Theorem ovmpo 7516

Description: Value of an operation given by a maps-to rule. Special case. (Contributed by NM, 16-May-1995.) (Revised by David Abernethy, 19-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovmpog.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑅 = 𝐺)
ovmpog.2	⊢ (𝑦 = 𝐵 → 𝐺 = 𝑆)
ovmpog.3	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝑅)
ovmpo.4	⊢ 𝑆 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ovmpo	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴𝐹𝐵) = 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ovmpo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovmpo.4	. 2 ⊢ 𝑆 ∈ V
2		ovmpog.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑅 = 𝐺)
3		ovmpog.2	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → 𝐺 = 𝑆)
4		ovmpog.3	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝑅)
5	2, 3, 4	ovmpog 7515	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝐴𝐹𝐵) = 𝑆)
6	1, 5	mp3an3 1458	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴𝐹𝐵) = 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431  (class class class)co 7356   ∈ cmpo 7358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-pr 5362

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361

This theorem is referenced by:  fvproj  8074  seqomlem1  8379  seqomlem4  8382  oav  8436  omv  8437  oev  8439  iunfictbso  10027  fin23lem12  10244  axdc4lem  10368  axcclem  10370  addpipq2  10850  mulpipq2  10853  subval  11375  divval  11802  cnref1o  12926  ixxval  13297  fzval  13454  modval  13821  om2uzrdg  13909  uzrdgsuci  13913  axdc4uzlem  13936  seqval  13965  seqp1  13969  bcval  14257  cnrecnv  15118  risefacval  15964  fallfacval  15965  gcdval  16456  lcmval  16552  imasvscafn  17492  imasvscaval  17493  grpsubval  18952  isghmOLD  19182  lactghmga  19371  efgmval  19678  efgtval  19689  frgpup3lem  19743  dvrval  20374  frlmval  21723  psrvsca  21924  mat1comp  22423  mamulid  22424  mamurid  22425  madufval  22620  xkococnlem  23642  xkococn  23643  cnextval  24044  dscmet  24555  cncfval  24873  htpycom  24961  htpyid  24962  phtpycom  24973  phtpyid  24974  ehl1eudisval  25406  logbval  26748  addsval  27972  subsval  28070  mulsval  28119  divsval  28199  seqsval  28298  om2noseqrdg  28314  noseqrdgsuc  28318  seqsp1  28321  expsval  28435  isismt  28620  clwwlknon  30178  clwwlk0on0  30180  grpodivval  30624  ipval  30792  lnoval  30841  nmoofval  30851  bloval  30870  0ofval  30876  ajfval  30898  hvsubval  31105  hosmval  31824  hommval  31825  hodmval  31826  hfsmval  31827  hfmmval  31828  kbfval  32041  opsqrlem3  32231  dpval  32968  xdivval  32997  smatrcl  33980  smatlem  33981  mdetpmtr12  34009  pstmfval  34080  sxval  34374  ismbfm  34435  dya2iocival  34457  sitgval  34516  sitmval  34533  oddpwdcv  34539  ballotlemgval  34708  vtsval  34821  cvmlift2lem4  35534  icoreval  37715  metf1o  38122  heiborlem3  38180  heiborlem6  38183  heiborlem8  38185  heibor  38188  ldualvs  39629  tendopl  41268  cdlemkuu  41387  dvavsca  41509  dvhvaddval  41582  dvhvscaval  41591  hlhilipval  42441  resubval  42844  redivvald  42919  prjspnval  43066  rrx2xpref1o  49209  fuco22natlem  49835  functhinclem1  49934