Theorem dmmptg 6262

Description: The domain of the mapping operation is the stated domain, if the function value is always a set. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
dmmptg	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem dmmptg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2	1	dmmpt 6260	. 2 ⊢ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ V}
3		elex 3475	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ V)
4	3	ralimi 3103	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
5		rabid2 3448	. . 3 ⊢ (𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ V} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
6	4, 5	sylibr 237	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ V})
7	2, 6	eqtr4id 2817	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  {crab 3416  Vcvv 3454   ↦ cmpt 5192  dom cdm 5658

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ral 3081  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671

This theorem is used by:  rnmpt0f  6263  ovmpt3rabdm  7712  suppssov1  8252  suppssov2  8253  suppssfv  8257  iinon  8386  onoviun  8389  noinfep  9698  cantnfdm  9702  axcc2lem  10553  negfi  12306  ccatalpha  14781  swrd0  14850  o1lo1  15748  o1lo12  15749  lo1mptrcl  15833  o1mptrcl  15834  o1add2  15835  o1mul2  15836  o1sub2  15837  lo1add  15838  lo1mul  15839  o1dif  15841  rlimneg  15858  lo1le  15863  rlimno1  15865  o1fsum  16024  divsfval  17769  subdrgint  21111  iscnp2  23612  ptcnplem  23995  xkoinjcn  24061  fbasrn  24258  prdsdsf  24741  ressprdsds  24745  mbfmptcl  26012  mbfdm2  26013  dvmptresicc  26291  dvmptcl  26334  dvmptadd  26335  dvmptmul  26336  dvmptres2  26337  dvmptcmul  26339  dvmptcj  26343  dvmptco  26347  rolle  26365  dvlip  26368  dvlipcn  26369  dvle  26382  dvivthlem1  26383  dvivth  26385  dvfsumle  26396  dvfsumge  26397  dvmptrecl  26399  dvfsumlem2  26402  pserdv  26813  logtayl  27045  relogbf  27176  rlimcxp  27358  o1cxp  27359  gsummpt2co  33708  psgnfzto1stlem  33760  measdivcstALTV  34969  probfinmeasbALTV  35172  probmeasb  35173  dstrvprob  35215  cvmsss2  36247  sdclem2  38942  3factsumint1  43337  dmmzp  44010  dvcosax  47209  dvnprodlem3  47231  itgcoscmulx  47252  stoweidlem27  47310  dirkeritg  47385  fourierdlem16  47406  fourierdlem21  47411  fourierdlem22  47412  fourierdlem39  47429  fourierdlem57  47446  fourierdlem58  47447  fourierdlem60  47449  fourierdlem61  47450  fourierdlem73  47462  fourierdlem83  47472  subsaliuncllem  47640  0ome  47812  hoi2toco  47890  tmachlem-agreefin  48231  elbigofrcl  49993  itcoval0mpt  50109