Theorem isfin1-3 10408

Description: A set is I-finite iff every system of subsets contains a maximal subset. Definition I of [Levy58] p. 2. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Nov-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isfin1-3	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ Fin ↔ ◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴))

Proof of Theorem isfin1-3

Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		porpss 7729	. . . 4 ⊢ [⊊] Po 𝒫 𝐴
2		cnvpo 6287	. . . 4 ⊢ ( [⊊] Po 𝒫 𝐴 ↔ ◡ [⊊] Po 𝒫 𝐴)
3	1, 2	mpbi 230	. . 3 ⊢ ◡ [⊊] Po 𝒫 𝐴
4		pwfi 9339	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
5	4	biimpi 216	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
6		frfi 9303	. . 3 ⊢ ((◡ [⊊] Po 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ∈ Fin) → ◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴)
7	3, 5, 6	sylancr 587	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴)
8		inss2 4218	. . . . . 6 ⊢ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴
9		pwexg 5358	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
10		ssexg 5303	. . . . . 6 ⊢ (((Fin ∩ 𝒫 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ∈ V) → (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∈ V)
11	8, 9, 10	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∈ V)
12		0fi 9064	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ Fin
13		0elpw 5336	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 𝐴
14	12, 13	elini 4179	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)
15	14	ne0ii 4324	. . . . . 6 ⊢ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ≠ ∅
16		fri 5622	. . . . . 6 ⊢ ((((Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∈ V ∧ ◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴) ∧ ((Fin ∩ 𝒫 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ≠ ∅)) → ∃𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)∀𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ¬ 𝑐◡ [⊊] 𝑏)
17	8, 15, 16	mpanr12 705	. . . . 5 ⊢ (((Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∈ V ∧ ◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴) → ∃𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)∀𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ¬ 𝑐◡ [⊊] 𝑏)
18	11, 17	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴) → ∃𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)∀𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ¬ 𝑐◡ [⊊] 𝑏)
19	18	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴 → ∃𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)∀𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ¬ 𝑐◡ [⊊] 𝑏))
20		elinel1 4181	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) → 𝑏 ∈ Fin)
21		ralnex 3061	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ¬ 𝑐◡ [⊊] 𝑏 ↔ ¬ ∃𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)𝑐◡ [⊊] 𝑏)
22	20	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝑏)) → 𝑏 ∈ Fin)
23		snfi 9065	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑑} ∈ Fin
24		unfi 9193	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ Fin ∧ {𝑑} ∈ Fin) → (𝑏 ∪ {𝑑}) ∈ Fin)
25	22, 23, 24	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝑏)) → (𝑏 ∪ {𝑑}) ∈ Fin)
26		elinel2 4182	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) → 𝑏 ∈ 𝒫 𝐴)
27	26	elpwid 4589	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) → 𝑏 ⊆ 𝐴)
28	27	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝑏)) → 𝑏 ⊆ 𝐴)
29		snssi 4788	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑑 ∈ 𝐴 → {𝑑} ⊆ 𝐴)
30	29	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝑏)) → {𝑑} ⊆ 𝐴)
31	28, 30	unssd 4172	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝑏)) → (𝑏 ∪ {𝑑}) ⊆ 𝐴)
32		vex 3467	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑏 ∈ V
33		vsnex 5414	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {𝑑} ∈ V
34	32, 33	unex 7746	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∪ {𝑑}) ∈ V
35	34	elpw 4584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∪ {𝑑}) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (𝑏 ∪ {𝑑}) ⊆ 𝐴)
36	31, 35	sylibr 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝑏)) → (𝑏 ∪ {𝑑}) ∈ 𝒫 𝐴)
37	25, 36	elind 4180	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝑏)) → (𝑏 ∪ {𝑑}) ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴))
38		disjsn 4691	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∩ {𝑑}) = ∅ ↔ ¬ 𝑑 ∈ 𝑏)
39	38	biimpri 228	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝑑 ∈ 𝑏 → (𝑏 ∩ {𝑑}) = ∅)
40		vex 3467	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑑 ∈ V
41	40	snnz 4756	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑑} ≠ ∅
42		disjpss 4441	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑏 ∩ {𝑑}) = ∅ ∧ {𝑑} ≠ ∅) → 𝑏 ⊊ (𝑏 ∪ {𝑑}))
43	39, 41, 42	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑑 ∈ 𝑏 → 𝑏 ⊊ (𝑏 ∪ {𝑑}))
44	43	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝑏)) → 𝑏 ⊊ (𝑏 ∪ {𝑑}))
45	34, 32	brcnv 5873	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∪ {𝑑})◡ [⊊] 𝑏 ↔ 𝑏 [⊊] (𝑏 ∪ {𝑑}))
46	34	brrpss 7728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 [⊊] (𝑏 ∪ {𝑑}) ↔ 𝑏 ⊊ (𝑏 ∪ {𝑑}))
47	45, 46	bitri 275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∪ {𝑑})◡ [⊊] 𝑏 ↔ 𝑏 ⊊ (𝑏 ∪ {𝑑}))
48	44, 47	sylibr 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝑏)) → (𝑏 ∪ {𝑑})◡ [⊊] 𝑏)
49		breq1 5126	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = (𝑏 ∪ {𝑑}) → (𝑐◡ [⊊] 𝑏 ↔ (𝑏 ∪ {𝑑})◡ [⊊] 𝑏))
50	49	rspcev 3605	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑏 ∪ {𝑑}) ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ∪ {𝑑})◡ [⊊] 𝑏) → ∃𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)𝑐◡ [⊊] 𝑏)
51	37, 48, 50	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝑏)) → ∃𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)𝑐◡ [⊊] 𝑏)
52	51	expr 456	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑑 ∈ 𝑏 → ∃𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)𝑐◡ [⊊] 𝑏))
53	52	con1d 145	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) → (¬ ∃𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)𝑐◡ [⊊] 𝑏 → 𝑑 ∈ 𝑏))
54	21, 53	biimtrid 242	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) → (∀𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ¬ 𝑐◡ [⊊] 𝑏 → 𝑑 ∈ 𝑏))
55	54	impancom 451	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ ∀𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ¬ 𝑐◡ [⊊] 𝑏) → (𝑑 ∈ 𝐴 → 𝑑 ∈ 𝑏))
56	55	ssrdv 3969	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ ∀𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ¬ 𝑐◡ [⊊] 𝑏) → 𝐴 ⊆ 𝑏)
57		ssfi 9195	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑏) → 𝐴 ∈ Fin)
58	20, 56, 57	syl2an2r 685	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ ∀𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ¬ 𝑐◡ [⊊] 𝑏) → 𝐴 ∈ Fin)
59	58	rexlimiva 3134	. . 3 ⊢ (∃𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)∀𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ¬ 𝑐◡ [⊊] 𝑏 → 𝐴 ∈ Fin)
60	19, 59	syl6 35	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴 → 𝐴 ∈ Fin))
61	7, 60	impbid2 226	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ Fin ↔ ◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  ∀wral 3050  ∃wrex 3059  Vcvv 3463   ∪ cun 3929   ∩ cin 3930   ⊆ wss 3931   ⊊ wpss 3932  ∅c0 4313  𝒫 cpw 4580  {csn 4606   class class class wbr 5123   Po wpo 5570   Fr wfr 5614  ^◡ccnv 5664   [⊊] crpss 7724  Fincfn 8967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-rpss 7725  df-om 7870  df-1o 8488  df-en 8968  df-dom 8969  df-fin 8971

This theorem is referenced by:  isfin1-4  10409  fin12  10435