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Theorem isfin1-3 10384
Description: A set is I-finite iff every system of subsets contains a maximal subset. Definition I of [Levy58] p. 2. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Nov-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfin1-3 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ Fin ↔ [] Fr 𝒫 𝐴))

Proof of Theorem isfin1-3
Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 porpss 7720 . . . 4 [] Po 𝒫 𝐴
2 cnvpo 6287 . . . 4 ( [] Po 𝒫 𝐴 [] Po 𝒫 𝐴)
31, 2mpbi 229 . . 3 [] Po 𝒫 𝐴
4 pwfi 9181 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
54biimpi 215 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
6 frfi 9291 . . 3 (( [] Po 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ∈ Fin) → [] Fr 𝒫 𝐴)
73, 5, 6sylancr 586 . 2 (𝐴 ∈ Fin → [] Fr 𝒫 𝐴)
8 inss2 4230 . . . . . 6 (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴
9 pwexg 5377 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
10 ssexg 5324 . . . . . 6 (((Fin ∩ 𝒫 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ∈ V) → (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∈ V)
118, 9, 10sylancr 586 . . . . 5 (𝐴𝑉 → (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∈ V)
12 0fin 9174 . . . . . . . 8 ∅ ∈ Fin
13 0elpw 5355 . . . . . . . 8 ∅ ∈ 𝒫 𝐴
1412, 13elini 4194 . . . . . . 7 ∅ ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)
1514ne0ii 4338 . . . . . 6 (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ≠ ∅
16 fri 5637 . . . . . 6 ((((Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∈ V ∧ [] Fr 𝒫 𝐴) ∧ ((Fin ∩ 𝒫 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ≠ ∅)) → ∃𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)∀𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ¬ 𝑐 [] 𝑏)
178, 15, 16mpanr12 702 . . . . 5 (((Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∈ V ∧ [] Fr 𝒫 𝐴) → ∃𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)∀𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ¬ 𝑐 [] 𝑏)
1811, 17sylan 579 . . . 4 ((𝐴𝑉 [] Fr 𝒫 𝐴) → ∃𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)∀𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ¬ 𝑐 [] 𝑏)
1918ex 412 . . 3 (𝐴𝑉 → ( [] Fr 𝒫 𝐴 → ∃𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)∀𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ¬ 𝑐 [] 𝑏))
20 elinel1 4196 . . . . 5 (𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) → 𝑏 ∈ Fin)
21 ralnex 3071 . . . . . . . 8 (∀𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ¬ 𝑐 [] 𝑏 ↔ ¬ ∃𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)𝑐 [] 𝑏)
2220adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑑𝐴 ∧ ¬ 𝑑𝑏)) → 𝑏 ∈ Fin)
23 snfi 9047 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑑} ∈ Fin
24 unfi 9175 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∈ Fin ∧ {𝑑} ∈ Fin) → (𝑏 ∪ {𝑑}) ∈ Fin)
2522, 23, 24sylancl 585 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑑𝐴 ∧ ¬ 𝑑𝑏)) → (𝑏 ∪ {𝑑}) ∈ Fin)
26 elinel2 4197 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) → 𝑏 ∈ 𝒫 𝐴)
2726elpwid 4612 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) → 𝑏𝐴)
2827adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑑𝐴 ∧ ¬ 𝑑𝑏)) → 𝑏𝐴)
29 snssi 4812 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑𝐴 → {𝑑} ⊆ 𝐴)
3029ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑑𝐴 ∧ ¬ 𝑑𝑏)) → {𝑑} ⊆ 𝐴)
3128, 30unssd 4187 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑑𝐴 ∧ ¬ 𝑑𝑏)) → (𝑏 ∪ {𝑑}) ⊆ 𝐴)
32 vex 3477 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑏 ∈ V
33 vsnex 5430 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑑} ∈ V
3432, 33unex 7736 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∪ {𝑑}) ∈ V
3534elpw 4607 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∪ {𝑑}) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (𝑏 ∪ {𝑑}) ⊆ 𝐴)
3631, 35sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑑𝐴 ∧ ¬ 𝑑𝑏)) → (𝑏 ∪ {𝑑}) ∈ 𝒫 𝐴)
3725, 36elind 4195 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑑𝐴 ∧ ¬ 𝑑𝑏)) → (𝑏 ∪ {𝑑}) ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴))
38 disjsn 4716 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 ∩ {𝑑}) = ∅ ↔ ¬ 𝑑𝑏)
3938biimpri 227 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑑𝑏 → (𝑏 ∩ {𝑑}) = ∅)
40 vex 3477 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑑 ∈ V
4140snnz 4781 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑑} ≠ ∅
42 disjpss 4461 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏 ∩ {𝑑}) = ∅ ∧ {𝑑} ≠ ∅) → 𝑏 ⊊ (𝑏 ∪ {𝑑}))
4339, 41, 42sylancl 585 . . . . . . . . . . . . 13 𝑑𝑏𝑏 ⊊ (𝑏 ∪ {𝑑}))
4443ad2antll 726 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑑𝐴 ∧ ¬ 𝑑𝑏)) → 𝑏 ⊊ (𝑏 ∪ {𝑑}))
4534, 32brcnv 5883 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∪ {𝑑}) [] 𝑏𝑏 [] (𝑏 ∪ {𝑑}))
4634brrpss 7719 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 [] (𝑏 ∪ {𝑑}) ↔ 𝑏 ⊊ (𝑏 ∪ {𝑑}))
4745, 46bitri 274 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∪ {𝑑}) [] 𝑏𝑏 ⊊ (𝑏 ∪ {𝑑}))
4844, 47sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑑𝐴 ∧ ¬ 𝑑𝑏)) → (𝑏 ∪ {𝑑}) [] 𝑏)
49 breq1 5152 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = (𝑏 ∪ {𝑑}) → (𝑐 [] 𝑏 ↔ (𝑏 ∪ {𝑑}) [] 𝑏))
5049rspcev 3613 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏 ∪ {𝑑}) ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑏 ∪ {𝑑}) [] 𝑏) → ∃𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)𝑐 [] 𝑏)
5137, 48, 50syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝑑𝐴 ∧ ¬ 𝑑𝑏)) → ∃𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)𝑐 [] 𝑏)
5251expr 456 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑑𝐴) → (¬ 𝑑𝑏 → ∃𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)𝑐 [] 𝑏))
5352con1d 145 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑑𝐴) → (¬ ∃𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)𝑐 [] 𝑏𝑑𝑏))
5421, 53biimtrid 241 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑑𝐴) → (∀𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ¬ 𝑐 [] 𝑏𝑑𝑏))
5554impancom 451 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ ∀𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ¬ 𝑐 [] 𝑏) → (𝑑𝐴𝑑𝑏))
5655ssrdv 3989 . . . . 5 ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ ∀𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ¬ 𝑐 [] 𝑏) → 𝐴𝑏)
57 ssfi 9176 . . . . 5 ((𝑏 ∈ Fin ∧ 𝐴𝑏) → 𝐴 ∈ Fin)
5820, 56, 57syl2an2r 682 . . . 4 ((𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ∧ ∀𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ¬ 𝑐 [] 𝑏) → 𝐴 ∈ Fin)
5958rexlimiva 3146 . . 3 (∃𝑏 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴)∀𝑐 ∈ (Fin ∩ 𝒫 𝐴) ¬ 𝑐 [] 𝑏𝐴 ∈ Fin)
6019, 59syl6 35 . 2 (𝐴𝑉 → ( [] Fr 𝒫 𝐴𝐴 ∈ Fin))
617, 60impbid2 225 1 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ Fin ↔ [] Fr 𝒫 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2939  wral 3060  wrex 3069  Vcvv 3473  cun 3947  cin 3948  wss 3949  wpss 3950  c0 4323  𝒫 cpw 4603  {csn 4629   class class class wbr 5149   Po wpo 5587   Fr wfr 5629  ccnv 5676   [] crpss 7715  Fincfn 8942
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-rpss 7716  df-om 7859  df-1o 8469  df-en 8943  df-fin 8946
This theorem is referenced by:  isfin1-4  10385  fin12  10411
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