Theorem fdc 38503

Description: Finite version of dependent choice. Construct a function whose value depends on the previous function value, except at a final point at which no new value can be chosen. The final hypothesis ensures that the process will terminate. The proof does not use the Axiom of Choice. (Contributed by Jeff Madsen, 18-Jun-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
fdc.1	⊢ 𝐴 ∈ V
fdc.2	⊢ 𝑀 ∈ ℤ
fdc.3	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
fdc.4	⊢ 𝑁 = (𝑀 + 1)
fdc.5	⊢ (𝑎 = (𝑓‘(𝑘 − 1)) → (𝜑 ↔ 𝜓))
fdc.6	⊢ (𝑏 = (𝑓‘𝑘) → (𝜓 ↔ 𝜒))
fdc.7	⊢ (𝑎 = (𝑓‘𝑛) → (𝜃 ↔ 𝜏))
fdc.8	⊢ (𝜂 → 𝐶 ∈ 𝐴)
fdc.9	⊢ (𝜂 → 𝑅 Fr 𝐴)
fdc.10	⊢ ((𝜂 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝜃 ∨ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝜑))
fdc.11	⊢ (((𝜂 ∧ 𝜑) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) → 𝑏𝑅𝑎)

Assertion

Ref	Expression
fdc	⊢ (𝜂 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝐶 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑓,𝑛   𝐴,𝑎,𝑏,𝑓,𝑛   𝑀,𝑎,𝑏,𝑓,𝑘,𝑛   𝑍,𝑎,𝑏,𝑛   𝑁,𝑎,𝑏,𝑓,𝑘,𝑛   𝑅,𝑎,𝑏   𝜑,𝑓,𝑘   𝜓,𝑎   𝜒,𝑎,𝑏,𝑛   𝜃,𝑓,𝑛   𝜏,𝑎,𝑏   𝜂,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛, 𝑎, 𝑏)   𝜓(𝑓, 𝑘, 𝑛, 𝑏)   𝜒(𝑓, 𝑘)   𝜃(𝑘, 𝑎, 𝑏)   𝜏(𝑓, 𝑘, 𝑛)   𝜂(𝑓, 𝑘, 𝑛)   𝐴(𝑘)   𝐶(𝑘, 𝑎, 𝑏)   𝑅(𝑓, 𝑘, 𝑛)   𝑍(𝑓, 𝑘)

Proof of Theorem fdc

Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑔 𝑚 𝑥 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fdc.8	. 2 ⊢ (𝜂 → 𝐶 ∈ 𝐴)
2		fdc.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑀 ∈ ℤ
3		uzid 12906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀)
5		fdc.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6	4, 5	eleqtrri 2861	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑀 ∈ 𝑍
7		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ {⟨𝑀, 𝑎⟩} = {⟨𝑀, 𝑎⟩}
8	2	elexi 3475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 𝑀 ∈ V
9		vex 3457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 𝑎 ∈ V
10	8, 9	fsn 7133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ({⟨𝑀, 𝑎⟩}:{𝑀}⟶{𝑎} ↔ {⟨𝑀, 𝑎⟩} = {⟨𝑀, 𝑎⟩})
11	7, 10	mpbir 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ {⟨𝑀, 𝑎⟩}:{𝑀}⟶{𝑎}
12		snssi 4749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → {𝑎} ⊆ 𝐴)
13		fss 6723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (({⟨𝑀, 𝑎⟩}:{𝑀}⟶{𝑎} ∧ {𝑎} ⊆ 𝐴) → {⟨𝑀, 𝑎⟩}:{𝑀}⟶𝐴)
14	11, 12, 13	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → {⟨𝑀, 𝑎⟩}:{𝑀}⟶𝐴)
15		fzsn 13625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
16	2, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑀...𝑀) = {𝑀}
17	16	feq2i 6698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ({⟨𝑀, 𝑎⟩}:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ↔ {⟨𝑀, 𝑎⟩}:{𝑀}⟶𝐴)
18	14, 17	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → {⟨𝑀, 𝑎⟩}:(𝑀...𝑀)⟶𝐴)
19	18	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝜃) → {⟨𝑀, 𝑎⟩}:(𝑀...𝑀)⟶𝐴)
20	8, 9	fvsn 7183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ({⟨𝑀, 𝑎⟩}‘𝑀) = 𝑎
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝜃) → ({⟨𝑀, 𝑎⟩}‘𝑀) = 𝑎)
22		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝜃) → 𝜃)
23		snex 5408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ {⟨𝑀, 𝑎⟩} ∈ V
24		feq1 6684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑀, 𝑎⟩} → (𝑓:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ↔ {⟨𝑀, 𝑎⟩}:(𝑀...𝑀)⟶𝐴))
25		fveq1 6881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑀, 𝑎⟩} → (𝑓‘𝑀) = ({⟨𝑀, 𝑎⟩}‘𝑀))
26	25	eqeq1d 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑀, 𝑎⟩} → ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ↔ ({⟨𝑀, 𝑎⟩}‘𝑀) = 𝑎))
27	25, 20	eqtrdi 2813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑀, 𝑎⟩} → (𝑓‘𝑀) = 𝑎)
28		sbceq2a 3754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 → ([(𝑓‘𝑀) / 𝑎]𝜃 ↔ 𝜃))
29	27, 28	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑀, 𝑎⟩} → ([(𝑓‘𝑀) / 𝑎]𝜃 ↔ 𝜃))
30	26, 29	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑀, 𝑎⟩} → (((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘𝑀) / 𝑎]𝜃) ↔ (({⟨𝑀, 𝑎⟩}‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜃)))
31	24, 30	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑀, 𝑎⟩} → ((𝑓:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘𝑀) / 𝑎]𝜃)) ↔ ({⟨𝑀, 𝑎⟩}:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ (({⟨𝑀, 𝑎⟩}‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜃))))
32	23, 31	spcev 3563	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (({⟨𝑀, 𝑎⟩}:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ (({⟨𝑀, 𝑎⟩}‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜃)) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘𝑀) / 𝑎]𝜃)))
33	19, 21, 22, 32	syl12anc 850	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝜃) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘𝑀) / 𝑎]𝜃)))
34		oveq2 7425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑀...𝑛) = (𝑀...𝑀))
35	34	feq2d 6690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ↔ 𝑓:(𝑀...𝑀)⟶𝐴))
36		fvex 6895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑓‘𝑛) ∈ V
37		fdc.7	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑎 = (𝑓‘𝑛) → (𝜃 ↔ 𝜏))
38	36, 37	sbcie 3783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ([(𝑓‘𝑛) / 𝑎]𝜃 ↔ 𝜏)
39		fveq2 6882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑓‘𝑛) = (𝑓‘𝑀))
40	39	sbceq1d 3747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ([(𝑓‘𝑛) / 𝑎]𝜃 ↔ [(𝑓‘𝑀) / 𝑎]𝜃))
41	38, 40	bitr3id 288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝜏 ↔ [(𝑓‘𝑀) / 𝑎]𝜃))
42	41	anbi2d 642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ↔ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘𝑀) / 𝑎]𝜃)))
43		oveq2 7425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑁...𝑛) = (𝑁...𝑀))
44		fdc.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 𝑁 = (𝑀 + 1)
45	44	oveq1i 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁...𝑀) = ((𝑀 + 1)...𝑀)
46	2	zrei 12625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 𝑀 ∈ ℝ
47	46	ltp1i 12147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 𝑀 < (𝑀 + 1)
48		peano2z 12663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
49	2, 48	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑀 + 1) ∈ ℤ
50		fzn 13598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < (𝑀 + 1) ↔ ((𝑀 + 1)...𝑀) = ∅))
51	49, 2, 50	mp2an 705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑀 < (𝑀 + 1) ↔ ((𝑀 + 1)...𝑀) = ∅)
52	47, 51	mpbi 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑀 + 1)...𝑀) = ∅
53	45, 52	eqtri 2785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁...𝑀) = ∅
54	43, 53	eqtrdi 2813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑁...𝑛) = ∅)
55	54	raleqdv 3321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒 ↔ ∀𝑘 ∈ ∅ 𝜒))
56	35, 42, 55	3anbi123d 1464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ (𝑓:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘𝑀) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ ∅ 𝜒)))
57		ral0 4457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ∀𝑘 ∈ ∅ 𝜒
58		df-3an 1105	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑓:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘𝑀) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ ∅ 𝜒) ↔ ((𝑓:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘𝑀) / 𝑎]𝜃)) ∧ ∀𝑘 ∈ ∅ 𝜒))
59	57, 58	mpbiran2 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑓:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘𝑀) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ ∅ 𝜒) ↔ (𝑓:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘𝑀) / 𝑎]𝜃)))
60	56, 59	bitrdi 290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ (𝑓:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘𝑀) / 𝑎]𝜃))))
61	60	exbidv 1954	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘𝑀) / 𝑎]𝜃))))
62	61	rspcev 3579	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑍 ∧ ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘𝑀) / 𝑎]𝜃))) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))
63	6, 33, 62	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝜃) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))
64	63	adantll 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝜃) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))
65	64	a1d 26	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝜃) → (∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
66		fdc.11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝜑) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) → 𝑏𝑅𝑎)
67		breq1 5110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑑 = 𝑏 → (𝑑𝑅𝑎 ↔ 𝑏𝑅𝑎))
68	67	rspcev 3579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑏 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ∧ 𝑏𝑅𝑎) → ∃𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})𝑑𝑅𝑎)
69	68	expcom 419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑏𝑅𝑎 → (𝑏 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) → ∃𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})𝑑𝑅𝑎))
70	66, 69	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝜑) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) → (𝑏 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) → ∃𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})𝑑𝑅𝑎))
71		dfrex2 3091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∃𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})𝑑𝑅𝑎 ↔ ¬ ∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎)
72	70, 71	imbitrdi 254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝜑) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) → (𝑏 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) → ¬ ∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎))
73	72	con2d 135	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝜑) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) → (∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎 → ¬ 𝑏 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})))
74		eldif 3912	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})) ↔ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑏 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})))
75	74	simplbi2 506	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐴 → (¬ 𝑏 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) → 𝑏 ∈ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}))))
76		ssrab2 4031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)} ⊆ 𝐴
77		dfss4 4218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ({𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)} ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})) = {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})
78	76, 77	mpbi 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})) = {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}
79	78	eleq2i 2854	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})) ↔ 𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})
80		eqeq2 2774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ↔ (𝑓‘𝑀) = 𝑏))
81	80	anbi1d 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → (((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ↔ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ 𝜏)))
82	81	3anbi2d 1469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → ((𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ (𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
83	82	exbidv 1954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → (∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
84	83	rexbidv 3188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
85	84	elrab3 3649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐴 → (𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)} ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
86	79, 85	bitrid 286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐴 → (𝑏 ∈ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})) ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
87	75, 86	sylibd 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐴 → (¬ 𝑏 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
88	87	ad2antll 742	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝜑) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) → (¬ 𝑏 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
89		oveq2 7425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑀...𝑛) = (𝑀...𝑚))
90	89	feq2d 6690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ↔ 𝑓:(𝑀...𝑚)⟶𝐴))
91		fveq2 6882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑓‘𝑛) = (𝑓‘𝑚))
92	91	sbceq1d 3747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ([(𝑓‘𝑛) / 𝑎]𝜃 ↔ [(𝑓‘𝑚) / 𝑎]𝜃))
93	38, 92	bitr3id 288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝜏 ↔ [(𝑓‘𝑚) / 𝑎]𝜃))
94	93	anbi2d 642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ 𝜏) ↔ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑓‘𝑚) / 𝑎]𝜃)))
95		oveq2 7425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑁...𝑛) = (𝑁...𝑚))
96	95	raleqdv 3321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒 ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)𝜒))
97	90, 94, 96	3anbi123d 1464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ (𝑓:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑓‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)𝜒)))
98	97	exbidv 1954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑓‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)𝜒)))
99	98	cbvrexvw 3243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑓‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)𝜒))
100		feq1 6684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑓:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ↔ 𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴))
101		fveq1 6881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑓‘𝑀) = (𝑔‘𝑀))
102	101	eqeq1d 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ↔ (𝑔‘𝑀) = 𝑏))
103		fveq1 6881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑓‘𝑚) = (𝑔‘𝑚))
104	103	sbceq1d 3747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → ([(𝑓‘𝑚) / 𝑎]𝜃 ↔ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃))
105	102, 104	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑓‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ↔ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃)))
106		fvex 6895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑓‘(𝑘 − 1)) ∈ V
107		fdc.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑎 = (𝑓‘(𝑘 − 1)) → (𝜑 ↔ 𝜓))
108	107	sbcbidv 3797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑎 = (𝑓‘(𝑘 − 1)) → ([(𝑓‘𝑘) / 𝑏]𝜑 ↔ [(𝑓‘𝑘) / 𝑏]𝜓))
109	106, 108	sbcie 3783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ([(𝑓‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑓‘𝑘) / 𝑏]𝜑 ↔ [(𝑓‘𝑘) / 𝑏]𝜓)
110		fvex 6895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑓‘𝑘) ∈ V
111		fdc.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑏 = (𝑓‘𝑘) → (𝜓 ↔ 𝜒))
112	110, 111	sbcie 3783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ([(𝑓‘𝑘) / 𝑏]𝜓 ↔ 𝜒)
113	109, 112	bitri 278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ([(𝑓‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑓‘𝑘) / 𝑏]𝜑 ↔ 𝜒)
114		fveq1 6881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑓‘(𝑘 − 1)) = (𝑔‘(𝑘 − 1)))
115		fveq1 6881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑓‘𝑘) = (𝑔‘𝑘))
116	115	sbceq1d 3747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → ([(𝑓‘𝑘) / 𝑏]𝜑 ↔ [(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑))
117	114, 116	sbceqbid 3749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → ([(𝑓‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑓‘𝑘) / 𝑏]𝜑 ↔ [(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑))
118	113, 117	bitr3id 288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝜒 ↔ [(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑))
119	118	ralbidv 3187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)𝜒 ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑))
120	100, 105, 119	3anbi123d 1464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → ((𝑓:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑓‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)𝜒) ↔ (𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)))
121	120	cbvexvw 2070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑓‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)𝜒) ↔ ∃𝑔(𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑))
122	121	rexbii 3111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∃𝑚 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑓‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)𝜒) ↔ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∃𝑔(𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑))
123	99, 122	bitri 278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∃𝑔(𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑))
124	5	peano2uzs 12955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑚 + 1) ∈ 𝑍)
125	124	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜂 ∧ 𝜑) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ (𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) → (𝑚 + 1) ∈ 𝑍)
126		sbceq2a 3754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑑 = 𝑏 → ([𝑑 / 𝑏]𝜑 ↔ 𝜑))
127	126	anbi1d 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑑 = 𝑏 → (([𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴)))
128	127	anbi1d 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑑 = 𝑏 → ((([𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍)))
129		eqeq2 2774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑑 = 𝑏 → ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ↔ (𝑔‘𝑀) = 𝑏))
130	129	anbi1d 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑑 = 𝑏 → (((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ↔ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃)))
131	130	3anbi2d 1469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑑 = 𝑏 → ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) ↔ (𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)))
132	131	imbi1d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑑 = 𝑏 → (((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒)) ↔ ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒))))
133	128, 132	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑑 = 𝑏 → (((([𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒))) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒)))))
134		sbceq2a 3754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → ([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ↔ [𝑑 / 𝑏]𝜑))
135		eleq1 2850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → (𝑐 ∈ 𝐴 ↔ 𝑎 ∈ 𝐴))
136	134, 135	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → (([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ↔ ([𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴)))
137	136	anbi1d 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → ((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ↔ (([𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍)))
138		eqeq2 2774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ↔ (𝑓‘𝑀) = 𝑎))
139	138	anbi1d 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → (((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ↔ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃)))
140	139	3anbi2d 1469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → ((𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒) ↔ (𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒)))
141	140	exbidv 1954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → (∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒) ↔ ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒)))
142	141	imbi2d 343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → (((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒)) ↔ ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒))))
143	137, 142	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒))) ↔ ((([𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒)))))
144		peano2uz 12954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑚 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
145	144, 5	eleq2s 2880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑚 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
146		elfzp12 13662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑚 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↔ (𝑥 = 𝑀 ∨ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)))))
147	145, 146	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↔ (𝑥 = 𝑀 ∨ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)))))
148	147	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ 𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↔ (𝑥 = 𝑀 ∨ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)))))
149		iftrue 4491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) = 𝑐)
150	149	eleq1d 2847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) ∈ 𝐴 ↔ 𝑐 ∈ 𝐴))
151	150	biimprcd 253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑐 ∈ 𝐴 → (𝑥 = 𝑀 → if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) ∈ 𝐴))
152	151	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ 𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴) → (𝑥 = 𝑀 → if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) ∈ 𝐴))
153		1re 11236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ 1 ∈ ℝ
154	46, 153	readdcli 11252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝑀 + 1) ∈ ℝ
155	46, 154	ltnlei 11359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (𝑀 < (𝑀 + 1) ↔ ¬ (𝑀 + 1) ≤ 𝑀)
156	47, 155	mpbi 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ¬ (𝑀 + 1) ≤ 𝑀
157		eleq1 2850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) ↔ 𝑀 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))))
158		elfzle1 13585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝑀 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑀)
159	157, 158	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑀))
160	159	com12 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑥 = 𝑀 → (𝑀 + 1) ≤ 𝑀))
161	156, 160	mtoi 202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) → ¬ 𝑥 = 𝑀)
162	161	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))) → ¬ 𝑥 = 𝑀)
163	162	iffalsed 4496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) = (𝑔‘(𝑥 − 1)))
164		elfzelz 13582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) → 𝑥 ∈ ℤ)
165	164	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))) → 𝑥 ∈ ℤ)
166		eluzelz 12901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑚 ∈ ℤ)
167	166, 5	eleq2s 2880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → 𝑚 ∈ ℤ)
168	167	peano2zd 12732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑚 + 1) ∈ ℤ)
169		1z 12652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ 1 ∈ ℤ
170		fzsubel 13619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ⊢ ((((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) ↔ (𝑥 − 1) ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1))))
171	170	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ ((((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑥 − 1) ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1))))
172	169, 171	mpanr2 717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ ((((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑥 − 1) ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1))))
173	49, 172	mpanl1 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (((𝑚 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑥 − 1) ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1))))
174	173	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((𝑚 + 1) ∈ ℤ → (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑥 − 1) ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1)))))
175	168, 174	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑥 − 1) ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1)))))
176	175	com23 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 − 1) ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1)))))
177	176	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))) → (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 − 1) ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1))))
178	165, 177	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))) → (𝑥 − 1) ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1)))
179	46	recni 11251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
180		ax-1cn 11186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ 1 ∈ ℂ
181	179, 180	pncan3oi 11501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀
182	181	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
183	167	zcnd 12730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → 𝑚 ∈ ℂ)
184		pncan 11491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑚 + 1) − 1) = 𝑚)
185	183, 180, 184	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → ((𝑚 + 1) − 1) = 𝑚)
186	182, 185	oveq12d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (((𝑀 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1)) = (𝑀...𝑚))
187	186	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))) → (((𝑀 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1)) = (𝑀...𝑚))
188	178, 187	eleqtrd 2864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))) → (𝑥 − 1) ∈ (𝑀...𝑚))
189		ffvelcdm 7078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ (𝑥 − 1) ∈ (𝑀...𝑚)) → (𝑔‘(𝑥 − 1)) ∈ 𝐴)
190	188, 189	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ (𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)))) → (𝑔‘(𝑥 − 1)) ∈ 𝐴)
191	190	anassrs 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))) → (𝑔‘(𝑥 − 1)) ∈ 𝐴)
192	191	ancom1s 666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))) → (𝑔‘(𝑥 − 1)) ∈ 𝐴)
193	163, 192	eqeltrd 2862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) ∈ 𝐴)
194	193	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴) → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) ∈ 𝐴))
195	194	adantll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ 𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴) → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) ∈ 𝐴))
196	152, 195	jaod 873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ 𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴) → ((𝑥 = 𝑀 ∨ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) ∈ 𝐴))
197	148, 196	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ 𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) ∈ 𝐴))
198	197	ralrimiv 3155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ 𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴) → ∀𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1))if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) ∈ 𝐴)
199		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) = (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))
200	199	fmpt 7107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1))if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))):(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴)
201	198, 200	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ 𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))):(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴)
202	201	adantlll 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ 𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))):(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴)
203	202	3ad2antr1 1207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ (𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))):(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴)
204		eluzfz1 13589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑚 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)))
205	144, 204	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)))
206	205, 5	eleq2s 2880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → 𝑀 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)))
207		vex 3457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ 𝑐 ∈ V
208	149, 199, 207	fvmpt 6990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑀 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑀) = 𝑐)
209	206, 208	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑀) = 𝑐)
210	209	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ (𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑀) = 𝑐)
211		eluzfz2 13590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑚 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑚 + 1) ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)))
212	144, 211	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑚 + 1) ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)))
213	212, 5	eleq2s 2880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑚 + 1) ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)))
214		eqeq1 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑥 = (𝑚 + 1) → (𝑥 = 𝑀 ↔ (𝑚 + 1) = 𝑀))
215		fvoveq1 7440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑥 = (𝑚 + 1) → (𝑔‘(𝑥 − 1)) = (𝑔‘((𝑚 + 1) − 1)))
216	214, 215	ifbieq2d 4512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑥 = (𝑚 + 1) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) = if((𝑚 + 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘((𝑚 + 1) − 1))))
217		fvex 6895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑔‘((𝑚 + 1) − 1)) ∈ V
218	207, 217	ifex 4536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ if((𝑚 + 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘((𝑚 + 1) − 1))) ∈ V
219	216, 199, 218	fvmpt 6990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑚 + 1) ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑚 + 1)) = if((𝑚 + 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘((𝑚 + 1) − 1))))
220	213, 219	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑚 + 1)) = if((𝑚 + 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘((𝑚 + 1) − 1))))
221		eluzle 12904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑚)
222	221, 5	eleq2s 2880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → 𝑀 ≤ 𝑚)
223		zleltp1 12673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑚 ↔ 𝑀 < (𝑚 + 1)))
224	2, 167, 223	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑀 ≤ 𝑚 ↔ 𝑀 < (𝑚 + 1)))
225	222, 224	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → 𝑀 < (𝑚 + 1))
226		ltne 11335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 < (𝑚 + 1)) → (𝑚 + 1) ≠ 𝑀)
227	46, 225, 226	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑚 + 1) ≠ 𝑀)
228	227	neneqd 2962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → ¬ (𝑚 + 1) = 𝑀)
229	228	iffalsed 4496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → if((𝑚 + 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘((𝑚 + 1) − 1))) = (𝑔‘((𝑚 + 1) − 1)))
230	185	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑔‘((𝑚 + 1) − 1)) = (𝑔‘𝑚))
231	220, 229, 230	3eqtrd 2801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑚 + 1)) = (𝑔‘𝑚))
232	231	sbceq1d 3747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → ([((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃 ↔ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃))
233	232	biimpar 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) → [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃)
234	233	ad2ant2l 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃)) → [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃)
235	234	3ad2antr2 1208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ (𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) → [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃)
236		eluzp1p1 12919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑚 + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))
237	236, 5	eleq2s 2880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑚 + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))
238	44	fveq2i 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) = (ℤ≥‘(𝑀 + 1))
239	237, 238	eleqtrrdi 2873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑚 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
240		elfzp12 13662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑚 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝑗 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1)) ↔ (𝑗 = 𝑁 ∨ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)))))
241	239, 240	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑗 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1)) ↔ (𝑗 = 𝑁 ∨ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)))))
242	241	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))) → (𝑗 = 𝑁 ∨ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))))
243	242	adantll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))) → (𝑗 = 𝑁 ∨ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))))
244	243	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) ∧ 𝑗 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))) → (𝑗 = 𝑁 ∨ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))))
245		oveq1 7424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝑗 − 1) = (𝑁 − 1))
246	44	oveq1i 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (𝑁 − 1) = ((𝑀 + 1) − 1)
247	246, 181	eqtri 2785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (𝑁 − 1) = 𝑀
248	245, 247	eqtrdi 2813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝑗 − 1) = 𝑀)
249	248	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) = ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑀))
250	249	ad2antll 742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ 𝑗 = 𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) = ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑀))
251	209	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ 𝑗 = 𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑀) = 𝑐)
252	250, 251	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ 𝑗 = 𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) = 𝑐)
253	44	eqeq2i 2775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (𝑗 = 𝑁 ↔ 𝑗 = (𝑀 + 1))
254		fveq2 6882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (𝑗 = (𝑀 + 1) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) = ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑀 + 1)))
255	253, 254	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) = ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑀 + 1)))
256	255	ad2antll 742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ 𝑗 = 𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) = ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑀 + 1)))
257	46, 154, 47	ltleii 11361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ 𝑀 ≤ (𝑀 + 1)
258		eluz2 12897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ ((𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑀 + 1)))
259	2, 49, 257, 258	mpbir3an 1360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)
260		fzss1 13622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ ((𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) ⊆ (𝑀...(𝑚 + 1)))
261	259, 260	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) ⊆ (𝑀...(𝑚 + 1))
262		eluzfz1 13589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑚))
263	262, 5	eleq2s 2880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑚))
264		fzaddel 13617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∈ (𝑀...𝑚) ↔ (𝑀 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))))
265	2, 169, 264	mpanr12 718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ (𝑀...𝑚) ↔ (𝑀 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))))
266	2, 167, 265	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑀 ∈ (𝑀...𝑚) ↔ (𝑀 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))))
267	263, 266	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑀 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)))
268	261, 267	sselid 3932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑀 + 1) ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)))
269		eqeq1 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (𝑥 = (𝑀 + 1) → (𝑥 = 𝑀 ↔ (𝑀 + 1) = 𝑀))
270		oveq1 7424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ⊢ (𝑥 = (𝑀 + 1) → (𝑥 − 1) = ((𝑀 + 1) − 1))
271	270, 181	eqtrdi 2813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ (𝑥 = (𝑀 + 1) → (𝑥 − 1) = 𝑀)
272	271	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (𝑥 = (𝑀 + 1) → (𝑔‘(𝑥 − 1)) = (𝑔‘𝑀))
273	269, 272	ifbieq2d 4512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (𝑥 = (𝑀 + 1) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) = if((𝑀 + 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘𝑀)))
274		fvex 6895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (𝑔‘𝑀) ∈ V
275	207, 274	ifex 4536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ if((𝑀 + 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘𝑀)) ∈ V
276	273, 199, 275	fvmpt 6990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((𝑀 + 1) ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑀 + 1)) = if((𝑀 + 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘𝑀)))
277	268, 276	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑀 + 1)) = if((𝑀 + 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘𝑀)))
278	46, 47	gtneii 11350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (𝑀 + 1) ≠ 𝑀
279		ifnefalse 4497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((𝑀 + 1) ≠ 𝑀 → if((𝑀 + 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘𝑀)) = (𝑔‘𝑀))
280	278, 279	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ if((𝑀 + 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘𝑀)) = (𝑔‘𝑀)
281	277, 280	eqtrdi 2813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑀 + 1)) = (𝑔‘𝑀))
282	281	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ 𝑗 = 𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑀 + 1)) = (𝑔‘𝑀))
283		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ 𝑗 = 𝑁)) → (𝑔‘𝑀) = 𝑑)
284	256, 282, 283	3eqtrd 2801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ 𝑗 = 𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) = 𝑑)
285	284	sbceq1d 3747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ 𝑗 = 𝑁)) → ([((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑 ↔ [𝑑 / 𝑏]𝜑))
286	252, 285	sbceqbid 3749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ 𝑗 = 𝑁)) → ([((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑 ↔ [𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑))
287	286	biimparc 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑍 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ 𝑗 = 𝑁))) → [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑)
288	287	anassrs 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ 𝑗 = 𝑁)) → [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑)
289	288	anassrs 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑀) = 𝑑) ∧ 𝑗 = 𝑁) → [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑)
290	289	adantlrr 734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) ∧ 𝑗 = 𝑁) → [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑)
291		elfzelz 13582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → 𝑗 ∈ ℤ)
292	291	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → 𝑗 ∈ ℤ)
293	44, 49	eqeltri 2858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ 𝑁 ∈ ℤ
294		peano2z 12663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
295	293, 294	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (𝑁 + 1) ∈ ℤ
296		fzsubel 13619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ ((((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℤ) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) ↔ (𝑗 − 1) ∈ (((𝑁 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1))))
297	296	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ ((((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℤ) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑗 − 1) ∈ (((𝑁 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1))))
298	169, 297	mpanr2 717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ ((((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑗 − 1) ∈ (((𝑁 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1))))
299	298	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ ℤ → (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑗 − 1) ∈ (((𝑁 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1)))))
300	295, 168, 299	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑗 ∈ ℤ → (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑗 − 1) ∈ (((𝑁 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1)))))
301	300	com23 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑗 ∈ ℤ → (𝑗 − 1) ∈ (((𝑁 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1)))))
302	301	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → (𝑗 ∈ ℤ → (𝑗 − 1) ∈ (((𝑁 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1))))
303	292, 302	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → (𝑗 − 1) ∈ (((𝑁 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1)))
304	293	zrei 12625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
305	304	recni 11251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
306	305, 180	pncan3oi 11501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁
307	306	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
308	307, 185	oveq12d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (((𝑁 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1)) = (𝑁...𝑚))
309	308	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → (((𝑁 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1)) = (𝑁...𝑚))
310	303, 309	eleqtrd 2864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → (𝑗 − 1) ∈ (𝑁...𝑚))
311		fvoveq1 7440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑔‘(𝑘 − 1)) = (𝑔‘((𝑗 − 1) − 1)))
312		fveq2 6882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑔‘𝑘) = (𝑔‘(𝑗 − 1)))
313	312	sbceq1d 3747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → ([(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑 ↔ [(𝑔‘(𝑗 − 1)) / 𝑏]𝜑))
314	311, 313	sbceqbid 3749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → ([(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑 ↔ [(𝑔‘((𝑗 − 1) − 1)) / 𝑎][(𝑔‘(𝑗 − 1)) / 𝑏]𝜑))
315	314	rspcva 3577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((𝑗 − 1) ∈ (𝑁...𝑚) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → [(𝑔‘((𝑗 − 1) − 1)) / 𝑎][(𝑔‘(𝑗 − 1)) / 𝑏]𝜑)
316	310, 315	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → [(𝑔‘((𝑗 − 1) − 1)) / 𝑎][(𝑔‘(𝑗 − 1)) / 𝑏]𝜑)
317	44, 259	eqeltri 2858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)
318		fzss1 13622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁...(𝑚 + 1)) ⊆ (𝑀...(𝑚 + 1)))
319	317, 318	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (𝑁...(𝑚 + 1)) ⊆ (𝑀...(𝑚 + 1))
320		fzssp1 13626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (𝑁...𝑚) ⊆ (𝑁...(𝑚 + 1))
321	320, 310	sselid 3932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → (𝑗 − 1) ∈ (𝑁...(𝑚 + 1)))
322	319, 321	sselid 3932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → (𝑗 − 1) ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)))
323		eqeq1 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (𝑥 = (𝑗 − 1) → (𝑥 = 𝑀 ↔ (𝑗 − 1) = 𝑀))
324		fvoveq1 7440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (𝑥 = (𝑗 − 1) → (𝑔‘(𝑥 − 1)) = (𝑔‘((𝑗 − 1) − 1)))
325	323, 324	ifbieq2d 4512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (𝑥 = (𝑗 − 1) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) = if((𝑗 − 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘((𝑗 − 1) − 1))))
326		fvex 6895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (𝑔‘((𝑗 − 1) − 1)) ∈ V
327	207, 326	ifex 4536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ if((𝑗 − 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘((𝑗 − 1) − 1))) ∈ V
328	325, 199, 327	fvmpt 6990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝑗 − 1) ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) = if((𝑗 − 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘((𝑗 − 1) − 1))))
329	322, 328	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) = if((𝑗 − 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘((𝑗 − 1) − 1))))
330	154	ltp1i 12147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (𝑀 + 1) < ((𝑀 + 1) + 1)
331	44	oveq1i 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (𝑁 + 1) = ((𝑀 + 1) + 1)
332	330, 331	breqtrri 5136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (𝑀 + 1) < (𝑁 + 1)
333	304, 153	readdcli 11252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (𝑁 + 1) ∈ ℝ
334	154, 333	ltnlei 11359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ ((𝑀 + 1) < (𝑁 + 1) ↔ ¬ (𝑁 + 1) ≤ (𝑀 + 1))
335	332, 334	mpbi 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ¬ (𝑁 + 1) ≤ (𝑀 + 1)
336	291	zcnd 12730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → 𝑗 ∈ ℂ)
337		subadd 11488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ ((𝑗 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → ((𝑗 − 1) = 𝑀 ↔ (1 + 𝑀) = 𝑗))
338	180, 179, 337	mp3an23 1482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (𝑗 ∈ ℂ → ((𝑗 − 1) = 𝑀 ↔ (1 + 𝑀) = 𝑗))
339	336, 338	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → ((𝑗 − 1) = 𝑀 ↔ (1 + 𝑀) = 𝑗))
340		eqcom 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ ((1 + 𝑀) = 𝑗 ↔ 𝑗 = (1 + 𝑀))
341	180, 179	addcomi 11429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ⊢ (1 + 𝑀) = (𝑀 + 1)
342	341	eqeq2i 2775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ (𝑗 = (1 + 𝑀) ↔ 𝑗 = (𝑀 + 1))
343	340, 342	bitri 278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ ((1 + 𝑀) = 𝑗 ↔ 𝑗 = (𝑀 + 1))
344		eleq1 2850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ⊢ (𝑗 = (𝑀 + 1) → (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) ↔ (𝑀 + 1) ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))))
345		elfzle1 13585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ⊢ ((𝑀 + 1) ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑁 + 1) ≤ (𝑀 + 1))
346	344, 345	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ (𝑗 = (𝑀 + 1) → (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑁 + 1) ≤ (𝑀 + 1)))
347	346	com12 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑗 = (𝑀 + 1) → (𝑁 + 1) ≤ (𝑀 + 1)))
348	343, 347	biimtrid 245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → ((1 + 𝑀) = 𝑗 → (𝑁 + 1) ≤ (𝑀 + 1)))
349	339, 348	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → ((𝑗 − 1) = 𝑀 → (𝑁 + 1) ≤ (𝑀 + 1)))
350	335, 349	mtoi 202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → ¬ (𝑗 − 1) = 𝑀)
351	350	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → ¬ (𝑗 − 1) = 𝑀)
352	351	iffalsed 4496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → if((𝑗 − 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘((𝑗 − 1) − 1))) = (𝑔‘((𝑗 − 1) − 1)))
353	329, 352	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) = (𝑔‘((𝑗 − 1) − 1)))
354		peano2uz 12954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
355		fzss1 13622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) ⊆ (𝑀...(𝑚 + 1)))
356	317, 354, 355	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) ⊆ (𝑀...(𝑚 + 1))
357		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)))
358	356, 357	sselid 3932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → 𝑗 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)))
359		eqeq1 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (𝑥 = 𝑗 → (𝑥 = 𝑀 ↔ 𝑗 = 𝑀))
360		fvoveq1 7440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (𝑥 = 𝑗 → (𝑔‘(𝑥 − 1)) = (𝑔‘(𝑗 − 1)))
361	359, 360	ifbieq2d 4512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (𝑥 = 𝑗 → if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) = if(𝑗 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑗 − 1))))
362		fvex 6895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (𝑔‘(𝑗 − 1)) ∈ V
363	207, 362	ifex 4536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ if(𝑗 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑗 − 1))) ∈ V
364	361, 199, 363	fvmpt 6990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (𝑗 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) = if(𝑗 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑗 − 1))))
365	358, 364	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) = if(𝑗 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑗 − 1))))
366	47, 44	breqtrri 5136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ 𝑀 < 𝑁
367	304	ltp1i 12147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ 𝑁 < (𝑁 + 1)
368	46, 304, 333	lttri 11364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ ((𝑀 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (𝑁 + 1)) → 𝑀 < (𝑁 + 1))
369	366, 367, 368	mp2an 705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ 𝑀 < (𝑁 + 1)
370	46, 333	ltnlei 11359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (𝑀 < (𝑁 + 1) ↔ ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑀)
371	369, 370	mpbi 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑀
372		eleq1 2850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) ↔ 𝑀 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))))
373		elfzle1 13585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ (𝑀 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑀)
374	372, 373	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑀))
375	374	com12 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑗 = 𝑀 → (𝑁 + 1) ≤ 𝑀))
376	371, 375	mtoi 202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → ¬ 𝑗 = 𝑀)
377	376	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → ¬ 𝑗 = 𝑀)
378	377	iffalsed 4496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → if(𝑗 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑗 − 1))) = (𝑔‘(𝑗 − 1)))
379	365, 378	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) = (𝑔‘(𝑗 − 1)))
380	379	sbceq1d 3747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → ([((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑 ↔ [(𝑔‘(𝑗 − 1)) / 𝑏]𝜑))
381	353, 380	sbceqbid 3749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → ([((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑 ↔ [(𝑔‘((𝑗 − 1) − 1)) / 𝑎][(𝑔‘(𝑗 − 1)) / 𝑏]𝜑))
382	381	biimpar 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) ∧ [(𝑔‘((𝑗 − 1) − 1)) / 𝑎][(𝑔‘(𝑗 − 1)) / 𝑏]𝜑) → [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑)
383	316, 382	syldan 603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑)
384	383	an32s 665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑)
385	384	adantlrl 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑)
386	385	adantlll 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑)
387	290, 386	jaodan 972	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) ∧ (𝑗 = 𝑁 ∨ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)))) → [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑)
388	244, 387	syldan 603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) ∧ 𝑗 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))) → [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑)
389	388	ralrimiva 3156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) → ∀𝑗 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))[((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑)
390		fvoveq1 7440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) = ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑘 − 1)))
391		fveq2 6882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) = ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘))
392	391	sbceq1d 3747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ([((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑 ↔ [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘) / 𝑏]𝜑))
393	390, 392	sbceqbid 3749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ([((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑 ↔ [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘) / 𝑏]𝜑))
394	393	cbvralvw 3242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (∀𝑗 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))[((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))[((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘) / 𝑏]𝜑)
395	389, 394	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) → ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))[((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘) / 𝑏]𝜑)
396	395	adantllr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) → ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))[((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘) / 𝑏]𝜑)
397	396	adantrlr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ (((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) → ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))[((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘) / 𝑏]𝜑)
398	397	3adantr1 1188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ (𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) → ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))[((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘) / 𝑏]𝜑)
399		ovex 7450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑀...(𝑚 + 1)) ∈ V
400	399	mptex 7226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) ∈ V
401		feq1 6684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) → (𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ↔ (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))):(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴))
402		fveq1 6881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) → (𝑓‘𝑀) = ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑀))
403	402	eqeq1d 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) → ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ↔ ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑀) = 𝑐))
404		fveq1 6881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) → (𝑓‘(𝑚 + 1)) = ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑚 + 1)))
405	404	sbceq1d 3747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) → ([(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃 ↔ [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃))
406	403, 405	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) → (((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ↔ (((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑀) = 𝑐 ∧ [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃)))
407		fveq1 6881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) → (𝑓‘(𝑘 − 1)) = ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑘 − 1)))
408		fveq1 6881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) → (𝑓‘𝑘) = ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘))
409	408	sbceq1d 3747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) → ([(𝑓‘𝑘) / 𝑏]𝜑 ↔ [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘) / 𝑏]𝜑))
410	407, 409	sbceqbid 3749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) → ([(𝑓‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑓‘𝑘) / 𝑏]𝜑 ↔ [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘) / 𝑏]𝜑))
411	113, 410	bitr3id 288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) → (𝜒 ↔ [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘) / 𝑏]𝜑))
412	411	ralbidv 3187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) → (∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒 ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))[((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘) / 𝑏]𝜑))
413	401, 406, 412	3anbi123d 1464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) → ((𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒) ↔ ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))):(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ (((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑀) = 𝑐 ∧ [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))[((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘) / 𝑏]𝜑)))
414	400, 413	spcev 3563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))):(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ (((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑀) = 𝑐 ∧ [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))[((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒))
415	203, 210, 235, 398, 414	syl121anc 1402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ (𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒))
416	415	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒)))
417	143, 416	chvarvv 2022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((([𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒)))
418	133, 417	chvarvv 2022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒)))
419	418	adantlrr 734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒)))
420	419	adantlll 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜂 ∧ 𝜑) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒)))
421	420	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜂 ∧ 𝜑) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ (𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒))
422		oveq2 7425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑀...𝑛) = (𝑀...(𝑚 + 1)))
423	422	feq2d 6690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ↔ 𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴))
424		fveq2 6882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑓‘𝑛) = (𝑓‘(𝑚 + 1)))
425	424	sbceq1d 3747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → ([(𝑓‘𝑛) / 𝑎]𝜃 ↔ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃))
426	38, 425	bitr3id 288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝜏 ↔ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃))
427	426	anbi2d 642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ↔ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃)))
428		oveq2 7425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑁...𝑛) = (𝑁...(𝑚 + 1)))
429	428	raleqdv 3321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒 ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒))
430	423, 427, 429	3anbi123d 1464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ (𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒)))
431	430	exbidv 1954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒)))
432	431	rspcev 3579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑚 + 1) ∈ 𝑍 ∧ ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒)) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))
433	125, 421, 432	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜂 ∧ 𝜑) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ (𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))
434	433	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜂 ∧ 𝜑) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
435	434	exlimdv 1966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜂 ∧ 𝜑) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (∃𝑔(𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
436	435	rexlimdva 3165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝜑) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) → (∃𝑚 ∈ 𝑍 ∃𝑔(𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
437	123, 436	biimtrid 245	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝜑) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) → (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
438	73, 88, 437	3syld 61	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝜑) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) → (∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
439	438	an42s 674	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) → (∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
440	439	rexlimdvaa 3166	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜂 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (∃𝑏 ∈ 𝐴 𝜑 → (∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))))
441	440	imp 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝜑) → (∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
442		fdc.10	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜂 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝜃 ∨ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝜑))
443	65, 441, 442	mpjaodan 973	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜂 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
444	138	anbi1d 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → (((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ↔ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏)))
445	444	3anbi2d 1469	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → ((𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ (𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
446	445	exbidv 1954	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → (∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
447	446	rexbidv 3188	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
448	447	elrab3 3649	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → (𝑎 ∈ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)} ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
449	448	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜂 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑎 ∈ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)} ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
450	443, 449	sylibrd 262	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜂 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}))
451	450	ex 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜂 → (𝑎 ∈ 𝐴 → (∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})))
452	451	com23 87	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜂 → (∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎 → (𝑎 ∈ 𝐴 → 𝑎 ∈ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})))
453		eldif 3912	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ↔ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑎 ∈ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}))
454	453	notbii 323	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ↔ ¬ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑎 ∈ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}))
455		iman 407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 → 𝑎 ∈ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ↔ ¬ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑎 ∈ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}))
456	454, 455	bitr4i 281	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ↔ (𝑎 ∈ 𝐴 → 𝑎 ∈ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}))
457	452, 456	imbitrrdi 255	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜂 → (∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎 → ¬ 𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})))
458	457	con2d 135	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜂 → (𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) → ¬ ∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎))
459	458	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜂 ∧ 𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})) → ¬ ∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎)
460	459	nrexdv 3159	. . . . . 6 ⊢ (𝜂 → ¬ ∃𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎)
461		df-ne 2958	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ≠ ∅ ↔ ¬ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) = ∅)
462		fdc.9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜂 → 𝑅 Fr 𝐴)
463		difss 4086	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ⊆ 𝐴
464		fdc.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 ∈ V
465		difexg 5298	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ∈ V)
466	464, 465	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ∈ V
467		fri 5617	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ∈ V ∧ 𝑅 Fr 𝐴) ∧ ((𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ≠ ∅)) → ∃𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎)
468	466, 467	mpanl1 713	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ ((𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ≠ ∅)) → ∃𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎)
469	468	expr 462	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ⊆ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ≠ ∅ → ∃𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎))
470	462, 463, 469	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ (𝜂 → ((𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ≠ ∅ → ∃𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎))
471	461, 470	biimtrrid 246	. . . . . 6 ⊢ (𝜂 → (¬ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) = ∅ → ∃𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎))
472	460, 471	mt3d 149	. . . . 5 ⊢ (𝜂 → (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) = ∅)
473		ssdif0 4317	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)} ↔ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) = ∅)
474	472, 473	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (𝜂 → 𝐴 ⊆ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})
475	76	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜂 → {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)} ⊆ 𝐴)
476	474, 475	eqssd 3951	. . 3 ⊢ (𝜂 → 𝐴 = {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})
477		rabid2 3447	. . 3 ⊢ (𝐴 = {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)} ↔ ∀𝑐 ∈ 𝐴 ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))
478	476, 477	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜂 → ∀𝑐 ∈ 𝐴 ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))
479		eqeq2 2774	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ↔ (𝑓‘𝑀) = 𝐶))
480	479	anbi1d 643	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ↔ ((𝑓‘𝑀) = 𝐶 ∧ 𝜏)))
481	480	3anbi2d 1469	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ (𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝐶 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
482	481	exbidv 1954	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝐶 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
483	482	rexbidv 3188	. . 3 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝐶 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
484	483	rspcva 3577	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝐴 ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝐶 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))
485	1, 478, 484	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜂 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝐶 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  ∃wrex 3088  {crab 3414  Vcvv 3453  [wsbc 3742   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  ifcif 4485  {csn 4587  ⟨cop 4593   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190   Fr wfr 5609  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  ℂcc 11126  ℝcr 11127  1c1 11129   + caddc 11131   < clt 11271   ≤ cle 11272   − cmin 11469  ℤcz 12619  ℤ_≥cuz 12891  ...cfz 13565

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566

This theorem is used by:  fdc1  38504