Theorem eliman0 6919

Description: A nonempty function value is an element of the image of the function. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
eliman0	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = ∅) → (𝐹‘𝐴) ∈ (𝐹 “ 𝐵))

Proof of Theorem eliman0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvbr0 6909	. . . . 5 ⊢ (𝐴𝐹(𝐹‘𝐴) ∨ (𝐹‘𝐴) = ∅)
2		orcom 883	. . . . 5 ⊢ ((𝐴𝐹(𝐹‘𝐴) ∨ (𝐹‘𝐴) = ∅) ↔ ((𝐹‘𝐴) = ∅ ∨ 𝐴𝐹(𝐹‘𝐴)))
3	1, 2	mpbi 233	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝐴) = ∅ ∨ 𝐴𝐹(𝐹‘𝐴))
4	3	ori 874	. . 3 ⊢ (¬ (𝐹‘𝐴) = ∅ → 𝐴𝐹(𝐹‘𝐴))
5		breq1 5116	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝐹(𝐹‘𝐴) ↔ 𝐴𝐹(𝐹‘𝐴)))
6	5	rspcev 3590	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴𝐹(𝐹‘𝐴)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑥𝐹(𝐹‘𝐴))
7	4, 6	sylan2 604	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑥𝐹(𝐹‘𝐴))
8		fvex 6895	. . 3 ⊢ (𝐹‘𝐴) ∈ V
9	8	elima 6068	. 2 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ (𝐹 “ 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑥𝐹(𝐹‘𝐴))
10	7, 9	sylibr 237	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = ∅) → (𝐹‘𝐴) ∈ (𝐹 “ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∃wrex 3095  ∅c0 4294   class class class wbr 5113   “ cima 5665  ‘cfv 6537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pr 5405

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-xp 5668  df-cnv 5670  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fv 6545

This theorem is referenced by:  ovima0  7590  setrec2fun  50389