MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fimax2g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fimax2g 9322
Description: A finite set has a maximum under a total order. (Contributed by Jeff Madsen, 18-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
fimax2g ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem fimax2g
StepHypRef Expression
1 sopo 5611 . . . . 5 (𝑅 Or 𝐴𝑅 Po 𝐴)
2 cnvpo 6307 . . . . 5 (𝑅 Po 𝐴𝑅 Po 𝐴)
31, 2sylib 218 . . . 4 (𝑅 Or 𝐴𝑅 Po 𝐴)
4 frfi 9321 . . . 4 ((𝑅 Po 𝐴𝐴 ∈ Fin) → 𝑅 Fr 𝐴)
53, 4sylan 580 . . 3 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin) → 𝑅 Fr 𝐴)
653adant3 1133 . 2 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝑅 Fr 𝐴)
7 ssid 4006 . . . . . . 7 𝐴𝐴
8 fri 5642 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑅 Fr 𝐴) ∧ (𝐴𝐴𝐴 ≠ ∅)) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
97, 8mpanr1 703 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑅 Fr 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
109an32s 652 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑅 Fr 𝐴) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
11 vex 3484 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ V
12 vex 3484 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
1311, 12brcnv 5893 . . . . . . . 8 (𝑦𝑅𝑥𝑥𝑅𝑦)
1413notbii 320 . . . . . . 7 𝑦𝑅𝑥 ↔ ¬ 𝑥𝑅𝑦)
1514ralbii 3093 . . . . . 6 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦)
1615rexbii 3094 . . . . 5 (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦)
1710, 16sylib 218 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑅 Fr 𝐴) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦)
1817ex 412 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑅 Fr 𝐴 → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦))
19183adant1 1131 . 2 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑅 Fr 𝐴 → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦))
206, 19mpd 15 1 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1087  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  wss 3951  c0 4333   class class class wbr 5143   Po wpo 5590   Or wor 5591   Fr wfr 5634  ccnv 5684  Fincfn 8985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-om 7888  df-en 8986  df-fin 8989
This theorem is referenced by:  fimaxg  9323  ordunifi  9326  npomex  11036
  Copyright terms: Public domain W3C validator