Theorem fcoreslem3 47347

Description: Lemma 3 for fcores 47349. (Contributed by AV, 13-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fcores.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
fcores.e	⊢ 𝐸 = (ran 𝐹 ∩ 𝐶)
fcores.p	⊢ 𝑃 = (◡𝐹 “ 𝐶)
fcores.x	⊢ 𝑋 = (𝐹 ↾ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
fcoreslem3	⊢ (𝜑 → 𝑋:𝑃–onto→𝐸)

Proof of Theorem fcoreslem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fcores.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2	1	ffnd 6664	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
3		fcores.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (ran 𝐹 ∩ 𝐶)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (ran 𝐹 ∩ 𝐶))
5		fcores.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (◡𝐹 “ 𝐶)
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (◡𝐹 “ 𝐶))
7	2, 4, 6	rescnvimafod 7020	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝑃):𝑃–onto→𝐸)
8		fcores.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (𝐹 ↾ 𝑃)
9		foeq1 6743	. . 3 ⊢ (𝑋 = (𝐹 ↾ 𝑃) → (𝑋:𝑃–onto→𝐸 ↔ (𝐹 ↾ 𝑃):𝑃–onto→𝐸))
10	8, 9	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋:𝑃–onto→𝐸 ↔ (𝐹 ↾ 𝑃):𝑃–onto→𝐸))
11	7, 10	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝑃–onto→𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∩ cin 3901  ^◡ccnv 5624  ran crn 5626   ↾ cres 5627   “ cima 5628  ⟶wf 6489  –onto→wfo 6491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pr 5378

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-br 5100  df-opab 5162  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-fo 6499

This theorem is referenced by:  fcoreslem4  47348  fcores  47349  fcoresf1lem  47350  fcoresf1  47351  fcoresfo  47353  fcoresfob  47354