Theorem fin12 10392

Description: Weak theorem which skips Ia but has a trivial proof, needed to prove fin1a2 10394. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fin12	⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ FinII)

Proof of Theorem fin12

Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3459	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑏 ∈ V
2	1	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑏)) → 𝑏 ∈ V)
3		isfin1-3 10365	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∈ Fin ↔ ◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴))
4	3	ibi 270	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴)
5	4	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑏)) → ◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴)
6		elpwi 4569	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴 → 𝑏 ⊆ 𝒫 𝐴)
7	6	ad2antlr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑏)) → 𝑏 ⊆ 𝒫 𝐴)
8		simprl 782	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑏)) → 𝑏 ≠ ∅)
9		fri 5619	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ∈ V ∧ ◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑏 ≠ ∅)) → ∃𝑐 ∈ 𝑏 ∀𝑑 ∈ 𝑏 ¬ 𝑑◡ [⊊] 𝑐)
10	2, 5, 7, 8, 9	syl22anc 851	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑏)) → ∃𝑐 ∈ 𝑏 ∀𝑑 ∈ 𝑏 ¬ 𝑑◡ [⊊] 𝑐)
11		vex 3459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑑 ∈ V
12		vex 3459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑐 ∈ V
13	11, 12	brcnv 5868	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑◡ [⊊] 𝑐 ↔ 𝑐 [⊊] 𝑑)
14	11	brrpss 7723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 [⊊] 𝑑 ↔ 𝑐 ⊊ 𝑑)
15	13, 14	bitri 278	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑◡ [⊊] 𝑐 ↔ 𝑐 ⊊ 𝑑)
16	15	notbii 323	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑑◡ [⊊] 𝑐 ↔ ¬ 𝑐 ⊊ 𝑑)
17	16	ralbii 3111	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑑 ∈ 𝑏 ¬ 𝑑◡ [⊊] 𝑐 ↔ ∀𝑑 ∈ 𝑏 ¬ 𝑐 ⊊ 𝑑)
18	17	rexbii 3112	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝑏 ∀𝑑 ∈ 𝑏 ¬ 𝑑◡ [⊊] 𝑐 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑏 ∀𝑑 ∈ 𝑏 ¬ 𝑐 ⊊ 𝑑)
19	10, 18	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑏)) → ∃𝑐 ∈ 𝑏 ∀𝑑 ∈ 𝑏 ¬ 𝑐 ⊊ 𝑑)
20		sorpssuni 7729	. . . . . 6 ⊢ ( [⊊] Or 𝑏 → (∃𝑐 ∈ 𝑏 ∀𝑑 ∈ 𝑏 ¬ 𝑐 ⊊ 𝑑 ↔ ∪ 𝑏 ∈ 𝑏))
21	20	ad2antll 741	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑏)) → (∃𝑐 ∈ 𝑏 ∀𝑑 ∈ 𝑏 ¬ 𝑐 ⊊ 𝑑 ↔ ∪ 𝑏 ∈ 𝑏))
22	19, 21	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑏)) → ∪ 𝑏 ∈ 𝑏)
23	22	ex 417	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) → ((𝑏 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑏) → ∪ 𝑏 ∈ 𝑏))
24	23	ralrimiva 3157	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∀𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴((𝑏 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑏) → ∪ 𝑏 ∈ 𝑏))
25		isfin2 10273	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∈ FinII ↔ ∀𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴((𝑏 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑏) → ∪ 𝑏 ∈ 𝑏)))
26	24, 25	mpbird 260	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ FinII)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  Vcvv 3455   ⊆ wss 3905   ⊊ wpss 3906  ∅c0 4286  𝒫 cpw 4562  ∪ cuni 4872   class class class wbr 5109   Or wor 5568   Fr wfr 5611  ^◡ccnv 5660   [⊊] crpss 7719  Fincfn 8939  Fin^IIcfin2 10258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-rpss 7720  df-om 7859  df-1o 8449  df-en 8940  df-dom 8941  df-fin 8943  df-fin2 10265

This theorem is referenced by:  fin1a2s  10393  fin1a2  10394  finngch  10635