Theorem elbigoimp 47330

Description: The defining property of a function of order G(x). (Contributed by AV, 18-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
elbigoimp	⊢ ((𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐺) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺,𝑚,𝑦   𝑚,𝐹,𝑥,𝑦   𝐴,𝑚,𝑥,𝑦

Proof of Theorem elbigoimp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1135	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐺) → 𝐹 ∈ (Ο‘𝐺))
2		elbigofrcl 47324	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) → 𝐺 ∈ (ℝ ↑pm ℝ))
3		reex 11205	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
4	3, 3	elpm2 8872	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ↔ (𝐺:dom 𝐺⟶ℝ ∧ dom 𝐺 ⊆ ℝ))
5	2, 4	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) → (𝐺:dom 𝐺⟶ℝ ∧ dom 𝐺 ⊆ ℝ))
6	5	3ad2ant1 1132	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐺) → (𝐺:dom 𝐺⟶ℝ ∧ dom 𝐺 ⊆ ℝ))
7		3simpc 1149	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐺) → (𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐺))
8		elbigo2 47326	. . 3 ⊢ (((𝐺:dom 𝐺⟶ℝ ∧ dom 𝐺 ⊆ ℝ) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐺)) → (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦)))))
9	6, 7, 8	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐺) → (𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦)))))
10	1, 9	mpbid 231	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (Ο‘𝐺) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐺) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝑚 · (𝐺‘𝑦))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2105  ∀wral 3060  ∃wrex 3069   ⊆ wss 3948   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412   ↑_pm cpm 8825  ℝcr 11113   · cmul 11119   ≤ cle 11254  Οcbigo 47321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8707  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-ico 13335  df-bigo 47322

This theorem is referenced by: (None)