Theorem eldisjim2 38782

Description: Alternate form of eldisjim 38781. (Contributed by Peter Mazsa, 30-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
eldisjim2	⊢ ( ElDisj 𝐴 → EqvRel ∼ 𝐴)

Proof of Theorem eldisjim2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		disjim 38778	. 2 ⊢ ( Disj (◡ E ↾ 𝐴) → EqvRel ≀ (◡ E ↾ 𝐴))
2		df-eldisj 38704	. 2 ⊢ ( ElDisj 𝐴 ↔ Disj (◡ E ↾ 𝐴))
3		df-coels 38408	. . 3 ⊢ ∼ 𝐴 = ≀ (◡ E ↾ 𝐴)
4	3	eqvreleqi 38599	. 2 ⊢ ( EqvRel ∼ 𝐴 ↔ EqvRel ≀ (◡ E ↾ 𝐴))
5	1, 2, 4	3imtr4i 292	1 ⊢ ( ElDisj 𝐴 → EqvRel ∼ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   E cep 5522  ^◡ccnv 5622   ↾ cres 5625   ≀ ccoss 38174   ∼ ccoels 38175   EqvRel weqvrel 38191   Disj wdisjALTV 38208   ElDisj weldisj 38210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-br 5096  df-opab 5158  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-coss 38407  df-coels 38408  df-refrel 38508  df-cnvrefrel 38523  df-symrel 38540  df-trrel 38570  df-eqvrel 38581  df-disjALTV 38702  df-eldisj 38704

This theorem is referenced by: (None)