Theorem eliman0 6859

Description: A nonempty function value is an element of the image of the function. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
eliman0	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = ∅) → (𝐹‘𝐴) ∈ (𝐹 “ 𝐵))

Proof of Theorem eliman0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvbr0 6849	. . . . 5 ⊢ (𝐴𝐹(𝐹‘𝐴) ∨ (𝐹‘𝐴) = ∅)
2		orcom 870	. . . . 5 ⊢ ((𝐴𝐹(𝐹‘𝐴) ∨ (𝐹‘𝐴) = ∅) ↔ ((𝐹‘𝐴) = ∅ ∨ 𝐴𝐹(𝐹‘𝐴)))
3	1, 2	mpbi 230	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝐴) = ∅ ∨ 𝐴𝐹(𝐹‘𝐴))
4	3	ori 861	. . 3 ⊢ (¬ (𝐹‘𝐴) = ∅ → 𝐴𝐹(𝐹‘𝐴))
5		breq1 5092	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝐹(𝐹‘𝐴) ↔ 𝐴𝐹(𝐹‘𝐴)))
6	5	rspcev 3572	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴𝐹(𝐹‘𝐴)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑥𝐹(𝐹‘𝐴))
7	4, 6	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑥𝐹(𝐹‘𝐴))
8		fvex 6835	. . 3 ⊢ (𝐹‘𝐴) ∈ V
9	8	elima 6013	. 2 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ (𝐹 “ 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑥𝐹(𝐹‘𝐴))
10	7, 9	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = ∅) → (𝐹‘𝐴) ∈ (𝐹 “ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056  ∅c0 4280   class class class wbr 5089   “ cima 5617  ‘cfv 6481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-xp 5620  df-cnv 5622  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fv 6489

This theorem is referenced by:  ovima0  7525  setrec2fun  49803