Theorem wereu 5610

Description: A nonempty subset of an 𝑅-well-ordered class has a unique 𝑅 -minimal element. (Contributed by NM, 18-Mar-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
wereu	⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃!𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦

Proof of Theorem wereu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wefr 5604	. . 3 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → 𝑅 Fr 𝐴)
2		fri 5572	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Fr 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
3	2	exp32 420	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Fr 𝐴) → (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)))
4	3	expcom 413	. . . 4 ⊢ (𝑅 Fr 𝐴 → (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))))
5	4	3imp2 1350	. . 3 ⊢ ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
6	1, 5	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
7		weso 5605	. . . . 5 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → 𝑅 Or 𝐴)
8		soss 5542	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝑅 Or 𝐴 → 𝑅 Or 𝐵))
9	7, 8	mpan9 506	. . . 4 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝑅 Or 𝐵)
10		somo 5561	. . . 4 ⊢ (𝑅 Or 𝐵 → ∃*𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ∃*𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
12	11	3ad2antr2 1190	. 2 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃*𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
13		reu5 3348	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∃*𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
14	6, 12, 13	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃!𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  ∃wrex 3056  ∃!wreu 3344  ∃*wrmo 3345   ⊆ wss 3897  ∅c0 4280   class class class wbr 5089   Or wor 5521   Fr wfr 5564   We wwe 5566

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-br 5090  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569

This theorem is referenced by:  htalem  9789  zorn2lem1  10387  dyadmax  25526  wevgblacfn  35153  finorwe  37426  wessf1ornlem  45292