Theorem elbigoimp 49142

Description: The defining property of a function of order G(x). (Contributed by AV, 18-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
elbigoimp	⊢ ((𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐺) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺,𝑚,𝑦   𝑚,𝐹,𝑥,𝑦   𝐴,𝑚,𝑥,𝑦

Proof of Theorem elbigoimp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1148	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐺) → 𝐹 ∈ (Ο‘𝐺))
2		elbigofrcl 49136	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) → 𝐺 ∈ (ℝ ↑pm ℝ))
3		reex 11161	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
4	3, 3	elpm2 8852	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ↔ (𝐺:dom 𝐺⟶ℝ ∧ dom 𝐺 ⊆ ℝ))
5	2, 4	sylib 220	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) → (𝐺:dom 𝐺⟶ℝ ∧ dom 𝐺 ⊆ ℝ))
6	5	3ad2ant1 1145	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐺) → (𝐺:dom 𝐺⟶ℝ ∧ dom 𝐺 ⊆ ℝ))
7		3simpc 1162	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐺) → (𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐺))
8		elbigo2 49138	. . 3 ⊢ (((𝐺:dom 𝐺⟶ℝ ∧ dom 𝐺 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐺)) → (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦)))))
9	6, 7, 8	syl2anc 593	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐺) → (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦)))))
10	1, 9	mpbid 234	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐺) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  ∃wrex 3085   ⊆ wss 3904   class class class wbr 5099  dom cdm 5645  ⟶wf 6513  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392   ↑_pm cpm 8804  ℝcr 11069   · cmul 11075   ≤ cle 11214  Οcbigo 49133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-po 5553  df-so 5554  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-er 8673  df-pm 8806  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-ico 13352  df-bigo 49134

This theorem is referenced by: (None)