Theorem fin12 10450

Description: Weak theorem which skips Ia but has a trivial proof, needed to prove fin1a2 10452. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fin12	⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ FinII)

Proof of Theorem fin12

Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3481	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑏 ∈ V
2	1	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑏)) → 𝑏 ∈ V)
3		isfin1-3 10423	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∈ Fin ↔ ◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴))
4	3	ibi 267	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴)
5	4	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑏)) → ◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴)
6		elpwi 4611	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴 → 𝑏 ⊆ 𝒫 𝐴)
7	6	ad2antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑏)) → 𝑏 ⊆ 𝒫 𝐴)
8		simprl 771	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑏)) → 𝑏 ≠ ∅)
9		fri 5645	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ∈ V ∧ ◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑏 ≠ ∅)) → ∃𝑐 ∈ 𝑏 ∀𝑑 ∈ 𝑏 ¬ 𝑑◡ [⊊] 𝑐)
10	2, 5, 7, 8, 9	syl22anc 839	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑏)) → ∃𝑐 ∈ 𝑏 ∀𝑑 ∈ 𝑏 ¬ 𝑑◡ [⊊] 𝑐)
11		vex 3481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑑 ∈ V
12		vex 3481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑐 ∈ V
13	11, 12	brcnv 5895	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑◡ [⊊] 𝑐 ↔ 𝑐 [⊊] 𝑑)
14	11	brrpss 7744	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 [⊊] 𝑑 ↔ 𝑐 ⊊ 𝑑)
15	13, 14	bitri 275	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑◡ [⊊] 𝑐 ↔ 𝑐 ⊊ 𝑑)
16	15	notbii 320	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑑◡ [⊊] 𝑐 ↔ ¬ 𝑐 ⊊ 𝑑)
17	16	ralbii 3090	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑑 ∈ 𝑏 ¬ 𝑑◡ [⊊] 𝑐 ↔ ∀𝑑 ∈ 𝑏 ¬ 𝑐 ⊊ 𝑑)
18	17	rexbii 3091	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝑏 ∀𝑑 ∈ 𝑏 ¬ 𝑑◡ [⊊] 𝑐 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑏 ∀𝑑 ∈ 𝑏 ¬ 𝑐 ⊊ 𝑑)
19	10, 18	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑏)) → ∃𝑐 ∈ 𝑏 ∀𝑑 ∈ 𝑏 ¬ 𝑐 ⊊ 𝑑)
20		sorpssuni 7750	. . . . . 6 ⊢ ( [⊊] Or 𝑏 → (∃𝑐 ∈ 𝑏 ∀𝑑 ∈ 𝑏 ¬ 𝑐 ⊊ 𝑑 ↔ ∪ 𝑏 ∈ 𝑏))
21	20	ad2antll 729	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑏)) → (∃𝑐 ∈ 𝑏 ∀𝑑 ∈ 𝑏 ¬ 𝑐 ⊊ 𝑑 ↔ ∪ 𝑏 ∈ 𝑏))
22	19, 21	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑏)) → ∪ 𝑏 ∈ 𝑏)
23	22	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) → ((𝑏 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑏) → ∪ 𝑏 ∈ 𝑏))
24	23	ralrimiva 3143	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∀𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴((𝑏 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑏) → ∪ 𝑏 ∈ 𝑏))
25		isfin2 10331	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∈ FinII ↔ ∀𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴((𝑏 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑏) → ∪ 𝑏 ∈ 𝑏)))
26	24, 25	mpbird 257	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ FinII)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2937  ∀wral 3058  ∃wrex 3067  Vcvv 3477   ⊆ wss 3962   ⊊ wpss 3963  ∅c0 4338  𝒫 cpw 4604  ∪ cuni 4911   class class class wbr 5147   Or wor 5595   Fr wfr 5637  ^◡ccnv 5687   [⊊] crpss 7740  Fincfn 8983  Fin^IIcfin2 10316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-rpss 7741  df-om 7887  df-1o 8504  df-en 8984  df-dom 8985  df-fin 8987  df-fin2 10323

This theorem is referenced by:  fin1a2s  10451  fin1a2  10452  finngch  10692