Theorem wemapso2lem 9311

Description: Lemma for wemapso2 9312. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Revised by AV, 1-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
wemapso.t	⊢ 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥‘𝑧)𝑆(𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}
wemapso2.u	⊢ 𝑈 = {𝑥 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍}

Assertion

Ref	Expression
wemapso2lem	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → 𝑇 Or 𝑈)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐴   𝑤,𝑅,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑆,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦,𝑧,𝑤)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑍(𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem wemapso2lem

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wemapso.t	. 2 ⊢ 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥‘𝑧)𝑆(𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}
2		wemapso2.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = {𝑥 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍}
3	2	ssrab3 4015	. 2 ⊢ 𝑈 ⊆ (𝐵 ↑m 𝐴)
4		simpl2 1191	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → 𝑅 Or 𝐴)
5		simpl3 1192	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → 𝑆 Or 𝐵)
6		simprll 776	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑎 ∈ 𝑈)
7		breq1 5077	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑥 finSupp 𝑍 ↔ 𝑎 finSupp 𝑍))
8	7, 2	elrab2 3627	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑈 ↔ (𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ∧ 𝑎 finSupp 𝑍))
9	8	simprbi 497	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑈 → 𝑎 finSupp 𝑍)
10	6, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑎 finSupp 𝑍)
11		simprlr 777	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑏 ∈ 𝑈)
12		breq1 5077	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝑥 finSupp 𝑍 ↔ 𝑏 finSupp 𝑍))
13	12, 2	elrab2 3627	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑈 ↔ (𝑏 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ∧ 𝑏 finSupp 𝑍))
14	13	simprbi 497	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑈 → 𝑏 finSupp 𝑍)
15	11, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑏 finSupp 𝑍)
16	10, 15	fsuppunfi 9148	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)) ∈ Fin)
17	3, 6	sselid 3919	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴))
18		elmapi 8637	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) → 𝑎:𝐴⟶𝐵)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑎:𝐴⟶𝐵)
20	19	ffnd 6601	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑎 Fn 𝐴)
21	3, 11	sselid 3919	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴))
22		elmapi 8637	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) → 𝑏:𝐴⟶𝐵)
23	21, 22	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑏:𝐴⟶𝐵)
24	23	ffnd 6601	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑏 Fn 𝐴)
25		fndmdif 6919	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 Fn 𝐴 ∧ 𝑏 Fn 𝐴) → dom (𝑎 ∖ 𝑏) = {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ (𝑎‘𝑐) ≠ (𝑏‘𝑐)})
26	20, 24, 25	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → dom (𝑎 ∖ 𝑏) = {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ (𝑎‘𝑐) ≠ (𝑏‘𝑐)})
27		neneor 3044	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎‘𝑐) ≠ (𝑏‘𝑐) → ((𝑎‘𝑐) ≠ 𝑍 ∨ (𝑏‘𝑐) ≠ 𝑍))
28		elun 4083	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 ∈ ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)) ↔ (𝑐 ∈ (𝑎 supp 𝑍) ∨ 𝑐 ∈ (𝑏 supp 𝑍)))
29		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) → 𝑐 ∈ 𝐴)
30	20	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) → 𝑎 Fn 𝐴)
31		elex 3450	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
32	31	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) → 𝐴 ∈ V)
33	32	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → 𝐴 ∈ V)
34	33	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
35		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → 𝑍 ∈ 𝑊)
36	35	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) → 𝑍 ∈ 𝑊)
37		elsuppfn 7987	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑐 ∈ (𝑎 supp 𝑍) ↔ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ (𝑎‘𝑐) ≠ 𝑍)))
38	30, 34, 36, 37	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) → (𝑐 ∈ (𝑎 supp 𝑍) ↔ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ (𝑎‘𝑐) ≠ 𝑍)))
39	29, 38	mpbirand 704	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) → (𝑐 ∈ (𝑎 supp 𝑍) ↔ (𝑎‘𝑐) ≠ 𝑍))
40	24	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) → 𝑏 Fn 𝐴)
41		simpll1 1211	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
42	41	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝑉)
43		elsuppfn 7987	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑐 ∈ (𝑏 supp 𝑍) ↔ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ (𝑏‘𝑐) ≠ 𝑍)))
44	40, 42, 36, 43	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) → (𝑐 ∈ (𝑏 supp 𝑍) ↔ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ (𝑏‘𝑐) ≠ 𝑍)))
45	29, 44	mpbirand 704	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) → (𝑐 ∈ (𝑏 supp 𝑍) ↔ (𝑏‘𝑐) ≠ 𝑍))
46	39, 45	orbi12d 916	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) → ((𝑐 ∈ (𝑎 supp 𝑍) ∨ 𝑐 ∈ (𝑏 supp 𝑍)) ↔ ((𝑎‘𝑐) ≠ 𝑍 ∨ (𝑏‘𝑐) ≠ 𝑍)))
47	28, 46	bitrid 282	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) → (𝑐 ∈ ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)) ↔ ((𝑎‘𝑐) ≠ 𝑍 ∨ (𝑏‘𝑐) ≠ 𝑍)))
48	27, 47	syl5ibr 245	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) → ((𝑎‘𝑐) ≠ (𝑏‘𝑐) → 𝑐 ∈ ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍))))
49	48	ralrimiva 3103	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → ∀𝑐 ∈ 𝐴 ((𝑎‘𝑐) ≠ (𝑏‘𝑐) → 𝑐 ∈ ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍))))
50		rabss 4005	. . . . . 6 ⊢ ({𝑐 ∈ 𝐴 ∣ (𝑎‘𝑐) ≠ (𝑏‘𝑐)} ⊆ ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)) ↔ ∀𝑐 ∈ 𝐴 ((𝑎‘𝑐) ≠ (𝑏‘𝑐) → 𝑐 ∈ ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍))))
51	49, 50	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ (𝑎‘𝑐) ≠ (𝑏‘𝑐)} ⊆ ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)))
52	26, 51	eqsstrd 3959	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → dom (𝑎 ∖ 𝑏) ⊆ ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)))
53	16, 52	ssfid 9042	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → dom (𝑎 ∖ 𝑏) ∈ Fin)
54		suppssdm 7993	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 supp 𝑍) ⊆ dom 𝑎
55	54, 19	fssdm 6620	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → (𝑎 supp 𝑍) ⊆ 𝐴)
56		suppssdm 7993	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 supp 𝑍) ⊆ dom 𝑏
57	56, 23	fssdm 6620	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → (𝑏 supp 𝑍) ⊆ 𝐴)
58	55, 57	unssd 4120	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)) ⊆ 𝐴)
59	4	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑅 Or 𝐴)
60		soss 5523	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)) ⊆ 𝐴 → (𝑅 Or 𝐴 → 𝑅 Or ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍))))
61	58, 59, 60	sylc 65	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑅 Or ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)))
62		wofi 9063	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 Or ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)) ∧ ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)) ∈ Fin) → 𝑅 We ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)))
63	61, 16, 62	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑅 We ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)))
64		wefr 5579	. . . 4 ⊢ (𝑅 We ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)) → 𝑅 Fr ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)))
65	63, 64	syl 17	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑅 Fr ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)))
66		simprr 770	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑎 ≠ 𝑏)
67		fndmdifeq0 6921	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 Fn 𝐴 ∧ 𝑏 Fn 𝐴) → (dom (𝑎 ∖ 𝑏) = ∅ ↔ 𝑎 = 𝑏))
68	20, 24, 67	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → (dom (𝑎 ∖ 𝑏) = ∅ ↔ 𝑎 = 𝑏))
69	68	necon3bid 2988	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → (dom (𝑎 ∖ 𝑏) ≠ ∅ ↔ 𝑎 ≠ 𝑏))
70	66, 69	mpbird 256	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → dom (𝑎 ∖ 𝑏) ≠ ∅)
71		fri 5549	. . 3 ⊢ (((dom (𝑎 ∖ 𝑏) ∈ Fin ∧ 𝑅 Fr ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍))) ∧ (dom (𝑎 ∖ 𝑏) ⊆ ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)) ∧ dom (𝑎 ∖ 𝑏) ≠ ∅)) → ∃𝑐 ∈ dom (𝑎 ∖ 𝑏)∀𝑑 ∈ dom (𝑎 ∖ 𝑏) ¬ 𝑑𝑅𝑐)
72	53, 65, 52, 70, 71	syl22anc 836	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → ∃𝑐 ∈ dom (𝑎 ∖ 𝑏)∀𝑑 ∈ dom (𝑎 ∖ 𝑏) ¬ 𝑑𝑅𝑐)
73	1, 3, 4, 5, 72	wemapsolem 9309	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → 𝑇 Or 𝑈)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  {crab 3068  Vcvv 3432   ∖ cdif 3884   ∪ cun 3885   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256   class class class wbr 5074  {copab 5136   Or wor 5502   Fr wfr 5541   We wwe 5543  dom cdm 5589   Fn wfn 6428  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   supp csupp 7977   ↑_m cmap 8615  Fincfn 8733   finSupp cfsupp 9128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-1o 8297  df-map 8617  df-en 8734  df-fin 8737  df-fsupp 9129

This theorem is referenced by:  wemapso2  9312