Theorem ovmpo 7289

Description: Value of an operation given by a maps-to rule. Special case. (Contributed by NM, 16-May-1995.) (Revised by David Abernethy, 19-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovmpog.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑅 = 𝐺)
ovmpog.2	⊢ (𝑦 = 𝐵 → 𝐺 = 𝑆)
ovmpog.3	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝑅)
ovmpo.4	⊢ 𝑆 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ovmpo	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴𝐹𝐵) = 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ovmpo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovmpo.4	. 2 ⊢ 𝑆 ∈ V
2		ovmpog.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑅 = 𝐺)
3		ovmpog.2	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → 𝐺 = 𝑆)
4		ovmpog.3	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝑅)
5	2, 3, 4	ovmpog 7288	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝐴𝐹𝐵) = 𝑆)
6	1, 5	mp3an3 1447	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴𝐹𝐵) = 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441  (class class class)co 7135   ∈ cmpo 7137

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140

This theorem is referenced by:  fvproj  7811  seqomlem1  8069  seqomlem4  8072  oav  8119  omv  8120  oev  8122  iunfictbso  9525  fin23lem12  9742  axdc4lem  9866  axcclem  9868  addpipq2  10347  mulpipq2  10350  subval  10866  divval  11289  cnref1o  12372  ixxval  12734  fzval  12887  modval  13234  om2uzrdg  13319  uzrdgsuci  13323  axdc4uzlem  13346  seqval  13375  seqp1  13379  bcval  13660  cnrecnv  14516  risefacval  15354  fallfacval  15355  gcdval  15835  lcmval  15926  imasvscafn  16802  imasvscaval  16803  grpsubval  18141  isghm  18350  lactghmga  18525  efgmval  18830  efgtval  18841  frgpup3lem  18895  dvrval  19431  frlmval  20437  psrvsca  20629  mat1comp  21045  mamulid  21046  mamurid  21047  madufval  21242  xkococnlem  22264  xkococn  22265  cnextval  22666  dscmet  23179  cncfval  23493  htpycom  23581  htpyid  23582  phtpycom  23593  phtpyid  23594  ehl1eudisval  24025  logbval  25352  isismt  26328  clwwlknon  27875  clwwlk0on0  27877  grpodivval  28318  ipval  28486  lnoval  28535  nmoofval  28545  bloval  28564  0ofval  28570  ajfval  28592  hvsubval  28799  hosmval  29518  hommval  29519  hodmval  29520  hfsmval  29521  hfmmval  29522  kbfval  29735  opsqrlem3  29925  dpval  30592  xdivval  30621  smatrcl  31149  smatlem  31150  mdetpmtr12  31178  pstmfval  31249  sxval  31559  ismbfm  31620  dya2iocival  31641  sitgval  31700  sitmval  31717  oddpwdcv  31723  ballotlemgval  31891  vtsval  32018  cvmlift2lem4  32666  icoreval  34770  metf1o  35193  heiborlem3  35251  heiborlem6  35254  heiborlem8  35256  heibor  35259  ldualvs  36433  tendopl  38072  cdlemkuu  38191  dvavsca  38313  dvhvaddval  38386  dvhvscaval  38395  hlhilipval  39245  resubval  39505  prjspnval  39610  rrx2xpref1o  45132