MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fin12 10307
Description: Weak theorem which skips Ia but has a trivial proof, needed to prove fin1a2 10309. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin12 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ FinII)

Proof of Theorem fin12
Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3447 . . . . . . . 8 𝑏 ∈ V
21a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑏)) → 𝑏 ∈ V)
3 isfin1-3 10280 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∈ Fin ↔ [] Fr 𝒫 𝐴))
43ibi 266 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Fin → [] Fr 𝒫 𝐴)
54ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑏)) → [] Fr 𝒫 𝐴)
6 elpwi 4565 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴𝑏 ⊆ 𝒫 𝐴)
76ad2antlr 725 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑏)) → 𝑏 ⊆ 𝒫 𝐴)
8 simprl 769 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑏)) → 𝑏 ≠ ∅)
9 fri 5591 . . . . . . 7 (((𝑏 ∈ V ∧ [] Fr 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ⊆ 𝒫 𝐴𝑏 ≠ ∅)) → ∃𝑐𝑏𝑑𝑏 ¬ 𝑑 [] 𝑐)
102, 5, 7, 8, 9syl22anc 837 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑏)) → ∃𝑐𝑏𝑑𝑏 ¬ 𝑑 [] 𝑐)
11 vex 3447 . . . . . . . . . . 11 𝑑 ∈ V
12 vex 3447 . . . . . . . . . . 11 𝑐 ∈ V
1311, 12brcnv 5836 . . . . . . . . . 10 (𝑑 [] 𝑐𝑐 [] 𝑑)
1411brrpss 7655 . . . . . . . . . 10 (𝑐 [] 𝑑𝑐𝑑)
1513, 14bitri 274 . . . . . . . . 9 (𝑑 [] 𝑐𝑐𝑑)
1615notbii 319 . . . . . . . 8 𝑑 [] 𝑐 ↔ ¬ 𝑐𝑑)
1716ralbii 3094 . . . . . . 7 (∀𝑑𝑏 ¬ 𝑑 [] 𝑐 ↔ ∀𝑑𝑏 ¬ 𝑐𝑑)
1817rexbii 3095 . . . . . 6 (∃𝑐𝑏𝑑𝑏 ¬ 𝑑 [] 𝑐 ↔ ∃𝑐𝑏𝑑𝑏 ¬ 𝑐𝑑)
1910, 18sylib 217 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑏)) → ∃𝑐𝑏𝑑𝑏 ¬ 𝑐𝑑)
20 sorpssuni 7661 . . . . . 6 ( [] Or 𝑏 → (∃𝑐𝑏𝑑𝑏 ¬ 𝑐𝑑 𝑏𝑏))
2120ad2antll 727 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑏)) → (∃𝑐𝑏𝑑𝑏 ¬ 𝑐𝑑 𝑏𝑏))
2219, 21mpbid 231 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑏)) → 𝑏𝑏)
2322ex 413 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴) → ((𝑏 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑏) → 𝑏𝑏))
2423ralrimiva 3141 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ∀𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴((𝑏 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑏) → 𝑏𝑏))
25 isfin2 10188 . 2 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∈ FinII ↔ ∀𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴((𝑏 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑏) → 𝑏𝑏)))
2624, 25mpbird 256 1 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ FinII)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wcel 2106  wne 2941  wral 3062  wrex 3071  Vcvv 3443  wss 3908  wpss 3909  c0 4280  𝒫 cpw 4558   cuni 4863   class class class wbr 5103   Or wor 5542   Fr wfr 5583  ccnv 5630   [] crpss 7651  Fincfn 8841  FinIIcfin2 10173
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-rpss 7652  df-om 7795  df-1o 8404  df-en 8842  df-fin 8845  df-fin2 10180
This theorem is referenced by:  fin1a2s  10308  fin1a2  10309  finngch  10549
  Copyright terms: Public domain W3C validator