Theorem wemapso2lem 9530

Description: Lemma for wemapso2 9531. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Revised by AV, 1-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
wemapso.t	⊢ 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥‘𝑧)𝑆(𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}
wemapso2.u	⊢ 𝑈 = {𝑥 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍}

Assertion

Ref	Expression
wemapso2lem	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → 𝑇 Or 𝑈)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐴   𝑤,𝑅,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑆,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦, 𝑧, 𝑤)   𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤)   𝑈(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤)   𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤)   𝑊(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤)   𝑍(𝑦, 𝑧, 𝑤)

Proof of Theorem wemapso2lem

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wemapso.t	. 2 ⊢ 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥‘𝑧)𝑆(𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}
2		wemapso2.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = {𝑥 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍}
3	2	ssrab3 4030	. 2 ⊢ 𝑈 ⊆ (𝐵 ↑m 𝐴)
4		simpl2 1211	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → 𝑅 Or 𝐴)
5		simpl3 1212	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → 𝑆 Or 𝐵)
6		simprll 791	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑎 ∈ 𝑈)
7		breq1 5106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑥 finSupp 𝑍 ↔ 𝑎 finSupp 𝑍))
8	7, 2	elrab2 3649	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑈 ↔ (𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ∧ 𝑎 finSupp 𝑍))
9	8	simprbi 503	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑈 → 𝑎 finSupp 𝑍)
10	6, 9	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑎 finSupp 𝑍)
11		simprlr 792	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑏 ∈ 𝑈)
12		breq1 5106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝑥 finSupp 𝑍 ↔ 𝑏 finSupp 𝑍))
13	12, 2	elrab2 3649	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑈 ↔ (𝑏 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ∧ 𝑏 finSupp 𝑍))
14	13	simprbi 503	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑈 → 𝑏 finSupp 𝑍)
15	11, 14	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑏 finSupp 𝑍)
16	10, 15	fsuppunfi 9364	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)) ∈ Fin)
17	3, 6	sselid 3929	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴))
18		elmapi 8853	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) → 𝑎:𝐴⟶𝐵)
19	17, 18	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑎:𝐴⟶𝐵)
20	19	ffnd 6702	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑎 Fn 𝐴)
21	3, 11	sselid 3929	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴))
22		elmapi 8853	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) → 𝑏:𝐴⟶𝐵)
23	21, 22	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑏:𝐴⟶𝐵)
24	23	ffnd 6702	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑏 Fn 𝐴)
25		fndmdif 7033	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 Fn 𝐴 ∧ 𝑏 Fn 𝐴) → dom (𝑎 ∖ 𝑏) = {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ (𝑎‘𝑐) ≠ (𝑏‘𝑐)})
26	20, 24, 25	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → dom (𝑎 ∖ 𝑏) = {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ (𝑎‘𝑐) ≠ (𝑏‘𝑐)})
27		neneor 3058	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎‘𝑐) ≠ (𝑏‘𝑐) → ((𝑎‘𝑐) ≠ 𝑍 ∨ (𝑏‘𝑐) ≠ 𝑍))
28		elun 4100	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 ∈ ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)) ↔ (𝑐 ∈ (𝑎 supp 𝑍) ∨ 𝑐 ∈ (𝑏 supp 𝑍)))
29		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) → 𝑐 ∈ 𝐴)
30	20	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) → 𝑎 Fn 𝐴)
31		elex 3472	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
32	31	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) → 𝐴 ∈ V)
33	32	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → 𝐴 ∈ V)
34	33	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
35		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → 𝑍 ∈ 𝑊)
36	35	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) → 𝑍 ∈ 𝑊)
37		elsuppfn 8171	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑐 ∈ (𝑎 supp 𝑍) ↔ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ (𝑎‘𝑐) ≠ 𝑍)))
38	30, 34, 36, 37	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) → (𝑐 ∈ (𝑎 supp 𝑍) ↔ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ (𝑎‘𝑐) ≠ 𝑍)))
39	29, 38	mpbirand 720	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) → (𝑐 ∈ (𝑎 supp 𝑍) ↔ (𝑎‘𝑐) ≠ 𝑍))
40	24	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) → 𝑏 Fn 𝐴)
41		simpll1 1231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
42	41	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝑉)
43		elsuppfn 8171	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑐 ∈ (𝑏 supp 𝑍) ↔ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ (𝑏‘𝑐) ≠ 𝑍)))
44	40, 42, 36, 43	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) → (𝑐 ∈ (𝑏 supp 𝑍) ↔ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ (𝑏‘𝑐) ≠ 𝑍)))
45	29, 44	mpbirand 720	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) → (𝑐 ∈ (𝑏 supp 𝑍) ↔ (𝑏‘𝑐) ≠ 𝑍))
46	39, 45	orbi12d 932	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) → ((𝑐 ∈ (𝑎 supp 𝑍) ∨ 𝑐 ∈ (𝑏 supp 𝑍)) ↔ ((𝑎‘𝑐) ≠ 𝑍 ∨ (𝑏‘𝑐) ≠ 𝑍)))
47	28, 46	bitrid 286	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) → (𝑐 ∈ ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)) ↔ ((𝑎‘𝑐) ≠ 𝑍 ∨ (𝑏‘𝑐) ≠ 𝑍)))
48	27, 47	imbitrrid 249	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) → ((𝑎‘𝑐) ≠ (𝑏‘𝑐) → 𝑐 ∈ ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍))))
49	48	ralrimiva 3155	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → ∀𝑐 ∈ 𝐴 ((𝑎‘𝑐) ≠ (𝑏‘𝑐) → 𝑐 ∈ ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍))))
50		rabss 4018	. . . . . 6 ⊢ ({𝑐 ∈ 𝐴 ∣ (𝑎‘𝑐) ≠ (𝑏‘𝑐)} ⊆ ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)) ↔ ∀𝑐 ∈ 𝐴 ((𝑎‘𝑐) ≠ (𝑏‘𝑐) → 𝑐 ∈ ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍))))
51	49, 50	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ (𝑎‘𝑐) ≠ (𝑏‘𝑐)} ⊆ ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)))
52	26, 51	eqsstrd 3965	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → dom (𝑎 ∖ 𝑏) ⊆ ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)))
53	16, 52	ssfid 9244	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → dom (𝑎 ∖ 𝑏) ∈ Fin)
54		suppssdm 8178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 supp 𝑍) ⊆ dom 𝑎
55	54, 19	fssdm 6721	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → (𝑎 supp 𝑍) ⊆ 𝐴)
56		suppssdm 8178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 supp 𝑍) ⊆ dom 𝑏
57	56, 23	fssdm 6721	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → (𝑏 supp 𝑍) ⊆ 𝐴)
58	55, 57	unssd 4138	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)) ⊆ 𝐴)
59	4	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑅 Or 𝐴)
60		soss 5579	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)) ⊆ 𝐴 → (𝑅 Or 𝐴 → 𝑅 Or ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍))))
61	58, 59, 60	sylc 66	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑅 Or ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)))
62		wofi 9264	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 Or ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)) ∧ ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)) ∈ Fin) → 𝑅 We ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)))
63	61, 16, 62	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑅 We ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)))
64		wefr 5641	. . . 4 ⊢ (𝑅 We ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)) → 𝑅 Fr ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)))
65	63, 64	syl 18	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑅 Fr ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)))
66		simprr 785	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑎 ≠ 𝑏)
67		fndmdifeq0 7035	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 Fn 𝐴 ∧ 𝑏 Fn 𝐴) → (dom (𝑎 ∖ 𝑏) = ∅ ↔ 𝑎 = 𝑏))
68	20, 24, 67	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → (dom (𝑎 ∖ 𝑏) = ∅ ↔ 𝑎 = 𝑏))
69	68	necon3bid 3000	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → (dom (𝑎 ∖ 𝑏) ≠ ∅ ↔ 𝑎 ≠ 𝑏))
70	66, 69	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → dom (𝑎 ∖ 𝑏) ≠ ∅)
71		fri 5609	. . 3 ⊢ (((dom (𝑎 ∖ 𝑏) ∈ Fin ∧ 𝑅 Fr ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍))) ∧ (dom (𝑎 ∖ 𝑏) ⊆ ((𝑎 supp 𝑍) ∪ (𝑏 supp 𝑍)) ∧ dom (𝑎 ∖ 𝑏) ≠ ∅)) → ∃𝑐 ∈ dom (𝑎 ∖ 𝑏)∀𝑑 ∈ dom (𝑎 ∖ 𝑏) ¬ 𝑑𝑅𝑐)
72	53, 65, 52, 70, 71	syl22anc 852	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → ∃𝑐 ∈ dom (𝑎 ∖ 𝑏)∀𝑑 ∈ dom (𝑎 ∖ 𝑏) ¬ 𝑑𝑅𝑐)
73	1, 3, 4, 5, 72	wemapsolem 9528	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → 𝑇 Or 𝑈)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  {crab 3413  Vcvv 3451   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279   class class class wbr 5103  {copab 5167   Or wor 5558   Fr wfr 5601   We wwe 5603  dom cdm 5651   Fn wfn 6526  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412   supp csupp 8161   ↑_m cmap 8831  Fincfn 8957   finSupp cfsupp 9337

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8162  df-1o 8460  df-map 8833  df-en 8958  df-fin 8961  df-fsupp 9338

This theorem is used by:  wemapso2  9531