MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fpwwe2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fpwwe2 10644
Description: Given any function 𝐹 from well-orderings of subsets of 𝐴 to 𝐴, there is a unique well-ordered subset βŸ¨π‘‹, (π‘Šβ€˜π‘‹)⟩ which "agrees" with 𝐹 in the sense that each initial segment maps to its upper bound, and such that the entire set maps to an element of the set (so that it cannot be extended without losing the well-ordering). This theorem can be used to prove dfac8a 10031. Theorem 1.1 of [KanamoriPincus] p. 415. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.) (Revised by AV, 20-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
fpwwe2.1 π‘Š = {⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘Ÿ βŠ† (π‘₯ Γ— π‘₯)) ∧ (π‘Ÿ We π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ [(β—‘π‘Ÿ β€œ {𝑦}) / 𝑒](𝑒𝐹(π‘Ÿ ∩ (𝑒 Γ— 𝑒))) = 𝑦))}
fpwwe2.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
fpwwe2.3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘Ÿ βŠ† (π‘₯ Γ— π‘₯) ∧ π‘Ÿ We π‘₯)) β†’ (π‘₯πΉπ‘Ÿ) ∈ 𝐴)
fpwwe2.4 𝑋 = βˆͺ dom π‘Š
Assertion
Ref Expression
fpwwe2 (πœ‘ β†’ ((π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ) ↔ (π‘Œ = 𝑋 ∧ 𝑅 = (π‘Šβ€˜π‘‹))))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑒,π‘Ÿ,π‘₯,𝐹   𝑋,π‘Ÿ,𝑒,π‘₯,𝑦   πœ‘,π‘Ÿ,𝑒,π‘₯,𝑦   𝐴,π‘Ÿ,π‘₯   𝑅,π‘Ÿ,𝑒,π‘₯,𝑦   π‘Œ,π‘Ÿ,𝑒,π‘₯,𝑦   π‘Š,π‘Ÿ,𝑒,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑒)   𝑉(π‘₯,𝑦,𝑒,π‘Ÿ)
Proof of Theorem fpwwe2
Dummy variables 𝑀 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fpwwe2.1 . . . . . . . . . . 11 π‘Š = {⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘Ÿ βŠ† (π‘₯ Γ— π‘₯)) ∧ (π‘Ÿ We π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ [(β—‘π‘Ÿ β€œ {𝑦}) / 𝑒](𝑒𝐹(π‘Ÿ ∩ (𝑒 Γ— 𝑒))) = 𝑦))}
2 fpwwe2.2 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
3 fpwwe2.3 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘Ÿ βŠ† (π‘₯ Γ— π‘₯) ∧ π‘Ÿ We π‘₯)) β†’ (π‘₯πΉπ‘Ÿ) ∈ 𝐴)
4 fpwwe2.4 . . . . . . . . . . 11 𝑋 = βˆͺ dom π‘Š
51, 2, 3, 4fpwwe2lem10 10641 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Š:dom π‘ŠβŸΆπ’« (𝑋 Γ— 𝑋))
65ffund 6721 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Fun π‘Š)
7 funbrfv2b 6949 . . . . . . . . 9 (Fun π‘Š β†’ (π‘Œπ‘Šπ‘… ↔ (π‘Œ ∈ dom π‘Š ∧ (π‘Šβ€˜π‘Œ) = 𝑅)))
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘Œπ‘Šπ‘… ↔ (π‘Œ ∈ dom π‘Š ∧ (π‘Šβ€˜π‘Œ) = 𝑅)))
98simprbda 498 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Œπ‘Šπ‘…) β†’ π‘Œ ∈ dom π‘Š)
109adantrr 714 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ dom π‘Š)
11 elssuni 4941 . . . . . . 7 (π‘Œ ∈ dom π‘Š β†’ π‘Œ βŠ† βˆͺ dom π‘Š)
1211, 4sseqtrrdi 4033 . . . . . 6 (π‘Œ ∈ dom π‘Š β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
1310, 12syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
14 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝑋 βŠ† π‘Œ ∧ (π‘Šβ€˜π‘‹) = (𝑅 ∩ (π‘Œ Γ— 𝑋))) β†’ 𝑋 βŠ† π‘Œ)
1514a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) β†’ ((𝑋 βŠ† π‘Œ ∧ (π‘Šβ€˜π‘‹) = (𝑅 ∩ (π‘Œ Γ— 𝑋))) β†’ 𝑋 βŠ† π‘Œ))
16 simplrr 775 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) β†’ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)
172adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
1817adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
191, 2, 3, 4fpwwe2lem11 10642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ dom π‘Š)
20 funfvbrb 7052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Fun π‘Š β†’ (𝑋 ∈ dom π‘Š ↔ π‘‹π‘Š(π‘Šβ€˜π‘‹)))
216, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ dom π‘Š ↔ π‘‹π‘Š(π‘Šβ€˜π‘‹)))
2219, 21mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ π‘‹π‘Š(π‘Šβ€˜π‘‹))
231, 2fpwwe2lem2 10633 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (π‘‹π‘Š(π‘Šβ€˜π‘‹) ↔ ((𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ (π‘Šβ€˜π‘‹) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ ((π‘Šβ€˜π‘‹) We 𝑋 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 [(β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑦}) / 𝑒](𝑒𝐹((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑒 Γ— 𝑒))) = 𝑦))))
2422, 23mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ ((𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ (π‘Šβ€˜π‘‹) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ ((π‘Šβ€˜π‘‹) We 𝑋 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 [(β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑦}) / 𝑒](𝑒𝐹((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑒 Γ— 𝑒))) = 𝑦)))
2524ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) β†’ ((𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ (π‘Šβ€˜π‘‹) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ ((π‘Šβ€˜π‘‹) We 𝑋 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 [(β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑦}) / 𝑒](𝑒𝐹((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑒 Γ— 𝑒))) = 𝑦)))
2625simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) β†’ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ (π‘Šβ€˜π‘‹) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)))
2726simpld 494 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) β†’ 𝑋 βŠ† 𝐴)
2818, 27ssexd 5324 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) β†’ 𝑋 ∈ V)
2928difexd 5329 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) β†’ (𝑋 βˆ– π‘Œ) ∈ V)
3025simprd 495 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) β†’ ((π‘Šβ€˜π‘‹) We 𝑋 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 [(β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑦}) / 𝑒](𝑒𝐹((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑒 Γ— 𝑒))) = 𝑦))
3130simpld 494 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) β†’ (π‘Šβ€˜π‘‹) We 𝑋)
32 wefr 5666 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Šβ€˜π‘‹) We 𝑋 β†’ (π‘Šβ€˜π‘‹) Fr 𝑋)
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) β†’ (π‘Šβ€˜π‘‹) Fr 𝑋)
34 difssd 4132 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) β†’ (𝑋 βˆ– π‘Œ) βŠ† 𝑋)
35 fri 5636 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑋 βˆ– π‘Œ) ∈ V ∧ (π‘Šβ€˜π‘‹) Fr 𝑋) ∧ ((𝑋 βˆ– π‘Œ) βŠ† 𝑋 ∧ (𝑋 βˆ– π‘Œ) β‰  βˆ…)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ)βˆ€π‘€ ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) Β¬ 𝑀(π‘Šβ€˜π‘‹)𝑧)
3635expr 456 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑋 βˆ– π‘Œ) ∈ V ∧ (π‘Šβ€˜π‘‹) Fr 𝑋) ∧ (𝑋 βˆ– π‘Œ) βŠ† 𝑋) β†’ ((𝑋 βˆ– π‘Œ) β‰  βˆ… β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ)βˆ€π‘€ ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) Β¬ 𝑀(π‘Šβ€˜π‘‹)𝑧))
3729, 33, 34, 36syl21anc 835 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) β†’ ((𝑋 βˆ– π‘Œ) β‰  βˆ… β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ)βˆ€π‘€ ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) Β¬ 𝑀(π‘Šβ€˜π‘‹)𝑧))
38 ssdif0 4363 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 ∩ (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧})) βŠ† π‘Œ ↔ ((𝑋 ∩ (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧})) βˆ– π‘Œ) = βˆ…)
39 indif1 4271 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑋 βˆ– π‘Œ) ∩ (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧})) = ((𝑋 ∩ (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧})) βˆ– π‘Œ)
4039eqeq1i 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑋 βˆ– π‘Œ) ∩ (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧})) = βˆ… ↔ ((𝑋 ∩ (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧})) βˆ– π‘Œ) = βˆ…)
41 disj 4447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑋 βˆ– π‘Œ) ∩ (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧})) = βˆ… ↔ βˆ€π‘€ ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) Β¬ 𝑀 ∈ (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}))
42 vex 3477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑀 ∈ V
4342eliniseg 6093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ V β†’ (𝑀 ∈ (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}) ↔ 𝑀(π‘Šβ€˜π‘‹)𝑧))
4443elv 3479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}) ↔ 𝑀(π‘Šβ€˜π‘‹)𝑧)
4544notbii 320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Β¬ 𝑀 ∈ (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}) ↔ Β¬ 𝑀(π‘Šβ€˜π‘‹)𝑧)
4645ralbii 3092 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆ€π‘€ ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) Β¬ 𝑀 ∈ (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}) ↔ βˆ€π‘€ ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) Β¬ 𝑀(π‘Šβ€˜π‘‹)𝑧)
4741, 46bitri 275 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑋 βˆ– π‘Œ) ∩ (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧})) = βˆ… ↔ βˆ€π‘€ ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) Β¬ 𝑀(π‘Šβ€˜π‘‹)𝑧)
4838, 40, 473bitr2i 299 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∩ (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧})) βŠ† π‘Œ ↔ βˆ€π‘€ ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) Β¬ 𝑀(π‘Šβ€˜π‘‹)𝑧)
49 cnvimass 6080 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}) βŠ† dom (π‘Šβ€˜π‘‹)
5026simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) β†’ (π‘Šβ€˜π‘‹) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
51 dmss 5902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘Šβ€˜π‘‹) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋) β†’ dom (π‘Šβ€˜π‘‹) βŠ† dom (𝑋 Γ— 𝑋))
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) β†’ dom (π‘Šβ€˜π‘‹) βŠ† dom (𝑋 Γ— 𝑋))
53 dmxpid 5929 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 dom (𝑋 Γ— 𝑋) = 𝑋
5452, 53sseqtrdi 4032 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) β†’ dom (π‘Šβ€˜π‘‹) βŠ† 𝑋)
5549, 54sstrid 3993 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) β†’ (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}) βŠ† 𝑋)
56 sseqin2 4215 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}) βŠ† 𝑋 ↔ (𝑋 ∩ (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧})) = (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}))
5755, 56sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) β†’ (𝑋 ∩ (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧})) = (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}))
5857sseq1d 4013 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) β†’ ((𝑋 ∩ (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧})) βŠ† π‘Œ ↔ (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}) βŠ† π‘Œ))
5948, 58bitr3id 285 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) Β¬ 𝑀(π‘Šβ€˜π‘‹)𝑧 ↔ (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}) βŠ† π‘Œ))
6059rexbidv 3177 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ)βˆ€π‘€ ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) Β¬ 𝑀(π‘Šβ€˜π‘‹)𝑧 ↔ βˆƒπ‘§ ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ)(β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}) βŠ† π‘Œ))
61 eldifn 4127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) β†’ Β¬ 𝑧 ∈ π‘Œ)
6261ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) ∧ (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}) βŠ† π‘Œ)) β†’ Β¬ 𝑧 ∈ π‘Œ)
63 eleq1w 2815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑀 = 𝑧 β†’ (𝑀 ∈ π‘Œ ↔ 𝑧 ∈ π‘Œ))
6463notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑀 = 𝑧 β†’ (Β¬ 𝑀 ∈ π‘Œ ↔ Β¬ 𝑧 ∈ π‘Œ))
6562, 64syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) ∧ (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}) βŠ† π‘Œ)) β†’ (𝑀 = 𝑧 β†’ Β¬ 𝑀 ∈ π‘Œ))
6665con2d 134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) ∧ (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}) βŠ† π‘Œ)) β†’ (𝑀 ∈ π‘Œ β†’ Β¬ 𝑀 = 𝑧))
6766imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) ∧ (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}) βŠ† π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ) β†’ Β¬ 𝑀 = 𝑧)
6862adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) ∧ (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}) βŠ† π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ) β†’ Β¬ 𝑧 ∈ π‘Œ)
69 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) β†’ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))
7069ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) ∧ (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}) βŠ† π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))
7170breqd 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) ∧ (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}) βŠ† π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ) β†’ (𝑧𝑅𝑀 ↔ 𝑧((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ))𝑀))
72 eldifi 4126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
7372ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) ∧ (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}) βŠ† π‘Œ)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
7473adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) ∧ (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}) βŠ† π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
75 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) ∧ (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}) βŠ† π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑀 ∈ π‘Œ)
76 brxp 5725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧(𝑋 Γ— π‘Œ)𝑀 ↔ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ))
7774, 75, 76sylanbrc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) ∧ (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}) βŠ† π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑧(𝑋 Γ— π‘Œ)𝑀)
78 brin 5200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ))𝑀 ↔ (𝑧(π‘Šβ€˜π‘‹)𝑀 ∧ 𝑧(𝑋 Γ— π‘Œ)𝑀))
7978rbaib 538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧(𝑋 Γ— π‘Œ)𝑀 β†’ (𝑧((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ))𝑀 ↔ 𝑧(π‘Šβ€˜π‘‹)𝑀))
8077, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) ∧ (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}) βŠ† π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ) β†’ (𝑧((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ))𝑀 ↔ 𝑧(π‘Šβ€˜π‘‹)𝑀))
8171, 80bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) ∧ (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}) βŠ† π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ) β†’ (𝑧𝑅𝑀 ↔ 𝑧(π‘Šβ€˜π‘‹)𝑀))
821, 2fpwwe2lem2 10633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (πœ‘ β†’ (π‘Œπ‘Šπ‘… ↔ ((π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑅 βŠ† (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∧ (𝑅 We π‘Œ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ [(◑𝑅 β€œ {𝑦}) / 𝑒](𝑒𝐹(𝑅 ∩ (𝑒 Γ— 𝑒))) = 𝑦))))
8382biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((πœ‘ ∧ π‘Œπ‘Šπ‘…) β†’ ((π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑅 βŠ† (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∧ (𝑅 We π‘Œ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ [(◑𝑅 β€œ {𝑦}) / 𝑒](𝑒𝐹(𝑅 ∩ (𝑒 Γ— 𝑒))) = 𝑦)))
8483adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) β†’ ((π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑅 βŠ† (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∧ (𝑅 We π‘Œ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ [(◑𝑅 β€œ {𝑦}) / 𝑒](𝑒𝐹(𝑅 ∩ (𝑒 Γ— 𝑒))) = 𝑦)))
8584simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑅 βŠ† (π‘Œ Γ— π‘Œ)))
8685simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) β†’ 𝑅 βŠ† (π‘Œ Γ— π‘Œ))
8786ad5ant12 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) ∧ (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}) βŠ† π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑅 βŠ† (π‘Œ Γ— π‘Œ))
8887ssbrd 5191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) ∧ (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}) βŠ† π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ) β†’ (𝑧𝑅𝑀 β†’ 𝑧(π‘Œ Γ— π‘Œ)𝑀))
89 brxp 5725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧(π‘Œ Γ— π‘Œ)𝑀 ↔ (𝑧 ∈ π‘Œ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ))
9089simplbi 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧(π‘Œ Γ— π‘Œ)𝑀 β†’ 𝑧 ∈ π‘Œ)
9188, 90syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) ∧ (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}) βŠ† π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ) β†’ (𝑧𝑅𝑀 β†’ 𝑧 ∈ π‘Œ))
9281, 91sylbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) ∧ (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}) βŠ† π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ) β†’ (𝑧(π‘Šβ€˜π‘‹)𝑀 β†’ 𝑧 ∈ π‘Œ))
9368, 92mtod 197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) ∧ (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}) βŠ† π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ) β†’ Β¬ 𝑧(π‘Šβ€˜π‘‹)𝑀)
9431ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) ∧ (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}) βŠ† π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ) β†’ (π‘Šβ€˜π‘‹) We 𝑋)
95 weso 5667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((π‘Šβ€˜π‘‹) We 𝑋 β†’ (π‘Šβ€˜π‘‹) Or 𝑋)
9694, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) ∧ (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}) βŠ† π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ) β†’ (π‘Šβ€˜π‘‹) Or 𝑋)
9713ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) ∧ (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}) βŠ† π‘Œ)) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
9897sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) ∧ (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}) βŠ† π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑀 ∈ 𝑋)
99 sotric 5616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((π‘Šβ€˜π‘‹) Or 𝑋 ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑀(π‘Šβ€˜π‘‹)𝑧 ↔ Β¬ (𝑀 = 𝑧 ∨ 𝑧(π‘Šβ€˜π‘‹)𝑀)))
100 ioran 981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (Β¬ (𝑀 = 𝑧 ∨ 𝑧(π‘Šβ€˜π‘‹)𝑀) ↔ (Β¬ 𝑀 = 𝑧 ∧ Β¬ 𝑧(π‘Šβ€˜π‘‹)𝑀))
10199, 100bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((π‘Šβ€˜π‘‹) Or 𝑋 ∧ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑀(π‘Šβ€˜π‘‹)𝑧 ↔ (Β¬ 𝑀 = 𝑧 ∧ Β¬ 𝑧(π‘Šβ€˜π‘‹)𝑀)))
10296, 98, 74, 101syl12anc 834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) ∧ (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}) βŠ† π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ) β†’ (𝑀(π‘Šβ€˜π‘‹)𝑧 ↔ (Β¬ 𝑀 = 𝑧 ∧ Β¬ 𝑧(π‘Šβ€˜π‘‹)𝑀)))
10367, 93, 102mpbir2and 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) ∧ (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}) βŠ† π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑀(π‘Šβ€˜π‘‹)𝑧)
104103, 44sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) ∧ (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}) βŠ† π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑀 ∈ (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}))
105104ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) ∧ (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}) βŠ† π‘Œ)) β†’ (𝑀 ∈ π‘Œ β†’ 𝑀 ∈ (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧})))
106105ssrdv 3988 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) ∧ (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}) βŠ† π‘Œ)) β†’ π‘Œ βŠ† (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}))
107 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) ∧ (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}) βŠ† π‘Œ)) β†’ (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}) βŠ† π‘Œ)
108106, 107eqssd 3999 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) ∧ (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}) βŠ† π‘Œ)) β†’ π‘Œ = (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}))
109 in32 4221 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)) ∩ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) = (((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ))
110 simplrr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) ∧ (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}) βŠ† π‘Œ)) β†’ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))
111110ineq1d 4211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) ∧ (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}) βŠ† π‘Œ)) β†’ (𝑅 ∩ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) = (((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)) ∩ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))
11286ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) ∧ (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}) βŠ† π‘Œ)) β†’ 𝑅 βŠ† (π‘Œ Γ— π‘Œ))
113 df-ss 3965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑅 βŠ† (π‘Œ Γ— π‘Œ) ↔ (𝑅 ∩ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) = 𝑅)
114112, 113sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) ∧ (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}) βŠ† π‘Œ)) β†’ (𝑅 ∩ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) = 𝑅)
115111, 114eqtr3d 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) ∧ (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}) βŠ† π‘Œ)) β†’ (((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)) ∩ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) = 𝑅)
116 inss2 4229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) βŠ† (π‘Œ Γ— π‘Œ)
117 xpss1 5695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘Œ βŠ† 𝑋 β†’ (π‘Œ Γ— π‘Œ) βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ))
11897, 117syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) ∧ (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}) βŠ† π‘Œ)) β†’ (π‘Œ Γ— π‘Œ) βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ))
119116, 118sstrid 3993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) ∧ (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}) βŠ† π‘Œ)) β†’ ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ))
120 df-ss 3965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ↔ (((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)) = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))
121119, 120sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) ∧ (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}) βŠ† π‘Œ)) β†’ (((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)) = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))
122109, 115, 1213eqtr3a 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) ∧ (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}) βŠ† π‘Œ)) β†’ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))
123108sqxpeqd 5708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) ∧ (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}) βŠ† π‘Œ)) β†’ (π‘Œ Γ— π‘Œ) = ((β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}) Γ— (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧})))
124123ineq2d 4212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) ∧ (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}) βŠ† π‘Œ)) β†’ ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ ((β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}) Γ— (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}))))
125122, 124eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) ∧ (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}) βŠ† π‘Œ)) β†’ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ ((β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}) Γ— (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}))))
126108, 125oveq12d 7430 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) ∧ (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}) βŠ† π‘Œ)) β†’ (π‘ŒπΉπ‘…) = ((β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧})𝐹((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ ((β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}) Γ— (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧})))))
12718adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) ∧ (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}) βŠ† π‘Œ)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
12822adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) β†’ π‘‹π‘Š(π‘Šβ€˜π‘‹))
129128ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) ∧ (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}) βŠ† π‘Œ)) β†’ π‘‹π‘Š(π‘Šβ€˜π‘‹))
1301, 127, 129fpwwe2lem3 10634 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) ∧ (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}) βŠ† π‘Œ)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧})𝐹((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ ((β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}) Γ— (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧})))) = 𝑧)
13173, 130mpdan 684 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) ∧ (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}) βŠ† π‘Œ)) β†’ ((β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧})𝐹((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ ((β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}) Γ— (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧})))) = 𝑧)
132126, 131eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) ∧ (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}) βŠ† π‘Œ)) β†’ (π‘ŒπΉπ‘…) = 𝑧)
133132, 62eqneltrd 2852 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) ∧ (β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}) βŠ† π‘Œ)) β†’ Β¬ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)
134133rexlimdvaa 3155 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ)(β—‘(π‘Šβ€˜π‘‹) β€œ {𝑧}) βŠ† π‘Œ β†’ Β¬ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ))
13560, 134sylbid 239 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ)βˆ€π‘€ ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) Β¬ 𝑀(π‘Šβ€˜π‘‹)𝑧 β†’ Β¬ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ))
13637, 135syld 47 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) β†’ ((𝑋 βˆ– π‘Œ) β‰  βˆ… β†’ Β¬ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ))
137136necon4ad 2958 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) β†’ ((π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ β†’ (𝑋 βˆ– π‘Œ) = βˆ…))
13816, 137mpd 15 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) β†’ (𝑋 βˆ– π‘Œ) = βˆ…)
139 ssdif0 4363 . . . . . . . 8 (𝑋 βŠ† π‘Œ ↔ (𝑋 βˆ– π‘Œ) = βˆ…)
140138, 139sylibr 233 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) β†’ 𝑋 βŠ† π‘Œ)
141140ex 412 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) β†’ ((π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ))) β†’ 𝑋 βŠ† π‘Œ))
1423adantlr 712 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘Ÿ βŠ† (π‘₯ Γ— π‘₯) ∧ π‘Ÿ We π‘₯)) β†’ (π‘₯πΉπ‘Ÿ) ∈ 𝐴)
143 simprl 768 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) β†’ π‘Œπ‘Šπ‘…)
1441, 17, 142, 128, 143fpwwe2lem9 10640 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) β†’ ((𝑋 βŠ† π‘Œ ∧ (π‘Šβ€˜π‘‹) = (𝑅 ∩ (π‘Œ Γ— 𝑋))) ∨ (π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 = ((π‘Šβ€˜π‘‹) ∩ (𝑋 Γ— π‘Œ)))))
14515, 141, 144mpjaod 857 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) β†’ 𝑋 βŠ† π‘Œ)
14613, 145eqssd 3999 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) β†’ π‘Œ = 𝑋)
1476adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) β†’ Fun π‘Š)
148146, 143eqbrtrrd 5172 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) β†’ π‘‹π‘Šπ‘…)
149 funbrfv 6942 . . . . . 6 (Fun π‘Š β†’ (π‘‹π‘Šπ‘… β†’ (π‘Šβ€˜π‘‹) = 𝑅))
150147, 148, 149sylc 65 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘Šβ€˜π‘‹) = 𝑅)
151150eqcomd 2737 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) β†’ 𝑅 = (π‘Šβ€˜π‘‹))
152146, 151jca 511 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘Œ = 𝑋 ∧ 𝑅 = (π‘Šβ€˜π‘‹)))
153152ex 412 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ) β†’ (π‘Œ = 𝑋 ∧ 𝑅 = (π‘Šβ€˜π‘‹))))
1541, 2, 3, 4fpwwe2lem12 10643 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋𝐹(π‘Šβ€˜π‘‹)) ∈ 𝑋)
15522, 154jca 511 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘‹π‘Š(π‘Šβ€˜π‘‹) ∧ (𝑋𝐹(π‘Šβ€˜π‘‹)) ∈ 𝑋))
156 breq12 5153 . . . 4 ((π‘Œ = 𝑋 ∧ 𝑅 = (π‘Šβ€˜π‘‹)) β†’ (π‘Œπ‘Šπ‘… ↔ π‘‹π‘Š(π‘Šβ€˜π‘‹)))
157 oveq12 7421 . . . . 5 ((π‘Œ = 𝑋 ∧ 𝑅 = (π‘Šβ€˜π‘‹)) β†’ (π‘ŒπΉπ‘…) = (𝑋𝐹(π‘Šβ€˜π‘‹)))
158 simpl 482 . . . . 5 ((π‘Œ = 𝑋 ∧ 𝑅 = (π‘Šβ€˜π‘‹)) β†’ π‘Œ = 𝑋)
159157, 158eleq12d 2826 . . . 4 ((π‘Œ = 𝑋 ∧ 𝑅 = (π‘Šβ€˜π‘‹)) β†’ ((π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ ↔ (𝑋𝐹(π‘Šβ€˜π‘‹)) ∈ 𝑋))
160156, 159anbi12d 630 . . 3 ((π‘Œ = 𝑋 ∧ 𝑅 = (π‘Šβ€˜π‘‹)) β†’ ((π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ) ↔ (π‘‹π‘Š(π‘Šβ€˜π‘‹) ∧ (𝑋𝐹(π‘Šβ€˜π‘‹)) ∈ 𝑋)))
161155, 160syl5ibrcom 246 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ = 𝑋 ∧ 𝑅 = (π‘Šβ€˜π‘‹)) β†’ (π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ)))
162153, 161impbid 211 1 (πœ‘ β†’ ((π‘Œπ‘Šπ‘… ∧ (π‘ŒπΉπ‘…) ∈ π‘Œ) ↔ (π‘Œ = 𝑋 ∧ 𝑅 = (π‘Šβ€˜π‘‹))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069  Vcvv 3473  [wsbc 3777   βˆ– cdif 3945   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  π’« cpw 4602  {csn 4628  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148  {copab 5210   Or wor 5587   Fr wfr 5628   We wwe 5630   Γ— cxp 5674  β—‘ccnv 5675  dom cdm 5676   β€œ cima 5679  Fun wfun 6537  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-oi 9511
This theorem is referenced by:  fpwwe  10647  canthwelem  10651  pwfseqlem4  10663
  Copyright terms: Public domain W3C validator