Theorem ovmpo 7573

Description: Value of an operation given by a maps-to rule. Special case. (Contributed by NM, 16-May-1995.) (Revised by David Abernethy, 19-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovmpog.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑅 = 𝐺)
ovmpog.2	⊢ (𝑦 = 𝐵 → 𝐺 = 𝑆)
ovmpog.3	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝑅)
ovmpo.4	⊢ 𝑆 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ovmpo	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴𝐹𝐵) = 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥, 𝑦)   𝐹(𝑥, 𝑦)   𝐺(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem ovmpo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovmpo.4	. 2 ⊢ 𝑆 ∈ V
2		ovmpog.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑅 = 𝐺)
3		ovmpog.2	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → 𝐺 = 𝑆)
4		ovmpog.3	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝑅)
5	2, 3, 4	ovmpog 7572	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝐴𝐹𝐵) = 𝑆)
6	1, 5	mp3an3 1479	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴𝐹𝐵) = 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450  (class class class)co 7413   ∈ cmpo 7415

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fv 6541  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418

This theorem is used by:  fvproj  8132  seqomlem1  8439  seqomlem4  8442  oav  8498  omv  8499  oev  8501  iunfictbso  10117  fin23lem12  10333  axdc4lem  10457  axcclem  10459  addpipq2  10945  mulpipq2  10948  subval  11472  divval  11898  cnref1o  13035  ixxval  13406  fzval  13563  modval  13932  om2uzrdg  14020  uzrdgsuci  14024  axdc4uzlem  14047  seqval  14076  seqp1  14080  bcval  14368  cnrecnv  15252  risefacval  16095  fallfacval  16096  gcdval  16586  lcmval  16682  imasvscafn  17623  imasvscaval  17624  grpsubval  19109  lactghmga  19532  efgmval  19839  efgtval  19850  frgpup3lem  19904  dvrval  20544  frlmval  21961  psrvsca  22164  mat1comp  22662  mamulid  22663  mamurid  22664  madufval  22859  xkococnlem  23885  xkococn  23886  cnextval  24287  dscmet  24798  cncfval  25116  htpycom  25204  htpyid  25205  phtpycom  25216  phtpyid  25217  ehl1eudisval  25649  logbval  27003  addsval  28227  subsval  28325  mulsval  28374  divsval  28454  seqsval  28553  om2noseqrdg  28569  noseqrdgsuc  28573  seqsp1  28576  expsval  28690  isismt  28876  clwwlknon  30560  clwwlk0on0  30562  grpodivval  31016  ipval  31184  lnoval  31233  nmoofval  31243  bloval  31262  0ofval  31268  ajfval  31290  hvsubval  31497  hosmval  32216  hommval  32217  hodmval  32218  hfsmval  32219  hfmmval  32220  kbfval  32433  opsqrlem3  32623  dpval  33335  xdivval  33364  smatrcl  34306  smatlem  34307  mdetpmtr12  34335  pstmfval  34406  sxval  34701  ismbfm  34762  dya2iocival  34784  sitgval  34843  sitmval  34860  oddpwdcv  34866  ballotlemgval  35035  vtsval  35145  cvmlift2lem4  35885  icoreval  38107  metf1o  38505  heiborlem3  38563  heiborlem6  38566  heiborlem8  38568  heibor  38571  ldualvs  40010  tendopl  41649  cdlemkuu  41768  dvavsca  41890  dvhvaddval  41963  dvhvscaval  41972  hlhilipval  42822  resubval  43242  redivvald  43317  prjspnval  43462  rrx2xpref1o  49648  fuco22natlem  50271  functhinclem1  50370  crosspval  50787