Theorem fimax2g 9190

Description: A finite set has a maximum under a total order. (Contributed by Jeff Madsen, 18-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fimax2g	⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem fimax2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sopo 5552	. . . . 5 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 → 𝑅 Po 𝐴)
2		cnvpo 6246	. . . . 5 ⊢ (𝑅 Po 𝐴 ↔ ◡𝑅 Po 𝐴)
3	1, 2	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 → ◡𝑅 Po 𝐴)
4		frfi 9189	. . . 4 ⊢ ((◡𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ◡𝑅 Fr 𝐴)
5	3, 4	sylan 581	. . 3 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ◡𝑅 Fr 𝐴)
6	5	3adant3 1133	. 2 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ◡𝑅 Fr 𝐴)
7		ssid 3945	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐴
8		fri 5583	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ ◡𝑅 Fr 𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦◡𝑅𝑥)
9	7, 8	mpanr1 704	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ ◡𝑅 Fr 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦◡𝑅𝑥)
10	9	an32s 653	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ◡𝑅 Fr 𝐴) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦◡𝑅𝑥)
11		vex 3434	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ∈ V
12		vex 3434	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
13	11, 12	brcnv 5832	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦◡𝑅𝑥 ↔ 𝑥𝑅𝑦)
14	13	notbii 320	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑦◡𝑅𝑥 ↔ ¬ 𝑥𝑅𝑦)
15	14	ralbii 3084	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦◡𝑅𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦)
16	15	rexbii 3085	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦◡𝑅𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦)
17	10, 16	sylib 218	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ◡𝑅 Fr 𝐴) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦)
18	17	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (◡𝑅 Fr 𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦))
19	18	3adant1 1131	. 2 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (◡𝑅 Fr 𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦))
20	6, 19	mpd 15	1 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274   class class class wbr 5086   Po wpo 5531   Or wor 5532   Fr wfr 5575  ^◡ccnv 5624  Fincfn 8887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5371  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-om 7812  df-en 8888  df-fin 8891

This theorem is referenced by:  fimaxg  9191  ordunifi  9194  npomex  10913  n0fincut  28364  bdayfinbndlem1  28476