MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fin12 9681
Description: Weak theorem which skips Ia but has a trivial proof, needed to prove fin1a2 9683. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin12 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ FinII)

Proof of Theorem fin12
Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3440 . . . . . . . 8 𝑏 ∈ V
21a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑏)) → 𝑏 ∈ V)
3 isfin1-3 9654 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∈ Fin ↔ [] Fr 𝒫 𝐴))
43ibi 268 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Fin → [] Fr 𝒫 𝐴)
54ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑏)) → [] Fr 𝒫 𝐴)
6 elpwi 4463 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴𝑏 ⊆ 𝒫 𝐴)
76ad2antlr 723 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑏)) → 𝑏 ⊆ 𝒫 𝐴)
8 simprl 767 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑏)) → 𝑏 ≠ ∅)
9 fri 5405 . . . . . . 7 (((𝑏 ∈ V ∧ [] Fr 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ⊆ 𝒫 𝐴𝑏 ≠ ∅)) → ∃𝑐𝑏𝑑𝑏 ¬ 𝑑 [] 𝑐)
102, 5, 7, 8, 9syl22anc 835 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑏)) → ∃𝑐𝑏𝑑𝑏 ¬ 𝑑 [] 𝑐)
11 vex 3440 . . . . . . . . . . 11 𝑑 ∈ V
12 vex 3440 . . . . . . . . . . 11 𝑐 ∈ V
1311, 12brcnv 5639 . . . . . . . . . 10 (𝑑 [] 𝑐𝑐 [] 𝑑)
1411brrpss 7310 . . . . . . . . . 10 (𝑐 [] 𝑑𝑐𝑑)
1513, 14bitri 276 . . . . . . . . 9 (𝑑 [] 𝑐𝑐𝑑)
1615notbii 321 . . . . . . . 8 𝑑 [] 𝑐 ↔ ¬ 𝑐𝑑)
1716ralbii 3132 . . . . . . 7 (∀𝑑𝑏 ¬ 𝑑 [] 𝑐 ↔ ∀𝑑𝑏 ¬ 𝑐𝑑)
1817rexbii 3211 . . . . . 6 (∃𝑐𝑏𝑑𝑏 ¬ 𝑑 [] 𝑐 ↔ ∃𝑐𝑏𝑑𝑏 ¬ 𝑐𝑑)
1910, 18sylib 219 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑏)) → ∃𝑐𝑏𝑑𝑏 ¬ 𝑐𝑑)
20 sorpssuni 7316 . . . . . 6 ( [] Or 𝑏 → (∃𝑐𝑏𝑑𝑏 ¬ 𝑐𝑑 𝑏𝑏))
2120ad2antll 725 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑏)) → (∃𝑐𝑏𝑑𝑏 ¬ 𝑐𝑑 𝑏𝑏))
2219, 21mpbid 233 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑏)) → 𝑏𝑏)
2322ex 413 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) → ((𝑏 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑏) → 𝑏𝑏))
2423ralrimiva 3149 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ∀𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴((𝑏 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑏) → 𝑏𝑏))
25 isfin2 9562 . 2 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∈ FinII ↔ ∀𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴((𝑏 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑏) → 𝑏𝑏)))
2624, 25mpbird 258 1 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ FinII)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wcel 2081  wne 2984  wral 3105  wrex 3106  Vcvv 3437  wss 3859  wpss 3860  c0 4211  𝒫 cpw 4453   cuni 4745   class class class wbr 4962   Or wor 5361   Fr wfr 5399  ccnv 5442   [] crpss 7306  Fincfn 8357  FinIIcfin2 9547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-rpss 7307  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-2o 7954  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-fin2 9554
This theorem is referenced by:  fin1a2s  9682  fin1a2  9683  finngch  9923
  Copyright terms: Public domain W3C validator