Theorem ovmpo 7411

Description: Value of an operation given by a maps-to rule. Special case. (Contributed by NM, 16-May-1995.) (Revised by David Abernethy, 19-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovmpog.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑅 = 𝐺)
ovmpog.2	⊢ (𝑦 = 𝐵 → 𝐺 = 𝑆)
ovmpog.3	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝑅)
ovmpo.4	⊢ 𝑆 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ovmpo	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴𝐹𝐵) = 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ovmpo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovmpo.4	. 2 ⊢ 𝑆 ∈ V
2		ovmpog.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑅 = 𝐺)
3		ovmpog.2	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → 𝐺 = 𝑆)
4		ovmpog.3	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝑅)
5	2, 3, 4	ovmpog 7410	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝐴𝐹𝐵) = 𝑆)
6	1, 5	mp3an3 1448	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴𝐹𝐵) = 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422  (class class class)co 7255   ∈ cmpo 7257

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260

This theorem is referenced by:  fvproj  7946  seqomlem1  8251  seqomlem4  8254  oav  8303  omv  8304  oev  8306  iunfictbso  9801  fin23lem12  10018  axdc4lem  10142  axcclem  10144  addpipq2  10623  mulpipq2  10626  subval  11142  divval  11565  cnref1o  12654  ixxval  13016  fzval  13170  modval  13519  om2uzrdg  13604  uzrdgsuci  13608  axdc4uzlem  13631  seqval  13660  seqp1  13664  bcval  13946  cnrecnv  14804  risefacval  15646  fallfacval  15647  gcdval  16131  lcmval  16225  imasvscafn  17165  imasvscaval  17166  grpsubval  18540  isghm  18749  lactghmga  18928  efgmval  19233  efgtval  19244  frgpup3lem  19298  dvrval  19842  frlmval  20865  psrvsca  21070  mat1comp  21497  mamulid  21498  mamurid  21499  madufval  21694  xkococnlem  22718  xkococn  22719  cnextval  23120  dscmet  23634  cncfval  23957  htpycom  24045  htpyid  24046  phtpycom  24057  phtpyid  24058  ehl1eudisval  24490  logbval  25821  isismt  26799  clwwlknon  28355  clwwlk0on0  28357  grpodivval  28798  ipval  28966  lnoval  29015  nmoofval  29025  bloval  29044  0ofval  29050  ajfval  29072  hvsubval  29279  hosmval  29998  hommval  29999  hodmval  30000  hfsmval  30001  hfmmval  30002  kbfval  30215  opsqrlem3  30405  dpval  31066  xdivval  31095  smatrcl  31648  smatlem  31649  mdetpmtr12  31677  pstmfval  31748  sxval  32058  ismbfm  32119  dya2iocival  32140  sitgval  32199  sitmval  32216  oddpwdcv  32222  ballotlemgval  32390  vtsval  32517  cvmlift2lem4  33168  addsval  34053  icoreval  35451  metf1o  35840  heiborlem3  35898  heiborlem6  35901  heiborlem8  35903  heibor  35906  ldualvs  37078  tendopl  38717  cdlemkuu  38836  dvavsca  38958  dvhvaddval  39031  dvhvscaval  39040  hlhilipval  39894  resubval  40271  prjspnval  40376  rrx2xpref1o  45952  functhinclem1  46210