Theorem wereu 5658

Description: A nonempty subset of an 𝑅-well-ordered class has a unique 𝑅 -minimal element. (Contributed by NM, 18-Mar-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
wereu	⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃!𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦

Proof of Theorem wereu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wefr 5652	. . 3 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → 𝑅 Fr 𝐴)
2		fri 5620	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Fr 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
3	2	exp32 425	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Fr 𝐴) → (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)))
4	3	expcom 418	. . . 4 ⊢ (𝑅 Fr 𝐴 → (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))))
5	4	3imp2 1366	. . 3 ⊢ ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
6	1, 5	sylan 591	. 2 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
7		weso 5653	. . . . 5 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → 𝑅 Or 𝐴)
8		soss 5590	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝑅 Or 𝐴 → 𝑅 Or 𝐵))
9	7, 8	mpan9 515	. . . 4 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝑅 Or 𝐵)
10		somo 5609	. . . 4 ⊢ (𝑅 Or 𝐵 → ∃*𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
11	9, 10	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ∃*𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
12	11	3ad2antr2 1206	. 2 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃*𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
13		reu5 3378	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∃*𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
14	6, 12, 13	sylanbrc 594	1 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃!𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∀wral 3085  ∃wrex 3095  ∃!wreu 3374  ∃*wrmo 3375   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294   class class class wbr 5113   Or wor 5569   Fr wfr 5612   We wwe 5614

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-ext 2741

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-br 5114  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617

This theorem is referenced by:  htalem  9881  zorn2lem1  10479  dyadmax  25725  wevgblacfn  35493  finorwe  37915  wessf1ornlem  45794