Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fcoresf1lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fcoresf1lem 47018
Description: Lemma for fcoresf1 47019. (Contributed by AV, 18-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
fcores.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
fcores.e 𝐸 = (ran 𝐹𝐶)
fcores.p 𝑃 = (𝐹𝐶)
fcores.x 𝑋 = (𝐹𝑃)
fcores.g (𝜑𝐺:𝐶𝐷)
fcores.y 𝑌 = (𝐺𝐸)
Assertion
Ref Expression
fcoresf1lem ((𝜑𝑍𝑃) → ((𝐺𝐹)‘𝑍) = (𝑌‘(𝑋𝑍)))

Proof of Theorem fcoresf1lem
StepHypRef Expression
1 fcores.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
2 fcores.e . . . . 5 𝐸 = (ran 𝐹𝐶)
3 fcores.p . . . . 5 𝑃 = (𝐹𝐶)
4 fcores.x . . . . 5 𝑋 = (𝐹𝑃)
5 fcores.g . . . . 5 (𝜑𝐺:𝐶𝐷)
6 fcores.y . . . . 5 𝑌 = (𝐺𝐸)
71, 2, 3, 4, 5, 6fcores 47017 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝐹) = (𝑌𝑋))
87fveq1d 6909 . . 3 (𝜑 → ((𝐺𝐹)‘𝑍) = ((𝑌𝑋)‘𝑍))
98adantr 480 . 2 ((𝜑𝑍𝑃) → ((𝐺𝐹)‘𝑍) = ((𝑌𝑋)‘𝑍))
101, 2, 3, 4fcoreslem3 47015 . . . . 5 (𝜑𝑋:𝑃onto𝐸)
11 fof 6821 . . . . 5 (𝑋:𝑃onto𝐸𝑋:𝑃𝐸)
1210, 11syl 17 . . . 4 (𝜑𝑋:𝑃𝐸)
1312adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑍𝑃) → 𝑋:𝑃𝐸)
14 simpr 484 . . 3 ((𝜑𝑍𝑃) → 𝑍𝑃)
1513, 14fvco3d 7009 . 2 ((𝜑𝑍𝑃) → ((𝑌𝑋)‘𝑍) = (𝑌‘(𝑋𝑍)))
169, 15eqtrd 2775 1 ((𝜑𝑍𝑃) → ((𝐺𝐹)‘𝑍) = (𝑌‘(𝑋𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  cin 3962  ccnv 5688  ran crn 5690  cres 5691  cima 5692  ccom 5693  wf 6559  ontowfo 6561  cfv 6563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fo 6569  df-fv 6571
This theorem is referenced by:  fcoresf1  47019
  Copyright terms: Public domain W3C validator