Theorem dmmptg 6273

Description: The domain of the mapping operation is the stated domain, if the function value is always a set. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
dmmptg	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem dmmptg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2	1	dmmpt 6271	. 2 ⊢ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ V}
3		elex 3509	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ V)
4	3	ralimi 3089	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
5		rabid2 3478	. . 3 ⊢ (𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ V} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
6	4, 5	sylibr 234	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ V})
7	2, 6	eqtr4id 2799	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  {crab 3443  Vcvv 3488   ↦ cmpt 5249  dom cdm 5700

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ral 3068  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713

This theorem is referenced by:  rnmpt0f  6274  ovmpt3rabdm  7709  suppssov1  8238  suppssov2  8239  suppssfv  8243  iinon  8396  onoviun  8399  noinfep  9729  cantnfdm  9733  axcc2lem  10505  negfi  12244  ccatalpha  14641  swrd0  14706  o1lo1  15583  o1lo12  15584  lo1mptrcl  15668  o1mptrcl  15669  o1add2  15670  o1mul2  15671  o1sub2  15672  lo1add  15673  lo1mul  15674  o1dif  15676  rlimneg  15695  lo1le  15700  rlimno1  15702  o1fsum  15861  divsfval  17607  subdrgint  20826  iscnp2  23268  ptcnplem  23650  xkoinjcn  23716  fbasrn  23913  prdsdsf  24398  ressprdsds  24402  mbfmptcl  25690  mbfdm2  25691  dvmptresicc  25971  dvmptcl  26017  dvmptadd  26018  dvmptmul  26019  dvmptres2  26020  dvmptcmul  26022  dvmptcj  26026  dvmptco  26030  rolle  26048  dvlip  26052  dvlipcn  26053  dvle  26066  dvivthlem1  26067  dvivth  26069  dvfsumle  26080  dvfsumleOLD  26081  dvfsumge  26082  dvmptrecl  26084  dvfsumlem2  26087  dvfsumlem2OLD  26088  pserdv  26491  logtayl  26720  relogbf  26852  rlimcxp  27035  o1cxp  27036  gsummpt2co  33031  psgnfzto1stlem  33093  measdivcstALTV  34189  probfinmeasbALTV  34394  probmeasb  34395  dstrvprob  34436  cvmsss2  35242  sdclem2  37702  3factsumint1  41978  dmmzp  42689  dvcosax  45847  dvnprodlem3  45869  itgcoscmulx  45890  stoweidlem27  45948  dirkeritg  46023  fourierdlem16  46044  fourierdlem21  46049  fourierdlem22  46050  fourierdlem39  46067  fourierdlem57  46084  fourierdlem58  46085  fourierdlem60  46087  fourierdlem61  46088  fourierdlem73  46100  fourierdlem83  46110  subsaliuncllem  46278  0ome  46450  hoi2toco  46528  elbigofrcl  48284  itcoval0mpt  48400