Theorem eliman0 6930

Description: A nonempty function value is an element of the image of the function. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
eliman0	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = ∅) → (𝐹‘𝐴) ∈ (𝐹 “ 𝐵))

Proof of Theorem eliman0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvbr0 6919	. . . . 5 ⊢ (𝐴𝐹(𝐹‘𝐴) ∨ (𝐹‘𝐴) = ∅)
2		orcom 866	. . . . 5 ⊢ ((𝐴𝐹(𝐹‘𝐴) ∨ (𝐹‘𝐴) = ∅) ↔ ((𝐹‘𝐴) = ∅ ∨ 𝐴𝐹(𝐹‘𝐴)))
3	1, 2	mpbi 229	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝐴) = ∅ ∨ 𝐴𝐹(𝐹‘𝐴))
4	3	ori 857	. . 3 ⊢ (¬ (𝐹‘𝐴) = ∅ → 𝐴𝐹(𝐹‘𝐴))
5		breq1 5150	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝐹(𝐹‘𝐴) ↔ 𝐴𝐹(𝐹‘𝐴)))
6	5	rspcev 3611	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴𝐹(𝐹‘𝐴)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑥𝐹(𝐹‘𝐴))
7	4, 6	sylan2 591	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑥𝐹(𝐹‘𝐴))
8		fvex 6903	. . 3 ⊢ (𝐹‘𝐴) ∈ V
9	8	elima 6063	. 2 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ (𝐹 “ 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑥𝐹(𝐹‘𝐴))
10	7, 9	sylibr 233	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = ∅) → (𝐹‘𝐴) ∈ (𝐹 “ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ∃wrex 3068  ∅c0 4321   class class class wbr 5147   “ cima 5678  ‘cfv 6542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-xp 5681  df-cnv 5683  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fv 6550

This theorem is referenced by:  ovima0  7588  setrec2fun  47824