Theorem eliman0 6877

Description: A nonempty function value is an element of the image of the function. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
eliman0	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = ∅) → (𝐹‘𝐴) ∈ (𝐹 “ 𝐵))

Proof of Theorem eliman0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvbr0 6866	. . . . 5 ⊢ (𝐴𝐹(𝐹‘𝐴) ∨ (𝐹‘𝐴) = ∅)
2		orcom 868	. . . . 5 ⊢ ((𝐴𝐹(𝐹‘𝐴) ∨ (𝐹‘𝐴) = ∅) ↔ ((𝐹‘𝐴) = ∅ ∨ 𝐴𝐹(𝐹‘𝐴)))
3	1, 2	mpbi 229	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝐴) = ∅ ∨ 𝐴𝐹(𝐹‘𝐴))
4	3	ori 859	. . 3 ⊢ (¬ (𝐹‘𝐴) = ∅ → 𝐴𝐹(𝐹‘𝐴))
5		breq1 5106	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝐹(𝐹‘𝐴) ↔ 𝐴𝐹(𝐹‘𝐴)))
6	5	rspcev 3579	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴𝐹(𝐹‘𝐴)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑥𝐹(𝐹‘𝐴))
7	4, 6	sylan2 594	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑥𝐹(𝐹‘𝐴))
8		fvex 6850	. . 3 ⊢ (𝐹‘𝐴) ∈ V
9	8	elima 6014	. 2 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ (𝐹 “ 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑥𝐹(𝐹‘𝐴))
10	7, 9	sylibr 233	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = ∅) → (𝐹‘𝐴) ∈ (𝐹 “ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3071  ∅c0 4280   class class class wbr 5103   “ cima 5633  ‘cfv 6491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-xp 5636  df-cnv 5638  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-iota 6443  df-fv 6499

This theorem is referenced by:  ovima0  7525  setrec2fun  46819