Theorem wereu 5643

Description: A nonempty subset of an 𝑅-well-ordered class has a unique 𝑅 -minimal element. (Contributed by NM, 18-Mar-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
wereu	⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃!𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦

Proof of Theorem wereu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wefr 5637	. . 3 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → 𝑅 Fr 𝐴)
2		fri 5605	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Fr 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
3	2	exp32 424	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Fr 𝐴) → (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)))
4	3	expcom 417	. . . 4 ⊢ (𝑅 Fr 𝐴 → (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))))
5	4	3imp2 1363	. . 3 ⊢ ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
6	1, 5	sylan 589	. 2 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
7		weso 5638	. . . . 5 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → 𝑅 Or 𝐴)
8		soss 5575	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝑅 Or 𝐴 → 𝑅 Or 𝐵))
9	7, 8	mpan9 514	. . . 4 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝑅 Or 𝐵)
10		somo 5594	. . . 4 ⊢ (𝑅 Or 𝐵 → ∃*𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ∃*𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
12	11	3ad2antr2 1203	. 2 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃*𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
13		reu5 3369	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∃*𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
14	6, 12, 13	sylanbrc 592	1 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃!𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  ∃!wreu 3365  ∃*wrmo 3366   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285   class class class wbr 5100   Or wor 5554   Fr wfr 5597   We wwe 5599

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-ext 2734

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-br 5101  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602

This theorem is referenced by:  htalem  9854  zorn2lem1  10453  dyadmax  25660  wevgblacfn  35454  finorwe  37876  wessf1ornlem  45763