Theorem isfin1-3 10488

Description: A set is I-finite iff every system of subsets contains a maximal subset. Definition I of [Levy58] p. 2. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Nov-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isfin1-3	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ Fin ↔ ◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴))

Proof of Theorem isfin1-3

Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		porpss 7764	. . . 4 ⊢ [⊊] Po 𝒫 𝐴
2		cnvpo 6305	. . . 4 ⊢ ( [⊊] Po 𝒫 𝐴 ↔ ◡ [⊊] Po 𝒫 𝐴)
3	1, 2	mpbi 233	. . 3 ⊢ ◡ [⊊] Po 𝒫 𝐴
4		pwfi 9335	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
5	4	biimpi 219	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
6		frfi 9301	. . 3 ⊢ ((◡ [⊊] Po 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ∈ Fin) → ◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴)
7	3, 5, 6	sylancr 599	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴)
8		inss2 4137	. . . . . 6 ⊢ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴
9		pwexg 5344	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
10		ssexg 5285	. . . . . 6 ⊢ (((Fin ∩ 𝒫 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ∈ V) → (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∈ V)
11	8, 9, 10	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∈ V)
12		0fi 9095	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ Fin
13		0elpw 5321	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 𝐴
14	12, 13	elini 4099	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)
15	14	ne0ii 4293	. . . . . 6 ⊢ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ≠ ∅
16		fri 5613	. . . . . 6 ⊢ ((((Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∈ V ∧ ◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴) ∧ ((Fin ∩ 𝒫 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ≠ ∅)) → ∃𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)∀𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ¬ 𝑐◡ [⊊] 𝑏)
17	8, 15, 16	mpanr12 718	. . . . 5 ⊢ (((Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∈ V ∧ ◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴) → ∃𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)∀𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ¬ 𝑐◡ [⊊] 𝑏)
18	11, 17	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴) → ∃𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)∀𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ¬ 𝑐◡ [⊊] 𝑏)
19	18	ex 418	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴 → ∃𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)∀𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ¬ 𝑐◡ [⊊] 𝑏))
20		elinel1 4101	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) → 𝑏 ∈ Fin)
21		ralnex 3092	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ¬ 𝑐◡ [⊊] 𝑏 ↔ ¬ ∃𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)𝑐◡ [⊊] 𝑏)
22	20	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝑏)) → 𝑏 ∈ Fin)
23		snfi 9096	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑑} ∈ Fin
24		unfi 9211	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ Fin ∧ {𝑑} ∈ Fin) → (𝑏 ∪ {𝑑}) ∈ Fin)
25	22, 23, 24	sylancl 598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝑏)) → (𝑏 ∪ {𝑑}) ∈ Fin)
26		elinel2 4102	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) → 𝑏 ∈ 𝒫 𝐴)
27	26	elpwid 4569	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) → 𝑏 ⊆ 𝐴)
28	27	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝑏)) → 𝑏 ⊆ 𝐴)
29		snssi 4746	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑑 ∈ 𝐴 → {𝑑} ⊆ 𝐴)
30	29	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝑏)) → {𝑑} ⊆ 𝐴)
31	28, 30	unssd 4193	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝑏)) → (𝑏 ∪ {𝑑}) ⊆ 𝐴)
32		vex 3458	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑏 ∈ V
33		vsnex 5397	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {𝑑} ∈ V
34	32, 33	unex 7782	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∪ {𝑑}) ∈ V
35	34	elpw 4564	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∪ {𝑑}) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (𝑏 ∪ {𝑑}) ⊆ 𝐴)
36	31, 35	sylibr 237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝑏)) → (𝑏 ∪ {𝑑}) ∈ 𝒫 𝐴)
37	25, 36	elind 4100	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝑏)) → (𝑏 ∪ {𝑑}) ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴))
38		disjsn 4672	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∩ {𝑑}) = ∅ ↔ ¬ 𝑑 ∈ 𝑏)
39	38	biimpri 231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝑑 ∈ 𝑏 → (𝑏 ∩ {𝑑}) = ∅)
40		vex 3458	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑑 ∈ V
41	40	snnz 4737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑑} ≠ ∅
42		disjpss 4417	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑏 ∩ {𝑑}) = ∅ ∧ {𝑑} ≠ ∅) → 𝑏 ⊊ (𝑏 ∪ {𝑑}))
43	39, 41, 42	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑑 ∈ 𝑏 → 𝑏 ⊊ (𝑏 ∪ {𝑑}))
44	43	ad2antll 742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝑏)) → 𝑏 ⊊ (𝑏 ∪ {𝑑}))
45	34, 32	brcnv 5866	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∪ {𝑑})◡ [⊊] 𝑏 ↔ 𝑏 [⊊] (𝑏 ∪ {𝑑}))
46	34	brrpss 7763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 [⊊] (𝑏 ∪ {𝑑}) ↔ 𝑏 ⊊ (𝑏 ∪ {𝑑}))
47	45, 46	bitri 278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∪ {𝑑})◡ [⊊] 𝑏 ↔ 𝑏 ⊊ (𝑏 ∪ {𝑑}))
48	44, 47	sylibr 237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝑏)) → (𝑏 ∪ {𝑑})◡ [⊊] 𝑏)
49		breq1 5109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = (𝑏 ∪ {𝑑}) → (𝑐◡ [⊊] 𝑏 ↔ (𝑏 ∪ {𝑑})◡ [⊊] 𝑏))
50	49	rspcev 3580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑏 ∪ {𝑑}) ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ∪ {𝑑})◡ [⊊] 𝑏) → ∃𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)𝑐◡ [⊊] 𝑏)
51	37, 48, 50	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝑏)) → ∃𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)𝑐◡ [⊊] 𝑏)
52	51	expr 462	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑑 ∈ 𝑏 → ∃𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)𝑐◡ [⊊] 𝑏))
53	52	con1d 146	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) → (¬ ∃𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)𝑐◡ [⊊] 𝑏 → 𝑑 ∈ 𝑏))
54	21, 53	biimtrid 245	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) → (∀𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ¬ 𝑐◡ [⊊] 𝑏 → 𝑑 ∈ 𝑏))
55	54	impancom 457	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ ∀𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ¬ 𝑐◡ [⊊] 𝑏) → (𝑑 ∈ 𝐴 → 𝑑 ∈ 𝑏))
56	55	ssrdv 3919	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ ∀𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ¬ 𝑐◡ [⊊] 𝑏) → 𝐴 ⊆ 𝑏)
57		ssfi 9213	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑏) → 𝐴 ∈ Fin)
58	20, 56, 57	syl2an2r 698	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ ∀𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ¬ 𝑐◡ [⊊] 𝑏) → 𝐴 ∈ Fin)
59	58	rexlimiva 3159	. . 3 ⊢ (∃𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)∀𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ¬ 𝑐◡ [⊊] 𝑏 → 𝐴 ∈ Fin)
60	19, 59	syl6 36	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴 → 𝐴 ∈ Fin))
61	7, 60	impbid2 229	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ Fin ↔ ◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ⊊ wpss 4016   ∩ cin 4092   ∪ cun 4152  ∅c0 4281  𝒫 cpw 4560  {csn 4588   class class class wbr 5106   Po wpo 5561   Fr wfr 5605  ^◡ccnv 5654   [⊊] crpss 7759  Fincfn 8998

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-rpss 7760  df-om 7899  df-1o 8501  df-en 8999  df-dom 9000  df-fin 9002

This theorem is used by:  isfin1-4  10489  fin12  10515