MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fimax2g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fimax2g 9291
Description: A finite set has a maximum under a total order. (Contributed by Jeff Madsen, 18-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
fimax2g ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem fimax2g
StepHypRef Expression
1 sopo 5606 . . . . 5 (𝑅 Or 𝐴𝑅 Po 𝐴)
2 cnvpo 6285 . . . . 5 (𝑅 Po 𝐴𝑅 Po 𝐴)
31, 2sylib 217 . . . 4 (𝑅 Or 𝐴𝑅 Po 𝐴)
4 frfi 9290 . . . 4 ((𝑅 Po 𝐴𝐴 ∈ Fin) → 𝑅 Fr 𝐴)
53, 4sylan 578 . . 3 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin) → 𝑅 Fr 𝐴)
653adant3 1130 . 2 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝑅 Fr 𝐴)
7 ssid 4003 . . . . . . 7 𝐴𝐴
8 fri 5635 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑅 Fr 𝐴) ∧ (𝐴𝐴𝐴 ≠ ∅)) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
97, 8mpanr1 699 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑅 Fr 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
109an32s 648 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑅 Fr 𝐴) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
11 vex 3476 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ V
12 vex 3476 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
1311, 12brcnv 5881 . . . . . . . 8 (𝑦𝑅𝑥𝑥𝑅𝑦)
1413notbii 319 . . . . . . 7 𝑦𝑅𝑥 ↔ ¬ 𝑥𝑅𝑦)
1514ralbii 3091 . . . . . 6 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦)
1615rexbii 3092 . . . . 5 (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦)
1710, 16sylib 217 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑅 Fr 𝐴) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦)
1817ex 411 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑅 Fr 𝐴 → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦))
19183adant1 1128 . 2 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑅 Fr 𝐴 → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦))
206, 19mpd 15 1 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394  w3a 1085  wcel 2104  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  wss 3947  c0 4321   class class class wbr 5147   Po wpo 5585   Or wor 5586   Fr wfr 5627  ccnv 5674  Fincfn 8941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-om 7858  df-en 8942  df-fin 8945
This theorem is referenced by:  fimaxg  9292  ordunifi  9295  npomex  10993
  Copyright terms: Public domain W3C validator