Theorem fimax2g 9350

Description: A finite set has a maximum under a total order. (Contributed by Jeff Madsen, 18-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fimax2g	⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem fimax2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sopo 5627	. . . . 5 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 → 𝑅 Po 𝐴)
2		cnvpo 6318	. . . . 5 ⊢ (𝑅 Po 𝐴 ↔ ◡𝑅 Po 𝐴)
3	1, 2	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 → ◡𝑅 Po 𝐴)
4		frfi 9349	. . . 4 ⊢ ((◡𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ◡𝑅 Fr 𝐴)
5	3, 4	sylan 579	. . 3 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ◡𝑅 Fr 𝐴)
6	5	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ◡𝑅 Fr 𝐴)
7		ssid 4031	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐴
8		fri 5657	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ ◡𝑅 Fr 𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦◡𝑅𝑥)
9	7, 8	mpanr1 702	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ ◡𝑅 Fr 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦◡𝑅𝑥)
10	9	an32s 651	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ◡𝑅 Fr 𝐴) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦◡𝑅𝑥)
11		vex 3492	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ∈ V
12		vex 3492	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
13	11, 12	brcnv 5907	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦◡𝑅𝑥 ↔ 𝑥𝑅𝑦)
14	13	notbii 320	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑦◡𝑅𝑥 ↔ ¬ 𝑥𝑅𝑦)
15	14	ralbii 3099	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦◡𝑅𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦)
16	15	rexbii 3100	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦◡𝑅𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦)
17	10, 16	sylib 218	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ◡𝑅 Fr 𝐴) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦)
18	17	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (◡𝑅 Fr 𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦))
19	18	3adant1 1130	. 2 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (◡𝑅 Fr 𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦))
20	6, 19	mpd 15	1 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  ∃wrex 3076   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352   class class class wbr 5166   Po wpo 5605   Or wor 5606   Fr wfr 5649  ^◡ccnv 5699  Fincfn 9003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-om 7904  df-en 9004  df-fin 9007

This theorem is referenced by:  fimaxg  9351  ordunifi  9354  npomex  11065