Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvhvscaval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvhvscaval 39565
Description: The scalar product operation for the constructed full vector space H. (Contributed by NM, 20-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
dvhvscaval.s ยท = (๐‘  โˆˆ ๐ธ, ๐‘“ โˆˆ (๐‘‡ ร— ๐ธ) โ†ฆ โŸจ(๐‘ โ€˜(1st โ€˜๐‘“)), (๐‘  โˆ˜ (2nd โ€˜๐‘“))โŸฉ)
Assertion
Ref Expression
dvhvscaval ((๐‘ˆ โˆˆ ๐ธ โˆง ๐น โˆˆ (๐‘‡ ร— ๐ธ)) โ†’ (๐‘ˆ ยท ๐น) = โŸจ(๐‘ˆโ€˜(1st โ€˜๐น)), (๐‘ˆ โˆ˜ (2nd โ€˜๐น))โŸฉ)
Distinct variable groups:   ๐‘“,๐‘ ,๐ธ   ๐‘‡,๐‘ ,๐‘“
Allowed substitution hints:   ยท (๐‘“,๐‘ )   ๐‘ˆ(๐‘“,๐‘ )   ๐น(๐‘“,๐‘ )

Proof of Theorem dvhvscaval
Dummy variables ๐‘ก ๐‘” are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq1 6842 . . 3 (๐‘ก = ๐‘ˆ โ†’ (๐‘กโ€˜(1st โ€˜๐‘”)) = (๐‘ˆโ€˜(1st โ€˜๐‘”)))
2 coeq1 5814 . . 3 (๐‘ก = ๐‘ˆ โ†’ (๐‘ก โˆ˜ (2nd โ€˜๐‘”)) = (๐‘ˆ โˆ˜ (2nd โ€˜๐‘”)))
31, 2opeq12d 4839 . 2 (๐‘ก = ๐‘ˆ โ†’ โŸจ(๐‘กโ€˜(1st โ€˜๐‘”)), (๐‘ก โˆ˜ (2nd โ€˜๐‘”))โŸฉ = โŸจ(๐‘ˆโ€˜(1st โ€˜๐‘”)), (๐‘ˆ โˆ˜ (2nd โ€˜๐‘”))โŸฉ)
4 2fveq3 6848 . . 3 (๐‘” = ๐น โ†’ (๐‘ˆโ€˜(1st โ€˜๐‘”)) = (๐‘ˆโ€˜(1st โ€˜๐น)))
5 fveq2 6843 . . . 4 (๐‘” = ๐น โ†’ (2nd โ€˜๐‘”) = (2nd โ€˜๐น))
65coeq2d 5819 . . 3 (๐‘” = ๐น โ†’ (๐‘ˆ โˆ˜ (2nd โ€˜๐‘”)) = (๐‘ˆ โˆ˜ (2nd โ€˜๐น)))
74, 6opeq12d 4839 . 2 (๐‘” = ๐น โ†’ โŸจ(๐‘ˆโ€˜(1st โ€˜๐‘”)), (๐‘ˆ โˆ˜ (2nd โ€˜๐‘”))โŸฉ = โŸจ(๐‘ˆโ€˜(1st โ€˜๐น)), (๐‘ˆ โˆ˜ (2nd โ€˜๐น))โŸฉ)
8 dvhvscaval.s . . 3 ยท = (๐‘  โˆˆ ๐ธ, ๐‘“ โˆˆ (๐‘‡ ร— ๐ธ) โ†ฆ โŸจ(๐‘ โ€˜(1st โ€˜๐‘“)), (๐‘  โˆ˜ (2nd โ€˜๐‘“))โŸฉ)
98dvhvscacbv 39564 . 2 ยท = (๐‘ก โˆˆ ๐ธ, ๐‘” โˆˆ (๐‘‡ ร— ๐ธ) โ†ฆ โŸจ(๐‘กโ€˜(1st โ€˜๐‘”)), (๐‘ก โˆ˜ (2nd โ€˜๐‘”))โŸฉ)
10 opex 5422 . 2 โŸจ(๐‘ˆโ€˜(1st โ€˜๐น)), (๐‘ˆ โˆ˜ (2nd โ€˜๐น))โŸฉ โˆˆ V
113, 7, 9, 10ovmpo 7516 1 ((๐‘ˆ โˆˆ ๐ธ โˆง ๐น โˆˆ (๐‘‡ ร— ๐ธ)) โ†’ (๐‘ˆ ยท ๐น) = โŸจ(๐‘ˆโ€˜(1st โ€˜๐น)), (๐‘ˆ โˆ˜ (2nd โ€˜๐น))โŸฉ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โŸจcop 4593   ร— cxp 5632   โˆ˜ ccom 5638  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   โˆˆ cmpo 7360  1st c1st 7920  2nd c2nd 7921
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363
This theorem is referenced by:  dvhvsca  39567  dvhopspN  39581
  Copyright terms: Public domain W3C validator