Theorem isfin1-3 10303

Description: A set is I-finite iff every system of subsets contains a maximal subset. Definition I of [Levy58] p. 2. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Nov-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isfin1-3	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ Fin ↔ ◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴))

Proof of Theorem isfin1-3

Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		porpss 7674	. . . 4 ⊢ [⊊] Po 𝒫 𝐴
2		cnvpo 6242	. . . 4 ⊢ ( [⊊] Po 𝒫 𝐴 ↔ ◡ [⊊] Po 𝒫 𝐴)
3	1, 2	mpbi 232	. . 3 ⊢ ◡ [⊊] Po 𝒫 𝐴
4		pwfi 9223	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
5	4	biimpi 218	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
6		frfi 9189	. . 3 ⊢ ((◡ [⊊] Po 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ∈ Fin) → ◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴)
7	3, 5, 6	sylancr 594	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴)
8		inss2 4169	. . . . . 6 ⊢ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴
9		pwexg 5310	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
10		ssexg 5254	. . . . . 6 ⊢ (((Fin ∩ 𝒫 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ∈ V) → (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∈ V)
11	8, 9, 10	sylancr 594	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∈ V)
12		0fi 8983	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ Fin
13		0elpw 5287	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 𝐴
14	12, 13	elini 4131	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)
15	14	ne0ii 4275	. . . . . 6 ⊢ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ≠ ∅
16		fri 5579	. . . . . 6 ⊢ ((((Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∈ V ∧ ◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴) ∧ ((Fin ∩ 𝒫 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ≠ ∅)) → ∃𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)∀𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ¬ 𝑐◡ [⊊] 𝑏)
17	8, 15, 16	mpanr12 712	. . . . 5 ⊢ (((Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∈ V ∧ ◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴) → ∃𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)∀𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ¬ 𝑐◡ [⊊] 𝑏)
18	11, 17	sylan 587	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴) → ∃𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)∀𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ¬ 𝑐◡ [⊊] 𝑏)
19	18	ex 414	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴 → ∃𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)∀𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ¬ 𝑐◡ [⊊] 𝑏))
20		elinel1 4133	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) → 𝑏 ∈ Fin)
21		ralnex 3067	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ¬ 𝑐◡ [⊊] 𝑏 ↔ ¬ ∃𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)𝑐◡ [⊊] 𝑏)
22	20	adantr 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝑏)) → 𝑏 ∈ Fin)
23		snfi 8984	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑑} ∈ Fin
24		unfi 9099	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ Fin ∧ {𝑑} ∈ Fin) → (𝑏 ∪ {𝑑}) ∈ Fin)
25	22, 23, 24	sylancl 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝑏)) → (𝑏 ∪ {𝑑}) ∈ Fin)
26		elinel2 4134	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) → 𝑏 ∈ 𝒫 𝐴)
27	26	elpwid 4541	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) → 𝑏 ⊆ 𝐴)
28	27	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝑏)) → 𝑏 ⊆ 𝐴)
29		snssi 4720	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑑 ∈ 𝐴 → {𝑑} ⊆ 𝐴)
30	29	ad2antrl 735	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝑏)) → {𝑑} ⊆ 𝐴)
31	28, 30	unssd 4124	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝑏)) → (𝑏 ∪ {𝑑}) ⊆ 𝐴)
32		vex 3437	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑏 ∈ V
33		vsnex 5367	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {𝑑} ∈ V
34	32, 33	unex 7691	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∪ {𝑑}) ∈ V
35	34	elpw 4536	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∪ {𝑑}) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (𝑏 ∪ {𝑑}) ⊆ 𝐴)
36	31, 35	sylibr 236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝑏)) → (𝑏 ∪ {𝑑}) ∈ 𝒫 𝐴)
37	25, 36	elind 4132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝑏)) → (𝑏 ∪ {𝑑}) ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴))
38		disjsn 4646	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∩ {𝑑}) = ∅ ↔ ¬ 𝑑 ∈ 𝑏)
39	38	biimpri 230	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝑑 ∈ 𝑏 → (𝑏 ∩ {𝑑}) = ∅)
40		vex 3437	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑑 ∈ V
41	40	snnz 4711	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑑} ≠ ∅
42		disjpss 4392	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑏 ∩ {𝑑}) = ∅ ∧ {𝑑} ≠ ∅) → 𝑏 ⊊ (𝑏 ∪ {𝑑}))
43	39, 41, 42	sylancl 593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑑 ∈ 𝑏 → 𝑏 ⊊ (𝑏 ∪ {𝑑}))
44	43	ad2antll 736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝑏)) → 𝑏 ⊊ (𝑏 ∪ {𝑑}))
45	34, 32	brcnv 5827	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∪ {𝑑})◡ [⊊] 𝑏 ↔ 𝑏 [⊊] (𝑏 ∪ {𝑑}))
46	34	brrpss 7673	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 [⊊] (𝑏 ∪ {𝑑}) ↔ 𝑏 ⊊ (𝑏 ∪ {𝑑}))
47	45, 46	bitri 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∪ {𝑑})◡ [⊊] 𝑏 ↔ 𝑏 ⊊ (𝑏 ∪ {𝑑}))
48	44, 47	sylibr 236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝑏)) → (𝑏 ∪ {𝑑})◡ [⊊] 𝑏)
49		breq1 5078	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = (𝑏 ∪ {𝑑}) → (𝑐◡ [⊊] 𝑏 ↔ (𝑏 ∪ {𝑑})◡ [⊊] 𝑏))
50	49	rspcev 3562	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑏 ∪ {𝑑}) ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ∪ {𝑑})◡ [⊊] 𝑏) → ∃𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)𝑐◡ [⊊] 𝑏)
51	37, 48, 50	syl2anc 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝑏)) → ∃𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)𝑐◡ [⊊] 𝑏)
52	51	expr 458	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑑 ∈ 𝑏 → ∃𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)𝑐◡ [⊊] 𝑏))
53	52	con1d 145	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) → (¬ ∃𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)𝑐◡ [⊊] 𝑏 → 𝑑 ∈ 𝑏))
54	21, 53	biimtrid 244	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) → (∀𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ¬ 𝑐◡ [⊊] 𝑏 → 𝑑 ∈ 𝑏))
55	54	impancom 453	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ ∀𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ¬ 𝑐◡ [⊊] 𝑏) → (𝑑 ∈ 𝐴 → 𝑑 ∈ 𝑏))
56	55	ssrdv 3923	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ ∀𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ¬ 𝑐◡ [⊊] 𝑏) → 𝐴 ⊆ 𝑏)
57		ssfi 9101	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑏) → 𝐴 ∈ Fin)
58	20, 56, 57	syl2an2r 692	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ ∀𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ¬ 𝑐◡ [⊊] 𝑏) → 𝐴 ∈ Fin)
59	58	rexlimiva 3134	. . 3 ⊢ (∃𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)∀𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ¬ 𝑐◡ [⊊] 𝑏 → 𝐴 ∈ Fin)
60	19, 59	syl6 35	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴 → 𝐴 ∈ Fin))
61	7, 60	impbid2 228	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ Fin ↔ ◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  ∀wral 3055  ∃wrex 3065  Vcvv 3433   ∪ cun 3883   ∩ cin 3884   ⊆ wss 3885   ⊊ wpss 3886  ∅c0 4264  𝒫 cpw 4532  {csn 4558   class class class wbr 5075   Po wpo 5527   Fr wfr 5571  ^◡ccnv 5620   [⊊] crpss 7669  Fincfn 8887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-rpss 7670  df-om 7811  df-1o 8399  df-en 8888  df-dom 8889  df-fin 8891

This theorem is referenced by:  isfin1-4  10304  fin12  10330