Theorem fcoreslem3 47070

Description: Lemma 3 for fcores 47072. (Contributed by AV, 13-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fcores.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
fcores.e	⊢ 𝐸 = (ran 𝐹 ∩ 𝐶)
fcores.p	⊢ 𝑃 = (◡𝐹 “ 𝐶)
fcores.x	⊢ 𝑋 = (𝐹 ↾ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
fcoreslem3	⊢ (𝜑 → 𝑋:𝑃–onto→𝐸)

Proof of Theorem fcoreslem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fcores.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2	1	ffnd 6692	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
3		fcores.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (ran 𝐹 ∩ 𝐶)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (ran 𝐹 ∩ 𝐶))
5		fcores.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (◡𝐹 “ 𝐶)
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (◡𝐹 “ 𝐶))
7	2, 4, 6	rescnvimafod 7048	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝑃):𝑃–onto→𝐸)
8		fcores.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (𝐹 ↾ 𝑃)
9		foeq1 6771	. . 3 ⊢ (𝑋 = (𝐹 ↾ 𝑃) → (𝑋:𝑃–onto→𝐸 ↔ (𝐹 ↾ 𝑃):𝑃–onto→𝐸))
10	8, 9	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋:𝑃–onto→𝐸 ↔ (𝐹 ↾ 𝑃):𝑃–onto→𝐸))
11	7, 10	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝑃–onto→𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∩ cin 3916  ^◡ccnv 5640  ran crn 5642   ↾ cres 5643   “ cima 5644  ⟶wf 6510  –onto→wfo 6512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-br 5111  df-opab 5173  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-fo 6520

This theorem is referenced by:  fcoreslem4  47071  fcores  47072  fcoresf1lem  47073  fcoresf1  47074  fcoresfo  47076  fcoresfob  47077