Theorem dmmptg 6200

Description: The domain of the mapping operation is the stated domain, if the function value is always a set. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
dmmptg	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem dmmptg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2	1	dmmpt 6198	. 2 ⊢ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ V}
3		elex 3451	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ V)
4	3	ralimi 3075	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
5		rabid2 3423	. . 3 ⊢ (𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ V} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
6	4, 5	sylibr 234	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ V})
7	2, 6	eqtr4id 2791	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  {crab 3390  Vcvv 3430   ↦ cmpt 5167  dom cdm 5624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ral 3053  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637

This theorem is referenced by:  rnmpt0f  6201  ovmpt3rabdm  7619  suppssov1  8140  suppssov2  8141  suppssfv  8145  iinon  8273  onoviun  8276  noinfep  9572  cantnfdm  9576  axcc2lem  10349  negfi  12096  ccatalpha  14547  swrd0  14612  o1lo1  15490  o1lo12  15491  lo1mptrcl  15575  o1mptrcl  15576  o1add2  15577  o1mul2  15578  o1sub2  15579  lo1add  15580  lo1mul  15581  o1dif  15583  rlimneg  15600  lo1le  15605  rlimno1  15607  o1fsum  15767  divsfval  17502  subdrgint  20771  iscnp2  23214  ptcnplem  23596  xkoinjcn  23662  fbasrn  23859  prdsdsf  24342  ressprdsds  24346  mbfmptcl  25613  mbfdm2  25614  dvmptresicc  25893  dvmptcl  25936  dvmptadd  25937  dvmptmul  25938  dvmptres2  25939  dvmptcmul  25941  dvmptcj  25945  dvmptco  25949  rolle  25967  dvlip  25970  dvlipcn  25971  dvle  25984  dvivthlem1  25985  dvivth  25987  dvfsumle  25998  dvfsumge  25999  dvmptrecl  26001  dvfsumlem2  26004  pserdv  26407  logtayl  26637  relogbf  26768  rlimcxp  26951  o1cxp  26952  gsummpt2co  33124  psgnfzto1stlem  33176  measdivcstALTV  34385  probfinmeasbALTV  34589  probmeasb  34590  dstrvprob  34632  cvmsss2  35472  sdclem2  38077  3factsumint1  42474  dmmzp  43179  dvcosax  46372  dvnprodlem3  46394  itgcoscmulx  46415  stoweidlem27  46473  dirkeritg  46548  fourierdlem16  46569  fourierdlem21  46574  fourierdlem22  46575  fourierdlem39  46592  fourierdlem57  46609  fourierdlem58  46610  fourierdlem60  46612  fourierdlem61  46613  fourierdlem73  46625  fourierdlem83  46635  subsaliuncllem  46803  0ome  46975  hoi2toco  47053  elbigofrcl  49038  itcoval0mpt  49154