Theorem eldisjs2 38722

Description: Elementhood in the class of disjoints. (Contributed by Peter Mazsa, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
eldisjs2	⊢ (𝑅 ∈ Disjs ↔ ( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∧ 𝑅 ∈ Rels ))

Proof of Theorem eldisjs2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldisjs 38721	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Disjs ↔ ( ≀ ◡𝑅 ∈ CnvRefRels ∧ 𝑅 ∈ Rels ))
2		cosselcnvrefrels2 38536	. . . 4 ⊢ ( ≀ ◡𝑅 ∈ CnvRefRels ↔ ( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∧ ≀ ◡𝑅 ∈ Rels ))
3		cosscnvelrels 38495	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Rels → ≀ ◡𝑅 ∈ Rels )
4	3	biantrud 531	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Rels → ( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ↔ ( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∧ ≀ ◡𝑅 ∈ Rels )))
5	2, 4	bitr4id 290	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Rels → ( ≀ ◡𝑅 ∈ CnvRefRels ↔ ≀ ◡𝑅 ⊆ I ))
6	5	pm5.32ri 575	. 2 ⊢ (( ≀ ◡𝑅 ∈ CnvRefRels ∧ 𝑅 ∈ Rels ) ↔ ( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∧ 𝑅 ∈ Rels ))
7	1, 6	bitri 275	1 ⊢ (𝑅 ∈ Disjs ↔ ( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∧ 𝑅 ∈ Rels ))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3917   I cid 5535  ^◡ccnv 5640   ≀ ccoss 38176   Rels crels 38178   CnvRefRels ccnvrefrels 38184   Disjs cdisjs 38209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-coss 38409  df-rels 38483  df-ssr 38496  df-cnvrefs 38523  df-cnvrefrels 38524  df-disjss 38702  df-disjs 38703

This theorem is referenced by:  eldisjs3  38723  eldisjs4  38724  eldisjs5  38725