![]() |
Mathbox for Norm Megill |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > dvhvscaval | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The scalar product operation for the constructed full vector space H. (Contributed by NM, 20-Nov-2013.) |
Ref | Expression |
---|---|
dvhvscaval.s | โข ยท = (๐ โ ๐ธ, ๐ โ (๐ ร ๐ธ) โฆ โจ(๐ โ(1st โ๐)), (๐ โ (2nd โ๐))โฉ) |
Ref | Expression |
---|---|
dvhvscaval | โข ((๐ โ ๐ธ โง ๐น โ (๐ ร ๐ธ)) โ (๐ ยท ๐น) = โจ(๐โ(1st โ๐น)), (๐ โ (2nd โ๐น))โฉ) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | fveq1 6842 | . . 3 โข (๐ก = ๐ โ (๐กโ(1st โ๐)) = (๐โ(1st โ๐))) | |
2 | coeq1 5814 | . . 3 โข (๐ก = ๐ โ (๐ก โ (2nd โ๐)) = (๐ โ (2nd โ๐))) | |
3 | 1, 2 | opeq12d 4839 | . 2 โข (๐ก = ๐ โ โจ(๐กโ(1st โ๐)), (๐ก โ (2nd โ๐))โฉ = โจ(๐โ(1st โ๐)), (๐ โ (2nd โ๐))โฉ) |
4 | 2fveq3 6848 | . . 3 โข (๐ = ๐น โ (๐โ(1st โ๐)) = (๐โ(1st โ๐น))) | |
5 | fveq2 6843 | . . . 4 โข (๐ = ๐น โ (2nd โ๐) = (2nd โ๐น)) | |
6 | 5 | coeq2d 5819 | . . 3 โข (๐ = ๐น โ (๐ โ (2nd โ๐)) = (๐ โ (2nd โ๐น))) |
7 | 4, 6 | opeq12d 4839 | . 2 โข (๐ = ๐น โ โจ(๐โ(1st โ๐)), (๐ โ (2nd โ๐))โฉ = โจ(๐โ(1st โ๐น)), (๐ โ (2nd โ๐น))โฉ) |
8 | dvhvscaval.s | . . 3 โข ยท = (๐ โ ๐ธ, ๐ โ (๐ ร ๐ธ) โฆ โจ(๐ โ(1st โ๐)), (๐ โ (2nd โ๐))โฉ) | |
9 | 8 | dvhvscacbv 39564 | . 2 โข ยท = (๐ก โ ๐ธ, ๐ โ (๐ ร ๐ธ) โฆ โจ(๐กโ(1st โ๐)), (๐ก โ (2nd โ๐))โฉ) |
10 | opex 5422 | . 2 โข โจ(๐โ(1st โ๐น)), (๐ โ (2nd โ๐น))โฉ โ V | |
11 | 3, 7, 9, 10 | ovmpo 7516 | 1 โข ((๐ โ ๐ธ โง ๐น โ (๐ ร ๐ธ)) โ (๐ ยท ๐น) = โจ(๐โ(1st โ๐น)), (๐ โ (2nd โ๐น))โฉ) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 397 = wceq 1542 โ wcel 2107 โจcop 4593 ร cxp 5632 โ ccom 5638 โcfv 6497 (class class class)co 7358 โ cmpo 7360 1st c1st 7920 2nd c2nd 7921 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2708 ax-sep 5257 ax-nul 5264 ax-pr 5385 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2815 df-nfc 2890 df-ral 3066 df-rex 3075 df-rab 3409 df-v 3448 df-sbc 3741 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-nul 4284 df-if 4488 df-sn 4588 df-pr 4590 df-op 4594 df-uni 4867 df-br 5107 df-opab 5169 df-id 5532 df-xp 5640 df-rel 5641 df-cnv 5642 df-co 5643 df-dm 5644 df-iota 6449 df-fun 6499 df-fv 6505 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 |
This theorem is referenced by: dvhvsca 39567 dvhopspN 39581 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |