Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fcoreslem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fcoreslem3 44537
Description: Lemma 3 for fcores 44539. (Contributed by AV, 13-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
fcores.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
fcores.e 𝐸 = (ran 𝐹𝐶)
fcores.p 𝑃 = (𝐹𝐶)
fcores.x 𝑋 = (𝐹𝑃)
Assertion
Ref Expression
fcoreslem3 (𝜑𝑋:𝑃onto𝐸)

Proof of Theorem fcoreslem3
StepHypRef Expression
1 fcores.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
21ffnd 6593 . . 3 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
3 fcores.e . . . 4 𝐸 = (ran 𝐹𝐶)
43a1i 11 . . 3 (𝜑𝐸 = (ran 𝐹𝐶))
5 fcores.p . . . 4 𝑃 = (𝐹𝐶)
65a1i 11 . . 3 (𝜑𝑃 = (𝐹𝐶))
72, 4, 6rescnvimafod 6943 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑃):𝑃onto𝐸)
8 fcores.x . . 3 𝑋 = (𝐹𝑃)
9 foeq1 6676 . . 3 (𝑋 = (𝐹𝑃) → (𝑋:𝑃onto𝐸 ↔ (𝐹𝑃):𝑃onto𝐸))
108, 9mp1i 13 . 2 (𝜑 → (𝑋:𝑃onto𝐸 ↔ (𝐹𝑃):𝑃onto𝐸))
117, 10mpbird 256 1 (𝜑𝑋:𝑃onto𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1539  cin 3885  ccnv 5583  ran crn 5585  cres 5586  cima 5587  wf 6422  ontowfo 6424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pr 5350
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3431  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-br 5074  df-opab 5136  df-id 5484  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-fo 6432
This theorem is referenced by:  fcoreslem4  44538  fcores  44539  fcoresf1lem  44540  fcoresf1  44541  fcoresfo  44543  fcoresfob  44544
  Copyright terms: Public domain W3C validator