Theorem fvmptelcdmf 46282

Description: The value of a function at a point of its domain belongs to its codomain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmptelcdmf.a	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
fvmptelcdmf.c	⊢ Ⅎ𝑥𝐶
fvmptelcdmf.f	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fvmptelcdmf	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)

Proof of Theorem fvmptelcdmf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmptelcdmf.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)
2		fvmptelcdmf.a	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
3		fvmptelcdmf.c	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
4		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
5	2, 3, 4	fmptff 46281	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)
6	1, 5	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐶)
7	6	r19.21bi 3254	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144  Ⅎwnfc 2907  ∀wral 3076   ↦ cmpt 5185  ⟶wf 6534

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542

This theorem is used by:  smfdivdmmbl  47848