Theorem fcoreslem3 48229

Description: Lemma 3 for fcores 48231. (Contributed by AV, 13-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fcores.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
fcores.e	⊢ 𝐸 = (ran 𝐹 ∩ 𝐶)
fcores.p	⊢ 𝑃 = (◡𝐹 “ 𝐶)
fcores.x	⊢ 𝑋 = (𝐹 ↾ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
fcoreslem3	⊢ (𝜑 → 𝑋:𝑃–onto→𝐸)

Proof of Theorem fcoreslem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fcores.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2	1	ffnd 6711	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
3		fcores.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (ran 𝐹 ∩ 𝐶)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (ran 𝐹 ∩ 𝐶))
5		fcores.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (◡𝐹 “ 𝐶)
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (◡𝐹 “ 𝐶))
7	2, 4, 6	rescnvimafod 7074	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝑃):𝑃–onto→𝐸)
8		fcores.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (𝐹 ↾ 𝑃)
9		foeq1 6793	. . 3 ⊢ (𝑋 = (𝐹 ↾ 𝑃) → (𝑋:𝑃–onto→𝐸 ↔ (𝐹 ↾ 𝑃):𝑃–onto→𝐸))
10	8, 9	mp1i 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋:𝑃–onto→𝐸 ↔ (𝐹 ↾ 𝑃):𝑃–onto→𝐸))
11	7, 10	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝑃–onto→𝐸)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∩ cin 4089  ^◡ccnv 5649  ran crn 5651   ↾ cres 5652   “ cima 5653  ⟶wf 6535  –onto→wfo 6537

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-fo 6545

This theorem is used by:  fcoreslem4  48230  fcores  48231  fcoresf1lem  48232  fcoresf1  48233  fcoresfo  48235  fcoresfob  48236