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Theorem wemapso2lem 9488
Description: Lemma for wemapso2 9489. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Revised by AV, 1-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
wemapso.t 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐴 ((𝑥𝑧)𝑆(𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}
wemapso2.u 𝑈 = {𝑥 ∈ (𝐵m 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍}
Assertion
Ref Expression
wemapso2lem (((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) → 𝑇 Or 𝑈)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐴   𝑤,𝑅,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑆,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦,𝑧,𝑤)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑍(𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem wemapso2lem
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wemapso.t . 2 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐴 ((𝑥𝑧)𝑆(𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}
2 wemapso2.u . . 3 𝑈 = {𝑥 ∈ (𝐵m 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍}
32ssrab3 4040 . 2 𝑈 ⊆ (𝐵m 𝐴)
4 simpl2 1192 . 2 (((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) → 𝑅 Or 𝐴)
5 simpl3 1193 . 2 (((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) → 𝑆 Or 𝐵)
6 simprll 777 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑎𝑈)
7 breq1 5108 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑎 → (𝑥 finSupp 𝑍𝑎 finSupp 𝑍))
87, 2elrab2 3648 . . . . . . 7 (𝑎𝑈 ↔ (𝑎 ∈ (𝐵m 𝐴) ∧ 𝑎 finSupp 𝑍))
98simprbi 497 . . . . . 6 (𝑎𝑈𝑎 finSupp 𝑍)
106, 9syl 17 . . . . 5 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑎 finSupp 𝑍)
11 simprlr 778 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑏𝑈)
12 breq1 5108 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑏 → (𝑥 finSupp 𝑍𝑏 finSupp 𝑍))
1312, 2elrab2 3648 . . . . . . 7 (𝑏𝑈 ↔ (𝑏 ∈ (𝐵m 𝐴) ∧ 𝑏 finSupp 𝑍))
1413simprbi 497 . . . . . 6 (𝑏𝑈𝑏 finSupp 𝑍)
1511, 14syl 17 . . . . 5 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑏 finSupp 𝑍)
1610, 15fsuppunfi 9325 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)) ∈ Fin)
173, 6sselid 3942 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑎 ∈ (𝐵m 𝐴))
18 elmapi 8787 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ (𝐵m 𝐴) → 𝑎:𝐴𝐵)
1917, 18syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑎:𝐴𝐵)
2019ffnd 6669 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑎 Fn 𝐴)
213, 11sselid 3942 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑏 ∈ (𝐵m 𝐴))
22 elmapi 8787 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ (𝐵m 𝐴) → 𝑏:𝐴𝐵)
2321, 22syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑏:𝐴𝐵)
2423ffnd 6669 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑏 Fn 𝐴)
25 fndmdif 6992 . . . . . 6 ((𝑎 Fn 𝐴𝑏 Fn 𝐴) → dom (𝑎𝑏) = {𝑐𝐴 ∣ (𝑎𝑐) ≠ (𝑏𝑐)})
2620, 24, 25syl2anc 584 . . . . 5 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → dom (𝑎𝑏) = {𝑐𝐴 ∣ (𝑎𝑐) ≠ (𝑏𝑐)})
27 neneor 3044 . . . . . . . 8 ((𝑎𝑐) ≠ (𝑏𝑐) → ((𝑎𝑐) ≠ 𝑍 ∨ (𝑏𝑐) ≠ 𝑍))
28 elun 4108 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)) ↔ (𝑐 ∈ (𝑎 supp 𝑍) ∨ 𝑐 ∈ (𝑏 supp 𝑍)))
29 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑐𝐴) → 𝑐𝐴)
3020adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑐𝐴) → 𝑎 Fn 𝐴)
31 elex 3463 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴𝑉𝐴 ∈ V)
32313ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) → 𝐴 ∈ V)
3332adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) → 𝐴 ∈ V)
3433ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑐𝐴) → 𝐴 ∈ V)
35 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) → 𝑍𝑊)
3635ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑐𝐴) → 𝑍𝑊)
37 elsuppfn 8102 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 Fn 𝐴𝐴 ∈ V ∧ 𝑍𝑊) → (𝑐 ∈ (𝑎 supp 𝑍) ↔ (𝑐𝐴 ∧ (𝑎𝑐) ≠ 𝑍)))
3830, 34, 36, 37syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑐𝐴) → (𝑐 ∈ (𝑎 supp 𝑍) ↔ (𝑐𝐴 ∧ (𝑎𝑐) ≠ 𝑍)))
3929, 38mpbirand 705 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑐𝐴) → (𝑐 ∈ (𝑎 supp 𝑍) ↔ (𝑎𝑐) ≠ 𝑍))
4024adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑐𝐴) → 𝑏 Fn 𝐴)
41 simpll1 1212 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝐴𝑉)
4241adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑐𝐴) → 𝐴𝑉)
43 elsuppfn 8102 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 Fn 𝐴𝐴𝑉𝑍𝑊) → (𝑐 ∈ (𝑏 supp 𝑍) ↔ (𝑐𝐴 ∧ (𝑏𝑐) ≠ 𝑍)))
4440, 42, 36, 43syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑐𝐴) → (𝑐 ∈ (𝑏 supp 𝑍) ↔ (𝑐𝐴 ∧ (𝑏𝑐) ≠ 𝑍)))
4529, 44mpbirand 705 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑐𝐴) → (𝑐 ∈ (𝑏 supp 𝑍) ↔ (𝑏𝑐) ≠ 𝑍))
4639, 45orbi12d 917 . . . . . . . . 9 (((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑐𝐴) → ((𝑐 ∈ (𝑎 supp 𝑍) ∨ 𝑐 ∈ (𝑏 supp 𝑍)) ↔ ((𝑎𝑐) ≠ 𝑍 ∨ (𝑏𝑐) ≠ 𝑍)))
4728, 46bitrid 282 . . . . . . . 8 (((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑐𝐴) → (𝑐 ∈ ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)) ↔ ((𝑎𝑐) ≠ 𝑍 ∨ (𝑏𝑐) ≠ 𝑍)))
4827, 47syl5ibr 245 . . . . . . 7 (((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑐𝐴) → ((𝑎𝑐) ≠ (𝑏𝑐) → 𝑐 ∈ ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍))))
4948ralrimiva 3143 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → ∀𝑐𝐴 ((𝑎𝑐) ≠ (𝑏𝑐) → 𝑐 ∈ ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍))))
50 rabss 4029 . . . . . 6 ({𝑐𝐴 ∣ (𝑎𝑐) ≠ (𝑏𝑐)} ⊆ ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)) ↔ ∀𝑐𝐴 ((𝑎𝑐) ≠ (𝑏𝑐) → 𝑐 ∈ ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍))))
5149, 50sylibr 233 . . . . 5 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → {𝑐𝐴 ∣ (𝑎𝑐) ≠ (𝑏𝑐)} ⊆ ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)))
5226, 51eqsstrd 3982 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → dom (𝑎𝑏) ⊆ ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)))
5316, 52ssfid 9211 . . 3 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → dom (𝑎𝑏) ∈ Fin)
54 suppssdm 8108 . . . . . . . 8 (𝑎 supp 𝑍) ⊆ dom 𝑎
5554, 19fssdm 6688 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑎 supp 𝑍) ⊆ 𝐴)
56 suppssdm 8108 . . . . . . . 8 (𝑏 supp 𝑍) ⊆ dom 𝑏
5756, 23fssdm 6688 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑏 supp 𝑍) ⊆ 𝐴)
5855, 57unssd 4146 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)) ⊆ 𝐴)
594adantr 481 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑅 Or 𝐴)
60 soss 5565 . . . . . 6 (((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)) ⊆ 𝐴 → (𝑅 Or 𝐴𝑅 Or ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍))))
6158, 59, 60sylc 65 . . . . 5 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑅 Or ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)))
62 wofi 9236 . . . . 5 ((𝑅 Or ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)) ∧ ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)) ∈ Fin) → 𝑅 We ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)))
6361, 16, 62syl2anc 584 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑅 We ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)))
64 wefr 5623 . . . 4 (𝑅 We ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)) → 𝑅 Fr ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)))
6563, 64syl 17 . . 3 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑅 Fr ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)))
66 simprr 771 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑎𝑏)
67 fndmdifeq0 6994 . . . . . 6 ((𝑎 Fn 𝐴𝑏 Fn 𝐴) → (dom (𝑎𝑏) = ∅ ↔ 𝑎 = 𝑏))
6820, 24, 67syl2anc 584 . . . . 5 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → (dom (𝑎𝑏) = ∅ ↔ 𝑎 = 𝑏))
6968necon3bid 2988 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → (dom (𝑎𝑏) ≠ ∅ ↔ 𝑎𝑏))
7066, 69mpbird 256 . . 3 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → dom (𝑎𝑏) ≠ ∅)
71 fri 5593 . . 3 (((dom (𝑎𝑏) ∈ Fin ∧ 𝑅 Fr ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍))) ∧ (dom (𝑎𝑏) ⊆ ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)) ∧ dom (𝑎𝑏) ≠ ∅)) → ∃𝑐 ∈ dom (𝑎𝑏)∀𝑑 ∈ dom (𝑎𝑏) ¬ 𝑑𝑅𝑐)
7253, 65, 52, 70, 71syl22anc 837 . 2 ((((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → ∃𝑐 ∈ dom (𝑎𝑏)∀𝑑 ∈ dom (𝑎𝑏) ¬ 𝑑𝑅𝑐)
731, 3, 4, 5, 72wemapsolem 9486 1 (((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍𝑊) → 𝑇 Or 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  {crab 3407  Vcvv 3445  cdif 3907  cun 3908  wss 3910  c0 4282   class class class wbr 5105  {copab 5167   Or wor 5544   Fr wfr 5585   We wwe 5587  dom cdm 5633   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357   supp csupp 8092  m cmap 8765  Fincfn 8883   finSupp cfsupp 9305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-1o 8412  df-map 8767  df-en 8884  df-fin 8887  df-fsupp 9306
This theorem is referenced by:  wemapso2  9489
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