MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fin12 10356
Description: Weak theorem which skips Ia but has a trivial proof, needed to prove fin1a2 10358. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin12 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ FinII)

Proof of Theorem fin12
Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3452 . . . . . . . 8 𝑏 ∈ V
21a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑏)) → 𝑏 ∈ V)
3 isfin1-3 10329 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∈ Fin ↔ [] Fr 𝒫 𝐴))
43ibi 267 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Fin → [] Fr 𝒫 𝐴)
54ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑏)) → [] Fr 𝒫 𝐴)
6 elpwi 4572 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴𝑏 ⊆ 𝒫 𝐴)
76ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑏)) → 𝑏 ⊆ 𝒫 𝐴)
8 simprl 770 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑏)) → 𝑏 ≠ ∅)
9 fri 5598 . . . . . . 7 (((𝑏 ∈ V ∧ [] Fr 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ⊆ 𝒫 𝐴𝑏 ≠ ∅)) → ∃𝑐𝑏𝑑𝑏 ¬ 𝑑 [] 𝑐)
102, 5, 7, 8, 9syl22anc 838 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑏)) → ∃𝑐𝑏𝑑𝑏 ¬ 𝑑 [] 𝑐)
11 vex 3452 . . . . . . . . . . 11 𝑑 ∈ V
12 vex 3452 . . . . . . . . . . 11 𝑐 ∈ V
1311, 12brcnv 5843 . . . . . . . . . 10 (𝑑 [] 𝑐𝑐 [] 𝑑)
1411brrpss 7668 . . . . . . . . . 10 (𝑐 [] 𝑑𝑐𝑑)
1513, 14bitri 275 . . . . . . . . 9 (𝑑 [] 𝑐𝑐𝑑)
1615notbii 320 . . . . . . . 8 𝑑 [] 𝑐 ↔ ¬ 𝑐𝑑)
1716ralbii 3097 . . . . . . 7 (∀𝑑𝑏 ¬ 𝑑 [] 𝑐 ↔ ∀𝑑𝑏 ¬ 𝑐𝑑)
1817rexbii 3098 . . . . . 6 (∃𝑐𝑏𝑑𝑏 ¬ 𝑑 [] 𝑐 ↔ ∃𝑐𝑏𝑑𝑏 ¬ 𝑐𝑑)
1910, 18sylib 217 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑏)) → ∃𝑐𝑏𝑑𝑏 ¬ 𝑐𝑑)
20 sorpssuni 7674 . . . . . 6 ( [] Or 𝑏 → (∃𝑐𝑏𝑑𝑏 ¬ 𝑐𝑑 𝑏𝑏))
2120ad2antll 728 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑏)) → (∃𝑐𝑏𝑑𝑏 ¬ 𝑐𝑑 𝑏𝑏))
2219, 21mpbid 231 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑏)) → 𝑏𝑏)
2322ex 414 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) → ((𝑏 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑏) → 𝑏𝑏))
2423ralrimiva 3144 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ∀𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴((𝑏 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑏) → 𝑏𝑏))
25 isfin2 10237 . 2 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∈ FinII ↔ ∀𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴((𝑏 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑏) → 𝑏𝑏)))
2624, 25mpbird 257 1 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ FinII)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wcel 2107  wne 2944  wral 3065  wrex 3074  Vcvv 3448  wss 3915  wpss 3916  c0 4287  𝒫 cpw 4565   cuni 4870   class class class wbr 5110   Or wor 5549   Fr wfr 5590  ccnv 5637   [] crpss 7664  Fincfn 8890  FinIIcfin2 10222
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-rpss 7665  df-om 7808  df-1o 8417  df-en 8891  df-fin 8894  df-fin2 10229
This theorem is referenced by:  fin1a2s  10357  fin1a2  10358  finngch  10598
  Copyright terms: Public domain W3C validator