Theorem ovmpo 7610

Description: Value of an operation given by a maps-to rule. Special case. (Contributed by NM, 16-May-1995.) (Revised by David Abernethy, 19-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovmpog.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑅 = 𝐺)
ovmpog.2	⊢ (𝑦 = 𝐵 → 𝐺 = 𝑆)
ovmpog.3	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝑅)
ovmpo.4	⊢ 𝑆 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ovmpo	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴𝐹𝐵) = 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ovmpo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovmpo.4	. 2 ⊢ 𝑆 ∈ V
2		ovmpog.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑅 = 𝐺)
3		ovmpog.2	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → 𝐺 = 𝑆)
4		ovmpog.3	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝑅)
5	2, 3, 4	ovmpog 7609	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝐴𝐹𝐵) = 𝑆)
6	1, 5	mp3an3 1450	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴𝐹𝐵) = 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488  (class class class)co 7448   ∈ cmpo 7450

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-dif 3979  df-un 3981  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453

This theorem is referenced by:  fvproj  8175  seqomlem1  8506  seqomlem4  8509  oav  8567  omv  8568  oev  8570  iunfictbso  10183  fin23lem12  10400  axdc4lem  10524  axcclem  10526  addpipq2  11005  mulpipq2  11008  subval  11527  divval  11951  cnref1o  13050  ixxval  13415  fzval  13569  modval  13922  om2uzrdg  14007  uzrdgsuci  14011  axdc4uzlem  14034  seqval  14063  seqp1  14067  bcval  14353  cnrecnv  15214  risefacval  16056  fallfacval  16057  gcdval  16542  lcmval  16639  imasvscafn  17597  imasvscaval  17598  grpsubval  19025  isghmOLD  19256  lactghmga  19447  efgmval  19754  efgtval  19765  frgpup3lem  19819  dvrval  20429  frlmval  21791  psrvsca  21992  mat1comp  22467  mamulid  22468  mamurid  22469  madufval  22664  xkococnlem  23688  xkococn  23689  cnextval  24090  dscmet  24606  cncfval  24933  htpycom  25027  htpyid  25028  phtpycom  25039  phtpyid  25040  ehl1eudisval  25474  logbval  26827  addsval  28013  subsval  28108  mulsval  28153  divsval  28233  seqsval  28312  om2noseqrdg  28328  noseqrdgsuc  28332  seqsp1  28335  expsval  28426  isismt  28560  clwwlknon  30122  clwwlk0on0  30124  grpodivval  30567  ipval  30735  lnoval  30784  nmoofval  30794  bloval  30813  0ofval  30819  ajfval  30841  hvsubval  31048  hosmval  31767  hommval  31768  hodmval  31769  hfsmval  31770  hfmmval  31771  kbfval  31984  opsqrlem3  32174  dpval  32854  xdivval  32883  smatrcl  33742  smatlem  33743  mdetpmtr12  33771  pstmfval  33842  sxval  34154  ismbfm  34215  dya2iocival  34238  sitgval  34297  sitmval  34314  oddpwdcv  34320  ballotlemgval  34488  vtsval  34614  cvmlift2lem4  35274  icoreval  37319  metf1o  37715  heiborlem3  37773  heiborlem6  37776  heiborlem8  37778  heibor  37781  ldualvs  39093  tendopl  40733  cdlemkuu  40852  dvavsca  40974  dvhvaddval  41047  dvhvscaval  41056  hlhilipval  41910  resubval  42343  prjspnval  42571  rrx2xpref1o  48452  functhinclem1  48708