MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fin12 9437
Description: Weak theorem which skips Ia but has a trivial proof, needed to prove fin1a2 9439. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin12 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ FinII)

Proof of Theorem fin12
Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3354 . . . . . . . 8 𝑏 ∈ V
21a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑏)) → 𝑏 ∈ V)
3 isfin1-3 9410 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∈ Fin ↔ [] Fr 𝒫 𝐴))
43ibi 256 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Fin → [] Fr 𝒫 𝐴)
54ad2antrr 705 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑏)) → [] Fr 𝒫 𝐴)
6 elpwi 4307 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴𝑏 ⊆ 𝒫 𝐴)
76ad2antlr 706 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑏)) → 𝑏 ⊆ 𝒫 𝐴)
8 simprl 754 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑏)) → 𝑏 ≠ ∅)
9 fri 5211 . . . . . . 7 (((𝑏 ∈ V ∧ [] Fr 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ⊆ 𝒫 𝐴𝑏 ≠ ∅)) → ∃𝑐𝑏𝑑𝑏 ¬ 𝑑 [] 𝑐)
102, 5, 7, 8, 9syl22anc 1477 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑏)) → ∃𝑐𝑏𝑑𝑏 ¬ 𝑑 [] 𝑐)
11 vex 3354 . . . . . . . . . . 11 𝑑 ∈ V
12 vex 3354 . . . . . . . . . . 11 𝑐 ∈ V
1311, 12brcnv 5443 . . . . . . . . . 10 (𝑑 [] 𝑐𝑐 [] 𝑑)
1411brrpss 7087 . . . . . . . . . 10 (𝑐 [] 𝑑𝑐𝑑)
1513, 14bitri 264 . . . . . . . . 9 (𝑑 [] 𝑐𝑐𝑑)
1615notbii 309 . . . . . . . 8 𝑑 [] 𝑐 ↔ ¬ 𝑐𝑑)
1716ralbii 3129 . . . . . . 7 (∀𝑑𝑏 ¬ 𝑑 [] 𝑐 ↔ ∀𝑑𝑏 ¬ 𝑐𝑑)
1817rexbii 3189 . . . . . 6 (∃𝑐𝑏𝑑𝑏 ¬ 𝑑 [] 𝑐 ↔ ∃𝑐𝑏𝑑𝑏 ¬ 𝑐𝑑)
1910, 18sylib 208 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑏)) → ∃𝑐𝑏𝑑𝑏 ¬ 𝑐𝑑)
20 sorpssuni 7093 . . . . . 6 ( [] Or 𝑏 → (∃𝑐𝑏𝑑𝑏 ¬ 𝑐𝑑 𝑏𝑏))
2120ad2antll 708 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑏)) → (∃𝑐𝑏𝑑𝑏 ¬ 𝑐𝑑 𝑏𝑏))
2219, 21mpbid 222 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑏)) → 𝑏𝑏)
2322ex 397 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) → ((𝑏 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑏) → 𝑏𝑏))
2423ralrimiva 3115 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ∀𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴((𝑏 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑏) → 𝑏𝑏))
25 isfin2 9318 . 2 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∈ FinII ↔ ∀𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴((𝑏 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑏) → 𝑏𝑏)))
2624, 25mpbird 247 1 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ FinII)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  wrex 3062  Vcvv 3351  wss 3723  wpss 3724  c0 4063  𝒫 cpw 4297   cuni 4574   class class class wbr 4786   Or wor 5169   Fr wfr 5205  ccnv 5248   [] crpss 7083  Fincfn 8109  FinIIcfin2 9303
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-rpss 7084  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fin2 9310
This theorem is referenced by:  fin1a2s  9438  fin1a2  9439  finngch  9679
  Copyright terms: Public domain W3C validator