“,๐‘ )   ๐‘ˆ(๐‘“,๐‘ )   ๐น(๐‘“,๐‘ )

Proof of Theorem dvhvscaval
Dummy variables ๐‘ก ๐‘” are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq1 6890 . . 3 (๐‘ก = ๐‘ˆ โ†’ (๐‘กโ€˜(1st โ€˜๐‘”)) = (๐‘ˆโ€˜(1st โ€˜๐‘”)))
2 coeq1 5857 . . 3 (๐‘ก = ๐‘ˆ โ†’ (๐‘ก โˆ˜ (2nd โ€˜๐‘”)) = (๐‘ˆ โˆ˜ (2nd โ€˜๐‘”)))
31, 2opeq12d 4881 . 2 (๐‘ก = ๐‘ˆ โ†’ โŸจ(๐‘กโ€˜(1st โ€˜๐‘”)), (๐‘ก โˆ˜ (2nd โ€˜๐‘”))โŸฉ = โŸจ(๐‘ˆโ€˜(1st โ€˜๐‘”)), (๐‘ˆ โˆ˜ (2nd โ€˜๐‘”))โŸฉ)
4 2fveq3 6896 . . 3 (๐‘” = ๐น โ†’ (๐‘ˆโ€˜(1st โ€˜๐‘”)) = (๐‘ˆโ€˜(1st โ€˜๐น)))
5 fveq2 6891 . . . 4 (๐‘” = ๐น โ†’ (2nd โ€˜๐‘”) = (2nd โ€˜๐น))
65coeq2d 5862 . . 3 (๐‘” = ๐น โ†’ (๐‘ˆ โˆ˜ (2nd โ€˜๐‘”)) = (๐‘ˆ โˆ˜ (2nd โ€˜๐น)))
74, 6opeq12d 4881 . 2 (๐‘” = ๐น โ†’ โŸจ(๐‘ˆโ€˜(1st โ€˜๐‘”)), (๐‘ˆ โˆ˜ (2nd โ€˜๐‘”))โŸฉ = โŸจ(๐‘ˆโ€˜(1st โ€˜๐น)), (๐‘ˆ โˆ˜ (2nd โ€˜๐น))โŸฉ)
8 dvhvscaval.s . . 3 ยท = (๐‘  โˆˆ ๐ธ, ๐‘“ โˆˆ (๐‘‡ ร— ๐ธ) โ†ฆ โŸจ(๐‘ โ€˜(1st โ€˜๐‘“)), (๐‘  โˆ˜ (2nd โ€˜๐‘“))โŸฉ)
98dvhvscacbv 39964 . 2 ยท = (๐‘ก โˆˆ ๐ธ, ๐‘” โˆˆ (๐‘‡ ร— ๐ธ) โ†ฆ โŸจ(๐‘กโ€˜(1st โ€˜๐‘”)), (๐‘ก โˆ˜ (2nd โ€˜๐‘”))โŸฉ)
10 opex 5464 . 2 โŸจ(๐‘ˆโ€˜(1st โ€˜๐น)), (๐‘ˆ โˆ˜ (2nd โ€˜๐น))โŸฉ โˆˆ V
113, 7, 9, 10ovmpo 7567 1 ((๐‘ˆ โˆˆ ๐ธ โˆง ๐น โˆˆ (๐‘‡ ร— ๐ธ)) โ†’ (๐‘ˆ ยท ๐น) = โŸจ(๐‘ˆโ€˜(1st โ€˜๐น)), (๐‘ˆ โˆ˜ (2nd โ€˜๐น))โŸฉ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โŸจcop 4634   ร— cxp 5674   โˆ˜ ccom 5680  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   โˆˆ cmpo 7410  1st c1st 7972  2nd c2nd 7973
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413
This theorem is referenced by:  dvhvsca  39967  dvhopspN  39981
  Copyright terms: Public domain W3C validator