![]() |
Mathbox for Norm Megill |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > dvhvscaval | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The scalar product operation for the constructed full vector space H. (Contributed by NM, 20-Nov-2013.) |
Ref | Expression |
---|---|
dvhvscaval.s | โข ยท = (๐ โ ๐ธ, ๐ โ (๐ ร ๐ธ) โฆ โจ(๐ โ(1st โ๐)), (๐ โ (2nd โ๐))โฉ) |
Ref | Expression |
---|---|
dvhvscaval | โข ((๐ โ ๐ธ โง ๐น โ (๐ ร ๐ธ)) โ (๐ ยท ๐น) = โจ(๐โ(1st โ๐น)), (๐ โ (2nd โ๐น))โฉ) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | fveq1 6884 | . . 3 โข (๐ก = ๐ โ (๐กโ(1st โ๐)) = (๐โ(1st โ๐))) | |
2 | coeq1 5851 | . . 3 โข (๐ก = ๐ โ (๐ก โ (2nd โ๐)) = (๐ โ (2nd โ๐))) | |
3 | 1, 2 | opeq12d 4876 | . 2 โข (๐ก = ๐ โ โจ(๐กโ(1st โ๐)), (๐ก โ (2nd โ๐))โฉ = โจ(๐โ(1st โ๐)), (๐ โ (2nd โ๐))โฉ) |
4 | 2fveq3 6890 | . . 3 โข (๐ = ๐น โ (๐โ(1st โ๐)) = (๐โ(1st โ๐น))) | |
5 | fveq2 6885 | . . . 4 โข (๐ = ๐น โ (2nd โ๐) = (2nd โ๐น)) | |
6 | 5 | coeq2d 5856 | . . 3 โข (๐ = ๐น โ (๐ โ (2nd โ๐)) = (๐ โ (2nd โ๐น))) |
7 | 4, 6 | opeq12d 4876 | . 2 โข (๐ = ๐น โ โจ(๐โ(1st โ๐)), (๐ โ (2nd โ๐))โฉ = โจ(๐โ(1st โ๐น)), (๐ โ (2nd โ๐น))โฉ) |
8 | dvhvscaval.s | . . 3 โข ยท = (๐ โ ๐ธ, ๐ โ (๐ ร ๐ธ) โฆ โจ(๐ โ(1st โ๐)), (๐ โ (2nd โ๐))โฉ) | |
9 | 8 | dvhvscacbv 40482 | . 2 โข ยท = (๐ก โ ๐ธ, ๐ โ (๐ ร ๐ธ) โฆ โจ(๐กโ(1st โ๐)), (๐ก โ (2nd โ๐))โฉ) |
10 | opex 5457 | . 2 โข โจ(๐โ(1st โ๐น)), (๐ โ (2nd โ๐น))โฉ โ V | |
11 | 3, 7, 9, 10 | ovmpo 7564 | 1 โข ((๐ โ ๐ธ โง ๐น โ (๐ ร ๐ธ)) โ (๐ ยท ๐น) = โจ(๐โ(1st โ๐น)), (๐ โ (2nd โ๐น))โฉ) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 = wceq 1533 โ wcel 2098 โจcop 4629 ร cxp 5667 โ ccom 5673 โcfv 6537 (class class class)co 7405 โ cmpo 7407 1st c1st 7972 2nd c2nd 7973 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pr 5420 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-nul 4318 df-if 4524 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-br 5142 df-opab 5204 df-id 5567 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-iota 6489 df-fun 6539 df-fv 6545 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 |
This theorem is referenced by: dvhvsca 40485 dvhopspN 40499 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |