Theorem fmptdff 45287

Description: A version of fmptd 7042 using bound-variable hypothesis instead of a distinct variable condition for 𝜑. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmptdff.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
fmptdff.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
fmptdff.3	⊢ Ⅎ𝑥𝐶
fmptdff.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)
fmptdff.5	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fmptdff	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐶)

Proof of Theorem fmptdff

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmptdff.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		fmptdff.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)
3	1, 2	ralrimia 3229	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐶)
4		fmptdff.2	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
5		fmptdff.3	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
6		fmptdff.5	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
7	4, 5, 6	fmptff 45285	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐶 ↔ 𝐹:𝐴⟶𝐶)
8	3, 7	sylib 218	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2110  Ⅎwnfc 2877  ∀wral 3045   ↦ cmpt 5170  ⟶wf 6473

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4282  df-if 4474  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481

This theorem is referenced by: (None)