Theorem fcoreslem3 47830

Description: Lemma 3 for fcores 47832. (Contributed by AV, 13-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fcores.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
fcores.e	⊢ 𝐸 = (ran 𝐹 ∩ 𝐶)
fcores.p	⊢ 𝑃 = (◡𝐹 “ 𝐶)
fcores.x	⊢ 𝑋 = (𝐹 ↾ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
fcoreslem3	⊢ (𝜑 → 𝑋:𝑃–onto→𝐸)

Proof of Theorem fcoreslem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fcores.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2	1	ffnd 6706	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
3		fcores.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (ran 𝐹 ∩ 𝐶)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (ran 𝐹 ∩ 𝐶))
5		fcores.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (◡𝐹 “ 𝐶)
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (◡𝐹 “ 𝐶))
7	2, 4, 6	rescnvimafod 7068	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝑃):𝑃–onto→𝐸)
8		fcores.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (𝐹 ↾ 𝑃)
9		foeq1 6788	. . 3 ⊢ (𝑋 = (𝐹 ↾ 𝑃) → (𝑋:𝑃–onto→𝐸 ↔ (𝐹 ↾ 𝑃):𝑃–onto→𝐸))
10	8, 9	mp1i 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋:𝑃–onto→𝐸 ↔ (𝐹 ↾ 𝑃):𝑃–onto→𝐸))
11	7, 10	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝑃–onto→𝐸)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∩ cin 3904  ^◡ccnv 5660  ran crn 5662   ↾ cres 5663   “ cima 5664  ⟶wf 6532  –onto→wfo 6534

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-pr 5404

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-br 5110  df-opab 5174  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fo 6542

This theorem is used by:  fcoreslem4  47831  fcores  47832  fcoresf1lem  47833  fcoresf1  47834  fcoresfo  47836  fcoresfob  47837