Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvhvscaval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvhvscaval 40483
Description: The scalar product operation for the constructed full vector space H. (Contributed by NM, 20-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
dvhvscaval.s ยท = (๐‘  โˆˆ ๐ธ, ๐‘“ โˆˆ (๐‘‡ ร— ๐ธ) โ†ฆ โŸจ(๐‘ โ€˜(1st โ€˜๐‘“)), (๐‘  โˆ˜ (2nd โ€˜๐‘“))โŸฉ)
Assertion
Ref Expression
dvhvscaval ((๐‘ˆ โˆˆ ๐ธ โˆง ๐น โˆˆ (๐‘‡ ร— ๐ธ)) โ†’ (๐‘ˆ ยท ๐น) = โŸจ(๐‘ˆโ€˜(1st โ€˜๐น)), (๐‘ˆ โˆ˜ (2nd โ€˜๐น))โŸฉ)
Distinct variable groups:   ๐‘“,๐‘ ,๐ธ   ๐‘‡,๐‘ ,๐‘“
Allowed substitution hints:   ยท (๐‘“,๐‘ )   ๐‘ˆ(๐‘“,๐‘ )   ๐น(๐‘“,๐‘ )

Proof of Theorem dvhvscaval
Dummy variables ๐‘ก ๐‘” are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq1 6884 . . 3 (๐‘ก = ๐‘ˆ โ†’ (๐‘กโ€˜(1st โ€˜๐‘”)) = (๐‘ˆโ€˜(1st โ€˜๐‘”)))
2 coeq1 5851 . . 3 (๐‘ก = ๐‘ˆ โ†’ (๐‘ก โˆ˜ (2nd โ€˜๐‘”)) = (๐‘ˆ โˆ˜ (2nd โ€˜๐‘”)))
31, 2opeq12d 4876 . 2 (๐‘ก = ๐‘ˆ โ†’ โŸจ(๐‘กโ€˜(1st โ€˜๐‘”)), (๐‘ก โˆ˜ (2nd โ€˜๐‘”))โŸฉ = โŸจ(๐‘ˆโ€˜(1st โ€˜๐‘”)), (๐‘ˆ โˆ˜ (2nd โ€˜๐‘”))โŸฉ)
4 2fveq3 6890 . . 3 (๐‘” = ๐น โ†’ (๐‘ˆโ€˜(1st โ€˜๐‘”)) = (๐‘ˆโ€˜(1st โ€˜๐น)))
5 fveq2 6885 . . . 4 (๐‘” = ๐น โ†’ (2nd โ€˜๐‘”) = (2nd โ€˜๐น))
65coeq2d 5856 . . 3 (๐‘” = ๐น โ†’ (๐‘ˆ โˆ˜ (2nd โ€˜๐‘”)) = (๐‘ˆ โˆ˜ (2nd โ€˜๐น)))
74, 6opeq12d 4876 . 2 (๐‘” = ๐น โ†’ โŸจ(๐‘ˆโ€˜(1st โ€˜๐‘”)), (๐‘ˆ โˆ˜ (2nd โ€˜๐‘”))โŸฉ = โŸจ(๐‘ˆโ€˜(1st โ€˜๐น)), (๐‘ˆ โˆ˜ (2nd โ€˜๐น))โŸฉ)
8 dvhvscaval.s . . 3 ยท = (๐‘  โˆˆ ๐ธ, ๐‘“ โˆˆ (๐‘‡ ร— ๐ธ) โ†ฆ โŸจ(๐‘ โ€˜(1st โ€˜๐‘“)), (๐‘  โˆ˜ (2nd โ€˜๐‘“))โŸฉ)
98dvhvscacbv 40482 . 2 ยท = (๐‘ก โˆˆ ๐ธ, ๐‘” โˆˆ (๐‘‡ ร— ๐ธ) โ†ฆ โŸจ(๐‘กโ€˜(1st โ€˜๐‘”)), (๐‘ก โˆ˜ (2nd โ€˜๐‘”))โŸฉ)
10 opex 5457 . 2 โŸจ(๐‘ˆโ€˜(1st โ€˜๐น)), (๐‘ˆ โˆ˜ (2nd โ€˜๐น))โŸฉ โˆˆ V
113, 7, 9, 10ovmpo 7564 1 ((๐‘ˆ โˆˆ ๐ธ โˆง ๐น โˆˆ (๐‘‡ ร— ๐ธ)) โ†’ (๐‘ˆ ยท ๐น) = โŸจ(๐‘ˆโ€˜(1st โ€˜๐น)), (๐‘ˆ โˆ˜ (2nd โ€˜๐น))โŸฉ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โŸจcop 4629   ร— cxp 5667   โˆ˜ ccom 5673  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   โˆˆ cmpo 7407  1st c1st 7972  2nd c2nd 7973
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410
This theorem is referenced by:  dvhvsca  40485  dvhopspN  40499
  Copyright terms: Public domain W3C validator