Theorem eldisjs2 39752

Description: Elementhood in the class of disjoints. (Contributed by Peter Mazsa, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
eldisjs2	⊢ (𝑅 ∈ Disjs ↔ ( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∧ 𝑅 ∈ Rels ))

Proof of Theorem eldisjs2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldisjs 39751	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Disjs ↔ ( ≀ ◡𝑅 ∈ CnvRefRels ∧ 𝑅 ∈ Rels ))
2		cosselcnvrefrels2 39550	. . . 4 ⊢ ( ≀ ◡𝑅 ∈ CnvRefRels ↔ ( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∧ ≀ ◡𝑅 ∈ Rels ))
3		cosscnvelrels 39509	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Rels → ≀ ◡𝑅 ∈ Rels )
4	3	biantrud 541	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Rels → ( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ↔ ( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∧ ≀ ◡𝑅 ∈ Rels )))
5	2, 4	bitr4id 293	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Rels → ( ≀ ◡𝑅 ∈ CnvRefRels ↔ ≀ ◡𝑅 ⊆ I ))
6	5	pm5.32ri 586	. 2 ⊢ (( ≀ ◡𝑅 ∈ CnvRefRels ∧ 𝑅 ∈ Rels ) ↔ ( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∧ 𝑅 ∈ Rels ))
7	1, 6	bitri 278	1 ⊢ (𝑅 ∈ Disjs ↔ ( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∧ 𝑅 ∈ Rels ))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899   I cid 5545  ^◡ccnv 5650   ≀ ccoss 39115   Rels crels 39117   CnvRefRels ccnvrefrels 39123   Disjs cdisjs 39150

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-11 2194  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-rels 39372  df-coss 39433  df-ssr 39510  df-cnvrefs 39537  df-cnvrefrels 39538  df-disjss 39720  df-disjs 39721

This theorem is used by:  eldisjs3  39753  eldisjs4  39754  eldisjs5  39755