Theorem eldisjs2 38921

Description: Elementhood in the class of disjoints. (Contributed by Peter Mazsa, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
eldisjs2	⊢ (𝑅 ∈ Disjs ↔ ( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∧ 𝑅 ∈ Rels ))

Proof of Theorem eldisjs2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldisjs 38920	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Disjs ↔ ( ≀ ◡𝑅 ∈ CnvRefRels ∧ 𝑅 ∈ Rels ))
2		cosselcnvrefrels2 38730	. . . 4 ⊢ ( ≀ ◡𝑅 ∈ CnvRefRels ↔ ( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∧ ≀ ◡𝑅 ∈ Rels ))
3		cosscnvelrels 38689	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Rels → ≀ ◡𝑅 ∈ Rels )
4	3	biantrud 531	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Rels → ( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ↔ ( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∧ ≀ ◡𝑅 ∈ Rels )))
5	2, 4	bitr4id 290	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Rels → ( ≀ ◡𝑅 ∈ CnvRefRels ↔ ≀ ◡𝑅 ⊆ I ))
6	5	pm5.32ri 575	. 2 ⊢ (( ≀ ◡𝑅 ∈ CnvRefRels ∧ 𝑅 ∈ Rels ) ↔ ( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∧ 𝑅 ∈ Rels ))
7	1, 6	bitri 275	1 ⊢ (𝑅 ∈ Disjs ↔ ( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∧ 𝑅 ∈ Rels ))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3899   I cid 5516  ^◡ccnv 5621   ≀ ccoss 38322   Rels crels 38324   CnvRefRels ccnvrefrels 38330   Disjs cdisjs 38355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-11 2162  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-rels 38564  df-coss 38613  df-ssr 38690  df-cnvrefs 38717  df-cnvrefrels 38718  df-disjss 38901  df-disjs 38902

This theorem is referenced by:  eldisjs3  38922  eldisjs4  38923  eldisjs5  38924