Theorem fdc 36917

Description: Finite version of dependent choice. Construct a function whose value depends on the previous function value, except at a final point at which no new value can be chosen. The final hypothesis ensures that the process will terminate. The proof does not use the Axiom of Choice. (Contributed by Jeff Madsen, 18-Jun-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
fdc.1	⊢ 𝐴 ∈ V
fdc.2	⊢ 𝑀 ∈ ℤ
fdc.3	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
fdc.4	⊢ 𝑁 = (𝑀 + 1)
fdc.5	⊢ (𝑎 = (𝑓‘(𝑘 − 1)) → (𝜑 ↔ 𝜓))
fdc.6	⊢ (𝑏 = (𝑓‘𝑘) → (𝜓 ↔ 𝜒))
fdc.7	⊢ (𝑎 = (𝑓‘𝑛) → (𝜃 ↔ 𝜏))
fdc.8	⊢ (𝜂 → 𝐶 ∈ 𝐴)
fdc.9	⊢ (𝜂 → 𝑅 Fr 𝐴)
fdc.10	⊢ ((𝜂 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝜃 ∨ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝜑))
fdc.11	⊢ (((𝜂 ∧ 𝜑) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) → 𝑏𝑅𝑎)

Assertion

Ref	Expression
fdc	⊢ (𝜂 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝐶 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑓,𝑛   𝐴,𝑎,𝑏,𝑓,𝑛   𝑀,𝑎,𝑏,𝑓,𝑘,𝑛   𝑍,𝑎,𝑏,𝑛   𝑁,𝑎,𝑏,𝑓,𝑘,𝑛   𝑅,𝑎,𝑏   𝜑,𝑓,𝑘   𝜓,𝑎   𝜒,𝑎,𝑏,𝑛   𝜃,𝑓,𝑛   𝜏,𝑎,𝑏   𝜂,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛,𝑎,𝑏)   𝜓(𝑓,𝑘,𝑛,𝑏)   𝜒(𝑓,𝑘)   𝜃(𝑘,𝑎,𝑏)   𝜏(𝑓,𝑘,𝑛)   𝜂(𝑓,𝑘,𝑛)   𝐴(𝑘)   𝐶(𝑘,𝑎,𝑏)   𝑅(𝑓,𝑘,𝑛)   𝑍(𝑓,𝑘)

Proof of Theorem fdc

Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑔 𝑚 𝑥 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fdc.8	. 2 ⊢ (𝜂 → 𝐶 ∈ 𝐴)
2		fdc.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑀 ∈ ℤ
3		uzid 12842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀)
5		fdc.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6	4, 5	eleqtrri 2831	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑀 ∈ 𝑍
7		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ {⟨𝑀, 𝑎⟩} = {⟨𝑀, 𝑎⟩}
8	2	elexi 3493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 𝑀 ∈ V
9		vex 3477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 𝑎 ∈ V
10	8, 9	fsn 7135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ({⟨𝑀, 𝑎⟩}:{𝑀}⟶{𝑎} ↔ {⟨𝑀, 𝑎⟩} = {⟨𝑀, 𝑎⟩})
11	7, 10	mpbir 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ {⟨𝑀, 𝑎⟩}:{𝑀}⟶{𝑎}
12		snssi 4811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → {𝑎} ⊆ 𝐴)
13		fss 6734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (({⟨𝑀, 𝑎⟩}:{𝑀}⟶{𝑎} ∧ {𝑎} ⊆ 𝐴) → {⟨𝑀, 𝑎⟩}:{𝑀}⟶𝐴)
14	11, 12, 13	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → {⟨𝑀, 𝑎⟩}:{𝑀}⟶𝐴)
15		fzsn 13548	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
16	2, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑀...𝑀) = {𝑀}
17	16	feq2i 6709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ({⟨𝑀, 𝑎⟩}:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ↔ {⟨𝑀, 𝑎⟩}:{𝑀}⟶𝐴)
18	14, 17	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → {⟨𝑀, 𝑎⟩}:(𝑀...𝑀)⟶𝐴)
19	18	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝜃) → {⟨𝑀, 𝑎⟩}:(𝑀...𝑀)⟶𝐴)
20	8, 9	fvsn 7181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ({⟨𝑀, 𝑎⟩}‘𝑀) = 𝑎
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝜃) → ({⟨𝑀, 𝑎⟩}‘𝑀) = 𝑎)
22		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝜃) → 𝜃)
23		snex 5431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ {⟨𝑀, 𝑎⟩} ∈ V
24		feq1 6698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑀, 𝑎⟩} → (𝑓:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ↔ {⟨𝑀, 𝑎⟩}:(𝑀...𝑀)⟶𝐴))
25		fveq1 6890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑀, 𝑎⟩} → (𝑓‘𝑀) = ({⟨𝑀, 𝑎⟩}‘𝑀))
26	25	eqeq1d 2733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑀, 𝑎⟩} → ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ↔ ({⟨𝑀, 𝑎⟩}‘𝑀) = 𝑎))
27	25, 20	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑀, 𝑎⟩} → (𝑓‘𝑀) = 𝑎)
28		sbceq2a 3789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 → ([(𝑓‘𝑀) / 𝑎]𝜃 ↔ 𝜃))
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑀, 𝑎⟩} → ([(𝑓‘𝑀) / 𝑎]𝜃 ↔ 𝜃))
30	26, 29	anbi12d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑀, 𝑎⟩} → (((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘𝑀) / 𝑎]𝜃) ↔ (({⟨𝑀, 𝑎⟩}‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜃)))
31	24, 30	anbi12d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑀, 𝑎⟩} → ((𝑓:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘𝑀) / 𝑎]𝜃)) ↔ ({⟨𝑀, 𝑎⟩}:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ (({⟨𝑀, 𝑎⟩}‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜃))))
32	23, 31	spcev 3596	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (({⟨𝑀, 𝑎⟩}:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ (({⟨𝑀, 𝑎⟩}‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜃)) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘𝑀) / 𝑎]𝜃)))
33	19, 21, 22, 32	syl12anc 834	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝜃) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘𝑀) / 𝑎]𝜃)))
34		oveq2 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑀...𝑛) = (𝑀...𝑀))
35	34	feq2d 6703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ↔ 𝑓:(𝑀...𝑀)⟶𝐴))
36		fvex 6904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑓‘𝑛) ∈ V
37		fdc.7	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑎 = (𝑓‘𝑛) → (𝜃 ↔ 𝜏))
38	36, 37	sbcie 3820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ([(𝑓‘𝑛) / 𝑎]𝜃 ↔ 𝜏)
39		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑓‘𝑛) = (𝑓‘𝑀))
40	39	sbceq1d 3782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ([(𝑓‘𝑛) / 𝑎]𝜃 ↔ [(𝑓‘𝑀) / 𝑎]𝜃))
41	38, 40	bitr3id 285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝜏 ↔ [(𝑓‘𝑀) / 𝑎]𝜃))
42	41	anbi2d 628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ↔ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘𝑀) / 𝑎]𝜃)))
43		oveq2 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑁...𝑛) = (𝑁...𝑀))
44		fdc.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 𝑁 = (𝑀 + 1)
45	44	oveq1i 7422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁...𝑀) = ((𝑀 + 1)...𝑀)
46	2	zrei 12569	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 𝑀 ∈ ℝ
47	46	ltp1i 12123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 𝑀 < (𝑀 + 1)
48		peano2z 12608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
49	2, 48	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑀 + 1) ∈ ℤ
50		fzn 13522	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < (𝑀 + 1) ↔ ((𝑀 + 1)...𝑀) = ∅))
51	49, 2, 50	mp2an 689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑀 < (𝑀 + 1) ↔ ((𝑀 + 1)...𝑀) = ∅)
52	47, 51	mpbi 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑀 + 1)...𝑀) = ∅
53	45, 52	eqtri 2759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁...𝑀) = ∅
54	43, 53	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑁...𝑛) = ∅)
55	54	raleqdv 3324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒 ↔ ∀𝑘 ∈ ∅ 𝜒))
56	35, 42, 55	3anbi123d 1435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ (𝑓:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘𝑀) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ ∅ 𝜒)))
57		ral0 4512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ∀𝑘 ∈ ∅ 𝜒
58		df-3an 1088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑓:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘𝑀) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ ∅ 𝜒) ↔ ((𝑓:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘𝑀) / 𝑎]𝜃)) ∧ ∀𝑘 ∈ ∅ 𝜒))
59	57, 58	mpbiran2 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑓:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘𝑀) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ ∅ 𝜒) ↔ (𝑓:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘𝑀) / 𝑎]𝜃)))
60	56, 59	bitrdi 287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ (𝑓:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘𝑀) / 𝑎]𝜃))))
61	60	exbidv 1923	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘𝑀) / 𝑎]𝜃))))
62	61	rspcev 3612	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑍 ∧ ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘𝑀) / 𝑎]𝜃))) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))
63	6, 33, 62	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝜃) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))
64	63	adantll 711	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝜃) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))
65	64	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝜃) → (∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
66		fdc.11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝜑) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) → 𝑏𝑅𝑎)
67		breq1 5151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑑 = 𝑏 → (𝑑𝑅𝑎 ↔ 𝑏𝑅𝑎))
68	67	rspcev 3612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑏 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ∧ 𝑏𝑅𝑎) → ∃𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})𝑑𝑅𝑎)
69	68	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑏𝑅𝑎 → (𝑏 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) → ∃𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})𝑑𝑅𝑎))
70	66, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝜑) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) → (𝑏 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) → ∃𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})𝑑𝑅𝑎))
71		dfrex2 3072	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∃𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})𝑑𝑅𝑎 ↔ ¬ ∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎)
72	70, 71	imbitrdi 250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝜑) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) → (𝑏 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) → ¬ ∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎))
73	72	con2d 134	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝜑) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) → (∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎 → ¬ 𝑏 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})))
74		eldif 3958	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})) ↔ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑏 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})))
75	74	simplbi2 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐴 → (¬ 𝑏 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) → 𝑏 ∈ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}))))
76		ssrab2 4077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)} ⊆ 𝐴
77		dfss4 4258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ({𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)} ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})) = {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})
78	76, 77	mpbi 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})) = {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}
79	78	eleq2i 2824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})) ↔ 𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})
80		eqeq2 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ↔ (𝑓‘𝑀) = 𝑏))
81	80	anbi1d 629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → (((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ↔ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ 𝜏)))
82	81	3anbi2d 1440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → ((𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ (𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
83	82	exbidv 1923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → (∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
84	83	rexbidv 3177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
85	84	elrab3 3684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐴 → (𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)} ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
86	79, 85	bitrid 283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐴 → (𝑏 ∈ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})) ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
87	75, 86	sylibd 238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐴 → (¬ 𝑏 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
88	87	ad2antll 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝜑) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) → (¬ 𝑏 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
89		oveq2 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑀...𝑛) = (𝑀...𝑚))
90	89	feq2d 6703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ↔ 𝑓:(𝑀...𝑚)⟶𝐴))
91		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑓‘𝑛) = (𝑓‘𝑚))
92	91	sbceq1d 3782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ([(𝑓‘𝑛) / 𝑎]𝜃 ↔ [(𝑓‘𝑚) / 𝑎]𝜃))
93	38, 92	bitr3id 285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝜏 ↔ [(𝑓‘𝑚) / 𝑎]𝜃))
94	93	anbi2d 628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ 𝜏) ↔ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑓‘𝑚) / 𝑎]𝜃)))
95		oveq2 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑁...𝑛) = (𝑁...𝑚))
96	95	raleqdv 3324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒 ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)𝜒))
97	90, 94, 96	3anbi123d 1435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ (𝑓:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑓‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)𝜒)))
98	97	exbidv 1923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑓‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)𝜒)))
99	98	cbvrexvw 3234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑓‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)𝜒))
100		feq1 6698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑓:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ↔ 𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴))
101		fveq1 6890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑓‘𝑀) = (𝑔‘𝑀))
102	101	eqeq1d 2733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ↔ (𝑔‘𝑀) = 𝑏))
103		fveq1 6890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑓‘𝑚) = (𝑔‘𝑚))
104	103	sbceq1d 3782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → ([(𝑓‘𝑚) / 𝑎]𝜃 ↔ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃))
105	102, 104	anbi12d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑓‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ↔ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃)))
106		fvex 6904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑓‘(𝑘 − 1)) ∈ V
107		fdc.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑎 = (𝑓‘(𝑘 − 1)) → (𝜑 ↔ 𝜓))
108	107	sbcbidv 3836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑎 = (𝑓‘(𝑘 − 1)) → ([(𝑓‘𝑘) / 𝑏]𝜑 ↔ [(𝑓‘𝑘) / 𝑏]𝜓))
109	106, 108	sbcie 3820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ([(𝑓‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑓‘𝑘) / 𝑏]𝜑 ↔ [(𝑓‘𝑘) / 𝑏]𝜓)
110		fvex 6904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑓‘𝑘) ∈ V
111		fdc.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑏 = (𝑓‘𝑘) → (𝜓 ↔ 𝜒))
112	110, 111	sbcie 3820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ([(𝑓‘𝑘) / 𝑏]𝜓 ↔ 𝜒)
113	109, 112	bitri 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ([(𝑓‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑓‘𝑘) / 𝑏]𝜑 ↔ 𝜒)
114		fveq1 6890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑓‘(𝑘 − 1)) = (𝑔‘(𝑘 − 1)))
115		fveq1 6890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑓‘𝑘) = (𝑔‘𝑘))
116	115	sbceq1d 3782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → ([(𝑓‘𝑘) / 𝑏]𝜑 ↔ [(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑))
117	114, 116	sbceqbid 3784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → ([(𝑓‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑓‘𝑘) / 𝑏]𝜑 ↔ [(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑))
118	113, 117	bitr3id 285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝜒 ↔ [(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑))
119	118	ralbidv 3176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)𝜒 ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑))
120	100, 105, 119	3anbi123d 1435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → ((𝑓:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑓‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)𝜒) ↔ (𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)))
121	120	cbvexvw 2039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑓‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)𝜒) ↔ ∃𝑔(𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑))
122	121	rexbii 3093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∃𝑚 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑓‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)𝜒) ↔ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∃𝑔(𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑))
123	99, 122	bitri 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∃𝑔(𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑))
124	5	peano2uzs 12891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑚 + 1) ∈ 𝑍)
125	124	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜂 ∧ 𝜑) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ (𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) → (𝑚 + 1) ∈ 𝑍)
126		sbceq2a 3789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑑 = 𝑏 → ([𝑑 / 𝑏]𝜑 ↔ 𝜑))
127	126	anbi1d 629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑑 = 𝑏 → (([𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴)))
128	127	anbi1d 629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑑 = 𝑏 → ((([𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍)))
129		eqeq2 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑑 = 𝑏 → ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ↔ (𝑔‘𝑀) = 𝑏))
130	129	anbi1d 629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑑 = 𝑏 → (((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ↔ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃)))
131	130	3anbi2d 1440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑑 = 𝑏 → ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) ↔ (𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)))
132	131	imbi1d 341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑑 = 𝑏 → (((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒)) ↔ ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒))))
133	128, 132	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑑 = 𝑏 → (((([𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒))) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒)))))
134		sbceq2a 3789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → ([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ↔ [𝑑 / 𝑏]𝜑))
135		eleq1 2820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → (𝑐 ∈ 𝐴 ↔ 𝑎 ∈ 𝐴))
136	134, 135	anbi12d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → (([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ↔ ([𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴)))
137	136	anbi1d 629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → ((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ↔ (([𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍)))
138		eqeq2 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ↔ (𝑓‘𝑀) = 𝑎))
139	138	anbi1d 629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → (((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ↔ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃)))
140	139	3anbi2d 1440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → ((𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒) ↔ (𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒)))
141	140	exbidv 1923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → (∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒) ↔ ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒)))
142	141	imbi2d 340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → (((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒)) ↔ ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒))))
143	137, 142	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒))) ↔ ((([𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒)))))
144		peano2uz 12890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑚 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
145	144, 5	eleq2s 2850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑚 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
146		elfzp12 13585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑚 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↔ (𝑥 = 𝑀 ∨ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)))))
147	145, 146	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↔ (𝑥 = 𝑀 ∨ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)))))
148	147	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ 𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↔ (𝑥 = 𝑀 ∨ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)))))
149		iftrue 4534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) = 𝑐)
150	149	eleq1d 2817	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) ∈ 𝐴 ↔ 𝑐 ∈ 𝐴))
151	150	biimprcd 249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑐 ∈ 𝐴 → (𝑥 = 𝑀 → if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) ∈ 𝐴))
152	151	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ 𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴) → (𝑥 = 𝑀 → if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) ∈ 𝐴))
153		1re 11219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ 1 ∈ ℝ
154	46, 153	readdcli 11234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝑀 + 1) ∈ ℝ
155	46, 154	ltnlei 11340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (𝑀 < (𝑀 + 1) ↔ ¬ (𝑀 + 1) ≤ 𝑀)
156	47, 155	mpbi 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ¬ (𝑀 + 1) ≤ 𝑀
157		eleq1 2820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) ↔ 𝑀 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))))
158		elfzle1 13509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝑀 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑀)
159	157, 158	syl6bi 253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑀))
160	159	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑥 = 𝑀 → (𝑀 + 1) ≤ 𝑀))
161	156, 160	mtoi 198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) → ¬ 𝑥 = 𝑀)
162	161	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))) → ¬ 𝑥 = 𝑀)
163	162	iffalsed 4539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) = (𝑔‘(𝑥 − 1)))
164		elfzelz 13506	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) → 𝑥 ∈ ℤ)
165	164	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))) → 𝑥 ∈ ℤ)
166		eluzelz 12837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑚 ∈ ℤ)
167	166, 5	eleq2s 2850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → 𝑚 ∈ ℤ)
168	167	peano2zd 12674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑚 + 1) ∈ ℤ)
169		1z 12597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ 1 ∈ ℤ
170		fzsubel 13542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ⊢ ((((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) ↔ (𝑥 − 1) ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1))))
171	170	biimpd 228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ ((((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑥 − 1) ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1))))
172	169, 171	mpanr2 701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ ((((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑥 − 1) ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1))))
173	49, 172	mpanl1 697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (((𝑚 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑥 − 1) ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1))))
174	173	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((𝑚 + 1) ∈ ℤ → (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑥 − 1) ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1)))))
175	168, 174	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑥 − 1) ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1)))))
176	175	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 − 1) ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1)))))
177	176	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))) → (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 − 1) ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1))))
178	165, 177	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))) → (𝑥 − 1) ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1)))
179	46	recni 11233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
180		ax-1cn 11172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ 1 ∈ ℂ
181	179, 180	pncan3oi 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀
182	181	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
183	167	zcnd 12672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → 𝑚 ∈ ℂ)
184		pncan 11471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑚 + 1) − 1) = 𝑚)
185	183, 180, 184	sylancl 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → ((𝑚 + 1) − 1) = 𝑚)
186	182, 185	oveq12d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (((𝑀 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1)) = (𝑀...𝑚))
187	186	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))) → (((𝑀 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1)) = (𝑀...𝑚))
188	178, 187	eleqtrd 2834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))) → (𝑥 − 1) ∈ (𝑀...𝑚))
189		ffvelcdm 7083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ (𝑥 − 1) ∈ (𝑀...𝑚)) → (𝑔‘(𝑥 − 1)) ∈ 𝐴)
190	188, 189	sylan2 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ (𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)))) → (𝑔‘(𝑥 − 1)) ∈ 𝐴)
191	190	anassrs 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))) → (𝑔‘(𝑥 − 1)) ∈ 𝐴)
192	191	ancom1s 650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))) → (𝑔‘(𝑥 − 1)) ∈ 𝐴)
193	163, 192	eqeltrd 2832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) ∈ 𝐴)
194	193	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴) → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) ∈ 𝐴))
195	194	adantll 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ 𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴) → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) ∈ 𝐴))
196	152, 195	jaod 856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ 𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴) → ((𝑥 = 𝑀 ∨ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) ∈ 𝐴))
197	148, 196	sylbid 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ 𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) ∈ 𝐴))
198	197	ralrimiv 3144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ 𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴) → ∀𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1))if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) ∈ 𝐴)
199		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) = (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))
200	199	fmpt 7111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1))if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))):(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴)
201	198, 200	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ 𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))):(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴)
202	201	adantlll 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ 𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))):(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴)
203	202	3ad2antr1 1187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ (𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))):(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴)
204		eluzfz1 13513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑚 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)))
205	144, 204	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)))
206	205, 5	eleq2s 2850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → 𝑀 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)))
207		vex 3477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ 𝑐 ∈ V
208	149, 199, 207	fvmpt 6998	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑀 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑀) = 𝑐)
209	206, 208	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑀) = 𝑐)
210	209	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ (𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑀) = 𝑐)
211		eluzfz2 13514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑚 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑚 + 1) ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)))
212	144, 211	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑚 + 1) ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)))
213	212, 5	eleq2s 2850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑚 + 1) ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)))
214		eqeq1 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑥 = (𝑚 + 1) → (𝑥 = 𝑀 ↔ (𝑚 + 1) = 𝑀))
215		fvoveq1 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑥 = (𝑚 + 1) → (𝑔‘(𝑥 − 1)) = (𝑔‘((𝑚 + 1) − 1)))
216	214, 215	ifbieq2d 4554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑥 = (𝑚 + 1) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) = if((𝑚 + 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘((𝑚 + 1) − 1))))
217		fvex 6904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑔‘((𝑚 + 1) − 1)) ∈ V
218	207, 217	ifex 4578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ if((𝑚 + 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘((𝑚 + 1) − 1))) ∈ V
219	216, 199, 218	fvmpt 6998	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑚 + 1) ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑚 + 1)) = if((𝑚 + 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘((𝑚 + 1) − 1))))
220	213, 219	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑚 + 1)) = if((𝑚 + 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘((𝑚 + 1) − 1))))
221		eluzle 12840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑚)
222	221, 5	eleq2s 2850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → 𝑀 ≤ 𝑚)
223		zleltp1 12618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑚 ↔ 𝑀 < (𝑚 + 1)))
224	2, 167, 223	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑀 ≤ 𝑚 ↔ 𝑀 < (𝑚 + 1)))
225	222, 224	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → 𝑀 < (𝑚 + 1))
226		ltne 11316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 < (𝑚 + 1)) → (𝑚 + 1) ≠ 𝑀)
227	46, 225, 226	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑚 + 1) ≠ 𝑀)
228	227	neneqd 2944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → ¬ (𝑚 + 1) = 𝑀)
229	228	iffalsed 4539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → if((𝑚 + 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘((𝑚 + 1) − 1))) = (𝑔‘((𝑚 + 1) − 1)))
230	185	fveq2d 6895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑔‘((𝑚 + 1) − 1)) = (𝑔‘𝑚))
231	220, 229, 230	3eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑚 + 1)) = (𝑔‘𝑚))
232	231	sbceq1d 3782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → ([((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃 ↔ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃))
233	232	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) → [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃)
234	233	ad2ant2l 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃)) → [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃)
235	234	3ad2antr2 1188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ (𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) → [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃)
236		eluzp1p1 12855	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑚 + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))
237	236, 5	eleq2s 2850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑚 + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))
238	44	fveq2i 6894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) = (ℤ≥‘(𝑀 + 1))
239	237, 238	eleqtrrdi 2843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑚 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
240		elfzp12 13585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑚 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝑗 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1)) ↔ (𝑗 = 𝑁 ∨ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)))))
241	239, 240	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑗 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1)) ↔ (𝑗 = 𝑁 ∨ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)))))
242	241	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))) → (𝑗 = 𝑁 ∨ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))))
243	242	adantll 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))) → (𝑗 = 𝑁 ∨ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))))
244	243	adantlr 712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) ∧ 𝑗 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))) → (𝑗 = 𝑁 ∨ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))))
245		oveq1 7419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝑗 − 1) = (𝑁 − 1))
246	44	oveq1i 7422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (𝑁 − 1) = ((𝑀 + 1) − 1)
247	246, 181	eqtri 2759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (𝑁 − 1) = 𝑀
248	245, 247	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝑗 − 1) = 𝑀)
249	248	fveq2d 6895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) = ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑀))
250	249	ad2antll 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ 𝑗 = 𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) = ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑀))
251	209	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ 𝑗 = 𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑀) = 𝑐)
252	250, 251	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ 𝑗 = 𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) = 𝑐)
253	44	eqeq2i 2744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (𝑗 = 𝑁 ↔ 𝑗 = (𝑀 + 1))
254		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (𝑗 = (𝑀 + 1) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) = ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑀 + 1)))
255	253, 254	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) = ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑀 + 1)))
256	255	ad2antll 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ 𝑗 = 𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) = ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑀 + 1)))
257	46, 154, 47	ltleii 11342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ 𝑀 ≤ (𝑀 + 1)
258		eluz2 12833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ ((𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑀 + 1)))
259	2, 49, 257, 258	mpbir3an 1340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)
260		fzss1 13545	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ ((𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) ⊆ (𝑀...(𝑚 + 1)))
261	259, 260	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) ⊆ (𝑀...(𝑚 + 1))
262		eluzfz1 13513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑚))
263	262, 5	eleq2s 2850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑚))
264		fzaddel 13540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∈ (𝑀...𝑚) ↔ (𝑀 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))))
265	2, 169, 264	mpanr12 702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ (𝑀...𝑚) ↔ (𝑀 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))))
266	2, 167, 265	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑀 ∈ (𝑀...𝑚) ↔ (𝑀 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))))
267	263, 266	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑀 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)))
268	261, 267	sselid 3980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑀 + 1) ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)))
269		eqeq1 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (𝑥 = (𝑀 + 1) → (𝑥 = 𝑀 ↔ (𝑀 + 1) = 𝑀))
270		oveq1 7419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ⊢ (𝑥 = (𝑀 + 1) → (𝑥 − 1) = ((𝑀 + 1) − 1))
271	270, 181	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ (𝑥 = (𝑀 + 1) → (𝑥 − 1) = 𝑀)
272	271	fveq2d 6895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (𝑥 = (𝑀 + 1) → (𝑔‘(𝑥 − 1)) = (𝑔‘𝑀))
273	269, 272	ifbieq2d 4554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (𝑥 = (𝑀 + 1) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) = if((𝑀 + 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘𝑀)))
274		fvex 6904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (𝑔‘𝑀) ∈ V
275	207, 274	ifex 4578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ if((𝑀 + 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘𝑀)) ∈ V
276	273, 199, 275	fvmpt 6998	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((𝑀 + 1) ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑀 + 1)) = if((𝑀 + 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘𝑀)))
277	268, 276	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑀 + 1)) = if((𝑀 + 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘𝑀)))
278	46, 47	gtneii 11331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (𝑀 + 1) ≠ 𝑀
279		ifnefalse 4540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((𝑀 + 1) ≠ 𝑀 → if((𝑀 + 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘𝑀)) = (𝑔‘𝑀))
280	278, 279	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ if((𝑀 + 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘𝑀)) = (𝑔‘𝑀)
281	277, 280	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑀 + 1)) = (𝑔‘𝑀))
282	281	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ 𝑗 = 𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑀 + 1)) = (𝑔‘𝑀))
283		simprl 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ 𝑗 = 𝑁)) → (𝑔‘𝑀) = 𝑑)
284	256, 282, 283	3eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ 𝑗 = 𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) = 𝑑)
285	284	sbceq1d 3782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ 𝑗 = 𝑁)) → ([((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑 ↔ [𝑑 / 𝑏]𝜑))
286	252, 285	sbceqbid 3784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ 𝑗 = 𝑁)) → ([((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑 ↔ [𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑))
287	286	biimparc 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑍 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ 𝑗 = 𝑁))) → [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑)
288	287	anassrs 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ 𝑗 = 𝑁)) → [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑)
289	288	anassrs 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑀) = 𝑑) ∧ 𝑗 = 𝑁) → [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑)
290	289	adantlrr 718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) ∧ 𝑗 = 𝑁) → [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑)
291		elfzelz 13506	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → 𝑗 ∈ ℤ)
292	291	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → 𝑗 ∈ ℤ)
293	44, 49	eqeltri 2828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ 𝑁 ∈ ℤ
294		peano2z 12608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
295	293, 294	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (𝑁 + 1) ∈ ℤ
296		fzsubel 13542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ ((((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℤ) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) ↔ (𝑗 − 1) ∈ (((𝑁 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1))))
297	296	biimpd 228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ ((((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℤ) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑗 − 1) ∈ (((𝑁 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1))))
298	169, 297	mpanr2 701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ ((((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑗 − 1) ∈ (((𝑁 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1))))
299	298	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ ℤ → (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑗 − 1) ∈ (((𝑁 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1)))))
300	295, 168, 299	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑗 ∈ ℤ → (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑗 − 1) ∈ (((𝑁 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1)))))
301	300	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑗 ∈ ℤ → (𝑗 − 1) ∈ (((𝑁 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1)))))
302	301	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → (𝑗 ∈ ℤ → (𝑗 − 1) ∈ (((𝑁 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1))))
303	292, 302	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → (𝑗 − 1) ∈ (((𝑁 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1)))
304	293	zrei 12569	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
305	304	recni 11233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
306	305, 180	pncan3oi 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁
307	306	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
308	307, 185	oveq12d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (((𝑁 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1)) = (𝑁...𝑚))
309	308	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → (((𝑁 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1)) = (𝑁...𝑚))
310	303, 309	eleqtrd 2834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → (𝑗 − 1) ∈ (𝑁...𝑚))
311		fvoveq1 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑔‘(𝑘 − 1)) = (𝑔‘((𝑗 − 1) − 1)))
312		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑔‘𝑘) = (𝑔‘(𝑗 − 1)))
313	312	sbceq1d 3782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → ([(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑 ↔ [(𝑔‘(𝑗 − 1)) / 𝑏]𝜑))
314	311, 313	sbceqbid 3784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → ([(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑 ↔ [(𝑔‘((𝑗 − 1) − 1)) / 𝑎][(𝑔‘(𝑗 − 1)) / 𝑏]𝜑))
315	314	rspcva 3610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((𝑗 − 1) ∈ (𝑁...𝑚) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → [(𝑔‘((𝑗 − 1) − 1)) / 𝑎][(𝑔‘(𝑗 − 1)) / 𝑏]𝜑)
316	310, 315	sylan 579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → [(𝑔‘((𝑗 − 1) − 1)) / 𝑎][(𝑔‘(𝑗 − 1)) / 𝑏]𝜑)
317	44, 259	eqeltri 2828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)
318		fzss1 13545	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁...(𝑚 + 1)) ⊆ (𝑀...(𝑚 + 1)))
319	317, 318	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (𝑁...(𝑚 + 1)) ⊆ (𝑀...(𝑚 + 1))
320		fzssp1 13549	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (𝑁...𝑚) ⊆ (𝑁...(𝑚 + 1))
321	320, 310	sselid 3980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → (𝑗 − 1) ∈ (𝑁...(𝑚 + 1)))
322	319, 321	sselid 3980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → (𝑗 − 1) ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)))
323		eqeq1 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (𝑥 = (𝑗 − 1) → (𝑥 = 𝑀 ↔ (𝑗 − 1) = 𝑀))
324		fvoveq1 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (𝑥 = (𝑗 − 1) → (𝑔‘(𝑥 − 1)) = (𝑔‘((𝑗 − 1) − 1)))
325	323, 324	ifbieq2d 4554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (𝑥 = (𝑗 − 1) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) = if((𝑗 − 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘((𝑗 − 1) − 1))))
326		fvex 6904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (𝑔‘((𝑗 − 1) − 1)) ∈ V
327	207, 326	ifex 4578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ if((𝑗 − 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘((𝑗 − 1) − 1))) ∈ V
328	325, 199, 327	fvmpt 6998	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝑗 − 1) ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) = if((𝑗 − 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘((𝑗 − 1) − 1))))
329	322, 328	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) = if((𝑗 − 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘((𝑗 − 1) − 1))))
330	154	ltp1i 12123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (𝑀 + 1) < ((𝑀 + 1) + 1)
331	44	oveq1i 7422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (𝑁 + 1) = ((𝑀 + 1) + 1)
332	330, 331	breqtrri 5175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (𝑀 + 1) < (𝑁 + 1)
333	304, 153	readdcli 11234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (𝑁 + 1) ∈ ℝ
334	154, 333	ltnlei 11340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ ((𝑀 + 1) < (𝑁 + 1) ↔ ¬ (𝑁 + 1) ≤ (𝑀 + 1))
335	332, 334	mpbi 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ¬ (𝑁 + 1) ≤ (𝑀 + 1)
336	291	zcnd 12672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → 𝑗 ∈ ℂ)
337		subadd 11468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ ((𝑗 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → ((𝑗 − 1) = 𝑀 ↔ (1 + 𝑀) = 𝑗))
338	180, 179, 337	mp3an23 1452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (𝑗 ∈ ℂ → ((𝑗 − 1) = 𝑀 ↔ (1 + 𝑀) = 𝑗))
339	336, 338	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → ((𝑗 − 1) = 𝑀 ↔ (1 + 𝑀) = 𝑗))
340		eqcom 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ ((1 + 𝑀) = 𝑗 ↔ 𝑗 = (1 + 𝑀))
341	180, 179	addcomi 11410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ⊢ (1 + 𝑀) = (𝑀 + 1)
342	341	eqeq2i 2744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ (𝑗 = (1 + 𝑀) ↔ 𝑗 = (𝑀 + 1))
343	340, 342	bitri 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ ((1 + 𝑀) = 𝑗 ↔ 𝑗 = (𝑀 + 1))
344		eleq1 2820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ⊢ (𝑗 = (𝑀 + 1) → (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) ↔ (𝑀 + 1) ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))))
345		elfzle1 13509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ⊢ ((𝑀 + 1) ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑁 + 1) ≤ (𝑀 + 1))
346	344, 345	syl6bi 253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ (𝑗 = (𝑀 + 1) → (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑁 + 1) ≤ (𝑀 + 1)))
347	346	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑗 = (𝑀 + 1) → (𝑁 + 1) ≤ (𝑀 + 1)))
348	343, 347	biimtrid 241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → ((1 + 𝑀) = 𝑗 → (𝑁 + 1) ≤ (𝑀 + 1)))
349	339, 348	sylbid 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → ((𝑗 − 1) = 𝑀 → (𝑁 + 1) ≤ (𝑀 + 1)))
350	335, 349	mtoi 198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → ¬ (𝑗 − 1) = 𝑀)
351	350	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → ¬ (𝑗 − 1) = 𝑀)
352	351	iffalsed 4539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → if((𝑗 − 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘((𝑗 − 1) − 1))) = (𝑔‘((𝑗 − 1) − 1)))
353	329, 352	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) = (𝑔‘((𝑗 − 1) − 1)))
354		peano2uz 12890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
355		fzss1 13545	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) ⊆ (𝑀...(𝑚 + 1)))
356	317, 354, 355	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) ⊆ (𝑀...(𝑚 + 1))
357		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)))
358	356, 357	sselid 3980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → 𝑗 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)))
359		eqeq1 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (𝑥 = 𝑗 → (𝑥 = 𝑀 ↔ 𝑗 = 𝑀))
360		fvoveq1 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (𝑥 = 𝑗 → (𝑔‘(𝑥 − 1)) = (𝑔‘(𝑗 − 1)))
361	359, 360	ifbieq2d 4554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (𝑥 = 𝑗 → if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) = if(𝑗 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑗 − 1))))
362		fvex 6904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (𝑔‘(𝑗 − 1)) ∈ V
363	207, 362	ifex 4578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ if(𝑗 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑗 − 1))) ∈ V
364	361, 199, 363	fvmpt 6998	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (𝑗 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) = if(𝑗 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑗 − 1))))
365	358, 364	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) = if(𝑗 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑗 − 1))))
366	47, 44	breqtrri 5175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ 𝑀 < 𝑁
367	304	ltp1i 12123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ 𝑁 < (𝑁 + 1)
368	46, 304, 333	lttri 11345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ ((𝑀 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (𝑁 + 1)) → 𝑀 < (𝑁 + 1))
369	366, 367, 368	mp2an 689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ 𝑀 < (𝑁 + 1)
370	46, 333	ltnlei 11340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (𝑀 < (𝑁 + 1) ↔ ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑀)
371	369, 370	mpbi 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑀
372		eleq1 2820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) ↔ 𝑀 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))))
373		elfzle1 13509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ (𝑀 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑀)
374	372, 373	syl6bi 253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑀))
375	374	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑗 = 𝑀 → (𝑁 + 1) ≤ 𝑀))
376	371, 375	mtoi 198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → ¬ 𝑗 = 𝑀)
377	376	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → ¬ 𝑗 = 𝑀)
378	377	iffalsed 4539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → if(𝑗 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑗 − 1))) = (𝑔‘(𝑗 − 1)))
379	365, 378	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) = (𝑔‘(𝑗 − 1)))
380	379	sbceq1d 3782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → ([((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑 ↔ [(𝑔‘(𝑗 − 1)) / 𝑏]𝜑))
381	353, 380	sbceqbid 3784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → ([((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑 ↔ [(𝑔‘((𝑗 − 1) − 1)) / 𝑎][(𝑔‘(𝑗 − 1)) / 𝑏]𝜑))
382	381	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) ∧ [(𝑔‘((𝑗 − 1) − 1)) / 𝑎][(𝑔‘(𝑗 − 1)) / 𝑏]𝜑) → [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑)
383	316, 382	syldan 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑)
384	383	an32s 649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑)
385	384	adantlrl 717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑)
386	385	adantlll 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑)
387	290, 386	jaodan 955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) ∧ (𝑗 = 𝑁 ∨ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)))) → [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑)
388	244, 387	syldan 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) ∧ 𝑗 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))) → [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑)
389	388	ralrimiva 3145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) → ∀𝑗 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))[((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑)
390		fvoveq1 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) = ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑘 − 1)))
391		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) = ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘))
392	391	sbceq1d 3782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ([((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑 ↔ [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘) / 𝑏]𝜑))
393	390, 392	sbceqbid 3784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ([((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑 ↔ [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘) / 𝑏]𝜑))
394	393	cbvralvw 3233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (∀𝑗 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))[((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))[((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘) / 𝑏]𝜑)
395	389, 394	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) → ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))[((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘) / 𝑏]𝜑)
396	395	adantllr 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) → ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))[((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘) / 𝑏]𝜑)
397	396	adantrlr 720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ (((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) → ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))[((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘) / 𝑏]𝜑)
398	397	3adantr1 1168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ (𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) → ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))[((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘) / 𝑏]𝜑)
399		ovex 7445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑀...(𝑚 + 1)) ∈ V
400	399	mptex 7227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) ∈ V
401		feq1 6698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) → (𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ↔ (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))):(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴))
402		fveq1 6890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) → (𝑓‘𝑀) = ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑀))
403	402	eqeq1d 2733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) → ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ↔ ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑀) = 𝑐))
404		fveq1 6890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) → (𝑓‘(𝑚 + 1)) = ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑚 + 1)))
405	404	sbceq1d 3782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) → ([(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃 ↔ [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃))
406	403, 405	anbi12d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) → (((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ↔ (((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑀) = 𝑐 ∧ [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃)))
407		fveq1 6890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) → (𝑓‘(𝑘 − 1)) = ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑘 − 1)))
408		fveq1 6890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) → (𝑓‘𝑘) = ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘))
409	408	sbceq1d 3782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) → ([(𝑓‘𝑘) / 𝑏]𝜑 ↔ [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘) / 𝑏]𝜑))
410	407, 409	sbceqbid 3784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) → ([(𝑓‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑓‘𝑘) / 𝑏]𝜑 ↔ [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘) / 𝑏]𝜑))
411	113, 410	bitr3id 285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) → (𝜒 ↔ [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘) / 𝑏]𝜑))
412	411	ralbidv 3176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) → (∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒 ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))[((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘) / 𝑏]𝜑))
413	401, 406, 412	3anbi123d 1435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) → ((𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒) ↔ ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))):(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ (((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑀) = 𝑐 ∧ [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))[((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘) / 𝑏]𝜑)))
414	400, 413	spcev 3596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))):(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ (((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑀) = 𝑐 ∧ [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))[((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒))
415	203, 210, 235, 398, 414	syl121anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ (𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒))
416	415	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒)))
417	143, 416	chvarvv 2001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((([𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒)))
418	133, 417	chvarvv 2001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒)))
419	418	adantlrr 718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒)))
420	419	adantlll 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜂 ∧ 𝜑) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒)))
421	420	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜂 ∧ 𝜑) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ (𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒))
422		oveq2 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑀...𝑛) = (𝑀...(𝑚 + 1)))
423	422	feq2d 6703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ↔ 𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴))
424		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑓‘𝑛) = (𝑓‘(𝑚 + 1)))
425	424	sbceq1d 3782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → ([(𝑓‘𝑛) / 𝑎]𝜃 ↔ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃))
426	38, 425	bitr3id 285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝜏 ↔ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃))
427	426	anbi2d 628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ↔ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃)))
428		oveq2 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑁...𝑛) = (𝑁...(𝑚 + 1)))
429	428	raleqdv 3324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒 ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒))
430	423, 427, 429	3anbi123d 1435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ (𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒)))
431	430	exbidv 1923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒)))
432	431	rspcev 3612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑚 + 1) ∈ 𝑍 ∧ ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒)) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))
433	125, 421, 432	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜂 ∧ 𝜑) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ (𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))
434	433	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜂 ∧ 𝜑) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
435	434	exlimdv 1935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜂 ∧ 𝜑) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (∃𝑔(𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
436	435	rexlimdva 3154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝜑) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) → (∃𝑚 ∈ 𝑍 ∃𝑔(𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
437	123, 436	biimtrid 241	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝜑) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) → (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
438	73, 88, 437	3syld 60	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝜑) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) → (∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
439	438	an42s 658	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) → (∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
440	439	rexlimdvaa 3155	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜂 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (∃𝑏 ∈ 𝐴 𝜑 → (∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))))
441	440	imp 406	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝜑) → (∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
442		fdc.10	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜂 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝜃 ∨ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝜑))
443	65, 441, 442	mpjaodan 956	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜂 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
444	138	anbi1d 629	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → (((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ↔ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏)))
445	444	3anbi2d 1440	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → ((𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ (𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
446	445	exbidv 1923	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → (∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
447	446	rexbidv 3177	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
448	447	elrab3 3684	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → (𝑎 ∈ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)} ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
449	448	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜂 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑎 ∈ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)} ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
450	443, 449	sylibrd 259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜂 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}))
451	450	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜂 → (𝑎 ∈ 𝐴 → (∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})))
452	451	com23 86	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜂 → (∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎 → (𝑎 ∈ 𝐴 → 𝑎 ∈ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})))
453		eldif 3958	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ↔ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑎 ∈ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}))
454	453	notbii 320	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ↔ ¬ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑎 ∈ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}))
455		iman 401	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 → 𝑎 ∈ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ↔ ¬ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑎 ∈ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}))
456	454, 455	bitr4i 278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ↔ (𝑎 ∈ 𝐴 → 𝑎 ∈ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}))
457	452, 456	imbitrrdi 251	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜂 → (∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎 → ¬ 𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})))
458	457	con2d 134	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜂 → (𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) → ¬ ∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎))
459	458	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜂 ∧ 𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})) → ¬ ∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎)
460	459	nrexdv 3148	. . . . . 6 ⊢ (𝜂 → ¬ ∃𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎)
461		df-ne 2940	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ≠ ∅ ↔ ¬ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) = ∅)
462		fdc.9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜂 → 𝑅 Fr 𝐴)
463		difss 4131	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ⊆ 𝐴
464		fdc.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 ∈ V
465		difexg 5327	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ∈ V)
466	464, 465	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ∈ V
467		fri 5636	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ∈ V ∧ 𝑅 Fr 𝐴) ∧ ((𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ≠ ∅)) → ∃𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎)
468	466, 467	mpanl1 697	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ ((𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ≠ ∅)) → ∃𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎)
469	468	expr 456	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ⊆ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ≠ ∅ → ∃𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎))
470	462, 463, 469	sylancl 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜂 → ((𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ≠ ∅ → ∃𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎))
471	461, 470	biimtrrid 242	. . . . . 6 ⊢ (𝜂 → (¬ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) = ∅ → ∃𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎))
472	460, 471	mt3d 148	. . . . 5 ⊢ (𝜂 → (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) = ∅)
473		ssdif0 4363	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)} ↔ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) = ∅)
474	472, 473	sylibr 233	. . . 4 ⊢ (𝜂 → 𝐴 ⊆ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})
475	76	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜂 → {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)} ⊆ 𝐴)
476	474, 475	eqssd 3999	. . 3 ⊢ (𝜂 → 𝐴 = {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})
477		rabid2 3463	. . 3 ⊢ (𝐴 = {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)} ↔ ∀𝑐 ∈ 𝐴 ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))
478	476, 477	sylib 217	. 2 ⊢ (𝜂 → ∀𝑐 ∈ 𝐴 ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))
479		eqeq2 2743	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ↔ (𝑓‘𝑀) = 𝐶))
480	479	anbi1d 629	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ↔ ((𝑓‘𝑀) = 𝐶 ∧ 𝜏)))
481	480	3anbi2d 1440	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ (𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝐶 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
482	481	exbidv 1923	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝐶 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
483	482	rexbidv 3177	. . 3 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝐶 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
484	483	rspcva 3610	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝐴 ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝐶 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))
485	1, 478, 484	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜂 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝐶 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  ∃wex 1780   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  ∀wral 3060  ∃wrex 3069  {crab 3431  Vcvv 3473  [wsbc 3777   ∖ cdif 3945   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322  ifcif 4528  {csn 4628  ⟨cop 4634   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Fr wfr 5628  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ℂcc 11112  ℝcr 11113  1c1 11115   + caddc 11117   < clt 11253   ≤ cle 11254   − cmin 11449  ℤcz 12563  ℤ_≥cuz 12827  ...cfz 13489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490

This theorem is referenced by:  fdc1  36918