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Theorem isfin1-3 9807
Description: A set is I-finite iff every system of subsets contains a maximal subset. Definition I of [Levy58] p. 2. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Nov-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfin1-3 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ Fin ↔ [] Fr 𝒫 𝐴))

Proof of Theorem isfin1-3
Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 porpss 7452 . . . 4 [] Po 𝒫 𝐴
2 cnvpo 6137 . . . 4 ( [] Po 𝒫 𝐴 [] Po 𝒫 𝐴)
31, 2mpbi 232 . . 3 [] Po 𝒫 𝐴
4 pwfi 8818 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
54biimpi 218 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
6 frfi 8762 . . 3 (( [] Po 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ∈ Fin) → [] Fr 𝒫 𝐴)
73, 5, 6sylancr 589 . 2 (𝐴 ∈ Fin → [] Fr 𝒫 𝐴)
8 inss2 4205 . . . . . 6 (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴
9 pwexg 5278 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
10 ssexg 5226 . . . . . 6 (((Fin ∩ 𝒫 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ∈ V) → (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∈ V)
118, 9, 10sylancr 589 . . . . 5 (𝐴𝑉 → (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∈ V)
12 0fin 8745 . . . . . . . 8 ∅ ∈ Fin
13 0elpw 5255 . . . . . . . 8 ∅ ∈ 𝒫 𝐴
1412, 13elini 4169 . . . . . . 7 ∅ ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)
1514ne0ii 4302 . . . . . 6 (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ≠ ∅
16 fri 5516 . . . . . 6 ((((Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∈ V ∧ [] Fr 𝒫 𝐴) ∧ ((Fin ∩ 𝒫 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ≠ ∅)) → ∃𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)∀𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ¬ 𝑐 [] 𝑏)
178, 15, 16mpanr12 703 . . . . 5 (((Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∈ V ∧ [] Fr 𝒫 𝐴) → ∃𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)∀𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ¬ 𝑐 [] 𝑏)
1811, 17sylan 582 . . . 4 ((𝐴𝑉 [] Fr 𝒫 𝐴) → ∃𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)∀𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ¬ 𝑐 [] 𝑏)
1918ex 415 . . 3 (𝐴𝑉 → ( [] Fr 𝒫 𝐴 → ∃𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)∀𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ¬ 𝑐 [] 𝑏))
20 elinel1 4171 . . . . 5 (𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) → 𝑏 ∈ Fin)
21 ralnex 3236 . . . . . . . 8 (∀𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ¬ 𝑐 [] 𝑏 ↔ ¬ ∃𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)𝑐 [] 𝑏)
2220adantr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑑𝐴 ∧ ¬ 𝑑𝑏)) → 𝑏 ∈ Fin)
23 snfi 8593 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑑} ∈ Fin
24 unfi 8784 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∈ Fin ∧ {𝑑} ∈ Fin) → (𝑏 ∪ {𝑑}) ∈ Fin)
2522, 23, 24sylancl 588 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑑𝐴 ∧ ¬ 𝑑𝑏)) → (𝑏 ∪ {𝑑}) ∈ Fin)
26 elinel2 4172 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) → 𝑏 ∈ 𝒫 𝐴)
2726elpwid 4549 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) → 𝑏𝐴)
2827adantr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑑𝐴 ∧ ¬ 𝑑𝑏)) → 𝑏𝐴)
29 snssi 4740 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑𝐴 → {𝑑} ⊆ 𝐴)
3029ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑑𝐴 ∧ ¬ 𝑑𝑏)) → {𝑑} ⊆ 𝐴)
3128, 30unssd 4161 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑑𝐴 ∧ ¬ 𝑑𝑏)) → (𝑏 ∪ {𝑑}) ⊆ 𝐴)
32 vex 3497 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑏 ∈ V
33 snex 5331 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑑} ∈ V
3432, 33unex 7468 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∪ {𝑑}) ∈ V
3534elpw 4542 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∪ {𝑑}) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (𝑏 ∪ {𝑑}) ⊆ 𝐴)
3631, 35sylibr 236 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑑𝐴 ∧ ¬ 𝑑𝑏)) → (𝑏 ∪ {𝑑}) ∈ 𝒫 𝐴)
3725, 36elind 4170 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑑𝐴 ∧ ¬ 𝑑𝑏)) → (𝑏 ∪ {𝑑}) ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴))
38 disjsn 4646 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 ∩ {𝑑}) = ∅ ↔ ¬ 𝑑𝑏)
3938biimpri 230 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑑𝑏 → (𝑏 ∩ {𝑑}) = ∅)
40 vex 3497 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑑 ∈ V
4140snnz 4710 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑑} ≠ ∅
42 disjpss 4409 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏 ∩ {𝑑}) = ∅ ∧ {𝑑} ≠ ∅) → 𝑏 ⊊ (𝑏 ∪ {𝑑}))
4339, 41, 42sylancl 588 . . . . . . . . . . . . 13 𝑑𝑏𝑏 ⊊ (𝑏 ∪ {𝑑}))
4443ad2antll 727 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑑𝐴 ∧ ¬ 𝑑𝑏)) → 𝑏 ⊊ (𝑏 ∪ {𝑑}))
4534, 32brcnv 5752 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∪ {𝑑}) [] 𝑏𝑏 [] (𝑏 ∪ {𝑑}))
4634brrpss 7451 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 [] (𝑏 ∪ {𝑑}) ↔ 𝑏 ⊊ (𝑏 ∪ {𝑑}))
4745, 46bitri 277 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∪ {𝑑}) [] 𝑏𝑏 ⊊ (𝑏 ∪ {𝑑}))
4844, 47sylibr 236 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑑𝐴 ∧ ¬ 𝑑𝑏)) → (𝑏 ∪ {𝑑}) [] 𝑏)
49 breq1 5068 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = (𝑏 ∪ {𝑑}) → (𝑐 [] 𝑏 ↔ (𝑏 ∪ {𝑑}) [] 𝑏))
5049rspcev 3622 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏 ∪ {𝑑}) ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ∪ {𝑑}) [] 𝑏) → ∃𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)𝑐 [] 𝑏)
5137, 48, 50syl2anc 586 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑑𝐴 ∧ ¬ 𝑑𝑏)) → ∃𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)𝑐 [] 𝑏)
5251expr 459 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑑𝐴) → (¬ 𝑑𝑏 → ∃𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)𝑐 [] 𝑏))
5352con1d 147 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑑𝐴) → (¬ ∃𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)𝑐 [] 𝑏𝑑𝑏))
5421, 53syl5bi 244 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑑𝐴) → (∀𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ¬ 𝑐 [] 𝑏𝑑𝑏))
5554impancom 454 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ ∀𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ¬ 𝑐 [] 𝑏) → (𝑑𝐴𝑑𝑏))
5655ssrdv 3972 . . . . 5 ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ ∀𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ¬ 𝑐 [] 𝑏) → 𝐴𝑏)
57 ssfi 8737 . . . . 5 ((𝑏 ∈ Fin ∧ 𝐴𝑏) → 𝐴 ∈ Fin)
5820, 56, 57syl2an2r 683 . . . 4 ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ ∀𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ¬ 𝑐 [] 𝑏) → 𝐴 ∈ Fin)
5958rexlimiva 3281 . . 3 (∃𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)∀𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ¬ 𝑐 [] 𝑏𝐴 ∈ Fin)
6019, 59syl6 35 . 2 (𝐴𝑉 → ( [] Fr 𝒫 𝐴𝐴 ∈ Fin))
617, 60impbid2 228 1 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ Fin ↔ [] Fr 𝒫 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1533  wcel 2110  wne 3016  wral 3138  wrex 3139  Vcvv 3494  cun 3933  cin 3934  wss 3935  wpss 3936  c0 4290  𝒫 cpw 4538  {csn 4566   class class class wbr 5065   Po wpo 5471   Fr wfr 5510  ccnv 5553   [] crpss 7447  Fincfn 8508
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-rpss 7448  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-2o 8102  df-oadd 8105  df-er 8288  df-map 8407  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512
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