Theorem fmptdff 45938

Description: A version of fmptd 7113 using bound-variable hypothesis instead of a distinct variable condition for 𝜑. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmptdff.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
fmptdff.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
fmptdff.3	⊢ Ⅎ𝑥𝐶
fmptdff.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)
fmptdff.5	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fmptdff	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐶)

Proof of Theorem fmptdff

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmptdff.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		fmptdff.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)
3	1, 2	ralrimia 3271	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐶)
4		fmptdff.2	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
5		fmptdff.3	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
6		fmptdff.5	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
7	4, 5, 6	fmptff 45936	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐶 ↔ 𝐹:𝐴⟶𝐶)
8	3, 7	sylib 221	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1568  Ⅎwnf 1811   ∈ wcel 2150  Ⅎwnfc 2917  ∀wral 3086   ↦ cmpt 5197  ⟶wf 6536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-sep 5262  ax-pr 5408

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5560  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544

This theorem is referenced by: (None)