MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fimax2g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fimax2g 9240
Description: A finite set has a maximum under a total order. (Contributed by Jeff Madsen, 18-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
fimax2g ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem fimax2g
StepHypRef Expression
1 sopo 5569 . . . . 5 (𝑅 Or 𝐴𝑅 Po 𝐴)
2 cnvpo 6244 . . . . 5 (𝑅 Po 𝐴𝑅 Po 𝐴)
31, 2sylib 217 . . . 4 (𝑅 Or 𝐴𝑅 Po 𝐴)
4 frfi 9239 . . . 4 ((𝑅 Po 𝐴𝐴 ∈ Fin) → 𝑅 Fr 𝐴)
53, 4sylan 581 . . 3 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin) → 𝑅 Fr 𝐴)
653adant3 1133 . 2 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝑅 Fr 𝐴)
7 ssid 3971 . . . . . . 7 𝐴𝐴
8 fri 5598 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑅 Fr 𝐴) ∧ (𝐴𝐴𝐴 ≠ ∅)) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
97, 8mpanr1 702 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑅 Fr 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
109an32s 651 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑅 Fr 𝐴) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
11 vex 3452 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ V
12 vex 3452 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
1311, 12brcnv 5843 . . . . . . . 8 (𝑦𝑅𝑥𝑥𝑅𝑦)
1413notbii 320 . . . . . . 7 𝑦𝑅𝑥 ↔ ¬ 𝑥𝑅𝑦)
1514ralbii 3097 . . . . . 6 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦)
1615rexbii 3098 . . . . 5 (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦)
1710, 16sylib 217 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑅 Fr 𝐴) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦)
1817ex 414 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑅 Fr 𝐴 → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦))
19183adant1 1131 . 2 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑅 Fr 𝐴 → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦))
206, 19mpd 15 1 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397  w3a 1088  wcel 2107  wne 2944  wral 3065  wrex 3074  wss 3915  c0 4287   class class class wbr 5110   Po wpo 5548   Or wor 5549   Fr wfr 5590  ccnv 5637  Fincfn 8890
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-om 7808  df-en 8891  df-fin 8894
This theorem is referenced by:  fimaxg  9241  ordunifi  9244  npomex  10939
  Copyright terms: Public domain W3C validator