Theorem isfin1-3 10423

Description: A set is I-finite iff every system of subsets contains a maximal subset. Definition I of [Levy58] p. 2. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Nov-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isfin1-3	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ Fin ↔ ◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴))

Proof of Theorem isfin1-3

Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		porpss 7745	. . . 4 ⊢ [⊊] Po 𝒫 𝐴
2		cnvpo 6308	. . . 4 ⊢ ( [⊊] Po 𝒫 𝐴 ↔ ◡ [⊊] Po 𝒫 𝐴)
3	1, 2	mpbi 230	. . 3 ⊢ ◡ [⊊] Po 𝒫 𝐴
4		pwfi 9354	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
5	4	biimpi 216	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
6		frfi 9318	. . 3 ⊢ ((◡ [⊊] Po 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ∈ Fin) → ◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴)
7	3, 5, 6	sylancr 587	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴)
8		inss2 4245	. . . . . 6 ⊢ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴
9		pwexg 5383	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
10		ssexg 5328	. . . . . 6 ⊢ (((Fin ∩ 𝒫 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ∈ V) → (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∈ V)
11	8, 9, 10	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∈ V)
12		0fi 9080	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ Fin
13		0elpw 5361	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 𝐴
14	12, 13	elini 4208	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)
15	14	ne0ii 4349	. . . . . 6 ⊢ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ≠ ∅
16		fri 5645	. . . . . 6 ⊢ ((((Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∈ V ∧ ◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴) ∧ ((Fin ∩ 𝒫 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ≠ ∅)) → ∃𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)∀𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ¬ 𝑐◡ [⊊] 𝑏)
17	8, 15, 16	mpanr12 705	. . . . 5 ⊢ (((Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∈ V ∧ ◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴) → ∃𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)∀𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ¬ 𝑐◡ [⊊] 𝑏)
18	11, 17	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴) → ∃𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)∀𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ¬ 𝑐◡ [⊊] 𝑏)
19	18	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴 → ∃𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)∀𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ¬ 𝑐◡ [⊊] 𝑏))
20		elinel1 4210	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) → 𝑏 ∈ Fin)
21		ralnex 3069	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ¬ 𝑐◡ [⊊] 𝑏 ↔ ¬ ∃𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)𝑐◡ [⊊] 𝑏)
22	20	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝑏)) → 𝑏 ∈ Fin)
23		snfi 9081	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑑} ∈ Fin
24		unfi 9209	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ Fin ∧ {𝑑} ∈ Fin) → (𝑏 ∪ {𝑑}) ∈ Fin)
25	22, 23, 24	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝑏)) → (𝑏 ∪ {𝑑}) ∈ Fin)
26		elinel2 4211	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) → 𝑏 ∈ 𝒫 𝐴)
27	26	elpwid 4613	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) → 𝑏 ⊆ 𝐴)
28	27	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝑏)) → 𝑏 ⊆ 𝐴)
29		snssi 4812	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑑 ∈ 𝐴 → {𝑑} ⊆ 𝐴)
30	29	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝑏)) → {𝑑} ⊆ 𝐴)
31	28, 30	unssd 4201	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝑏)) → (𝑏 ∪ {𝑑}) ⊆ 𝐴)
32		vex 3481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑏 ∈ V
33		vsnex 5439	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {𝑑} ∈ V
34	32, 33	unex 7762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∪ {𝑑}) ∈ V
35	34	elpw 4608	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∪ {𝑑}) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (𝑏 ∪ {𝑑}) ⊆ 𝐴)
36	31, 35	sylibr 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝑏)) → (𝑏 ∪ {𝑑}) ∈ 𝒫 𝐴)
37	25, 36	elind 4209	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝑏)) → (𝑏 ∪ {𝑑}) ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴))
38		disjsn 4715	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∩ {𝑑}) = ∅ ↔ ¬ 𝑑 ∈ 𝑏)
39	38	biimpri 228	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝑑 ∈ 𝑏 → (𝑏 ∩ {𝑑}) = ∅)
40		vex 3481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑑 ∈ V
41	40	snnz 4780	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑑} ≠ ∅
42		disjpss 4466	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑏 ∩ {𝑑}) = ∅ ∧ {𝑑} ≠ ∅) → 𝑏 ⊊ (𝑏 ∪ {𝑑}))
43	39, 41, 42	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑑 ∈ 𝑏 → 𝑏 ⊊ (𝑏 ∪ {𝑑}))
44	43	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝑏)) → 𝑏 ⊊ (𝑏 ∪ {𝑑}))
45	34, 32	brcnv 5895	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∪ {𝑑})◡ [⊊] 𝑏 ↔ 𝑏 [⊊] (𝑏 ∪ {𝑑}))
46	34	brrpss 7744	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 [⊊] (𝑏 ∪ {𝑑}) ↔ 𝑏 ⊊ (𝑏 ∪ {𝑑}))
47	45, 46	bitri 275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∪ {𝑑})◡ [⊊] 𝑏 ↔ 𝑏 ⊊ (𝑏 ∪ {𝑑}))
48	44, 47	sylibr 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝑏)) → (𝑏 ∪ {𝑑})◡ [⊊] 𝑏)
49		breq1 5150	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = (𝑏 ∪ {𝑑}) → (𝑐◡ [⊊] 𝑏 ↔ (𝑏 ∪ {𝑑})◡ [⊊] 𝑏))
50	49	rspcev 3621	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑏 ∪ {𝑑}) ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ∪ {𝑑})◡ [⊊] 𝑏) → ∃𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)𝑐◡ [⊊] 𝑏)
51	37, 48, 50	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝑏)) → ∃𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)𝑐◡ [⊊] 𝑏)
52	51	expr 456	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑑 ∈ 𝑏 → ∃𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)𝑐◡ [⊊] 𝑏))
53	52	con1d 145	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) → (¬ ∃𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)𝑐◡ [⊊] 𝑏 → 𝑑 ∈ 𝑏))
54	21, 53	biimtrid 242	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) → (∀𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ¬ 𝑐◡ [⊊] 𝑏 → 𝑑 ∈ 𝑏))
55	54	impancom 451	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ ∀𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ¬ 𝑐◡ [⊊] 𝑏) → (𝑑 ∈ 𝐴 → 𝑑 ∈ 𝑏))
56	55	ssrdv 4000	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ ∀𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ¬ 𝑐◡ [⊊] 𝑏) → 𝐴 ⊆ 𝑏)
57		ssfi 9211	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝑏) → 𝐴 ∈ Fin)
58	20, 56, 57	syl2an2r 685	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ ∀𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ¬ 𝑐◡ [⊊] 𝑏) → 𝐴 ∈ Fin)
59	58	rexlimiva 3144	. . 3 ⊢ (∃𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)∀𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ¬ 𝑐◡ [⊊] 𝑏 → 𝐴 ∈ Fin)
60	19, 59	syl6 35	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴 → 𝐴 ∈ Fin))
61	7, 60	impbid2 226	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ Fin ↔ ◡ [⊊] Fr 𝒫 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2937  ∀wral 3058  ∃wrex 3067  Vcvv 3477   ∪ cun 3960   ∩ cin 3961   ⊆ wss 3962   ⊊ wpss 3963  ∅c0 4338  𝒫 cpw 4604  {csn 4630   class class class wbr 5147   Po wpo 5594   Fr wfr 5637  ^◡ccnv 5687   [⊊] crpss 7740  Fincfn 8983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-rpss 7741  df-om 7887  df-1o 8504  df-en 8984  df-dom 8985  df-fin 8987

This theorem is referenced by:  isfin1-4  10424  fin12  10450