Theorem wemapso2lem 9018

Description: Lemma for wemapso2 9019. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Revised by AV, 1-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
wemapso.t	⊢ 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥‘𝑧)𝑆(𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}
wemapso2.u	⊢ 𝑈 = {𝑥 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍}

Assertion

Ref	Expression
wemapso2lem	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → 𝑇 Or 𝑈)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐴   𝑤,𝑅,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑆,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦,𝑧,𝑤)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑍(𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem wemapso2lem

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wemapso.t	. 2 ⊢ 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥‘𝑧)𝑆(𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}
2		wemapso2.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = {𝑥 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍}
3	2	ssrab3 4059	. 2 ⊢ 𝑈 ⊆ (𝐵 ↑m 𝐴)
4		elex 3514	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
5	4	3ad2ant1 1129	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) → 𝐴 ∈ V)
6	5	adantr 483	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → 𝐴 ∈ V)
7		simpl2 1188	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → 𝑅 Or 𝐴)
8		simpl3 1189	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → 𝑆 Or 𝐵)
9		simprll 777	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑎 ∈ 𝑈)
10		breq1 5071	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑥 finSupp 𝑍 ↔ 𝑎 finSupp 𝑍))
11	10, 2	elrab2 3685	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑈 ↔ (𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ∧ 𝑎 finSupp 𝑍))
12	11	simprbi 499	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑈 → 𝑎 finSupp 𝑍)
13	9, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑎 finSupp 𝑍)
14		simprlr 778	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑏 ∈ 𝑈)
15		breq1 5071	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝑥 finSupp 𝑍 ↔ 𝑏 finSupp 𝑍))
16	15, 2	elrab2 3685	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑈 ↔ (𝑏 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ∧ 𝑏 finSupp 𝑍))
17	16	simprbi 499	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑈 → 𝑏 finSupp 𝑍)
18	14, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑏 finSupp 𝑍)
19	13, 18	fsuppunfi 8855	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)) ∈ Fin)
20	3, 9	sseldi 3967	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴))
21		elmapi 8430	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) → 𝑎:𝐴⟶𝐵)
22	20, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑎:𝐴⟶𝐵)
23	22	ffnd 6517	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑎 Fn 𝐴)
24	3, 14	sseldi 3967	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴))
25		elmapi 8430	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) → 𝑏:𝐴⟶𝐵)
26	24, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑏:𝐴⟶𝐵)
27	26	ffnd 6517	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑏 Fn 𝐴)
28		fndmdif 6814	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 Fn 𝐴 ∧ 𝑏 Fn 𝐴) → dom (𝑎 ∖ 𝑏) = {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ (𝑎‘𝑐) ≠ (𝑏‘𝑐)})
29	23, 27, 28	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → dom (𝑎 ∖ 𝑏) = {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ (𝑎‘𝑐) ≠ (𝑏‘𝑐)})
30		neneor 3120	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎‘𝑐) ≠ (𝑏‘𝑐) → ((𝑎‘𝑐) ≠ 𝑍 ∨ (𝑏‘𝑐) ≠ 𝑍))
31		elun 4127	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 ∈ ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)) ↔ (𝑐 ∈ (𝑎 supp 𝑍) ∨ 𝑐 ∈ (𝑏 supp 𝑍)))
32		simpr 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) → 𝑐 ∈ 𝐴)
33	23	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) → 𝑎 Fn 𝐴)
34	6	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
35		simpr 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → 𝑍 ∈ 𝑊)
36	35	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) → 𝑍 ∈ 𝑊)
37		elsuppfn 7840	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑐 ∈ (𝑎 supp 𝑍) ↔ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ (𝑎‘𝑐) ≠ 𝑍)))
38	33, 34, 36, 37	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) → (𝑐 ∈ (𝑎 supp 𝑍) ↔ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ (𝑎‘𝑐) ≠ 𝑍)))
39	32, 38	mpbirand 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) → (𝑐 ∈ (𝑎 supp 𝑍) ↔ (𝑎‘𝑐) ≠ 𝑍))
40	27	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) → 𝑏 Fn 𝐴)
41		simpll1 1208	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
42	41	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝑉)
43		elsuppfn 7840	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑐 ∈ (𝑏 supp 𝑍) ↔ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ (𝑏‘𝑐) ≠ 𝑍)))
44	40, 42, 36, 43	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) → (𝑐 ∈ (𝑏 supp 𝑍) ↔ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ (𝑏‘𝑐) ≠ 𝑍)))
45	32, 44	mpbirand 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) → (𝑐 ∈ (𝑏 supp 𝑍) ↔ (𝑏‘𝑐) ≠ 𝑍))
46	39, 45	orbi12d 915	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) → ((𝑐 ∈ (𝑎 supp 𝑍) ∨ 𝑐 ∈ (𝑏 supp 𝑍)) ↔ ((𝑎‘𝑐) ≠ 𝑍 ∨ (𝑏‘𝑐) ≠ 𝑍)))
47	31, 46	syl5bb 285	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) → (𝑐 ∈ ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)) ↔ ((𝑎‘𝑐) ≠ 𝑍 ∨ (𝑏‘𝑐) ≠ 𝑍)))
48	30, 47	syl5ibr 248	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) → ((𝑎‘𝑐) ≠ (𝑏‘𝑐) → 𝑐 ∈ ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍))))
49	48	ralrimiva 3184	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → ∀𝑐 ∈ 𝐴 ((𝑎‘𝑐) ≠ (𝑏‘𝑐) → 𝑐 ∈ ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍))))
50		rabss 4050	. . . . . 6 ⊢ ({𝑐 ∈ 𝐴 ∣ (𝑎‘𝑐) ≠ (𝑏‘𝑐)} ⊆ ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)) ↔ ∀𝑐 ∈ 𝐴 ((𝑎‘𝑐) ≠ (𝑏‘𝑐) → 𝑐 ∈ ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍))))
51	49, 50	sylibr 236	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ (𝑎‘𝑐) ≠ (𝑏‘𝑐)} ⊆ ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)))
52	29, 51	eqsstrd 4007	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → dom (𝑎 ∖ 𝑏) ⊆ ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)))
53	19, 52	ssfid 8743	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → dom (𝑎 ∖ 𝑏) ∈ Fin)
54		suppssdm 7845	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 supp 𝑍) ⊆ dom 𝑎
55	54, 22	fssdm 6532	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → (𝑎 supp 𝑍) ⊆ 𝐴)
56		suppssdm 7845	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 supp 𝑍) ⊆ dom 𝑏
57	56, 26	fssdm 6532	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → (𝑏 supp 𝑍) ⊆ 𝐴)
58	55, 57	unssd 4164	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)) ⊆ 𝐴)
59	7	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑅 Or 𝐴)
60		soss 5495	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)) ⊆ 𝐴 → (𝑅 Or 𝐴 → 𝑅 Or ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍))))
61	58, 59, 60	sylc 65	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑅 Or ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)))
62		wofi 8769	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 Or ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)) ∧ ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)) ∈ Fin) → 𝑅 We ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)))
63	61, 19, 62	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑅 We ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)))
64		wefr 5547	. . . 4 ⊢ (𝑅 We ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)) → 𝑅 Fr ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)))
65	63, 64	syl 17	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑅 Fr ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)))
66		simprr 771	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑎 ≠ 𝑏)
67		fndmdifeq0 6816	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 Fn 𝐴 ∧ 𝑏 Fn 𝐴) → (dom (𝑎 ∖ 𝑏) = ∅ ↔ 𝑎 = 𝑏))
68	23, 27, 67	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → (dom (𝑎 ∖ 𝑏) = ∅ ↔ 𝑎 = 𝑏))
69	68	necon3bid 3062	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → (dom (𝑎 ∖ 𝑏) ≠ ∅ ↔ 𝑎 ≠ 𝑏))
70	66, 69	mpbird 259	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → dom (𝑎 ∖ 𝑏) ≠ ∅)
71		fri 5519	. . 3 ⊢ (((dom (𝑎 ∖ 𝑏) ∈ Fin ∧ 𝑅 Fr ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍))) ∧ (dom (𝑎 ∖ 𝑏) ⊆ ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)) ∧ dom (𝑎 ∖ 𝑏) ≠ ∅)) → ∃𝑐 ∈ dom (𝑎 ∖ 𝑏)∀𝑑 ∈ dom (𝑎 ∖ 𝑏) ¬ 𝑑𝑅𝑐)
72	53, 65, 52, 70, 71	syl22anc 836	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → ∃𝑐 ∈ dom (𝑎 ∖ 𝑏)∀𝑑 ∈ dom (𝑎 ∖ 𝑏) ¬ 𝑑𝑅𝑐)
73	1, 3, 6, 7, 8, 72	wemapsolem 9016	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → 𝑇 Or 𝑈)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  ∀wral 3140  ∃wrex 3141  {crab 3144  Vcvv 3496   ∖ cdif 3935   ∪ cun 3936   ⊆ wss 3938  ∅c0 4293   class class class wbr 5068  {copab 5130   Or wor 5475   Fr wfr 5513   We wwe 5515  dom cdm 5557   Fn wfn 6352  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158   supp csupp 7832   ↑_m cmap 8408  Fincfn 8511   finSupp cfsupp 8835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-supp 7833  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-en 8512  df-fin 8515  df-fsupp 8836

This theorem is referenced by:  wemapso2  9019