Theorem eldisjs3 38725

Description: Elementhood in the class of disjoints. (Contributed by Peter Mazsa, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
eldisjs3	⊢ (𝑅 ∈ Disjs ↔ (∀𝑢∀𝑣∀𝑥((𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑣𝑅𝑥) → 𝑢 = 𝑣) ∧ 𝑅 ∈ Rels ))

Distinct variable group:   𝑢,𝑅,𝑣,𝑥

Proof of Theorem eldisjs3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldisjs2 38724	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Disjs ↔ ( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∧ 𝑅 ∈ Rels ))
2		cosscnvssid3 38477	. . 3 ⊢ ( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ↔ ∀𝑢∀𝑣∀𝑥((𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑣𝑅𝑥) → 𝑢 = 𝑣))
3	2	anbi1i 624	. 2 ⊢ (( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∧ 𝑅 ∈ Rels ) ↔ (∀𝑢∀𝑣∀𝑥((𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑣𝑅𝑥) → 𝑢 = 𝑣) ∧ 𝑅 ∈ Rels ))
4	1, 3	bitri 275	1 ⊢ (𝑅 ∈ Disjs ↔ (∀𝑢∀𝑣∀𝑥((𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑣𝑅𝑥) → 𝑢 = 𝑣) ∧ 𝑅 ∈ Rels ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1538   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3951   class class class wbr 5143   I cid 5577  ^◡ccnv 5684   ≀ ccoss 38182   Rels crels 38184   Disjs cdisjs 38215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-coss 38412  df-rels 38486  df-ssr 38499  df-cnvrefs 38526  df-cnvrefrels 38527  df-disjss 38704  df-disjs 38705

This theorem is referenced by: (None)