Theorem fvmptelcdmf 45845

Description: The value of a function at a point of its domain belongs to its codomain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmptelcdmf.a	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
fvmptelcdmf.c	⊢ Ⅎ𝑥𝐶
fvmptelcdmf.f	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fvmptelcdmf	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)

Proof of Theorem fvmptelcdmf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmptelcdmf.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)
2		fvmptelcdmf.a	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
3		fvmptelcdmf.c	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
4		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
5	2, 3, 4	fmptff 45844	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)
6	1, 5	sylibr 236	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐶)
7	6	r19.21bi 3254	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2142  Ⅎwnfc 2909  ∀wral 3076   ↦ cmpt 5181  ⟶wf 6517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525

This theorem is referenced by:  smfdivdmmbl  47412