Theorem wemapso2lem 9621

Description: Lemma for wemapso2 9622. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Revised by AV, 1-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
wemapso.t	⊢ 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥‘𝑧)𝑆(𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}
wemapso2.u	⊢ 𝑈 = {𝑥 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍}

Assertion

Ref	Expression
wemapso2lem	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → 𝑇 Or 𝑈)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐴   𝑤,𝑅,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑆,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦,𝑧,𝑤)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑍(𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem wemapso2lem

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wemapso.t	. 2 ⊢ 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥‘𝑧)𝑆(𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}
2		wemapso2.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = {𝑥 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍}
3	2	ssrab3 4105	. 2 ⊢ 𝑈 ⊆ (𝐵 ↑m 𝐴)
4		simpl2 1192	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → 𝑅 Or 𝐴)
5		simpl3 1193	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → 𝑆 Or 𝐵)
6		simprll 778	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑎 ∈ 𝑈)
7		breq1 5169	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑥 finSupp 𝑍 ↔ 𝑎 finSupp 𝑍))
8	7, 2	elrab2 3711	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑈 ↔ (𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ∧ 𝑎 finSupp 𝑍))
9	8	simprbi 496	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑈 → 𝑎 finSupp 𝑍)
10	6, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑎 finSupp 𝑍)
11		simprlr 779	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑏 ∈ 𝑈)
12		breq1 5169	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝑥 finSupp 𝑍 ↔ 𝑏 finSupp 𝑍))
13	12, 2	elrab2 3711	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑈 ↔ (𝑏 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ∧ 𝑏 finSupp 𝑍))
14	13	simprbi 496	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑈 → 𝑏 finSupp 𝑍)
15	11, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑏 finSupp 𝑍)
16	10, 15	fsuppunfi 9457	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)) ∈ Fin)
17	3, 6	sselid 4006	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴))
18		elmapi 8907	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) → 𝑎:𝐴⟶𝐵)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑎:𝐴⟶𝐵)
20	19	ffnd 6748	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑎 Fn 𝐴)
21	3, 11	sselid 4006	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴))
22		elmapi 8907	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) → 𝑏:𝐴⟶𝐵)
23	21, 22	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑏:𝐴⟶𝐵)
24	23	ffnd 6748	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑏 Fn 𝐴)
25		fndmdif 7075	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 Fn 𝐴 ∧ 𝑏 Fn 𝐴) → dom (𝑎 ∖ 𝑏) = {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ (𝑎‘𝑐) ≠ (𝑏‘𝑐)})
26	20, 24, 25	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → dom (𝑎 ∖ 𝑏) = {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ (𝑎‘𝑐) ≠ (𝑏‘𝑐)})
27		neneor 3048	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎‘𝑐) ≠ (𝑏‘𝑐) → ((𝑎‘𝑐) ≠ 𝑍 ∨ (𝑏‘𝑐) ≠ 𝑍))
28		elun 4176	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 ∈ ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)) ↔ (𝑐 ∈ (𝑎 supp 𝑍) ∨ 𝑐 ∈ (𝑏 supp 𝑍)))
29		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) → 𝑐 ∈ 𝐴)
30	20	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) → 𝑎 Fn 𝐴)
31		elex 3509	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
32	31	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) → 𝐴 ∈ V)
33	32	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → 𝐴 ∈ V)
34	33	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
35		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → 𝑍 ∈ 𝑊)
36	35	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) → 𝑍 ∈ 𝑊)
37		elsuppfn 8211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑐 ∈ (𝑎 supp 𝑍) ↔ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ (𝑎‘𝑐) ≠ 𝑍)))
38	30, 34, 36, 37	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) → (𝑐 ∈ (𝑎 supp 𝑍) ↔ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ (𝑎‘𝑐) ≠ 𝑍)))
39	29, 38	mpbirand 706	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) → (𝑐 ∈ (𝑎 supp 𝑍) ↔ (𝑎‘𝑐) ≠ 𝑍))
40	24	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) → 𝑏 Fn 𝐴)
41		simpll1 1212	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
42	41	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝑉)
43		elsuppfn 8211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑐 ∈ (𝑏 supp 𝑍) ↔ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ (𝑏‘𝑐) ≠ 𝑍)))
44	40, 42, 36, 43	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) → (𝑐 ∈ (𝑏 supp 𝑍) ↔ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ (𝑏‘𝑐) ≠ 𝑍)))
45	29, 44	mpbirand 706	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) → (𝑐 ∈ (𝑏 supp 𝑍) ↔ (𝑏‘𝑐) ≠ 𝑍))
46	39, 45	orbi12d 917	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) → ((𝑐 ∈ (𝑎 supp 𝑍) ∨ 𝑐 ∈ (𝑏 supp 𝑍)) ↔ ((𝑎‘𝑐) ≠ 𝑍 ∨ (𝑏‘𝑐) ≠ 𝑍)))
47	28, 46	bitrid 283	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) → (𝑐 ∈ ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)) ↔ ((𝑎‘𝑐) ≠ 𝑍 ∨ (𝑏‘𝑐) ≠ 𝑍)))
48	27, 47	imbitrrid 246	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) → ((𝑎‘𝑐) ≠ (𝑏‘𝑐) → 𝑐 ∈ ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍))))
49	48	ralrimiva 3152	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → ∀𝑐 ∈ 𝐴 ((𝑎‘𝑐) ≠ (𝑏‘𝑐) → 𝑐 ∈ ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍))))
50		rabss 4095	. . . . . 6 ⊢ ({𝑐 ∈ 𝐴 ∣ (𝑎‘𝑐) ≠ (𝑏‘𝑐)} ⊆ ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)) ↔ ∀𝑐 ∈ 𝐴 ((𝑎‘𝑐) ≠ (𝑏‘𝑐) → 𝑐 ∈ ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍))))
51	49, 50	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ (𝑎‘𝑐) ≠ (𝑏‘𝑐)} ⊆ ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)))
52	26, 51	eqsstrd 4047	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → dom (𝑎 ∖ 𝑏) ⊆ ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)))
53	16, 52	ssfid 9329	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → dom (𝑎 ∖ 𝑏) ∈ Fin)
54		suppssdm 8218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 supp 𝑍) ⊆ dom 𝑎
55	54, 19	fssdm 6766	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → (𝑎 supp 𝑍) ⊆ 𝐴)
56		suppssdm 8218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 supp 𝑍) ⊆ dom 𝑏
57	56, 23	fssdm 6766	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → (𝑏 supp 𝑍) ⊆ 𝐴)
58	55, 57	unssd 4215	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)) ⊆ 𝐴)
59	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑅 Or 𝐴)
60		soss 5628	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)) ⊆ 𝐴 → (𝑅 Or 𝐴 → 𝑅 Or ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍))))
61	58, 59, 60	sylc 65	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑅 Or ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)))
62		wofi 9353	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 Or ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)) ∧ ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)) ∈ Fin) → 𝑅 We ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)))
63	61, 16, 62	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑅 We ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)))
64		wefr 5690	. . . 4 ⊢ (𝑅 We ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)) → 𝑅 Fr ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)))
65	63, 64	syl 17	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑅 Fr ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)))
66		simprr 772	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑎 ≠ 𝑏)
67		fndmdifeq0 7077	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 Fn 𝐴 ∧ 𝑏 Fn 𝐴) → (dom (𝑎 ∖ 𝑏) = ∅ ↔ 𝑎 = 𝑏))
68	20, 24, 67	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → (dom (𝑎 ∖ 𝑏) = ∅ ↔ 𝑎 = 𝑏))
69	68	necon3bid 2991	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → (dom (𝑎 ∖ 𝑏) ≠ ∅ ↔ 𝑎 ≠ 𝑏))
70	66, 69	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → dom (𝑎 ∖ 𝑏) ≠ ∅)
71		fri 5657	. . 3 ⊢ (((dom (𝑎 ∖ 𝑏) ∈ Fin ∧ 𝑅 Fr ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍))) ∧ (dom (𝑎 ∖ 𝑏) ⊆ ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)) ∧ dom (𝑎 ∖ 𝑏) ≠ ∅)) → ∃𝑐 ∈ dom (𝑎 ∖ 𝑏)∀𝑑 ∈ dom (𝑎 ∖ 𝑏) ¬ 𝑑𝑅𝑐)
72	53, 65, 52, 70, 71	syl22anc 838	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → ∃𝑐 ∈ dom (𝑎 ∖ 𝑏)∀𝑑 ∈ dom (𝑎 ∖ 𝑏) ¬ 𝑑𝑅𝑐)
73	1, 3, 4, 5, 72	wemapsolem 9619	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → 𝑇 Or 𝑈)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  ∃wrex 3076  {crab 3443  Vcvv 3488   ∖ cdif 3973   ∪ cun 3974   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352   class class class wbr 5166  {copab 5228   Or wor 5606   Fr wfr 5649   We wwe 5651  dom cdm 5700   Fn wfn 6568  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   supp csupp 8201   ↑_m cmap 8884  Fincfn 9003   finSupp cfsupp 9431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-1o 8522  df-map 8886  df-en 9004  df-fin 9007  df-fsupp 9432

This theorem is referenced by:  wemapso2  9622