Theorem fin12 10373

Description: Weak theorem which skips Ia but has a trivial proof, needed to prove fin1a2 10375. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fin12	⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ FinII)

Proof of Theorem fin12

Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3454	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑏 ∈ V
2	1	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑏)) → 𝑏 ∈ V)
3		isfin1-3 10346	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∈ Fin ↔ ◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴))
4	3	ibi 267	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴)
5	4	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑏)) → ◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴)
6		elpwi 4573	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴 → 𝑏 ⊆ 𝒫 𝐴)
7	6	ad2antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑏)) → 𝑏 ⊆ 𝒫 𝐴)
8		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑏)) → 𝑏 ≠ ∅)
9		fri 5599	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ∈ V ∧ ◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑏 ≠ ∅)) → ∃𝑐 ∈ 𝑏 ∀𝑑 ∈ 𝑏 ¬ 𝑑◡ [⊊] 𝑐)
10	2, 5, 7, 8, 9	syl22anc 838	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑏)) → ∃𝑐 ∈ 𝑏 ∀𝑑 ∈ 𝑏 ¬ 𝑑◡ [⊊] 𝑐)
11		vex 3454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑑 ∈ V
12		vex 3454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑐 ∈ V
13	11, 12	brcnv 5849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑◡ [⊊] 𝑐 ↔ 𝑐 [⊊] 𝑑)
14	11	brrpss 7705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 [⊊] 𝑑 ↔ 𝑐 ⊊ 𝑑)
15	13, 14	bitri 275	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑◡ [⊊] 𝑐 ↔ 𝑐 ⊊ 𝑑)
16	15	notbii 320	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑑◡ [⊊] 𝑐 ↔ ¬ 𝑐 ⊊ 𝑑)
17	16	ralbii 3076	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑑 ∈ 𝑏 ¬ 𝑑◡ [⊊] 𝑐 ↔ ∀𝑑 ∈ 𝑏 ¬ 𝑐 ⊊ 𝑑)
18	17	rexbii 3077	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝑏 ∀𝑑 ∈ 𝑏 ¬ 𝑑◡ [⊊] 𝑐 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑏 ∀𝑑 ∈ 𝑏 ¬ 𝑐 ⊊ 𝑑)
19	10, 18	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑏)) → ∃𝑐 ∈ 𝑏 ∀𝑑 ∈ 𝑏 ¬ 𝑐 ⊊ 𝑑)
20		sorpssuni 7711	. . . . . 6 ⊢ ( [⊊] Or 𝑏 → (∃𝑐 ∈ 𝑏 ∀𝑑 ∈ 𝑏 ¬ 𝑐 ⊊ 𝑑 ↔ ∪ 𝑏 ∈ 𝑏))
21	20	ad2antll 729	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑏)) → (∃𝑐 ∈ 𝑏 ∀𝑑 ∈ 𝑏 ¬ 𝑐 ⊊ 𝑑 ↔ ∪ 𝑏 ∈ 𝑏))
22	19, 21	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑏)) → ∪ 𝑏 ∈ 𝑏)
23	22	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) → ((𝑏 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑏) → ∪ 𝑏 ∈ 𝑏))
24	23	ralrimiva 3126	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∀𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴((𝑏 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑏) → ∪ 𝑏 ∈ 𝑏))
25		isfin2 10254	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∈ FinII ↔ ∀𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴((𝑏 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑏) → ∪ 𝑏 ∈ 𝑏)))
26	24, 25	mpbird 257	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ FinII)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045  ∃wrex 3054  Vcvv 3450   ⊆ wss 3917   ⊊ wpss 3918  ∅c0 4299  𝒫 cpw 4566  ∪ cuni 4874   class class class wbr 5110   Or wor 5548   Fr wfr 5591  ^◡ccnv 5640   [⊊] crpss 7701  Fincfn 8921  Fin^IIcfin2 10239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-rpss 7702  df-om 7846  df-1o 8437  df-en 8922  df-dom 8923  df-fin 8925  df-fin2 10246

This theorem is referenced by:  fin1a2s  10374  fin1a2  10375  finngch  10615