Theorem ovmpo 7584

Description: Value of an operation given by a maps-to rule. Special case. (Contributed by NM, 16-May-1995.) (Revised by David Abernethy, 19-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovmpog.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑅 = 𝐺)
ovmpog.2	⊢ (𝑦 = 𝐵 → 𝐺 = 𝑆)
ovmpog.3	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝑅)
ovmpo.4	⊢ 𝑆 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ovmpo	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴𝐹𝐵) = 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥, 𝑦)   𝐹(𝑥, 𝑦)   𝐺(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem ovmpo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovmpo.4	. 2 ⊢ 𝑆 ∈ V
2		ovmpog.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑅 = 𝐺)
3		ovmpog.2	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → 𝐺 = 𝑆)
4		ovmpog.3	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝑅)
5	2, 3, 4	ovmpog 7583	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝐴𝐹𝐵) = 𝑆)
6	1, 5	mp3an3 1479	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴𝐹𝐵) = 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  (class class class)co 7424   ∈ cmpo 7426

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fv 6551  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429

This theorem is used by:  fvproj  8157  seqomlem1  8467  seqomlem4  8470  oav  8526  omv  8527  oev  8529  iunfictbso  10200  fin23lem12  10416  axdc4lem  10540  axcclem  10542  addpipq2  11028  mulpipq2  11031  subval  11555  divval  11983  cnref1o  13120  ixxval  13491  fzval  13648  modval  14018  om2uzrdg  14106  uzrdgsuci  14110  axdc4uzlem  14133  seqval  14162  seqp1  14166  bcval  14455  cnrecnv  15341  risefacval  16184  fallfacval  16185  gcdval  16675  lcmval  16776  imasvscafn  17718  imasvscaval  17719  grpsubval  19205  lactghmga  19628  efgmval  19935  efgtval  19946  frgpup3lem  20000  dvrval  20642  frlmval  22063  psrvsca  22266  mat1comp  22764  mamulid  22765  mamurid  22766  madufval  22961  xkococnlem  23987  xkococn  23988  cnextval  24389  dscmet  24900  cncfval  25218  htpycom  25306  htpyid  25307  phtpycom  25318  phtpyid  25319  ehl1eudisval  25751  logbval  27103  addsval  28357  subsval  28455  mulsval  28504  divsval  28584  seqsval  28683  om2noseqrdg  28699  noseqrdgsuc  28703  seqsp1  28706  expsval  28820  isismt  29006  clwwlknon  30690  clwwlk0on0  30692  grpodivval  31146  ipval  31314  lnoval  31363  nmoofval  31373  bloval  31392  0ofval  31398  ajfval  31420  hvsubval  31627  hosmval  32346  hommval  32347  hodmval  32348  hfsmval  32349  hfmmval  32350  kbfval  32563  opsqrlem3  32753  dpval  33506  xdivval  33535  smatrcl  34478  smatlem  34479  mdetpmtr12  34507  pstmfval  34578  sxval  34873  ismbfm  34934  dya2iocival  34955  sitgval  35014  sitmval  35031  oddpwdcv  35037  ballotlemgval  35206  vtsval  35316  cvmlift2lem4  36161  icoreval  38385  metf1o  38798  heiborlem3  38856  heiborlem6  38859  heiborlem8  38861  heibor  38864  ldualvs  40303  tendopl  41942  cdlemkuu  42061  dvavsca  42183  dvhvaddval  42256  dvhvscaval  42265  hlhilipval  43115  resubval  43527  redivvald  43602  prjspnval  43753  fuco22natlem  50575  functhinclem1  50687  crosspval  51137