MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fimax2g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fimax2g 9291
Description: A finite set has a maximum under a total order. (Contributed by Jeff Madsen, 18-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
fimax2g ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem fimax2g
StepHypRef Expression
1 sopo 5607 . . . . 5 (𝑅 Or 𝐴𝑅 Po 𝐴)
2 cnvpo 6286 . . . . 5 (𝑅 Po 𝐴𝑅 Po 𝐴)
31, 2sylib 217 . . . 4 (𝑅 Or 𝐴𝑅 Po 𝐴)
4 frfi 9290 . . . 4 ((𝑅 Po 𝐴𝐴 ∈ Fin) → 𝑅 Fr 𝐴)
53, 4sylan 580 . . 3 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin) → 𝑅 Fr 𝐴)
653adant3 1132 . 2 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝑅 Fr 𝐴)
7 ssid 4004 . . . . . . 7 𝐴𝐴
8 fri 5636 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑅 Fr 𝐴) ∧ (𝐴𝐴𝐴 ≠ ∅)) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
97, 8mpanr1 701 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑅 Fr 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
109an32s 650 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑅 Fr 𝐴) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
11 vex 3478 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ V
12 vex 3478 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
1311, 12brcnv 5882 . . . . . . . 8 (𝑦𝑅𝑥𝑥𝑅𝑦)
1413notbii 319 . . . . . . 7 𝑦𝑅𝑥 ↔ ¬ 𝑥𝑅𝑦)
1514ralbii 3093 . . . . . 6 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦)
1615rexbii 3094 . . . . 5 (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦)
1710, 16sylib 217 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑅 Fr 𝐴) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦)
1817ex 413 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑅 Fr 𝐴 → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦))
19183adant1 1130 . 2 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑅 Fr 𝐴 → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦))
206, 19mpd 15 1 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1087  wcel 2106  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  wss 3948  c0 4322   class class class wbr 5148   Po wpo 5586   Or wor 5587   Fr wfr 5628  ccnv 5675  Fincfn 8941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-om 7858  df-en 8942  df-fin 8945
This theorem is referenced by:  fimaxg  9292  ordunifi  9295  npomex  10993
  Copyright terms: Public domain W3C validator