Theorem dmmptg 6184

Description: The domain of the mapping operation is the stated domain, if the function value is always a set. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
dmmptg	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem dmmptg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2	1	dmmpt 6182	. 2 ⊢ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ V}
3		elex 3457	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ V)
4	3	ralimi 3069	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
5		rabid2 3428	. . 3 ⊢ (𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ V} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
6	4, 5	sylibr 234	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ V})
7	2, 6	eqtr4id 2785	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  {crab 3395  Vcvv 3436   ↦ cmpt 5167  dom cdm 5611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pr 5365

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ral 3048  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624

This theorem is referenced by:  rnmpt0f  6185  ovmpt3rabdm  7600  suppssov1  8122  suppssov2  8123  suppssfv  8127  iinon  8255  onoviun  8258  noinfep  9545  cantnfdm  9549  axcc2lem  10322  negfi  12066  ccatalpha  14496  swrd0  14561  o1lo1  15439  o1lo12  15440  lo1mptrcl  15524  o1mptrcl  15525  o1add2  15526  o1mul2  15527  o1sub2  15528  lo1add  15529  lo1mul  15530  o1dif  15532  rlimneg  15549  lo1le  15554  rlimno1  15556  o1fsum  15715  divsfval  17446  subdrgint  20713  iscnp2  23149  ptcnplem  23531  xkoinjcn  23597  fbasrn  23794  prdsdsf  24277  ressprdsds  24281  mbfmptcl  25559  mbfdm2  25560  dvmptresicc  25839  dvmptcl  25885  dvmptadd  25886  dvmptmul  25887  dvmptres2  25888  dvmptcmul  25890  dvmptcj  25894  dvmptco  25898  rolle  25916  dvlip  25920  dvlipcn  25921  dvle  25934  dvivthlem1  25935  dvivth  25937  dvfsumle  25948  dvfsumleOLD  25949  dvfsumge  25950  dvmptrecl  25952  dvfsumlem2  25955  dvfsumlem2OLD  25956  pserdv  26361  logtayl  26591  relogbf  26723  rlimcxp  26906  o1cxp  26907  gsummpt2co  33020  psgnfzto1stlem  33061  measdivcstALTV  34230  probfinmeasbALTV  34434  probmeasb  34435  dstrvprob  34477  cvmsss2  35310  sdclem2  37782  3factsumint1  42054  dmmzp  42766  dvcosax  45964  dvnprodlem3  45986  itgcoscmulx  46007  stoweidlem27  46065  dirkeritg  46140  fourierdlem16  46161  fourierdlem21  46166  fourierdlem22  46167  fourierdlem39  46184  fourierdlem57  46201  fourierdlem58  46202  fourierdlem60  46204  fourierdlem61  46205  fourierdlem73  46217  fourierdlem83  46227  subsaliuncllem  46395  0ome  46567  hoi2toco  46645  elbigofrcl  48582  itcoval0mpt  48698