Theorem eldisjs2 39571

Description: Elementhood in the class of disjoints. (Contributed by Peter Mazsa, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
eldisjs2	⊢ (𝑅 ∈ Disjs ↔ ( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∧ 𝑅 ∈ Rels ))

Proof of Theorem eldisjs2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldisjs 39570	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Disjs ↔ ( ≀ ◡𝑅 ∈ CnvRefRels ∧ 𝑅 ∈ Rels ))
2		cosselcnvrefrels2 39369	. . . 4 ⊢ ( ≀ ◡𝑅 ∈ CnvRefRels ↔ ( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∧ ≀ ◡𝑅 ∈ Rels ))
3		cosscnvelrels 39328	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Rels → ≀ ◡𝑅 ∈ Rels )
4	3	biantrud 541	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Rels → ( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ↔ ( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∧ ≀ ◡𝑅 ∈ Rels )))
5	2, 4	bitr4id 293	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Rels → ( ≀ ◡𝑅 ∈ CnvRefRels ↔ ≀ ◡𝑅 ⊆ I ))
6	5	pm5.32ri 586	. 2 ⊢ (( ≀ ◡𝑅 ∈ CnvRefRels ∧ 𝑅 ∈ Rels ) ↔ ( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∧ 𝑅 ∈ Rels ))
7	1, 6	bitri 278	1 ⊢ (𝑅 ∈ Disjs ↔ ( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∧ 𝑅 ∈ Rels ))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899   I cid 5549  ^◡ccnv 5654   ≀ ccoss 38934   Rels crels 38936   CnvRefRels ccnvrefrels 38942   Disjs cdisjs 38969

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-11 2194  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-rels 39191  df-coss 39252  df-ssr 39329  df-cnvrefs 39356  df-cnvrefrels 39357  df-disjss 39539  df-disjs 39540

This theorem is used by:  eldisjs3  39572  eldisjs4  39573  eldisjs5  39574