Theorem fin12 10427

Description: Weak theorem which skips Ia but has a trivial proof, needed to prove fin1a2 10429. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fin12	⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ FinII)

Proof of Theorem fin12

Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3463	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑏 ∈ V
2	1	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑏)) → 𝑏 ∈ V)
3		isfin1-3 10400	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∈ Fin ↔ ◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴))
4	3	ibi 267	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴)
5	4	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑏)) → ◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴)
6		elpwi 4582	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴 → 𝑏 ⊆ 𝒫 𝐴)
7	6	ad2antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑏)) → 𝑏 ⊆ 𝒫 𝐴)
8		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑏)) → 𝑏 ≠ ∅)
9		fri 5611	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ∈ V ∧ ◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑏 ≠ ∅)) → ∃𝑐 ∈ 𝑏 ∀𝑑 ∈ 𝑏 ¬ 𝑑◡ [⊊] 𝑐)
10	2, 5, 7, 8, 9	syl22anc 838	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑏)) → ∃𝑐 ∈ 𝑏 ∀𝑑 ∈ 𝑏 ¬ 𝑑◡ [⊊] 𝑐)
11		vex 3463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑑 ∈ V
12		vex 3463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑐 ∈ V
13	11, 12	brcnv 5862	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑◡ [⊊] 𝑐 ↔ 𝑐 [⊊] 𝑑)
14	11	brrpss 7720	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 [⊊] 𝑑 ↔ 𝑐 ⊊ 𝑑)
15	13, 14	bitri 275	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑◡ [⊊] 𝑐 ↔ 𝑐 ⊊ 𝑑)
16	15	notbii 320	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑑◡ [⊊] 𝑐 ↔ ¬ 𝑐 ⊊ 𝑑)
17	16	ralbii 3082	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑑 ∈ 𝑏 ¬ 𝑑◡ [⊊] 𝑐 ↔ ∀𝑑 ∈ 𝑏 ¬ 𝑐 ⊊ 𝑑)
18	17	rexbii 3083	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝑏 ∀𝑑 ∈ 𝑏 ¬ 𝑑◡ [⊊] 𝑐 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑏 ∀𝑑 ∈ 𝑏 ¬ 𝑐 ⊊ 𝑑)
19	10, 18	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑏)) → ∃𝑐 ∈ 𝑏 ∀𝑑 ∈ 𝑏 ¬ 𝑐 ⊊ 𝑑)
20		sorpssuni 7726	. . . . . 6 ⊢ ( [⊊] Or 𝑏 → (∃𝑐 ∈ 𝑏 ∀𝑑 ∈ 𝑏 ¬ 𝑐 ⊊ 𝑑 ↔ ∪ 𝑏 ∈ 𝑏))
21	20	ad2antll 729	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑏)) → (∃𝑐 ∈ 𝑏 ∀𝑑 ∈ 𝑏 ¬ 𝑐 ⊊ 𝑑 ↔ ∪ 𝑏 ∈ 𝑏))
22	19, 21	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑏)) → ∪ 𝑏 ∈ 𝑏)
23	22	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) → ((𝑏 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑏) → ∪ 𝑏 ∈ 𝑏))
24	23	ralrimiva 3132	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∀𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴((𝑏 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑏) → ∪ 𝑏 ∈ 𝑏))
25		isfin2 10308	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∈ FinII ↔ ∀𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴((𝑏 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑏) → ∪ 𝑏 ∈ 𝑏)))
26	24, 25	mpbird 257	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ FinII)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  Vcvv 3459   ⊆ wss 3926   ⊊ wpss 3927  ∅c0 4308  𝒫 cpw 4575  ∪ cuni 4883   class class class wbr 5119   Or wor 5560   Fr wfr 5603  ^◡ccnv 5653   [⊊] crpss 7716  Fincfn 8959  Fin^IIcfin2 10293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-rpss 7717  df-om 7862  df-1o 8480  df-en 8960  df-dom 8961  df-fin 8963  df-fin2 10300

This theorem is referenced by:  fin1a2s  10428  fin1a2  10429  finngch  10669