Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fcoresf1lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fcoresf1lem 47080
Description: Lemma for fcoresf1 47081. (Contributed by AV, 18-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
fcores.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
fcores.e 𝐸 = (ran 𝐹𝐶)
fcores.p 𝑃 = (𝐹𝐶)
fcores.x 𝑋 = (𝐹𝑃)
fcores.g (𝜑𝐺:𝐶𝐷)
fcores.y 𝑌 = (𝐺𝐸)
Assertion
Ref Expression
fcoresf1lem ((𝜑𝑍𝑃) → ((𝐺𝐹)‘𝑍) = (𝑌‘(𝑋𝑍)))

Proof of Theorem fcoresf1lem
StepHypRef Expression
1 fcores.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
2 fcores.e . . . . 5 𝐸 = (ran 𝐹𝐶)
3 fcores.p . . . . 5 𝑃 = (𝐹𝐶)
4 fcores.x . . . . 5 𝑋 = (𝐹𝑃)
5 fcores.g . . . . 5 (𝜑𝐺:𝐶𝐷)
6 fcores.y . . . . 5 𝑌 = (𝐺𝐸)
71, 2, 3, 4, 5, 6fcores 47079 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝐹) = (𝑌𝑋))
87fveq1d 6908 . . 3 (𝜑 → ((𝐺𝐹)‘𝑍) = ((𝑌𝑋)‘𝑍))
98adantr 480 . 2 ((𝜑𝑍𝑃) → ((𝐺𝐹)‘𝑍) = ((𝑌𝑋)‘𝑍))
101, 2, 3, 4fcoreslem3 47077 . . . . 5 (𝜑𝑋:𝑃onto𝐸)
11 fof 6820 . . . . 5 (𝑋:𝑃onto𝐸𝑋:𝑃𝐸)
1210, 11syl 17 . . . 4 (𝜑𝑋:𝑃𝐸)
1312adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑍𝑃) → 𝑋:𝑃𝐸)
14 simpr 484 . . 3 ((𝜑𝑍𝑃) → 𝑍𝑃)
1513, 14fvco3d 7009 . 2 ((𝜑𝑍𝑃) → ((𝑌𝑋)‘𝑍) = (𝑌‘(𝑋𝑍)))
169, 15eqtrd 2777 1 ((𝜑𝑍𝑃) → ((𝐺𝐹)‘𝑍) = (𝑌‘(𝑋𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  cin 3950  ccnv 5684  ran crn 5686  cres 5687  cima 5688  ccom 5689  wf 6557  ontowfo 6559  cfv 6561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fo 6567  df-fv 6569
This theorem is referenced by:  fcoresf1  47081
  Copyright terms: Public domain W3C validator