Theorem fdc 37753

Description: Finite version of dependent choice. Construct a function whose value depends on the previous function value, except at a final point at which no new value can be chosen. The final hypothesis ensures that the process will terminate. The proof does not use the Axiom of Choice. (Contributed by Jeff Madsen, 18-Jun-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
fdc.1	⊢ 𝐴 ∈ V
fdc.2	⊢ 𝑀 ∈ ℤ
fdc.3	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
fdc.4	⊢ 𝑁 = (𝑀 + 1)
fdc.5	⊢ (𝑎 = (𝑓‘(𝑘 − 1)) → (𝜑 ↔ 𝜓))
fdc.6	⊢ (𝑏 = (𝑓‘𝑘) → (𝜓 ↔ 𝜒))
fdc.7	⊢ (𝑎 = (𝑓‘𝑛) → (𝜃 ↔ 𝜏))
fdc.8	⊢ (𝜂 → 𝐶 ∈ 𝐴)
fdc.9	⊢ (𝜂 → 𝑅 Fr 𝐴)
fdc.10	⊢ ((𝜂 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝜃 ∨ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝜑))
fdc.11	⊢ (((𝜂 ∧ 𝜑) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) → 𝑏𝑅𝑎)

Assertion

Ref	Expression
fdc	⊢ (𝜂 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝐶 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑓,𝑛   𝐴,𝑎,𝑏,𝑓,𝑛   𝑀,𝑎,𝑏,𝑓,𝑘,𝑛   𝑍,𝑎,𝑏,𝑛   𝑁,𝑎,𝑏,𝑓,𝑘,𝑛   𝑅,𝑎,𝑏   𝜑,𝑓,𝑘   𝜓,𝑎   𝜒,𝑎,𝑏,𝑛   𝜃,𝑓,𝑛   𝜏,𝑎,𝑏   𝜂,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛,𝑎,𝑏)   𝜓(𝑓,𝑘,𝑛,𝑏)   𝜒(𝑓,𝑘)   𝜃(𝑘,𝑎,𝑏)   𝜏(𝑓,𝑘,𝑛)   𝜂(𝑓,𝑘,𝑛)   𝐴(𝑘)   𝐶(𝑘,𝑎,𝑏)   𝑅(𝑓,𝑘,𝑛)   𝑍(𝑓,𝑘)

Proof of Theorem fdc

Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑔 𝑚 𝑥 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fdc.8	. 2 ⊢ (𝜂 → 𝐶 ∈ 𝐴)
2		fdc.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑀 ∈ ℤ
3		uzid 12894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀)
5		fdc.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6	4, 5	eleqtrri 2839	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑀 ∈ 𝑍
7		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ {⟨𝑀, 𝑎⟩} = {⟨𝑀, 𝑎⟩}
8	2	elexi 3502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 𝑀 ∈ V
9		vex 3483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 𝑎 ∈ V
10	8, 9	fsn 7154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ({⟨𝑀, 𝑎⟩}:{𝑀}⟶{𝑎} ↔ {⟨𝑀, 𝑎⟩} = {⟨𝑀, 𝑎⟩})
11	7, 10	mpbir 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ {⟨𝑀, 𝑎⟩}:{𝑀}⟶{𝑎}
12		snssi 4807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → {𝑎} ⊆ 𝐴)
13		fss 6751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (({⟨𝑀, 𝑎⟩}:{𝑀}⟶{𝑎} ∧ {𝑎} ⊆ 𝐴) → {⟨𝑀, 𝑎⟩}:{𝑀}⟶𝐴)
14	11, 12, 13	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → {⟨𝑀, 𝑎⟩}:{𝑀}⟶𝐴)
15		fzsn 13607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
16	2, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑀...𝑀) = {𝑀}
17	16	feq2i 6727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ({⟨𝑀, 𝑎⟩}:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ↔ {⟨𝑀, 𝑎⟩}:{𝑀}⟶𝐴)
18	14, 17	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → {⟨𝑀, 𝑎⟩}:(𝑀...𝑀)⟶𝐴)
19	18	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝜃) → {⟨𝑀, 𝑎⟩}:(𝑀...𝑀)⟶𝐴)
20	8, 9	fvsn 7202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ({⟨𝑀, 𝑎⟩}‘𝑀) = 𝑎
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝜃) → ({⟨𝑀, 𝑎⟩}‘𝑀) = 𝑎)
22		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝜃) → 𝜃)
23		snex 5435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ {⟨𝑀, 𝑎⟩} ∈ V
24		feq1 6715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑀, 𝑎⟩} → (𝑓:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ↔ {⟨𝑀, 𝑎⟩}:(𝑀...𝑀)⟶𝐴))
25		fveq1 6904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑀, 𝑎⟩} → (𝑓‘𝑀) = ({⟨𝑀, 𝑎⟩}‘𝑀))
26	25	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑀, 𝑎⟩} → ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ↔ ({⟨𝑀, 𝑎⟩}‘𝑀) = 𝑎))
27	25, 20	eqtrdi 2792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑀, 𝑎⟩} → (𝑓‘𝑀) = 𝑎)
28		sbceq2a 3799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 → ([(𝑓‘𝑀) / 𝑎]𝜃 ↔ 𝜃))
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑀, 𝑎⟩} → ([(𝑓‘𝑀) / 𝑎]𝜃 ↔ 𝜃))
30	26, 29	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑀, 𝑎⟩} → (((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘𝑀) / 𝑎]𝜃) ↔ (({⟨𝑀, 𝑎⟩}‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜃)))
31	24, 30	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑀, 𝑎⟩} → ((𝑓:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘𝑀) / 𝑎]𝜃)) ↔ ({⟨𝑀, 𝑎⟩}:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ (({⟨𝑀, 𝑎⟩}‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜃))))
32	23, 31	spcev 3605	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (({⟨𝑀, 𝑎⟩}:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ (({⟨𝑀, 𝑎⟩}‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜃)) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘𝑀) / 𝑎]𝜃)))
33	19, 21, 22, 32	syl12anc 836	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝜃) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘𝑀) / 𝑎]𝜃)))
34		oveq2 7440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑀...𝑛) = (𝑀...𝑀))
35	34	feq2d 6721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ↔ 𝑓:(𝑀...𝑀)⟶𝐴))
36		fvex 6918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑓‘𝑛) ∈ V
37		fdc.7	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑎 = (𝑓‘𝑛) → (𝜃 ↔ 𝜏))
38	36, 37	sbcie 3829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ([(𝑓‘𝑛) / 𝑎]𝜃 ↔ 𝜏)
39		fveq2 6905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑓‘𝑛) = (𝑓‘𝑀))
40	39	sbceq1d 3792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ([(𝑓‘𝑛) / 𝑎]𝜃 ↔ [(𝑓‘𝑀) / 𝑎]𝜃))
41	38, 40	bitr3id 285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝜏 ↔ [(𝑓‘𝑀) / 𝑎]𝜃))
42	41	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ↔ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘𝑀) / 𝑎]𝜃)))
43		oveq2 7440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑁...𝑛) = (𝑁...𝑀))
44		fdc.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 𝑁 = (𝑀 + 1)
45	44	oveq1i 7442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁...𝑀) = ((𝑀 + 1)...𝑀)
46	2	zrei 12621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 𝑀 ∈ ℝ
47	46	ltp1i 12173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 𝑀 < (𝑀 + 1)
48		peano2z 12660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
49	2, 48	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑀 + 1) ∈ ℤ
50		fzn 13581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < (𝑀 + 1) ↔ ((𝑀 + 1)...𝑀) = ∅))
51	49, 2, 50	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑀 < (𝑀 + 1) ↔ ((𝑀 + 1)...𝑀) = ∅)
52	47, 51	mpbi 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑀 + 1)...𝑀) = ∅
53	45, 52	eqtri 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁...𝑀) = ∅
54	43, 53	eqtrdi 2792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑁...𝑛) = ∅)
55	54	raleqdv 3325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒 ↔ ∀𝑘 ∈ ∅ 𝜒))
56	35, 42, 55	3anbi123d 1437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ (𝑓:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘𝑀) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ ∅ 𝜒)))
57		ral0 4512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ∀𝑘 ∈ ∅ 𝜒
58		df-3an 1088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑓:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘𝑀) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ ∅ 𝜒) ↔ ((𝑓:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘𝑀) / 𝑎]𝜃)) ∧ ∀𝑘 ∈ ∅ 𝜒))
59	57, 58	mpbiran2 710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑓:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘𝑀) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ ∅ 𝜒) ↔ (𝑓:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘𝑀) / 𝑎]𝜃)))
60	56, 59	bitrdi 287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ (𝑓:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘𝑀) / 𝑎]𝜃))))
61	60	exbidv 1920	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘𝑀) / 𝑎]𝜃))))
62	61	rspcev 3621	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑍 ∧ ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘𝑀) / 𝑎]𝜃))) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))
63	6, 33, 62	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝜃) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))
64	63	adantll 714	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝜃) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))
65	64	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝜃) → (∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
66		fdc.11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝜑) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) → 𝑏𝑅𝑎)
67		breq1 5145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑑 = 𝑏 → (𝑑𝑅𝑎 ↔ 𝑏𝑅𝑎))
68	67	rspcev 3621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑏 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ∧ 𝑏𝑅𝑎) → ∃𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})𝑑𝑅𝑎)
69	68	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑏𝑅𝑎 → (𝑏 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) → ∃𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})𝑑𝑅𝑎))
70	66, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝜑) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) → (𝑏 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) → ∃𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})𝑑𝑅𝑎))
71		dfrex2 3072	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∃𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})𝑑𝑅𝑎 ↔ ¬ ∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎)
72	70, 71	imbitrdi 251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝜑) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) → (𝑏 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) → ¬ ∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎))
73	72	con2d 134	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝜑) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) → (∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎 → ¬ 𝑏 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})))
74		eldif 3960	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})) ↔ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑏 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})))
75	74	simplbi2 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐴 → (¬ 𝑏 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) → 𝑏 ∈ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}))))
76		ssrab2 4079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)} ⊆ 𝐴
77		dfss4 4268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ({𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)} ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})) = {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})
78	76, 77	mpbi 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})) = {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}
79	78	eleq2i 2832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})) ↔ 𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})
80		eqeq2 2748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ↔ (𝑓‘𝑀) = 𝑏))
81	80	anbi1d 631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → (((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ↔ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ 𝜏)))
82	81	3anbi2d 1442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → ((𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ (𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
83	82	exbidv 1920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → (∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
84	83	rexbidv 3178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
85	84	elrab3 3692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐴 → (𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)} ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
86	79, 85	bitrid 283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐴 → (𝑏 ∈ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})) ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
87	75, 86	sylibd 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐴 → (¬ 𝑏 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
88	87	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝜑) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) → (¬ 𝑏 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
89		oveq2 7440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑀...𝑛) = (𝑀...𝑚))
90	89	feq2d 6721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ↔ 𝑓:(𝑀...𝑚)⟶𝐴))
91		fveq2 6905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑓‘𝑛) = (𝑓‘𝑚))
92	91	sbceq1d 3792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ([(𝑓‘𝑛) / 𝑎]𝜃 ↔ [(𝑓‘𝑚) / 𝑎]𝜃))
93	38, 92	bitr3id 285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝜏 ↔ [(𝑓‘𝑚) / 𝑎]𝜃))
94	93	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ 𝜏) ↔ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑓‘𝑚) / 𝑎]𝜃)))
95		oveq2 7440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑁...𝑛) = (𝑁...𝑚))
96	95	raleqdv 3325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒 ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)𝜒))
97	90, 94, 96	3anbi123d 1437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ (𝑓:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑓‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)𝜒)))
98	97	exbidv 1920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑓‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)𝜒)))
99	98	cbvrexvw 3237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑓‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)𝜒))
100		feq1 6715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑓:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ↔ 𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴))
101		fveq1 6904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑓‘𝑀) = (𝑔‘𝑀))
102	101	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ↔ (𝑔‘𝑀) = 𝑏))
103		fveq1 6904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑓‘𝑚) = (𝑔‘𝑚))
104	103	sbceq1d 3792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → ([(𝑓‘𝑚) / 𝑎]𝜃 ↔ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃))
105	102, 104	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑓‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ↔ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃)))
106		fvex 6918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑓‘(𝑘 − 1)) ∈ V
107		fdc.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑎 = (𝑓‘(𝑘 − 1)) → (𝜑 ↔ 𝜓))
108	107	sbcbidv 3844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑎 = (𝑓‘(𝑘 − 1)) → ([(𝑓‘𝑘) / 𝑏]𝜑 ↔ [(𝑓‘𝑘) / 𝑏]𝜓))
109	106, 108	sbcie 3829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ([(𝑓‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑓‘𝑘) / 𝑏]𝜑 ↔ [(𝑓‘𝑘) / 𝑏]𝜓)
110		fvex 6918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑓‘𝑘) ∈ V
111		fdc.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑏 = (𝑓‘𝑘) → (𝜓 ↔ 𝜒))
112	110, 111	sbcie 3829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ([(𝑓‘𝑘) / 𝑏]𝜓 ↔ 𝜒)
113	109, 112	bitri 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ([(𝑓‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑓‘𝑘) / 𝑏]𝜑 ↔ 𝜒)
114		fveq1 6904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑓‘(𝑘 − 1)) = (𝑔‘(𝑘 − 1)))
115		fveq1 6904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑓‘𝑘) = (𝑔‘𝑘))
116	115	sbceq1d 3792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → ([(𝑓‘𝑘) / 𝑏]𝜑 ↔ [(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑))
117	114, 116	sbceqbid 3794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → ([(𝑓‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑓‘𝑘) / 𝑏]𝜑 ↔ [(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑))
118	113, 117	bitr3id 285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝜒 ↔ [(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑))
119	118	ralbidv 3177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)𝜒 ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑))
120	100, 105, 119	3anbi123d 1437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → ((𝑓:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑓‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)𝜒) ↔ (𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)))
121	120	cbvexvw 2035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑓‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)𝜒) ↔ ∃𝑔(𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑))
122	121	rexbii 3093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∃𝑚 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑓‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)𝜒) ↔ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∃𝑔(𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑))
123	99, 122	bitri 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∃𝑔(𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑))
124	5	peano2uzs 12945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑚 + 1) ∈ 𝑍)
125	124	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜂 ∧ 𝜑) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ (𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) → (𝑚 + 1) ∈ 𝑍)
126		sbceq2a 3799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑑 = 𝑏 → ([𝑑 / 𝑏]𝜑 ↔ 𝜑))
127	126	anbi1d 631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑑 = 𝑏 → (([𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴)))
128	127	anbi1d 631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑑 = 𝑏 → ((([𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍)))
129		eqeq2 2748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑑 = 𝑏 → ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ↔ (𝑔‘𝑀) = 𝑏))
130	129	anbi1d 631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑑 = 𝑏 → (((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ↔ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃)))
131	130	3anbi2d 1442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑑 = 𝑏 → ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) ↔ (𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)))
132	131	imbi1d 341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑑 = 𝑏 → (((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒)) ↔ ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒))))
133	128, 132	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑑 = 𝑏 → (((([𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒))) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒)))))
134		sbceq2a 3799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → ([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ↔ [𝑑 / 𝑏]𝜑))
135		eleq1 2828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → (𝑐 ∈ 𝐴 ↔ 𝑎 ∈ 𝐴))
136	134, 135	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → (([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ↔ ([𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴)))
137	136	anbi1d 631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → ((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ↔ (([𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍)))
138		eqeq2 2748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ↔ (𝑓‘𝑀) = 𝑎))
139	138	anbi1d 631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → (((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ↔ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃)))
140	139	3anbi2d 1442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → ((𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒) ↔ (𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒)))
141	140	exbidv 1920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → (∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒) ↔ ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒)))
142	141	imbi2d 340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → (((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒)) ↔ ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒))))
143	137, 142	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒))) ↔ ((([𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒)))))
144		peano2uz 12944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑚 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
145	144, 5	eleq2s 2858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑚 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
146		elfzp12 13644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑚 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↔ (𝑥 = 𝑀 ∨ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)))))
147	145, 146	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↔ (𝑥 = 𝑀 ∨ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)))))
148	147	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ 𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↔ (𝑥 = 𝑀 ∨ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)))))
149		iftrue 4530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) = 𝑐)
150	149	eleq1d 2825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) ∈ 𝐴 ↔ 𝑐 ∈ 𝐴))
151	150	biimprcd 250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑐 ∈ 𝐴 → (𝑥 = 𝑀 → if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) ∈ 𝐴))
152	151	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ 𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴) → (𝑥 = 𝑀 → if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) ∈ 𝐴))
153		1re 11262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ 1 ∈ ℝ
154	46, 153	readdcli 11277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝑀 + 1) ∈ ℝ
155	46, 154	ltnlei 11383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (𝑀 < (𝑀 + 1) ↔ ¬ (𝑀 + 1) ≤ 𝑀)
156	47, 155	mpbi 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ¬ (𝑀 + 1) ≤ 𝑀
157		eleq1 2828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) ↔ 𝑀 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))))
158		elfzle1 13568	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝑀 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑀)
159	157, 158	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑀))
160	159	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑥 = 𝑀 → (𝑀 + 1) ≤ 𝑀))
161	156, 160	mtoi 199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) → ¬ 𝑥 = 𝑀)
162	161	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))) → ¬ 𝑥 = 𝑀)
163	162	iffalsed 4535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) = (𝑔‘(𝑥 − 1)))
164		elfzelz 13565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) → 𝑥 ∈ ℤ)
165	164	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))) → 𝑥 ∈ ℤ)
166		eluzelz 12889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑚 ∈ ℤ)
167	166, 5	eleq2s 2858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → 𝑚 ∈ ℤ)
168	167	peano2zd 12727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑚 + 1) ∈ ℤ)
169		1z 12649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ 1 ∈ ℤ
170		fzsubel 13601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ⊢ ((((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) ↔ (𝑥 − 1) ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1))))
171	170	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ ((((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑥 − 1) ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1))))
172	169, 171	mpanr2 704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ ((((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑥 − 1) ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1))))
173	49, 172	mpanl1 700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (((𝑚 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑥 − 1) ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1))))
174	173	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((𝑚 + 1) ∈ ℤ → (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑥 − 1) ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1)))))
175	168, 174	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑥 − 1) ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1)))))
176	175	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 − 1) ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1)))))
177	176	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))) → (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 − 1) ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1))))
178	165, 177	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))) → (𝑥 − 1) ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1)))
179	46	recni 11276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
180		ax-1cn 11214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ 1 ∈ ℂ
181	179, 180	pncan3oi 11525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀
182	181	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
183	167	zcnd 12725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → 𝑚 ∈ ℂ)
184		pncan 11515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑚 + 1) − 1) = 𝑚)
185	183, 180, 184	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → ((𝑚 + 1) − 1) = 𝑚)
186	182, 185	oveq12d 7450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (((𝑀 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1)) = (𝑀...𝑚))
187	186	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))) → (((𝑀 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1)) = (𝑀...𝑚))
188	178, 187	eleqtrd 2842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))) → (𝑥 − 1) ∈ (𝑀...𝑚))
189		ffvelcdm 7100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ (𝑥 − 1) ∈ (𝑀...𝑚)) → (𝑔‘(𝑥 − 1)) ∈ 𝐴)
190	188, 189	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ (𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)))) → (𝑔‘(𝑥 − 1)) ∈ 𝐴)
191	190	anassrs 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))) → (𝑔‘(𝑥 − 1)) ∈ 𝐴)
192	191	ancom1s 653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))) → (𝑔‘(𝑥 − 1)) ∈ 𝐴)
193	163, 192	eqeltrd 2840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) ∈ 𝐴)
194	193	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴) → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) ∈ 𝐴))
195	194	adantll 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ 𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴) → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) ∈ 𝐴))
196	152, 195	jaod 859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ 𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴) → ((𝑥 = 𝑀 ∨ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) ∈ 𝐴))
197	148, 196	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ 𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) ∈ 𝐴))
198	197	ralrimiv 3144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ 𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴) → ∀𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1))if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) ∈ 𝐴)
199		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) = (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))
200	199	fmpt 7129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1))if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))):(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴)
201	198, 200	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ 𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))):(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴)
202	201	adantlll 718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ 𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))):(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴)
203	202	3ad2antr1 1188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ (𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))):(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴)
204		eluzfz1 13572	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑚 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)))
205	144, 204	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)))
206	205, 5	eleq2s 2858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → 𝑀 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)))
207		vex 3483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ 𝑐 ∈ V
208	149, 199, 207	fvmpt 7015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑀 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑀) = 𝑐)
209	206, 208	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑀) = 𝑐)
210	209	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ (𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑀) = 𝑐)
211		eluzfz2 13573	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑚 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑚 + 1) ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)))
212	144, 211	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑚 + 1) ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)))
213	212, 5	eleq2s 2858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑚 + 1) ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)))
214		eqeq1 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑥 = (𝑚 + 1) → (𝑥 = 𝑀 ↔ (𝑚 + 1) = 𝑀))
215		fvoveq1 7455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑥 = (𝑚 + 1) → (𝑔‘(𝑥 − 1)) = (𝑔‘((𝑚 + 1) − 1)))
216	214, 215	ifbieq2d 4551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑥 = (𝑚 + 1) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) = if((𝑚 + 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘((𝑚 + 1) − 1))))
217		fvex 6918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑔‘((𝑚 + 1) − 1)) ∈ V
218	207, 217	ifex 4575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ if((𝑚 + 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘((𝑚 + 1) − 1))) ∈ V
219	216, 199, 218	fvmpt 7015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑚 + 1) ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑚 + 1)) = if((𝑚 + 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘((𝑚 + 1) − 1))))
220	213, 219	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑚 + 1)) = if((𝑚 + 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘((𝑚 + 1) − 1))))
221		eluzle 12892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑚)
222	221, 5	eleq2s 2858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → 𝑀 ≤ 𝑚)
223		zleltp1 12670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑚 ↔ 𝑀 < (𝑚 + 1)))
224	2, 167, 223	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑀 ≤ 𝑚 ↔ 𝑀 < (𝑚 + 1)))
225	222, 224	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → 𝑀 < (𝑚 + 1))
226		ltne 11359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 < (𝑚 + 1)) → (𝑚 + 1) ≠ 𝑀)
227	46, 225, 226	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑚 + 1) ≠ 𝑀)
228	227	neneqd 2944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → ¬ (𝑚 + 1) = 𝑀)
229	228	iffalsed 4535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → if((𝑚 + 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘((𝑚 + 1) − 1))) = (𝑔‘((𝑚 + 1) − 1)))
230	185	fveq2d 6909	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑔‘((𝑚 + 1) − 1)) = (𝑔‘𝑚))
231	220, 229, 230	3eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑚 + 1)) = (𝑔‘𝑚))
232	231	sbceq1d 3792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → ([((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃 ↔ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃))
233	232	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) → [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃)
234	233	ad2ant2l 746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃)) → [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃)
235	234	3ad2antr2 1189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ (𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) → [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃)
236		eluzp1p1 12907	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑚 + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))
237	236, 5	eleq2s 2858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑚 + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))
238	44	fveq2i 6908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) = (ℤ≥‘(𝑀 + 1))
239	237, 238	eleqtrrdi 2851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑚 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
240		elfzp12 13644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑚 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝑗 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1)) ↔ (𝑗 = 𝑁 ∨ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)))))
241	239, 240	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑗 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1)) ↔ (𝑗 = 𝑁 ∨ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)))))
242	241	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))) → (𝑗 = 𝑁 ∨ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))))
243	242	adantll 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))) → (𝑗 = 𝑁 ∨ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))))
244	243	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) ∧ 𝑗 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))) → (𝑗 = 𝑁 ∨ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))))
245		oveq1 7439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝑗 − 1) = (𝑁 − 1))
246	44	oveq1i 7442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (𝑁 − 1) = ((𝑀 + 1) − 1)
247	246, 181	eqtri 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (𝑁 − 1) = 𝑀
248	245, 247	eqtrdi 2792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝑗 − 1) = 𝑀)
249	248	fveq2d 6909	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) = ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑀))
250	249	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ 𝑗 = 𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) = ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑀))
251	209	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ 𝑗 = 𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑀) = 𝑐)
252	250, 251	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ 𝑗 = 𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) = 𝑐)
253	44	eqeq2i 2749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (𝑗 = 𝑁 ↔ 𝑗 = (𝑀 + 1))
254		fveq2 6905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (𝑗 = (𝑀 + 1) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) = ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑀 + 1)))
255	253, 254	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) = ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑀 + 1)))
256	255	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ 𝑗 = 𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) = ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑀 + 1)))
257	46, 154, 47	ltleii 11385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ 𝑀 ≤ (𝑀 + 1)
258		eluz2 12885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ ((𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑀 + 1)))
259	2, 49, 257, 258	mpbir3an 1341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)
260		fzss1 13604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ ((𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) ⊆ (𝑀...(𝑚 + 1)))
261	259, 260	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) ⊆ (𝑀...(𝑚 + 1))
262		eluzfz1 13572	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑚))
263	262, 5	eleq2s 2858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑚))
264		fzaddel 13599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∈ (𝑀...𝑚) ↔ (𝑀 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))))
265	2, 169, 264	mpanr12 705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ (𝑀...𝑚) ↔ (𝑀 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))))
266	2, 167, 265	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑀 ∈ (𝑀...𝑚) ↔ (𝑀 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))))
267	263, 266	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑀 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)))
268	261, 267	sselid 3980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑀 + 1) ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)))
269		eqeq1 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (𝑥 = (𝑀 + 1) → (𝑥 = 𝑀 ↔ (𝑀 + 1) = 𝑀))
270		oveq1 7439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ⊢ (𝑥 = (𝑀 + 1) → (𝑥 − 1) = ((𝑀 + 1) − 1))
271	270, 181	eqtrdi 2792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ (𝑥 = (𝑀 + 1) → (𝑥 − 1) = 𝑀)
272	271	fveq2d 6909	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (𝑥 = (𝑀 + 1) → (𝑔‘(𝑥 − 1)) = (𝑔‘𝑀))
273	269, 272	ifbieq2d 4551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (𝑥 = (𝑀 + 1) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) = if((𝑀 + 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘𝑀)))
274		fvex 6918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (𝑔‘𝑀) ∈ V
275	207, 274	ifex 4575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ if((𝑀 + 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘𝑀)) ∈ V
276	273, 199, 275	fvmpt 7015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((𝑀 + 1) ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑀 + 1)) = if((𝑀 + 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘𝑀)))
277	268, 276	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑀 + 1)) = if((𝑀 + 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘𝑀)))
278	46, 47	gtneii 11374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (𝑀 + 1) ≠ 𝑀
279		ifnefalse 4536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((𝑀 + 1) ≠ 𝑀 → if((𝑀 + 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘𝑀)) = (𝑔‘𝑀))
280	278, 279	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ if((𝑀 + 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘𝑀)) = (𝑔‘𝑀)
281	277, 280	eqtrdi 2792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑀 + 1)) = (𝑔‘𝑀))
282	281	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ 𝑗 = 𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑀 + 1)) = (𝑔‘𝑀))
283		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ 𝑗 = 𝑁)) → (𝑔‘𝑀) = 𝑑)
284	256, 282, 283	3eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ 𝑗 = 𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) = 𝑑)
285	284	sbceq1d 3792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ 𝑗 = 𝑁)) → ([((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑 ↔ [𝑑 / 𝑏]𝜑))
286	252, 285	sbceqbid 3794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ 𝑗 = 𝑁)) → ([((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑 ↔ [𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑))
287	286	biimparc 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑍 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ 𝑗 = 𝑁))) → [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑)
288	287	anassrs 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ 𝑗 = 𝑁)) → [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑)
289	288	anassrs 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑀) = 𝑑) ∧ 𝑗 = 𝑁) → [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑)
290	289	adantlrr 721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) ∧ 𝑗 = 𝑁) → [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑)
291		elfzelz 13565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → 𝑗 ∈ ℤ)
292	291	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → 𝑗 ∈ ℤ)
293	44, 49	eqeltri 2836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ 𝑁 ∈ ℤ
294		peano2z 12660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
295	293, 294	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (𝑁 + 1) ∈ ℤ
296		fzsubel 13601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ ((((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℤ) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) ↔ (𝑗 − 1) ∈ (((𝑁 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1))))
297	296	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ ((((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℤ) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑗 − 1) ∈ (((𝑁 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1))))
298	169, 297	mpanr2 704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ ((((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑗 − 1) ∈ (((𝑁 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1))))
299	298	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ ℤ → (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑗 − 1) ∈ (((𝑁 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1)))))
300	295, 168, 299	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑗 ∈ ℤ → (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑗 − 1) ∈ (((𝑁 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1)))))
301	300	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑗 ∈ ℤ → (𝑗 − 1) ∈ (((𝑁 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1)))))
302	301	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → (𝑗 ∈ ℤ → (𝑗 − 1) ∈ (((𝑁 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1))))
303	292, 302	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → (𝑗 − 1) ∈ (((𝑁 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1)))
304	293	zrei 12621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
305	304	recni 11276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
306	305, 180	pncan3oi 11525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁
307	306	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
308	307, 185	oveq12d 7450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (((𝑁 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1)) = (𝑁...𝑚))
309	308	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → (((𝑁 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1)) = (𝑁...𝑚))
310	303, 309	eleqtrd 2842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → (𝑗 − 1) ∈ (𝑁...𝑚))
311		fvoveq1 7455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑔‘(𝑘 − 1)) = (𝑔‘((𝑗 − 1) − 1)))
312		fveq2 6905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑔‘𝑘) = (𝑔‘(𝑗 − 1)))
313	312	sbceq1d 3792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → ([(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑 ↔ [(𝑔‘(𝑗 − 1)) / 𝑏]𝜑))
314	311, 313	sbceqbid 3794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → ([(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑 ↔ [(𝑔‘((𝑗 − 1) − 1)) / 𝑎][(𝑔‘(𝑗 − 1)) / 𝑏]𝜑))
315	314	rspcva 3619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((𝑗 − 1) ∈ (𝑁...𝑚) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → [(𝑔‘((𝑗 − 1) − 1)) / 𝑎][(𝑔‘(𝑗 − 1)) / 𝑏]𝜑)
316	310, 315	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → [(𝑔‘((𝑗 − 1) − 1)) / 𝑎][(𝑔‘(𝑗 − 1)) / 𝑏]𝜑)
317	44, 259	eqeltri 2836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)
318		fzss1 13604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁...(𝑚 + 1)) ⊆ (𝑀...(𝑚 + 1)))
319	317, 318	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (𝑁...(𝑚 + 1)) ⊆ (𝑀...(𝑚 + 1))
320		fzssp1 13608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (𝑁...𝑚) ⊆ (𝑁...(𝑚 + 1))
321	320, 310	sselid 3980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → (𝑗 − 1) ∈ (𝑁...(𝑚 + 1)))
322	319, 321	sselid 3980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → (𝑗 − 1) ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)))
323		eqeq1 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (𝑥 = (𝑗 − 1) → (𝑥 = 𝑀 ↔ (𝑗 − 1) = 𝑀))
324		fvoveq1 7455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (𝑥 = (𝑗 − 1) → (𝑔‘(𝑥 − 1)) = (𝑔‘((𝑗 − 1) − 1)))
325	323, 324	ifbieq2d 4551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (𝑥 = (𝑗 − 1) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) = if((𝑗 − 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘((𝑗 − 1) − 1))))
326		fvex 6918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (𝑔‘((𝑗 − 1) − 1)) ∈ V
327	207, 326	ifex 4575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ if((𝑗 − 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘((𝑗 − 1) − 1))) ∈ V
328	325, 199, 327	fvmpt 7015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝑗 − 1) ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) = if((𝑗 − 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘((𝑗 − 1) − 1))))
329	322, 328	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) = if((𝑗 − 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘((𝑗 − 1) − 1))))
330	154	ltp1i 12173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (𝑀 + 1) < ((𝑀 + 1) + 1)
331	44	oveq1i 7442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (𝑁 + 1) = ((𝑀 + 1) + 1)
332	330, 331	breqtrri 5169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (𝑀 + 1) < (𝑁 + 1)
333	304, 153	readdcli 11277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (𝑁 + 1) ∈ ℝ
334	154, 333	ltnlei 11383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ ((𝑀 + 1) < (𝑁 + 1) ↔ ¬ (𝑁 + 1) ≤ (𝑀 + 1))
335	332, 334	mpbi 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ¬ (𝑁 + 1) ≤ (𝑀 + 1)
336	291	zcnd 12725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → 𝑗 ∈ ℂ)
337		subadd 11512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ ((𝑗 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → ((𝑗 − 1) = 𝑀 ↔ (1 + 𝑀) = 𝑗))
338	180, 179, 337	mp3an23 1454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (𝑗 ∈ ℂ → ((𝑗 − 1) = 𝑀 ↔ (1 + 𝑀) = 𝑗))
339	336, 338	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → ((𝑗 − 1) = 𝑀 ↔ (1 + 𝑀) = 𝑗))
340		eqcom 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ ((1 + 𝑀) = 𝑗 ↔ 𝑗 = (1 + 𝑀))
341	180, 179	addcomi 11453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ⊢ (1 + 𝑀) = (𝑀 + 1)
342	341	eqeq2i 2749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ (𝑗 = (1 + 𝑀) ↔ 𝑗 = (𝑀 + 1))
343	340, 342	bitri 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ ((1 + 𝑀) = 𝑗 ↔ 𝑗 = (𝑀 + 1))
344		eleq1 2828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ⊢ (𝑗 = (𝑀 + 1) → (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) ↔ (𝑀 + 1) ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))))
345		elfzle1 13568	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ⊢ ((𝑀 + 1) ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑁 + 1) ≤ (𝑀 + 1))
346	344, 345	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ (𝑗 = (𝑀 + 1) → (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑁 + 1) ≤ (𝑀 + 1)))
347	346	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑗 = (𝑀 + 1) → (𝑁 + 1) ≤ (𝑀 + 1)))
348	343, 347	biimtrid 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → ((1 + 𝑀) = 𝑗 → (𝑁 + 1) ≤ (𝑀 + 1)))
349	339, 348	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → ((𝑗 − 1) = 𝑀 → (𝑁 + 1) ≤ (𝑀 + 1)))
350	335, 349	mtoi 199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → ¬ (𝑗 − 1) = 𝑀)
351	350	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → ¬ (𝑗 − 1) = 𝑀)
352	351	iffalsed 4535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → if((𝑗 − 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘((𝑗 − 1) − 1))) = (𝑔‘((𝑗 − 1) − 1)))
353	329, 352	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) = (𝑔‘((𝑗 − 1) − 1)))
354		peano2uz 12944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
355		fzss1 13604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) ⊆ (𝑀...(𝑚 + 1)))
356	317, 354, 355	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) ⊆ (𝑀...(𝑚 + 1))
357		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)))
358	356, 357	sselid 3980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → 𝑗 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)))
359		eqeq1 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (𝑥 = 𝑗 → (𝑥 = 𝑀 ↔ 𝑗 = 𝑀))
360		fvoveq1 7455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (𝑥 = 𝑗 → (𝑔‘(𝑥 − 1)) = (𝑔‘(𝑗 − 1)))
361	359, 360	ifbieq2d 4551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (𝑥 = 𝑗 → if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) = if(𝑗 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑗 − 1))))
362		fvex 6918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (𝑔‘(𝑗 − 1)) ∈ V
363	207, 362	ifex 4575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ if(𝑗 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑗 − 1))) ∈ V
364	361, 199, 363	fvmpt 7015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (𝑗 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) = if(𝑗 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑗 − 1))))
365	358, 364	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) = if(𝑗 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑗 − 1))))
366	47, 44	breqtrri 5169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ 𝑀 < 𝑁
367	304	ltp1i 12173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ 𝑁 < (𝑁 + 1)
368	46, 304, 333	lttri 11388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ ((𝑀 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (𝑁 + 1)) → 𝑀 < (𝑁 + 1))
369	366, 367, 368	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ 𝑀 < (𝑁 + 1)
370	46, 333	ltnlei 11383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (𝑀 < (𝑁 + 1) ↔ ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑀)
371	369, 370	mpbi 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑀
372		eleq1 2828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) ↔ 𝑀 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))))
373		elfzle1 13568	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ (𝑀 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑀)
374	372, 373	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑀))
375	374	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑗 = 𝑀 → (𝑁 + 1) ≤ 𝑀))
376	371, 375	mtoi 199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → ¬ 𝑗 = 𝑀)
377	376	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → ¬ 𝑗 = 𝑀)
378	377	iffalsed 4535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → if(𝑗 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑗 − 1))) = (𝑔‘(𝑗 − 1)))
379	365, 378	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) = (𝑔‘(𝑗 − 1)))
380	379	sbceq1d 3792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → ([((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑 ↔ [(𝑔‘(𝑗 − 1)) / 𝑏]𝜑))
381	353, 380	sbceqbid 3794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → ([((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑 ↔ [(𝑔‘((𝑗 − 1) − 1)) / 𝑎][(𝑔‘(𝑗 − 1)) / 𝑏]𝜑))
382	381	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) ∧ [(𝑔‘((𝑗 − 1) − 1)) / 𝑎][(𝑔‘(𝑗 − 1)) / 𝑏]𝜑) → [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑)
383	316, 382	syldan 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑)
384	383	an32s 652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑)
385	384	adantlrl 720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑)
386	385	adantlll 718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑)
387	290, 386	jaodan 959	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) ∧ (𝑗 = 𝑁 ∨ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)))) → [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑)
388	244, 387	syldan 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) ∧ 𝑗 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))) → [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑)
389	388	ralrimiva 3145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) → ∀𝑗 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))[((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑)
390		fvoveq1 7455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) = ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑘 − 1)))
391		fveq2 6905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) = ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘))
392	391	sbceq1d 3792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ([((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑 ↔ [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘) / 𝑏]𝜑))
393	390, 392	sbceqbid 3794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ([((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑 ↔ [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘) / 𝑏]𝜑))
394	393	cbvralvw 3236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (∀𝑗 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))[((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))[((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘) / 𝑏]𝜑)
395	389, 394	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) → ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))[((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘) / 𝑏]𝜑)
396	395	adantllr 719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) → ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))[((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘) / 𝑏]𝜑)
397	396	adantrlr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ (((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) → ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))[((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘) / 𝑏]𝜑)
398	397	3adantr1 1169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ (𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) → ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))[((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘) / 𝑏]𝜑)
399		ovex 7465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑀...(𝑚 + 1)) ∈ V
400	399	mptex 7244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) ∈ V
401		feq1 6715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) → (𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ↔ (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))):(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴))
402		fveq1 6904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) → (𝑓‘𝑀) = ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑀))
403	402	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) → ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ↔ ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑀) = 𝑐))
404		fveq1 6904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) → (𝑓‘(𝑚 + 1)) = ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑚 + 1)))
405	404	sbceq1d 3792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) → ([(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃 ↔ [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃))
406	403, 405	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) → (((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ↔ (((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑀) = 𝑐 ∧ [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃)))
407		fveq1 6904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) → (𝑓‘(𝑘 − 1)) = ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑘 − 1)))
408		fveq1 6904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) → (𝑓‘𝑘) = ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘))
409	408	sbceq1d 3792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) → ([(𝑓‘𝑘) / 𝑏]𝜑 ↔ [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘) / 𝑏]𝜑))
410	407, 409	sbceqbid 3794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) → ([(𝑓‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑓‘𝑘) / 𝑏]𝜑 ↔ [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘) / 𝑏]𝜑))
411	113, 410	bitr3id 285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) → (𝜒 ↔ [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘) / 𝑏]𝜑))
412	411	ralbidv 3177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) → (∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒 ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))[((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘) / 𝑏]𝜑))
413	401, 406, 412	3anbi123d 1437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) → ((𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒) ↔ ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))):(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ (((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑀) = 𝑐 ∧ [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))[((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘) / 𝑏]𝜑)))
414	400, 413	spcev 3605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))):(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ (((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑀) = 𝑐 ∧ [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))[((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒))
415	203, 210, 235, 398, 414	syl121anc 1376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ (𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒))
416	415	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒)))
417	143, 416	chvarvv 1997	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((([𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒)))
418	133, 417	chvarvv 1997	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒)))
419	418	adantlrr 721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒)))
420	419	adantlll 718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜂 ∧ 𝜑) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒)))
421	420	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜂 ∧ 𝜑) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ (𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒))
422		oveq2 7440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑀...𝑛) = (𝑀...(𝑚 + 1)))
423	422	feq2d 6721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ↔ 𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴))
424		fveq2 6905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑓‘𝑛) = (𝑓‘(𝑚 + 1)))
425	424	sbceq1d 3792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → ([(𝑓‘𝑛) / 𝑎]𝜃 ↔ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃))
426	38, 425	bitr3id 285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝜏 ↔ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃))
427	426	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ↔ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃)))
428		oveq2 7440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑁...𝑛) = (𝑁...(𝑚 + 1)))
429	428	raleqdv 3325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒 ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒))
430	423, 427, 429	3anbi123d 1437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ (𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒)))
431	430	exbidv 1920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒)))
432	431	rspcev 3621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑚 + 1) ∈ 𝑍 ∧ ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒)) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))
433	125, 421, 432	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜂 ∧ 𝜑) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ (𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))
434	433	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜂 ∧ 𝜑) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
435	434	exlimdv 1932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜂 ∧ 𝜑) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (∃𝑔(𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
436	435	rexlimdva 3154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝜑) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) → (∃𝑚 ∈ 𝑍 ∃𝑔(𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
437	123, 436	biimtrid 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝜑) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) → (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
438	73, 88, 437	3syld 60	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝜑) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) → (∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
439	438	an42s 661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) → (∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
440	439	rexlimdvaa 3155	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜂 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (∃𝑏 ∈ 𝐴 𝜑 → (∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))))
441	440	imp 406	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝜑) → (∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
442		fdc.10	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜂 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝜃 ∨ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝜑))
443	65, 441, 442	mpjaodan 960	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜂 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
444	138	anbi1d 631	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → (((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ↔ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏)))
445	444	3anbi2d 1442	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → ((𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ (𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
446	445	exbidv 1920	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → (∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
447	446	rexbidv 3178	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
448	447	elrab3 3692	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → (𝑎 ∈ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)} ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
449	448	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜂 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑎 ∈ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)} ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
450	443, 449	sylibrd 259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜂 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}))
451	450	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜂 → (𝑎 ∈ 𝐴 → (∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})))
452	451	com23 86	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜂 → (∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎 → (𝑎 ∈ 𝐴 → 𝑎 ∈ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})))
453		eldif 3960	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ↔ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑎 ∈ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}))
454	453	notbii 320	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ↔ ¬ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑎 ∈ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}))
455		iman 401	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 → 𝑎 ∈ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ↔ ¬ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑎 ∈ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}))
456	454, 455	bitr4i 278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ↔ (𝑎 ∈ 𝐴 → 𝑎 ∈ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}))
457	452, 456	imbitrrdi 252	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜂 → (∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎 → ¬ 𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})))
458	457	con2d 134	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜂 → (𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) → ¬ ∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎))
459	458	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜂 ∧ 𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})) → ¬ ∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎)
460	459	nrexdv 3148	. . . . . 6 ⊢ (𝜂 → ¬ ∃𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎)
461		df-ne 2940	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ≠ ∅ ↔ ¬ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) = ∅)
462		fdc.9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜂 → 𝑅 Fr 𝐴)
463		difss 4135	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ⊆ 𝐴
464		fdc.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 ∈ V
465		difexg 5328	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ∈ V)
466	464, 465	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ∈ V
467		fri 5641	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ∈ V ∧ 𝑅 Fr 𝐴) ∧ ((𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ≠ ∅)) → ∃𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎)
468	466, 467	mpanl1 700	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ ((𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ≠ ∅)) → ∃𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎)
469	468	expr 456	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ⊆ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ≠ ∅ → ∃𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎))
470	462, 463, 469	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜂 → ((𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ≠ ∅ → ∃𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎))
471	461, 470	biimtrrid 243	. . . . . 6 ⊢ (𝜂 → (¬ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) = ∅ → ∃𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎))
472	460, 471	mt3d 148	. . . . 5 ⊢ (𝜂 → (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) = ∅)
473		ssdif0 4365	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)} ↔ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) = ∅)
474	472, 473	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝜂 → 𝐴 ⊆ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})
475	76	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜂 → {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)} ⊆ 𝐴)
476	474, 475	eqssd 4000	. . 3 ⊢ (𝜂 → 𝐴 = {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})
477		rabid2 3469	. . 3 ⊢ (𝐴 = {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)} ↔ ∀𝑐 ∈ 𝐴 ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))
478	476, 477	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜂 → ∀𝑐 ∈ 𝐴 ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))
479		eqeq2 2748	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ↔ (𝑓‘𝑀) = 𝐶))
480	479	anbi1d 631	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ↔ ((𝑓‘𝑀) = 𝐶 ∧ 𝜏)))
481	480	3anbi2d 1442	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ (𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝐶 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
482	481	exbidv 1920	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝐶 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
483	482	rexbidv 3178	. . 3 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝐶 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
484	483	rspcva 3619	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝐴 ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝐶 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))
485	1, 478, 484	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜂 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝐶 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1539  ∃wex 1778   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939  ∀wral 3060  ∃wrex 3069  {crab 3435  Vcvv 3479  [wsbc 3787   ∖ cdif 3947   ⊆ wss 3950  ∅c0 4332  ifcif 4524  {csn 4625  ⟨cop 4631   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5224   Fr wfr 5633  ⟶wf 6556  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  ℂcc 11154  ℝcr 11155  1c1 11157   + caddc 11159   < clt 11296   ≤ cle 11297   − cmin 11493  ℤcz 12615  ℤ_≥cuz 12879  ...cfz 13548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549

This theorem is referenced by:  fdc1  37754