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Theorem fdc 37753
Description: Finite version of dependent choice. Construct a function whose value depends on the previous function value, except at a final point at which no new value can be chosen. The final hypothesis ensures that the process will terminate. The proof does not use the Axiom of Choice. (Contributed by Jeff Madsen, 18-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
fdc.1 𝐴 ∈ V
fdc.2 𝑀 ∈ ℤ
fdc.3 𝑍 = (ℤ𝑀)
fdc.4 𝑁 = (𝑀 + 1)
fdc.5 (𝑎 = (𝑓‘(𝑘 − 1)) → (𝜑𝜓))
fdc.6 (𝑏 = (𝑓𝑘) → (𝜓𝜒))
fdc.7 (𝑎 = (𝑓𝑛) → (𝜃𝜏))
fdc.8 (𝜂𝐶𝐴)
fdc.9 (𝜂𝑅 Fr 𝐴)
fdc.10 ((𝜂𝑎𝐴) → (𝜃 ∨ ∃𝑏𝐴 𝜑))
fdc.11 (((𝜂𝜑) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴)) → 𝑏𝑅𝑎)
Assertion
Ref Expression
fdc (𝜂 → ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝐶𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑓,𝑛   𝐴,𝑎,𝑏,𝑓,𝑛   𝑀,𝑎,𝑏,𝑓,𝑘,𝑛   𝑍,𝑎,𝑏,𝑛   𝑁,𝑎,𝑏,𝑓,𝑘,𝑛   𝑅,𝑎,𝑏   𝜑,𝑓,𝑘   𝜓,𝑎   𝜒,𝑎,𝑏,𝑛   𝜃,𝑓,𝑛   𝜏,𝑎,𝑏   𝜂,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛,𝑎,𝑏)   𝜓(𝑓,𝑘,𝑛,𝑏)   𝜒(𝑓,𝑘)   𝜃(𝑘,𝑎,𝑏)   𝜏(𝑓,𝑘,𝑛)   𝜂(𝑓,𝑘,𝑛)   𝐴(𝑘)   𝐶(𝑘,𝑎,𝑏)   𝑅(𝑓,𝑘,𝑛)   𝑍(𝑓,𝑘)

Proof of Theorem fdc
Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑔 𝑚 𝑥 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fdc.8 . 2 (𝜂𝐶𝐴)
2 fdc.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑀 ∈ ℤ
3 uzid 12894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑀 ∈ (ℤ𝑀)
5 fdc.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑍 = (ℤ𝑀)
64, 5eleqtrri 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑀𝑍
7 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 {⟨𝑀, 𝑎⟩} = {⟨𝑀, 𝑎⟩}
82elexi 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑀 ∈ V
9 vex 3483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑎 ∈ V
108, 9fsn 7154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ({⟨𝑀, 𝑎⟩}:{𝑀}⟶{𝑎} ↔ {⟨𝑀, 𝑎⟩} = {⟨𝑀, 𝑎⟩})
117, 10mpbir 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 {⟨𝑀, 𝑎⟩}:{𝑀}⟶{𝑎}
12 snssi 4807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑎𝐴 → {𝑎} ⊆ 𝐴)
13 fss 6751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (({⟨𝑀, 𝑎⟩}:{𝑀}⟶{𝑎} ∧ {𝑎} ⊆ 𝐴) → {⟨𝑀, 𝑎⟩}:{𝑀}⟶𝐴)
1411, 12, 13sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑎𝐴 → {⟨𝑀, 𝑎⟩}:{𝑀}⟶𝐴)
15 fzsn 13607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
162, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀...𝑀) = {𝑀}
1716feq2i 6727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ({⟨𝑀, 𝑎⟩}:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ↔ {⟨𝑀, 𝑎⟩}:{𝑀}⟶𝐴)
1814, 17sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑎𝐴 → {⟨𝑀, 𝑎⟩}:(𝑀...𝑀)⟶𝐴)
1918adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑎𝐴𝜃) → {⟨𝑀, 𝑎⟩}:(𝑀...𝑀)⟶𝐴)
208, 9fvsn 7202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ({⟨𝑀, 𝑎⟩}‘𝑀) = 𝑎
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑎𝐴𝜃) → ({⟨𝑀, 𝑎⟩}‘𝑀) = 𝑎)
22 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑎𝐴𝜃) → 𝜃)
23 snex 5435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 {⟨𝑀, 𝑎⟩} ∈ V
24 feq1 6715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 = {⟨𝑀, 𝑎⟩} → (𝑓:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ↔ {⟨𝑀, 𝑎⟩}:(𝑀...𝑀)⟶𝐴))
25 fveq1 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓 = {⟨𝑀, 𝑎⟩} → (𝑓𝑀) = ({⟨𝑀, 𝑎⟩}‘𝑀))
2625eqeq1d 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓 = {⟨𝑀, 𝑎⟩} → ((𝑓𝑀) = 𝑎 ↔ ({⟨𝑀, 𝑎⟩}‘𝑀) = 𝑎))
2725, 20eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓 = {⟨𝑀, 𝑎⟩} → (𝑓𝑀) = 𝑎)
28 sbceq2a 3799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑓𝑀) = 𝑎 → ([(𝑓𝑀) / 𝑎]𝜃𝜃))
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓 = {⟨𝑀, 𝑎⟩} → ([(𝑓𝑀) / 𝑎]𝜃𝜃))
3026, 29anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 = {⟨𝑀, 𝑎⟩} → (((𝑓𝑀) = 𝑎[(𝑓𝑀) / 𝑎]𝜃) ↔ (({⟨𝑀, 𝑎⟩}‘𝑀) = 𝑎𝜃)))
3124, 30anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 = {⟨𝑀, 𝑎⟩} → ((𝑓:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑎[(𝑓𝑀) / 𝑎]𝜃)) ↔ ({⟨𝑀, 𝑎⟩}:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ (({⟨𝑀, 𝑎⟩}‘𝑀) = 𝑎𝜃))))
3223, 31spcev 3605 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (({⟨𝑀, 𝑎⟩}:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ (({⟨𝑀, 𝑎⟩}‘𝑀) = 𝑎𝜃)) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑎[(𝑓𝑀) / 𝑎]𝜃)))
3319, 21, 22, 32syl12anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎𝐴𝜃) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑎[(𝑓𝑀) / 𝑎]𝜃)))
34 oveq2 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 = 𝑀 → (𝑀...𝑛) = (𝑀...𝑀))
3534feq2d 6721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = 𝑀 → (𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴𝑓:(𝑀...𝑀)⟶𝐴))
36 fvex 6918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑓𝑛) ∈ V
37 fdc.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑎 = (𝑓𝑛) → (𝜃𝜏))
3836, 37sbcie 3829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ([(𝑓𝑛) / 𝑎]𝜃𝜏)
39 fveq2 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑛 = 𝑀 → (𝑓𝑛) = (𝑓𝑀))
4039sbceq1d 3792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 = 𝑀 → ([(𝑓𝑛) / 𝑎]𝜃[(𝑓𝑀) / 𝑎]𝜃))
4138, 40bitr3id 285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 = 𝑀 → (𝜏[(𝑓𝑀) / 𝑎]𝜃))
4241anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = 𝑀 → (((𝑓𝑀) = 𝑎𝜏) ↔ ((𝑓𝑀) = 𝑎[(𝑓𝑀) / 𝑎]𝜃)))
43 oveq2 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 = 𝑀 → (𝑁...𝑛) = (𝑁...𝑀))
44 fdc.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑁 = (𝑀 + 1)
4544oveq1i 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁...𝑀) = ((𝑀 + 1)...𝑀)
462zrei 12621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑀 ∈ ℝ
4746ltp1i 12173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑀 < (𝑀 + 1)
48 peano2z 12660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
492, 48ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑀 + 1) ∈ ℤ
50 fzn 13581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < (𝑀 + 1) ↔ ((𝑀 + 1)...𝑀) = ∅))
5149, 2, 50mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑀 < (𝑀 + 1) ↔ ((𝑀 + 1)...𝑀) = ∅)
5247, 51mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑀 + 1)...𝑀) = ∅
5345, 52eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁...𝑀) = ∅
5443, 53eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 = 𝑀 → (𝑁...𝑛) = ∅)
5554raleqdv 3325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = 𝑀 → (∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒 ↔ ∀𝑘 ∈ ∅ 𝜒))
5635, 42, 553anbi123d 1437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = 𝑀 → ((𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑎𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ (𝑓:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑎[(𝑓𝑀) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ ∅ 𝜒)))
57 ral0 4512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑘 ∈ ∅ 𝜒
58 df-3an 1088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑓:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑎[(𝑓𝑀) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ ∅ 𝜒) ↔ ((𝑓:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑎[(𝑓𝑀) / 𝑎]𝜃)) ∧ ∀𝑘 ∈ ∅ 𝜒))
5957, 58mpbiran2 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑓:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑎[(𝑓𝑀) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ ∅ 𝜒) ↔ (𝑓:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑎[(𝑓𝑀) / 𝑎]𝜃)))
6056, 59bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 𝑀 → ((𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑎𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ (𝑓:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑎[(𝑓𝑀) / 𝑎]𝜃))))
6160exbidv 1920 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = 𝑀 → (∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑎𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑎[(𝑓𝑀) / 𝑎]𝜃))))
6261rspcev 3621 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀𝑍 ∧ ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑎[(𝑓𝑀) / 𝑎]𝜃))) → ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑎𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))
636, 33, 62sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎𝐴𝜃) → ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑎𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))
6463adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜂𝑎𝐴) ∧ 𝜃) → ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑎𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))
6564a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜂𝑎𝐴) ∧ 𝜃) → (∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎 → ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑎𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
66 fdc.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜂𝜑) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴)) → 𝑏𝑅𝑎)
67 breq1 5145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑑 = 𝑏 → (𝑑𝑅𝑎𝑏𝑅𝑎))
6867rspcev 3621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑏 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ∧ 𝑏𝑅𝑎) → ∃𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})𝑑𝑅𝑎)
6968expcom 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑏𝑅𝑎 → (𝑏 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) → ∃𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})𝑑𝑅𝑎))
7066, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜂𝜑) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴)) → (𝑏 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) → ∃𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})𝑑𝑅𝑎))
71 dfrex2 3072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (∃𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})𝑑𝑅𝑎 ↔ ¬ ∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎)
7270, 71imbitrdi 251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜂𝜑) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴)) → (𝑏 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) → ¬ ∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎))
7372con2d 134 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜂𝜑) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴)) → (∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎 → ¬ 𝑏 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})))
74 eldif 3960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑏 ∈ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})) ↔ (𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})))
7574simplbi2 500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏𝐴 → (¬ 𝑏 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) → 𝑏 ∈ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}))))
76 ssrab2 4079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)} ⊆ 𝐴
77 dfss4 4268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ({𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)} ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})) = {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})
7876, 77mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})) = {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}
7978eleq2i 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑏 ∈ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})) ↔ 𝑏 ∈ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})
80 eqeq2 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑐 = 𝑏 → ((𝑓𝑀) = 𝑐 ↔ (𝑓𝑀) = 𝑏))
8180anbi1d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑐 = 𝑏 → (((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ↔ ((𝑓𝑀) = 𝑏𝜏)))
82813anbi2d 1442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑐 = 𝑏 → ((𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ (𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑏𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
8382exbidv 1920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑐 = 𝑏 → (∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑏𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
8483rexbidv 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑐 = 𝑏 → (∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑏𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
8584elrab3 3692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑏𝐴 → (𝑏 ∈ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)} ↔ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑏𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
8679, 85bitrid 283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏𝐴 → (𝑏 ∈ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})) ↔ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑏𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
8775, 86sylibd 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏𝐴 → (¬ 𝑏 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) → ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑏𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
8887ad2antll 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜂𝜑) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴)) → (¬ 𝑏 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) → ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑏𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
89 oveq2 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑛 = 𝑚 → (𝑀...𝑛) = (𝑀...𝑚))
9089feq2d 6721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 = 𝑚 → (𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴𝑓:(𝑀...𝑚)⟶𝐴))
91 fveq2 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑛 = 𝑚 → (𝑓𝑛) = (𝑓𝑚))
9291sbceq1d 3792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑛 = 𝑚 → ([(𝑓𝑛) / 𝑎]𝜃[(𝑓𝑚) / 𝑎]𝜃))
9338, 92bitr3id 285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑛 = 𝑚 → (𝜏[(𝑓𝑚) / 𝑎]𝜃))
9493anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 = 𝑚 → (((𝑓𝑀) = 𝑏𝜏) ↔ ((𝑓𝑀) = 𝑏[(𝑓𝑚) / 𝑎]𝜃)))
95 oveq2 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑛 = 𝑚 → (𝑁...𝑛) = (𝑁...𝑚))
9695raleqdv 3325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 = 𝑚 → (∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒 ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)𝜒))
9790, 94, 963anbi123d 1437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑏𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ (𝑓:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑏[(𝑓𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)𝜒)))
9897exbidv 1920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = 𝑚 → (∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑏𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑏[(𝑓𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)𝜒)))
9998cbvrexvw 3237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑏𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ ∃𝑚𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑏[(𝑓𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)𝜒))
100 feq1 6715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓 = 𝑔 → (𝑓:(𝑀...𝑚)⟶𝐴𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴))
101 fveq1 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑓 = 𝑔 → (𝑓𝑀) = (𝑔𝑀))
102101eqeq1d 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑓 = 𝑔 → ((𝑓𝑀) = 𝑏 ↔ (𝑔𝑀) = 𝑏))
103 fveq1 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑓 = 𝑔 → (𝑓𝑚) = (𝑔𝑚))
104103sbceq1d 3792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑓 = 𝑔 → ([(𝑓𝑚) / 𝑎]𝜃[(𝑔𝑚) / 𝑎]𝜃))
105102, 104anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓 = 𝑔 → (((𝑓𝑀) = 𝑏[(𝑓𝑚) / 𝑎]𝜃) ↔ ((𝑔𝑀) = 𝑏[(𝑔𝑚) / 𝑎]𝜃)))
106 fvex 6918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑓‘(𝑘 − 1)) ∈ V
107 fdc.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑎 = (𝑓‘(𝑘 − 1)) → (𝜑𝜓))
108107sbcbidv 3844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑎 = (𝑓‘(𝑘 − 1)) → ([(𝑓𝑘) / 𝑏]𝜑[(𝑓𝑘) / 𝑏]𝜓))
109106, 108sbcie 3829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ([(𝑓‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑓𝑘) / 𝑏]𝜑[(𝑓𝑘) / 𝑏]𝜓)
110 fvex 6918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑓𝑘) ∈ V
111 fdc.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑏 = (𝑓𝑘) → (𝜓𝜒))
112110, 111sbcie 3829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ([(𝑓𝑘) / 𝑏]𝜓𝜒)
113109, 112bitri 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ([(𝑓‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑓𝑘) / 𝑏]𝜑𝜒)
114 fveq1 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑓 = 𝑔 → (𝑓‘(𝑘 − 1)) = (𝑔‘(𝑘 − 1)))
115 fveq1 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑓 = 𝑔 → (𝑓𝑘) = (𝑔𝑘))
116115sbceq1d 3792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑓 = 𝑔 → ([(𝑓𝑘) / 𝑏]𝜑[(𝑔𝑘) / 𝑏]𝜑))
117114, 116sbceqbid 3794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑓 = 𝑔 → ([(𝑓‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑓𝑘) / 𝑏]𝜑[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔𝑘) / 𝑏]𝜑))
118113, 117bitr3id 285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑓 = 𝑔 → (𝜒[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔𝑘) / 𝑏]𝜑))
119118ralbidv 3177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓 = 𝑔 → (∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)𝜒 ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔𝑘) / 𝑏]𝜑))
120100, 105, 1193anbi123d 1437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓 = 𝑔 → ((𝑓:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑏[(𝑓𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)𝜒) ↔ (𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔𝑀) = 𝑏[(𝑔𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔𝑘) / 𝑏]𝜑)))
121120cbvexvw 2035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑏[(𝑓𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)𝜒) ↔ ∃𝑔(𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔𝑀) = 𝑏[(𝑔𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔𝑘) / 𝑏]𝜑))
122121rexbii 3093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (∃𝑚𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑏[(𝑓𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)𝜒) ↔ ∃𝑚𝑍𝑔(𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔𝑀) = 𝑏[(𝑔𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔𝑘) / 𝑏]𝜑))
12399, 122bitri 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑏𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ ∃𝑚𝑍𝑔(𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔𝑀) = 𝑏[(𝑔𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔𝑘) / 𝑏]𝜑))
1245peano2uzs 12945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑚𝑍 → (𝑚 + 1) ∈ 𝑍)
125124ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜂𝜑) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴)) ∧ 𝑚𝑍) ∧ (𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔𝑀) = 𝑏[(𝑔𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔𝑘) / 𝑏]𝜑)) → (𝑚 + 1) ∈ 𝑍)
126 sbceq2a 3799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑑 = 𝑏 → ([𝑑 / 𝑏]𝜑𝜑))
127126anbi1d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑑 = 𝑏 → (([𝑑 / 𝑏]𝜑𝑎𝐴) ↔ (𝜑𝑎𝐴)))
128127anbi1d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑑 = 𝑏 → ((([𝑑 / 𝑏]𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑚𝑍) ↔ ((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑚𝑍)))
129 eqeq2 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑑 = 𝑏 → ((𝑔𝑀) = 𝑑 ↔ (𝑔𝑀) = 𝑏))
130129anbi1d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑑 = 𝑏 → (((𝑔𝑀) = 𝑑[(𝑔𝑚) / 𝑎]𝜃) ↔ ((𝑔𝑀) = 𝑏[(𝑔𝑚) / 𝑎]𝜃)))
1311303anbi2d 1442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑑 = 𝑏 → ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔𝑀) = 𝑑[(𝑔𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔𝑘) / 𝑏]𝜑) ↔ (𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔𝑀) = 𝑏[(𝑔𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔𝑘) / 𝑏]𝜑)))
132131imbi1d 341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑑 = 𝑏 → (((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔𝑀) = 𝑑[(𝑔𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑎[(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒)) ↔ ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔𝑀) = 𝑏[(𝑔𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑎[(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒))))
133128, 132imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑑 = 𝑏 → (((([𝑑 / 𝑏]𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑚𝑍) → ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔𝑀) = 𝑑[(𝑔𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑎[(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒))) ↔ (((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑚𝑍) → ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔𝑀) = 𝑏[(𝑔𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑎[(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒)))))
134 sbceq2a 3799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑐 = 𝑎 → ([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑[𝑑 / 𝑏]𝜑))
135 eleq1 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑐 = 𝑎 → (𝑐𝐴𝑎𝐴))
136134, 135anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑐 = 𝑎 → (([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑𝑐𝐴) ↔ ([𝑑 / 𝑏]𝜑𝑎𝐴)))
137136anbi1d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑐 = 𝑎 → ((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑚𝑍) ↔ (([𝑑 / 𝑏]𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑚𝑍)))
138 eqeq2 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑐 = 𝑎 → ((𝑓𝑀) = 𝑐 ↔ (𝑓𝑀) = 𝑎))
139138anbi1d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑐 = 𝑎 → (((𝑓𝑀) = 𝑐[(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ↔ ((𝑓𝑀) = 𝑎[(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃)))
1401393anbi2d 1442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑐 = 𝑎 → ((𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐[(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒) ↔ (𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑎[(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒)))
141140exbidv 1920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑐 = 𝑎 → (∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐[(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒) ↔ ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑎[(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒)))
142141imbi2d 340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑐 = 𝑎 → (((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔𝑀) = 𝑑[(𝑔𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐[(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒)) ↔ ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔𝑀) = 𝑑[(𝑔𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑎[(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒))))
143137, 142imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑐 = 𝑎 → (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑚𝑍) → ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔𝑀) = 𝑑[(𝑔𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐[(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒))) ↔ ((([𝑑 / 𝑏]𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑚𝑍) → ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔𝑀) = 𝑑[(𝑔𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑎[(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒)))))
144 peano2uz 12944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑚 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
145144, 5eleq2s 2858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑚𝑍 → (𝑚 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
146 elfzp12 13644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑚 + 1) ∈ (ℤ𝑀) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↔ (𝑥 = 𝑀𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)))))
147145, 146syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑚𝑍 → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↔ (𝑥 = 𝑀𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)))))
148147ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑐𝐴𝑚𝑍) ∧ 𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↔ (𝑥 = 𝑀𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)))))
149 iftrue 4530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 = 𝑀 → if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) = 𝑐)
150149eleq1d 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 = 𝑀 → (if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) ∈ 𝐴𝑐𝐴))
151150biimprcd 250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑐𝐴 → (𝑥 = 𝑀 → if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) ∈ 𝐴))
152151ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑐𝐴𝑚𝑍) ∧ 𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴) → (𝑥 = 𝑀 → if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) ∈ 𝐴))
153 1re 11262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 1 ∈ ℝ
15446, 153readdcli 11277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝑀 + 1) ∈ ℝ
15546, 154ltnlei 11383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝑀 < (𝑀 + 1) ↔ ¬ (𝑀 + 1) ≤ 𝑀)
15647, 155mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ¬ (𝑀 + 1) ≤ 𝑀
157 eleq1 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝑥 = 𝑀 → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) ↔ 𝑀 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))))
158 elfzle1 13568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝑀 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑀)
159157, 158biimtrdi 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝑥 = 𝑀 → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑀))
160159com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑥 = 𝑀 → (𝑀 + 1) ≤ 𝑀))
161156, 160mtoi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) → ¬ 𝑥 = 𝑀)
162161adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝑚𝑍𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))) → ¬ 𝑥 = 𝑀)
163162iffalsed 4535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝑚𝑍𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) = (𝑔‘(𝑥 − 1)))
164 elfzelz 13565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) → 𝑥 ∈ ℤ)
165164adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑚𝑍𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))) → 𝑥 ∈ ℤ)
166 eluzelz 12889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑚 ∈ ℤ)
167166, 5eleq2s 2858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 (𝑚𝑍𝑚 ∈ ℤ)
168167peano2zd 12727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (𝑚𝑍 → (𝑚 + 1) ∈ ℤ)
169 1z 12649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 1 ∈ ℤ
170 fzsubel 13601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ((((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) ↔ (𝑥 − 1) ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1))))
171170biimpd 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ((((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑥 − 1) ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1))))
172169, 171mpanr2 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ((((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑥 − 1) ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1))))
17349, 172mpanl1 700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 (((𝑚 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑥 − 1) ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1))))
174173ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝑚 + 1) ∈ ℤ → (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑥 − 1) ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1)))))
175168, 174syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (𝑚𝑍 → (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑥 − 1) ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1)))))
176175com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝑚𝑍 → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 − 1) ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1)))))
177176imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑚𝑍𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))) → (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 − 1) ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1))))
178165, 177mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑚𝑍𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))) → (𝑥 − 1) ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1)))
17946recni 11276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 𝑀 ∈ ℂ
180 ax-1cn 11214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 1 ∈ ℂ
181179, 180pncan3oi 11525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀
182181a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝑚𝑍 → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
183167zcnd 12725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (𝑚𝑍𝑚 ∈ ℂ)
184 pncan 11515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑚 + 1) − 1) = 𝑚)
185183, 180, 184sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝑚𝑍 → ((𝑚 + 1) − 1) = 𝑚)
186182, 185oveq12d 7450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝑚𝑍 → (((𝑀 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1)) = (𝑀...𝑚))
187186adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑚𝑍𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))) → (((𝑀 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1)) = (𝑀...𝑚))
188178, 187eleqtrd 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝑚𝑍𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))) → (𝑥 − 1) ∈ (𝑀...𝑚))
189 ffvelcdm 7100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ (𝑥 − 1) ∈ (𝑀...𝑚)) → (𝑔‘(𝑥 − 1)) ∈ 𝐴)
190188, 189sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ (𝑚𝑍𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)))) → (𝑔‘(𝑥 − 1)) ∈ 𝐴)
191190anassrs 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴𝑚𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))) → (𝑔‘(𝑥 − 1)) ∈ 𝐴)
192191ancom1s 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝑚𝑍𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))) → (𝑔‘(𝑥 − 1)) ∈ 𝐴)
193163, 192eqeltrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑚𝑍𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) ∈ 𝐴)
194193ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑚𝑍𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴) → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) ∈ 𝐴))
195194adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑐𝐴𝑚𝑍) ∧ 𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴) → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) ∈ 𝐴))
196152, 195jaod 859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑐𝐴𝑚𝑍) ∧ 𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴) → ((𝑥 = 𝑀𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) ∈ 𝐴))
197148, 196sylbid 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑐𝐴𝑚𝑍) ∧ 𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) ∈ 𝐴))
198197ralrimiv 3144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑐𝐴𝑚𝑍) ∧ 𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴) → ∀𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1))if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) ∈ 𝐴)
199 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) = (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))
200199fmpt 7129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (∀𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1))if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))):(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴)
201198, 200sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑐𝐴𝑚𝑍) ∧ 𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))):(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴)
202201adantlll 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑚𝑍) ∧ 𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))):(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴)
2032023ad2antr1 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑚𝑍) ∧ (𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔𝑀) = 𝑑[(𝑔𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔𝑘) / 𝑏]𝜑)) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))):(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴)
204 eluzfz1 13572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑚 + 1) ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)))
205144, 204syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)))
206205, 5eleq2s 2858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑚𝑍𝑀 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)))
207 vex 3483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 𝑐 ∈ V
208149, 199, 207fvmpt 7015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑀 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑀) = 𝑐)
209206, 208syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑚𝑍 → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑀) = 𝑐)
210209ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑚𝑍) ∧ (𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔𝑀) = 𝑑[(𝑔𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔𝑘) / 𝑏]𝜑)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑀) = 𝑐)
211 eluzfz2 13573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑚 + 1) ∈ (ℤ𝑀) → (𝑚 + 1) ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)))
212144, 211syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑚 + 1) ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)))
213212, 5eleq2s 2858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑚𝑍 → (𝑚 + 1) ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)))
214 eqeq1 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 = (𝑚 + 1) → (𝑥 = 𝑀 ↔ (𝑚 + 1) = 𝑀))
215 fvoveq1 7455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 = (𝑚 + 1) → (𝑔‘(𝑥 − 1)) = (𝑔‘((𝑚 + 1) − 1)))
216214, 215ifbieq2d 4551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 = (𝑚 + 1) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) = if((𝑚 + 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘((𝑚 + 1) − 1))))
217 fvex 6918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑔‘((𝑚 + 1) − 1)) ∈ V
218207, 217ifex 4575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 if((𝑚 + 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘((𝑚 + 1) − 1))) ∈ V
219216, 199, 218fvmpt 7015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑚 + 1) ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑚 + 1)) = if((𝑚 + 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘((𝑚 + 1) − 1))))
220213, 219syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑚𝑍 → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑚 + 1)) = if((𝑚 + 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘((𝑚 + 1) − 1))))
221 eluzle 12892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑚)
222221, 5eleq2s 2858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑚𝑍𝑀𝑚)
223 zleltp1 12670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑀𝑚𝑀 < (𝑚 + 1)))
2242, 167, 223sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑚𝑍 → (𝑀𝑚𝑀 < (𝑚 + 1)))
225222, 224mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑚𝑍𝑀 < (𝑚 + 1))
226 ltne 11359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 < (𝑚 + 1)) → (𝑚 + 1) ≠ 𝑀)
22746, 225, 226sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑚𝑍 → (𝑚 + 1) ≠ 𝑀)
228227neneqd 2944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑚𝑍 → ¬ (𝑚 + 1) = 𝑀)
229228iffalsed 4535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑚𝑍 → if((𝑚 + 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘((𝑚 + 1) − 1))) = (𝑔‘((𝑚 + 1) − 1)))
230185fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑚𝑍 → (𝑔‘((𝑚 + 1) − 1)) = (𝑔𝑚))
231220, 229, 2303eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑚𝑍 → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑚 + 1)) = (𝑔𝑚))
232231sbceq1d 3792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑚𝑍 → ([((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃[(𝑔𝑚) / 𝑎]𝜃))
233232biimpar 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑚𝑍[(𝑔𝑚) / 𝑎]𝜃) → [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃)
234233ad2ant2l 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑚𝑍) ∧ ((𝑔𝑀) = 𝑑[(𝑔𝑚) / 𝑎]𝜃)) → [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃)
2352343ad2antr2 1189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑚𝑍) ∧ (𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔𝑀) = 𝑑[(𝑔𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔𝑘) / 𝑏]𝜑)) → [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃)
236 eluzp1p1 12907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑚 + 1) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))
237236, 5eleq2s 2858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑚𝑍 → (𝑚 + 1) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))
23844fveq2i 6908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (ℤ𝑁) = (ℤ‘(𝑀 + 1))
239237, 238eleqtrrdi 2851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑚𝑍 → (𝑚 + 1) ∈ (ℤ𝑁))
240 elfzp12 13644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑚 + 1) ∈ (ℤ𝑁) → (𝑗 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1)) ↔ (𝑗 = 𝑁𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)))))
241239, 240syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑚𝑍 → (𝑗 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1)) ↔ (𝑗 = 𝑁𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)))))
242241biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑚𝑍𝑗 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))) → (𝑗 = 𝑁𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))))
243242adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑𝑚𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))) → (𝑗 = 𝑁𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))))
244243adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑𝑚𝑍) ∧ ((𝑔𝑀) = 𝑑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔𝑘) / 𝑏]𝜑)) ∧ 𝑗 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))) → (𝑗 = 𝑁𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))))
245 oveq1 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (𝑗 = 𝑁 → (𝑗 − 1) = (𝑁 − 1))
24644oveq1i 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (𝑁 − 1) = ((𝑀 + 1) − 1)
247246, 181eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (𝑁 − 1) = 𝑀
248245, 247eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝑗 = 𝑁 → (𝑗 − 1) = 𝑀)
249248fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝑗 = 𝑁 → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) = ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑀))
250249ad2antll 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑚𝑍 ∧ ((𝑔𝑀) = 𝑑𝑗 = 𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) = ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑀))
251209adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑚𝑍 ∧ ((𝑔𝑀) = 𝑑𝑗 = 𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑀) = 𝑐)
252250, 251eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝑚𝑍 ∧ ((𝑔𝑀) = 𝑑𝑗 = 𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) = 𝑐)
25344eqeq2i 2749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (𝑗 = 𝑁𝑗 = (𝑀 + 1))
254 fveq2 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (𝑗 = (𝑀 + 1) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) = ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑀 + 1)))
255253, 254sylbi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝑗 = 𝑁 → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) = ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑀 + 1)))
256255ad2antll 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑚𝑍 ∧ ((𝑔𝑀) = 𝑑𝑗 = 𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) = ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑀 + 1)))
25746, 154, 47ltleii 11385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 𝑀 ≤ (𝑀 + 1)
258 eluz2 12885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ((𝑀 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑀 + 1)))
2592, 49, 257, 258mpbir3an 1341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 (𝑀 + 1) ∈ (ℤ𝑀)
260 fzss1 13604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ((𝑀 + 1) ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) ⊆ (𝑀...(𝑚 + 1)))
261259, 260ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) ⊆ (𝑀...(𝑚 + 1))
262 eluzfz1 13572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑚))
263262, 5eleq2s 2858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 (𝑚𝑍𝑀 ∈ (𝑀...𝑚))
264 fzaddel 13599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∈ (𝑀...𝑚) ↔ (𝑀 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))))
2652, 169, 264mpanr12 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ (𝑀...𝑚) ↔ (𝑀 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))))
2662, 167, 265sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 (𝑚𝑍 → (𝑀 ∈ (𝑀...𝑚) ↔ (𝑀 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))))
267263, 266mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 (𝑚𝑍 → (𝑀 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)))
268261, 267sselid 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (𝑚𝑍 → (𝑀 + 1) ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)))
269 eqeq1 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 (𝑥 = (𝑀 + 1) → (𝑥 = 𝑀 ↔ (𝑀 + 1) = 𝑀))
270 oveq1 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 (𝑥 = (𝑀 + 1) → (𝑥 − 1) = ((𝑀 + 1) − 1))
271270, 181eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 (𝑥 = (𝑀 + 1) → (𝑥 − 1) = 𝑀)
272271fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 (𝑥 = (𝑀 + 1) → (𝑔‘(𝑥 − 1)) = (𝑔𝑀))
273269, 272ifbieq2d 4551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 (𝑥 = (𝑀 + 1) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) = if((𝑀 + 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔𝑀)))
274 fvex 6918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 (𝑔𝑀) ∈ V
275207, 274ifex 4575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 if((𝑀 + 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔𝑀)) ∈ V
276273, 199, 275fvmpt 7015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝑀 + 1) ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑀 + 1)) = if((𝑀 + 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔𝑀)))
277268, 276syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (𝑚𝑍 → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑀 + 1)) = if((𝑀 + 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔𝑀)))
27846, 47gtneii 11374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (𝑀 + 1) ≠ 𝑀
279 ifnefalse 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝑀 + 1) ≠ 𝑀 → if((𝑀 + 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔𝑀)) = (𝑔𝑀))
280278, 279ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 if((𝑀 + 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔𝑀)) = (𝑔𝑀)
281277, 280eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝑚𝑍 → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑀 + 1)) = (𝑔𝑀))
282281adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑚𝑍 ∧ ((𝑔𝑀) = 𝑑𝑗 = 𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑀 + 1)) = (𝑔𝑀))
283 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑚𝑍 ∧ ((𝑔𝑀) = 𝑑𝑗 = 𝑁)) → (𝑔𝑀) = 𝑑)
284256, 282, 2833eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑚𝑍 ∧ ((𝑔𝑀) = 𝑑𝑗 = 𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) = 𝑑)
285284sbceq1d 3792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝑚𝑍 ∧ ((𝑔𝑀) = 𝑑𝑗 = 𝑁)) → ([((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑[𝑑 / 𝑏]𝜑))
286252, 285sbceqbid 3794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝑚𝑍 ∧ ((𝑔𝑀) = 𝑑𝑗 = 𝑁)) → ([((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑[𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑))
287286biimparc 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ (𝑚𝑍 ∧ ((𝑔𝑀) = 𝑑𝑗 = 𝑁))) → [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑)
288287anassrs 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑𝑚𝑍) ∧ ((𝑔𝑀) = 𝑑𝑗 = 𝑁)) → [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑)
289288anassrs 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑𝑚𝑍) ∧ (𝑔𝑀) = 𝑑) ∧ 𝑗 = 𝑁) → [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑)
290289adantlrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑𝑚𝑍) ∧ ((𝑔𝑀) = 𝑑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔𝑘) / 𝑏]𝜑)) ∧ 𝑗 = 𝑁) → [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑)
291 elfzelz 13565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → 𝑗 ∈ ℤ)
292291adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑚𝑍𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → 𝑗 ∈ ℤ)
29344, 49eqeltri 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 𝑁 ∈ ℤ
294 peano2z 12660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
295293, 294ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (𝑁 + 1) ∈ ℤ
296 fzsubel 13601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ((((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℤ) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) ↔ (𝑗 − 1) ∈ (((𝑁 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1))))
297296biimpd 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ((((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℤ) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑗 − 1) ∈ (((𝑁 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1))))
298169, 297mpanr2 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑗 − 1) ∈ (((𝑁 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1))))
299298ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ ℤ → (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑗 − 1) ∈ (((𝑁 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1)))))
300295, 168, 299sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (𝑚𝑍 → (𝑗 ∈ ℤ → (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑗 − 1) ∈ (((𝑁 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1)))))
301300com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝑚𝑍 → (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑗 ∈ ℤ → (𝑗 − 1) ∈ (((𝑁 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1)))))
302301imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑚𝑍𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → (𝑗 ∈ ℤ → (𝑗 − 1) ∈ (((𝑁 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1))))
303292, 302mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑚𝑍𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → (𝑗 − 1) ∈ (((𝑁 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1)))
304293zrei 12621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 𝑁 ∈ ℝ
305304recni 11276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 𝑁 ∈ ℂ
306305, 180pncan3oi 11525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁
307306a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝑚𝑍 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
308307, 185oveq12d 7450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝑚𝑍 → (((𝑁 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1)) = (𝑁...𝑚))
309308adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑚𝑍𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → (((𝑁 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1)) = (𝑁...𝑚))
310303, 309eleqtrd 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝑚𝑍𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → (𝑗 − 1) ∈ (𝑁...𝑚))
311 fvoveq1 7455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑔‘(𝑘 − 1)) = (𝑔‘((𝑗 − 1) − 1)))
312 fveq2 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑔𝑘) = (𝑔‘(𝑗 − 1)))
313312sbceq1d 3792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝑘 = (𝑗 − 1) → ([(𝑔𝑘) / 𝑏]𝜑[(𝑔‘(𝑗 − 1)) / 𝑏]𝜑))
314311, 313sbceqbid 3794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝑘 = (𝑗 − 1) → ([(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔𝑘) / 𝑏]𝜑[(𝑔‘((𝑗 − 1) − 1)) / 𝑎][(𝑔‘(𝑗 − 1)) / 𝑏]𝜑))
315314rspcva 3619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((𝑗 − 1) ∈ (𝑁...𝑚) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔𝑘) / 𝑏]𝜑) → [(𝑔‘((𝑗 − 1) − 1)) / 𝑎][(𝑔‘(𝑗 − 1)) / 𝑏]𝜑)
316310, 315sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝑚𝑍𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔𝑘) / 𝑏]𝜑) → [(𝑔‘((𝑗 − 1) − 1)) / 𝑎][(𝑔‘(𝑗 − 1)) / 𝑏]𝜑)
31744, 259eqeltri 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 𝑁 ∈ (ℤ𝑀)
318 fzss1 13604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁...(𝑚 + 1)) ⊆ (𝑀...(𝑚 + 1)))
319317, 318ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (𝑁...(𝑚 + 1)) ⊆ (𝑀...(𝑚 + 1))
320 fzssp1 13608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (𝑁...𝑚) ⊆ (𝑁...(𝑚 + 1))
321320, 310sselid 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝑚𝑍𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → (𝑗 − 1) ∈ (𝑁...(𝑚 + 1)))
322319, 321sselid 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝑚𝑍𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → (𝑗 − 1) ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)))
323 eqeq1 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (𝑥 = (𝑗 − 1) → (𝑥 = 𝑀 ↔ (𝑗 − 1) = 𝑀))
324 fvoveq1 7455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (𝑥 = (𝑗 − 1) → (𝑔‘(𝑥 − 1)) = (𝑔‘((𝑗 − 1) − 1)))
325323, 324ifbieq2d 4551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (𝑥 = (𝑗 − 1) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) = if((𝑗 − 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘((𝑗 − 1) − 1))))
326 fvex 6918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (𝑔‘((𝑗 − 1) − 1)) ∈ V
327207, 326ifex 4575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 if((𝑗 − 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘((𝑗 − 1) − 1))) ∈ V
328325, 199, 327fvmpt 7015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝑗 − 1) ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) = if((𝑗 − 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘((𝑗 − 1) − 1))))
329322, 328syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑚𝑍𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) = if((𝑗 − 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘((𝑗 − 1) − 1))))
330154ltp1i 12173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 (𝑀 + 1) < ((𝑀 + 1) + 1)
33144oveq1i 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 (𝑁 + 1) = ((𝑀 + 1) + 1)
332330, 331breqtrri 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 (𝑀 + 1) < (𝑁 + 1)
333304, 153readdcli 11277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 (𝑁 + 1) ∈ ℝ
334154, 333ltnlei 11383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((𝑀 + 1) < (𝑁 + 1) ↔ ¬ (𝑁 + 1) ≤ (𝑀 + 1))
335332, 334mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ¬ (𝑁 + 1) ≤ (𝑀 + 1)
336291zcnd 12725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → 𝑗 ∈ ℂ)
337 subadd 11512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ((𝑗 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → ((𝑗 − 1) = 𝑀 ↔ (1 + 𝑀) = 𝑗))
338180, 179, 337mp3an23 1454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 (𝑗 ∈ ℂ → ((𝑗 − 1) = 𝑀 ↔ (1 + 𝑀) = 𝑗))
339336, 338syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → ((𝑗 − 1) = 𝑀 ↔ (1 + 𝑀) = 𝑗))
340 eqcom 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ((1 + 𝑀) = 𝑗𝑗 = (1 + 𝑀))
341180, 179addcomi 11453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 (1 + 𝑀) = (𝑀 + 1)
342341eqeq2i 2749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 (𝑗 = (1 + 𝑀) ↔ 𝑗 = (𝑀 + 1))
343340, 342bitri 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ((1 + 𝑀) = 𝑗𝑗 = (𝑀 + 1))
344 eleq1 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 (𝑗 = (𝑀 + 1) → (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) ↔ (𝑀 + 1) ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))))
345 elfzle1 13568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ((𝑀 + 1) ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑁 + 1) ≤ (𝑀 + 1))
346344, 345biimtrdi 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 (𝑗 = (𝑀 + 1) → (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑁 + 1) ≤ (𝑀 + 1)))
347346com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑗 = (𝑀 + 1) → (𝑁 + 1) ≤ (𝑀 + 1)))
348343, 347biimtrid 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → ((1 + 𝑀) = 𝑗 → (𝑁 + 1) ≤ (𝑀 + 1)))
349339, 348sylbid 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → ((𝑗 − 1) = 𝑀 → (𝑁 + 1) ≤ (𝑀 + 1)))
350335, 349mtoi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → ¬ (𝑗 − 1) = 𝑀)
351350adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝑚𝑍𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → ¬ (𝑗 − 1) = 𝑀)
352351iffalsed 4535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑚𝑍𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → if((𝑗 − 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘((𝑗 − 1) − 1))) = (𝑔‘((𝑗 − 1) − 1)))
353329, 352eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑚𝑍𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) = (𝑔‘((𝑗 − 1) − 1)))
354 peano2uz 12944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
355 fzss1 13604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) ⊆ (𝑀...(𝑚 + 1)))
356317, 354, 355mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) ⊆ (𝑀...(𝑚 + 1))
357 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝑚𝑍𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)))
358356, 357sselid 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝑚𝑍𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → 𝑗 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)))
359 eqeq1 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 (𝑥 = 𝑗 → (𝑥 = 𝑀𝑗 = 𝑀))
360 fvoveq1 7455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 (𝑥 = 𝑗 → (𝑔‘(𝑥 − 1)) = (𝑔‘(𝑗 − 1)))
361359, 360ifbieq2d 4551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (𝑥 = 𝑗 → if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) = if(𝑗 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑗 − 1))))
362 fvex 6918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 (𝑔‘(𝑗 − 1)) ∈ V
363207, 362ifex 4575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 if(𝑗 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑗 − 1))) ∈ V
364361, 199, 363fvmpt 7015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (𝑗 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) = if(𝑗 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑗 − 1))))
365358, 364syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝑚𝑍𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) = if(𝑗 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑗 − 1))))
36647, 44breqtrri 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 𝑀 < 𝑁
367304ltp1i 12173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 𝑁 < (𝑁 + 1)
36846, 304, 333lttri 11388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ((𝑀 < 𝑁𝑁 < (𝑁 + 1)) → 𝑀 < (𝑁 + 1))
369366, 367, 368mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 𝑀 < (𝑁 + 1)
37046, 333ltnlei 11383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 (𝑀 < (𝑁 + 1) ↔ ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑀)
371369, 370mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑀
372 eleq1 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 (𝑗 = 𝑀 → (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) ↔ 𝑀 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))))
373 elfzle1 13568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 (𝑀 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑀)
374372, 373biimtrdi 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 (𝑗 = 𝑀 → (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑀))
375374com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑗 = 𝑀 → (𝑁 + 1) ≤ 𝑀))
376371, 375mtoi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → ¬ 𝑗 = 𝑀)
377376adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝑚𝑍𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → ¬ 𝑗 = 𝑀)
378377iffalsed 4535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝑚𝑍𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → if(𝑗 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑗 − 1))) = (𝑔‘(𝑗 − 1)))
379365, 378eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑚𝑍𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) = (𝑔‘(𝑗 − 1)))
380379sbceq1d 3792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑚𝑍𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → ([((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑[(𝑔‘(𝑗 − 1)) / 𝑏]𝜑))
381353, 380sbceqbid 3794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝑚𝑍𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → ([((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑[(𝑔‘((𝑗 − 1) − 1)) / 𝑎][(𝑔‘(𝑗 − 1)) / 𝑏]𝜑))
382381biimpar 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝑚𝑍𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) ∧ [(𝑔‘((𝑗 − 1) − 1)) / 𝑎][(𝑔‘(𝑗 − 1)) / 𝑏]𝜑) → [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑)
383316, 382syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝑚𝑍𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔𝑘) / 𝑏]𝜑) → [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑)
384383an32s 652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝑚𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔𝑘) / 𝑏]𝜑) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑)
385384adantlrl 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑚𝑍 ∧ ((𝑔𝑀) = 𝑑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔𝑘) / 𝑏]𝜑)) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑)
386385adantlll 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑𝑚𝑍) ∧ ((𝑔𝑀) = 𝑑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔𝑘) / 𝑏]𝜑)) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑)
387290, 386jaodan 959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑𝑚𝑍) ∧ ((𝑔𝑀) = 𝑑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔𝑘) / 𝑏]𝜑)) ∧ (𝑗 = 𝑁𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)))) → [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑)
388244, 387syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑𝑚𝑍) ∧ ((𝑔𝑀) = 𝑑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔𝑘) / 𝑏]𝜑)) ∧ 𝑗 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))) → [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑)
389388ralrimiva 3145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑𝑚𝑍) ∧ ((𝑔𝑀) = 𝑑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔𝑘) / 𝑏]𝜑)) → ∀𝑗 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))[((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑)
390 fvoveq1 7455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) = ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑘 − 1)))
391 fveq2 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) = ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘))
392391sbceq1d 3792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑗 = 𝑘 → ([((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑[((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘) / 𝑏]𝜑))
393390, 392sbceqbid 3794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑗 = 𝑘 → ([((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑[((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘) / 𝑏]𝜑))
394393cbvralvw 3236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (∀𝑗 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))[((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))[((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘) / 𝑏]𝜑)
395389, 394sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑𝑚𝑍) ∧ ((𝑔𝑀) = 𝑑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔𝑘) / 𝑏]𝜑)) → ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))[((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘) / 𝑏]𝜑)
396395adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑚𝑍) ∧ ((𝑔𝑀) = 𝑑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔𝑘) / 𝑏]𝜑)) → ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))[((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘) / 𝑏]𝜑)
397396adantrlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑚𝑍) ∧ (((𝑔𝑀) = 𝑑[(𝑔𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔𝑘) / 𝑏]𝜑)) → ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))[((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘) / 𝑏]𝜑)
3983973adantr1 1169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑚𝑍) ∧ (𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔𝑀) = 𝑑[(𝑔𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔𝑘) / 𝑏]𝜑)) → ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))[((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘) / 𝑏]𝜑)
399 ovex 7465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑀...(𝑚 + 1)) ∈ V
400399mptex 7244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) ∈ V
401 feq1 6715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑓 = (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) → (𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ↔ (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))):(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴))
402 fveq1 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑓 = (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) → (𝑓𝑀) = ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑀))
403402eqeq1d 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑓 = (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) → ((𝑓𝑀) = 𝑐 ↔ ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑀) = 𝑐))
404 fveq1 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑓 = (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) → (𝑓‘(𝑚 + 1)) = ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑚 + 1)))
405404sbceq1d 3792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑓 = (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) → ([(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃[((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃))
406403, 405anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑓 = (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) → (((𝑓𝑀) = 𝑐[(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ↔ (((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑀) = 𝑐[((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃)))
407 fveq1 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑓 = (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) → (𝑓‘(𝑘 − 1)) = ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑘 − 1)))
408 fveq1 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑓 = (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) → (𝑓𝑘) = ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘))
409408sbceq1d 3792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑓 = (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) → ([(𝑓𝑘) / 𝑏]𝜑[((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘) / 𝑏]𝜑))
410407, 409sbceqbid 3794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑓 = (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) → ([(𝑓‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑓𝑘) / 𝑏]𝜑[((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘) / 𝑏]𝜑))
411113, 410bitr3id 285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑓 = (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) → (𝜒[((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘) / 𝑏]𝜑))
412411ralbidv 3177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑓 = (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) → (∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒 ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))[((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘) / 𝑏]𝜑))
413401, 406, 4123anbi123d 1437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑓 = (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) → ((𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐[(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒) ↔ ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))):(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ (((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑀) = 𝑐[((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))[((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘) / 𝑏]𝜑)))
414400, 413spcev 3605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))):(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ (((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑀) = 𝑐[((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))[((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐[(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒))
415203, 210, 235, 398, 414syl121anc 1376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑚𝑍) ∧ (𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔𝑀) = 𝑑[(𝑔𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔𝑘) / 𝑏]𝜑)) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐[(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒))
416415ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑚𝑍) → ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔𝑀) = 𝑑[(𝑔𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐[(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒)))
417143, 416chvarvv 1997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((([𝑑 / 𝑏]𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑚𝑍) → ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔𝑀) = 𝑑[(𝑔𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑎[(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒)))
418133, 417chvarvv 1997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑚𝑍) → ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔𝑀) = 𝑏[(𝑔𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑎[(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒)))
419418adantlrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴)) ∧ 𝑚𝑍) → ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔𝑀) = 𝑏[(𝑔𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑎[(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒)))
420419adantlll 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜂𝜑) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴)) ∧ 𝑚𝑍) → ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔𝑀) = 𝑏[(𝑔𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑎[(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒)))
421420imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜂𝜑) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴)) ∧ 𝑚𝑍) ∧ (𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔𝑀) = 𝑏[(𝑔𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔𝑘) / 𝑏]𝜑)) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑎[(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒))
422 oveq2 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑀...𝑛) = (𝑀...(𝑚 + 1)))
423422feq2d 6721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴))
424 fveq2 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑓𝑛) = (𝑓‘(𝑚 + 1)))
425424sbceq1d 3792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑛 = (𝑚 + 1) → ([(𝑓𝑛) / 𝑎]𝜃[(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃))
42638, 425bitr3id 285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝜏[(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃))
427426anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (((𝑓𝑀) = 𝑎𝜏) ↔ ((𝑓𝑀) = 𝑎[(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃)))
428 oveq2 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑁...𝑛) = (𝑁...(𝑚 + 1)))
429428raleqdv 3325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒 ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒))
430423, 427, 4293anbi123d 1437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑎𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ (𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑎[(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒)))
431430exbidv 1920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑎𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑎[(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒)))
432431rspcev 3621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑚 + 1) ∈ 𝑍 ∧ ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑎[(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒)) → ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑎𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))
433125, 421, 432syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜂𝜑) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴)) ∧ 𝑚𝑍) ∧ (𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔𝑀) = 𝑏[(𝑔𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔𝑘) / 𝑏]𝜑)) → ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑎𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))
434433ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜂𝜑) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴)) ∧ 𝑚𝑍) → ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔𝑀) = 𝑏[(𝑔𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑎𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
435434exlimdv 1932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜂𝜑) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴)) ∧ 𝑚𝑍) → (∃𝑔(𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔𝑀) = 𝑏[(𝑔𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑎𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
436435rexlimdva 3154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜂𝜑) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴)) → (∃𝑚𝑍𝑔(𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔𝑀) = 𝑏[(𝑔𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑎𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
437123, 436biimtrid 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜂𝜑) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴)) → (∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑏𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) → ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑎𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
43873, 88, 4373syld 60 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜂𝜑) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴)) → (∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎 → ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑎𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
439438an42s 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜂𝑎𝐴) ∧ (𝑏𝐴𝜑)) → (∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎 → ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑎𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
440439rexlimdvaa 3155 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜂𝑎𝐴) → (∃𝑏𝐴 𝜑 → (∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎 → ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑎𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))))
441440imp 406 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜂𝑎𝐴) ∧ ∃𝑏𝐴 𝜑) → (∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎 → ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑎𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
442 fdc.10 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜂𝑎𝐴) → (𝜃 ∨ ∃𝑏𝐴 𝜑))
44365, 441, 442mpjaodan 960 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜂𝑎𝐴) → (∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎 → ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑎𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
444138anbi1d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 = 𝑎 → (((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ↔ ((𝑓𝑀) = 𝑎𝜏)))
4454443anbi2d 1442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 = 𝑎 → ((𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ (𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑎𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
446445exbidv 1920 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 = 𝑎 → (∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑎𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
447446rexbidv 3178 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 = 𝑎 → (∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑎𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
448447elrab3 3692 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎𝐴 → (𝑎 ∈ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)} ↔ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑎𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
449448adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜂𝑎𝐴) → (𝑎 ∈ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)} ↔ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑎𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
450443, 449sylibrd 259 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜂𝑎𝐴) → (∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎𝑎 ∈ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}))
451450ex 412 . . . . . . . . . . 11 (𝜂 → (𝑎𝐴 → (∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎𝑎 ∈ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})))
452451com23 86 . . . . . . . . . 10 (𝜂 → (∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎 → (𝑎𝐴𝑎 ∈ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})))
453 eldif 3960 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ↔ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑎 ∈ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}))
454453notbii 320 . . . . . . . . . . 11 𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ↔ ¬ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑎 ∈ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}))
455 iman 401 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎𝐴𝑎 ∈ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ↔ ¬ (𝑎𝐴 ∧ ¬ 𝑎 ∈ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}))
456454, 455bitr4i 278 . . . . . . . . . 10 𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ↔ (𝑎𝐴𝑎 ∈ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}))
457452, 456imbitrrdi 252 . . . . . . . . 9 (𝜂 → (∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎 → ¬ 𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})))
458457con2d 134 . . . . . . . 8 (𝜂 → (𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) → ¬ ∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎))
459458imp 406 . . . . . . 7 ((𝜂𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})) → ¬ ∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎)
460459nrexdv 3148 . . . . . 6 (𝜂 → ¬ ∃𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎)
461 df-ne 2940 . . . . . . 7 ((𝐴 ∖ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ≠ ∅ ↔ ¬ (𝐴 ∖ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) = ∅)
462 fdc.9 . . . . . . . 8 (𝜂𝑅 Fr 𝐴)
463 difss 4135 . . . . . . . 8 (𝐴 ∖ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ⊆ 𝐴
464 fdc.1 . . . . . . . . . . 11 𝐴 ∈ V
465 difexg 5328 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∖ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ∈ V)
466464, 465ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∖ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ∈ V
467 fri 5641 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∖ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ∈ V ∧ 𝑅 Fr 𝐴) ∧ ((𝐴 ∖ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ≠ ∅)) → ∃𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎)
468466, 467mpanl1 700 . . . . . . . . 9 ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ ((𝐴 ∖ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ≠ ∅)) → ∃𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎)
469468expr 456 . . . . . . . 8 ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ⊆ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ≠ ∅ → ∃𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎))
470462, 463, 469sylancl 586 . . . . . . 7 (𝜂 → ((𝐴 ∖ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ≠ ∅ → ∃𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎))
471461, 470biimtrrid 243 . . . . . 6 (𝜂 → (¬ (𝐴 ∖ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) = ∅ → ∃𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎))
472460, 471mt3d 148 . . . . 5 (𝜂 → (𝐴 ∖ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) = ∅)
473 ssdif0 4365 . . . . 5 (𝐴 ⊆ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)} ↔ (𝐴 ∖ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) = ∅)
474472, 473sylibr 234 . . . 4 (𝜂𝐴 ⊆ {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})
47576a1i 11 . . . 4 (𝜂 → {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)} ⊆ 𝐴)
476474, 475eqssd 4000 . . 3 (𝜂𝐴 = {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})
477 rabid2 3469 . . 3 (𝐴 = {𝑐𝐴 ∣ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)} ↔ ∀𝑐𝐴𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))
478476, 477sylib 218 . 2 (𝜂 → ∀𝑐𝐴𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))
479 eqeq2 2748 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐶 → ((𝑓𝑀) = 𝑐 ↔ (𝑓𝑀) = 𝐶))
480479anbi1d 631 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐶 → (((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ↔ ((𝑓𝑀) = 𝐶𝜏)))
4814803anbi2d 1442 . . . . 5 (𝑐 = 𝐶 → ((𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ (𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝐶𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
482481exbidv 1920 . . . 4 (𝑐 = 𝐶 → (∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝐶𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
483482rexbidv 3178 . . 3 (𝑐 = 𝐶 → (∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝐶𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
484483rspcva 3619 . 2 ((𝐶𝐴 ∧ ∀𝑐𝐴𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)) → ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝐶𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))
4851, 478, 484syl2anc 584 1 (𝜂 → ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝐶𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1539  wex 1778  wcel 2107  wne 2939  wral 3060  wrex 3069  {crab 3435  Vcvv 3479  [wsbc 3787  cdif 3947  wss 3950  c0 4332  ifcif 4524  {csn 4625  cop 4631   class class class wbr 5142  cmpt 5224   Fr wfr 5633  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432  cc 11154  cr 11155  1c1 11157   + caddc 11159   < clt 11296  cle 11297  cmin 11493  cz 12615  cuz 12879  ...cfz 13548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549
This theorem is referenced by:  fdc1  37754
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