Theorem dmmptg 6245

Description: The domain of the mapping operation is the stated domain, if the function value is always a set. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
dmmptg	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem dmmptg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2	1	dmmpt 6243	. 2 ⊢ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ V}
3		elex 3478	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ V)
4	3	ralimi 3104	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
5		rabid2 3451	. . 3 ⊢ (𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ V} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
6	4, 5	sylibr 237	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ V})
7	2, 6	eqtr4id 2819	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  {crab 3418  Vcvv 3457   ↦ cmpt 5194  dom cdm 5663

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ral 3082  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676

This theorem is used by:  rnmpt0f  6246  ovmpt3rabdm  7679  suppssov1  8199  suppssov2  8200  suppssfv  8204  iinon  8333  onoviun  8336  noinfep  9636  cantnfdm  9640  axcc2lem  10435  negfi  12179  ccatalpha  14650  swrd0  14718  o1lo1  15612  o1lo12  15613  lo1mptrcl  15697  o1mptrcl  15698  o1add2  15699  o1mul2  15700  o1sub2  15701  lo1add  15702  lo1mul  15703  o1dif  15705  rlimneg  15722  lo1le  15727  rlimno1  15729  o1fsum  15888  divsfval  17623  subdrgint  20956  iscnp2  23446  ptcnplem  23829  xkoinjcn  23895  fbasrn  24092  prdsdsf  24575  ressprdsds  24579  mbfmptcl  25846  mbfdm2  25847  dvmptresicc  26126  dvmptcl  26169  dvmptadd  26170  dvmptmul  26171  dvmptres2  26172  dvmptcmul  26174  dvmptcj  26178  dvmptco  26182  rolle  26200  dvlip  26203  dvlipcn  26204  dvle  26217  dvivthlem1  26218  dvivth  26220  dvfsumle  26231  dvfsumge  26232  dvmptrecl  26234  dvfsumlem2  26237  pserdv  26643  logtayl  26876  relogbf  27007  rlimcxp  27189  o1cxp  27190  gsummpt2co  33432  psgnfzto1stlem  33484  measdivcstALTV  34680  probfinmeasbALTV  34884  probmeasb  34885  dstrvprob  34927  cvmsss2  35803  sdclem2  38451  3factsumint1  42846  dmmzp  43522  dvcosax  46698  dvnprodlem3  46720  itgcoscmulx  46741  stoweidlem27  46799  dirkeritg  46874  fourierdlem16  46895  fourierdlem21  46900  fourierdlem22  46901  fourierdlem39  46918  fourierdlem57  46935  fourierdlem58  46936  fourierdlem60  46938  fourierdlem61  46939  fourierdlem73  46951  fourierdlem83  46961  subsaliuncllem  47129  0ome  47301  hoi2toco  47379  elbigofrcl  49387  itcoval0mpt  49503