![]() |
Mathbox for Norm Megill |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > dvhvscaval | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The scalar product operation for the constructed full vector space H. (Contributed by NM, 20-Nov-2013.) |
Ref | Expression |
---|---|
dvhvscaval.s | โข ยท = (๐ โ ๐ธ, ๐ โ (๐ ร ๐ธ) โฆ โจ(๐ โ(1st โ๐)), (๐ โ (2nd โ๐))โฉ) |
Ref | Expression |
---|---|
dvhvscaval | โข ((๐ โ ๐ธ โง ๐น โ (๐ ร ๐ธ)) โ (๐ ยท ๐น) = โจ(๐โ(1st โ๐น)), (๐ โ (2nd โ๐น))โฉ) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | fveq1 6890 | . . 3 โข (๐ก = ๐ โ (๐กโ(1st โ๐)) = (๐โ(1st โ๐))) | |
2 | coeq1 5857 | . . 3 โข (๐ก = ๐ โ (๐ก โ (2nd โ๐)) = (๐ โ (2nd โ๐))) | |
3 | 1, 2 | opeq12d 4881 | . 2 โข (๐ก = ๐ โ โจ(๐กโ(1st โ๐)), (๐ก โ (2nd โ๐))โฉ = โจ(๐โ(1st โ๐)), (๐ โ (2nd โ๐))โฉ) |
4 | 2fveq3 6896 | . . 3 โข (๐ = ๐น โ (๐โ(1st โ๐)) = (๐โ(1st โ๐น))) | |
5 | fveq2 6891 | . . . 4 โข (๐ = ๐น โ (2nd โ๐) = (2nd โ๐น)) | |
6 | 5 | coeq2d 5862 | . . 3 โข (๐ = ๐น โ (๐ โ (2nd โ๐)) = (๐ โ (2nd โ๐น))) |
7 | 4, 6 | opeq12d 4881 | . 2 โข (๐ = ๐น โ โจ(๐โ(1st โ๐)), (๐ โ (2nd โ๐))โฉ = โจ(๐โ(1st โ๐น)), (๐ โ (2nd โ๐น))โฉ) |
8 | dvhvscaval.s | . . 3 โข ยท = (๐ โ ๐ธ, ๐ โ (๐ ร ๐ธ) โฆ โจ(๐ โ(1st โ๐)), (๐ โ (2nd โ๐))โฉ) | |
9 | 8 | dvhvscacbv 39964 | . 2 โข ยท = (๐ก โ ๐ธ, ๐ โ (๐ ร ๐ธ) โฆ โจ(๐กโ(1st โ๐)), (๐ก โ (2nd โ๐))โฉ) |
10 | opex 5464 | . 2 โข โจ(๐โ(1st โ๐น)), (๐ โ (2nd โ๐น))โฉ โ V | |
11 | 3, 7, 9, 10 | ovmpo 7567 | 1 โข ((๐ โ ๐ธ โง ๐น โ (๐ ร ๐ธ)) โ (๐ ยท ๐น) = โจ(๐โ(1st โ๐น)), (๐ โ (2nd โ๐น))โฉ) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 396 = wceq 1541 โ wcel 2106 โจcop 4634 ร cxp 5674 โ ccom 5680 โcfv 6543 (class class class)co 7408 โ cmpo 7410 1st c1st 7972 2nd c2nd 7973 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pr 5427 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rab 3433 df-v 3476 df-sbc 3778 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-nul 4323 df-if 4529 df-sn 4629 df-pr 4631 df-op 4635 df-uni 4909 df-br 5149 df-opab 5211 df-id 5574 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fv 6551 df-ov 7411 df-oprab 7412 df-mpo 7413 |
This theorem is referenced by: dvhvsca 39967 dvhopspN 39981 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |