Theorem fimax2g 9209

Description: A finite set has a maximum under a total order. (Contributed by Jeff Madsen, 18-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fimax2g	⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem fimax2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sopo 5558	. . . . 5 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 → 𝑅 Po 𝐴)
2		cnvpo 6248	. . . . 5 ⊢ (𝑅 Po 𝐴 ↔ ◡𝑅 Po 𝐴)
3	1, 2	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 → ◡𝑅 Po 𝐴)
4		frfi 9208	. . . 4 ⊢ ((◡𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ◡𝑅 Fr 𝐴)
5	3, 4	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ◡𝑅 Fr 𝐴)
6	5	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ◡𝑅 Fr 𝐴)
7		ssid 3966	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐴
8		fri 5589	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ ◡𝑅 Fr 𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦◡𝑅𝑥)
9	7, 8	mpanr1 703	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ ◡𝑅 Fr 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦◡𝑅𝑥)
10	9	an32s 652	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ◡𝑅 Fr 𝐴) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦◡𝑅𝑥)
11		vex 3448	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ∈ V
12		vex 3448	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
13	11, 12	brcnv 5836	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦◡𝑅𝑥 ↔ 𝑥𝑅𝑦)
14	13	notbii 320	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑦◡𝑅𝑥 ↔ ¬ 𝑥𝑅𝑦)
15	14	ralbii 3075	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦◡𝑅𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦)
16	15	rexbii 3076	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦◡𝑅𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦)
17	10, 16	sylib 218	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ◡𝑅 Fr 𝐴) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦)
18	17	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (◡𝑅 Fr 𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦))
19	18	3adant1 1130	. 2 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (◡𝑅 Fr 𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦))
20	6, 19	mpd 15	1 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292   class class class wbr 5102   Po wpo 5537   Or wor 5538   Fr wfr 5581  ^◡ccnv 5630  Fincfn 8895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-om 7823  df-en 8896  df-fin 8899

This theorem is referenced by:  fimaxg  9210  ordunifi  9213  npomex  10925  n0sfincut  28222