Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eldisjs3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eldisjs3 38705
Description: Elementhood in the class of disjoints. (Contributed by Peter Mazsa, 5-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
eldisjs3 (𝑅 ∈ Disjs ↔ (∀𝑢𝑣𝑥((𝑢𝑅𝑥𝑣𝑅𝑥) → 𝑢 = 𝑣) ∧ 𝑅 ∈ Rels ))
Distinct variable group:   𝑢,𝑅,𝑣,𝑥

Proof of Theorem eldisjs3
StepHypRef Expression
1 eldisjs2 38704 . 2 (𝑅 ∈ Disjs ↔ ( ≀ 𝑅 ⊆ I ∧ 𝑅 ∈ Rels ))
2 cosscnvssid3 38457 . . 3 ( ≀ 𝑅 ⊆ I ↔ ∀𝑢𝑣𝑥((𝑢𝑅𝑥𝑣𝑅𝑥) → 𝑢 = 𝑣))
32anbi1i 624 . 2 (( ≀ 𝑅 ⊆ I ∧ 𝑅 ∈ Rels ) ↔ (∀𝑢𝑣𝑥((𝑢𝑅𝑥𝑣𝑅𝑥) → 𝑢 = 𝑣) ∧ 𝑅 ∈ Rels ))
41, 3bitri 275 1 (𝑅 ∈ Disjs ↔ (∀𝑢𝑣𝑥((𝑢𝑅𝑥𝑣𝑅𝑥) → 𝑢 = 𝑣) ∧ 𝑅 ∈ Rels ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wal 1534   = wceq 1536  wcel 2105  wss 3962   class class class wbr 5147   I cid 5581  ccnv 5687  ccoss 38161   Rels crels 38163   Disjs cdisjs 38194
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-coss 38392  df-rels 38466  df-ssr 38479  df-cnvrefs 38506  df-cnvrefrels 38507  df-disjss 38684  df-disjs 38685
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator