Theorem fdc 37724

Description: Finite version of dependent choice. Construct a function whose value depends on the previous function value, except at a final point at which no new value can be chosen. The final hypothesis ensures that the process will terminate. The proof does not use the Axiom of Choice. (Contributed by Jeff Madsen, 18-Jun-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
fdc.1	⊢ 𝐴 ∈ V
fdc.2	⊢ 𝑀 ∈ ℤ
fdc.3	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
fdc.4	⊢ 𝑁 = (𝑀 + 1)
fdc.5	⊢ (𝑎 = (𝑓‘(𝑘 − 1)) → (𝜑 ↔ 𝜓))
fdc.6	⊢ (𝑏 = (𝑓‘𝑘) → (𝜓 ↔ 𝜒))
fdc.7	⊢ (𝑎 = (𝑓‘𝑛) → (𝜃 ↔ 𝜏))
fdc.8	⊢ (𝜂 → 𝐶 ∈ 𝐴)
fdc.9	⊢ (𝜂 → 𝑅 Fr 𝐴)
fdc.10	⊢ ((𝜂 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝜃 ∨ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝜑))
fdc.11	⊢ (((𝜂 ∧ 𝜑) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) → 𝑏𝑅𝑎)

Assertion

Ref	Expression
fdc	⊢ (𝜂 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝐶 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑓,𝑛   𝐴,𝑎,𝑏,𝑓,𝑛   𝑀,𝑎,𝑏,𝑓,𝑘,𝑛   𝑍,𝑎,𝑏,𝑛   𝑁,𝑎,𝑏,𝑓,𝑘,𝑛   𝑅,𝑎,𝑏   𝜑,𝑓,𝑘   𝜓,𝑎   𝜒,𝑎,𝑏,𝑛   𝜃,𝑓,𝑛   𝜏,𝑎,𝑏   𝜂,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛,𝑎,𝑏)   𝜓(𝑓,𝑘,𝑛,𝑏)   𝜒(𝑓,𝑘)   𝜃(𝑘,𝑎,𝑏)   𝜏(𝑓,𝑘,𝑛)   𝜂(𝑓,𝑘,𝑛)   𝐴(𝑘)   𝐶(𝑘,𝑎,𝑏)   𝑅(𝑓,𝑘,𝑛)   𝑍(𝑓,𝑘)

Proof of Theorem fdc

Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑔 𝑚 𝑥 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fdc.8	. 2 ⊢ (𝜂 → 𝐶 ∈ 𝐴)
2		fdc.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑀 ∈ ℤ
3		uzid 12768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀)
5		fdc.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6	4, 5	eleqtrri 2827	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑀 ∈ 𝑍
7		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ {⟨𝑀, 𝑎⟩} = {⟨𝑀, 𝑎⟩}
8	2	elexi 3461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 𝑀 ∈ V
9		vex 3442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 𝑎 ∈ V
10	8, 9	fsn 7073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ({⟨𝑀, 𝑎⟩}:{𝑀}⟶{𝑎} ↔ {⟨𝑀, 𝑎⟩} = {⟨𝑀, 𝑎⟩})
11	7, 10	mpbir 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ {⟨𝑀, 𝑎⟩}:{𝑀}⟶{𝑎}
12		snssi 4762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → {𝑎} ⊆ 𝐴)
13		fss 6672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (({⟨𝑀, 𝑎⟩}:{𝑀}⟶{𝑎} ∧ {𝑎} ⊆ 𝐴) → {⟨𝑀, 𝑎⟩}:{𝑀}⟶𝐴)
14	11, 12, 13	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → {⟨𝑀, 𝑎⟩}:{𝑀}⟶𝐴)
15		fzsn 13487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
16	2, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑀...𝑀) = {𝑀}
17	16	feq2i 6648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ({⟨𝑀, 𝑎⟩}:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ↔ {⟨𝑀, 𝑎⟩}:{𝑀}⟶𝐴)
18	14, 17	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → {⟨𝑀, 𝑎⟩}:(𝑀...𝑀)⟶𝐴)
19	18	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝜃) → {⟨𝑀, 𝑎⟩}:(𝑀...𝑀)⟶𝐴)
20	8, 9	fvsn 7121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ({⟨𝑀, 𝑎⟩}‘𝑀) = 𝑎
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝜃) → ({⟨𝑀, 𝑎⟩}‘𝑀) = 𝑎)
22		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝜃) → 𝜃)
23		snex 5378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ {⟨𝑀, 𝑎⟩} ∈ V
24		feq1 6634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑀, 𝑎⟩} → (𝑓:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ↔ {⟨𝑀, 𝑎⟩}:(𝑀...𝑀)⟶𝐴))
25		fveq1 6825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑀, 𝑎⟩} → (𝑓‘𝑀) = ({⟨𝑀, 𝑎⟩}‘𝑀))
26	25	eqeq1d 2731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑀, 𝑎⟩} → ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ↔ ({⟨𝑀, 𝑎⟩}‘𝑀) = 𝑎))
27	25, 20	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑀, 𝑎⟩} → (𝑓‘𝑀) = 𝑎)
28		sbceq2a 3756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 → ([(𝑓‘𝑀) / 𝑎]𝜃 ↔ 𝜃))
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑀, 𝑎⟩} → ([(𝑓‘𝑀) / 𝑎]𝜃 ↔ 𝜃))
30	26, 29	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑀, 𝑎⟩} → (((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘𝑀) / 𝑎]𝜃) ↔ (({⟨𝑀, 𝑎⟩}‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜃)))
31	24, 30	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑀, 𝑎⟩} → ((𝑓:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘𝑀) / 𝑎]𝜃)) ↔ ({⟨𝑀, 𝑎⟩}:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ (({⟨𝑀, 𝑎⟩}‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜃))))
32	23, 31	spcev 3563	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (({⟨𝑀, 𝑎⟩}:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ (({⟨𝑀, 𝑎⟩}‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜃)) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘𝑀) / 𝑎]𝜃)))
33	19, 21, 22, 32	syl12anc 836	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝜃) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘𝑀) / 𝑎]𝜃)))
34		oveq2 7361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑀...𝑛) = (𝑀...𝑀))
35	34	feq2d 6640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ↔ 𝑓:(𝑀...𝑀)⟶𝐴))
36		fvex 6839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑓‘𝑛) ∈ V
37		fdc.7	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑎 = (𝑓‘𝑛) → (𝜃 ↔ 𝜏))
38	36, 37	sbcie 3786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ([(𝑓‘𝑛) / 𝑎]𝜃 ↔ 𝜏)
39		fveq2 6826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑓‘𝑛) = (𝑓‘𝑀))
40	39	sbceq1d 3749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ([(𝑓‘𝑛) / 𝑎]𝜃 ↔ [(𝑓‘𝑀) / 𝑎]𝜃))
41	38, 40	bitr3id 285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝜏 ↔ [(𝑓‘𝑀) / 𝑎]𝜃))
42	41	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ↔ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘𝑀) / 𝑎]𝜃)))
43		oveq2 7361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑁...𝑛) = (𝑁...𝑀))
44		fdc.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 𝑁 = (𝑀 + 1)
45	44	oveq1i 7363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁...𝑀) = ((𝑀 + 1)...𝑀)
46	2	zrei 12495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 𝑀 ∈ ℝ
47	46	ltp1i 12047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 𝑀 < (𝑀 + 1)
48		peano2z 12534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
49	2, 48	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑀 + 1) ∈ ℤ
50		fzn 13461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < (𝑀 + 1) ↔ ((𝑀 + 1)...𝑀) = ∅))
51	49, 2, 50	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑀 < (𝑀 + 1) ↔ ((𝑀 + 1)...𝑀) = ∅)
52	47, 51	mpbi 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑀 + 1)...𝑀) = ∅
53	45, 52	eqtri 2752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁...𝑀) = ∅
54	43, 53	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑁...𝑛) = ∅)
55	54	raleqdv 3290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒 ↔ ∀𝑘 ∈ ∅ 𝜒))
56	35, 42, 55	3anbi123d 1438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ (𝑓:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘𝑀) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ ∅ 𝜒)))
57		ral0 4466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ∀𝑘 ∈ ∅ 𝜒
58		df-3an 1088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑓:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘𝑀) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ ∅ 𝜒) ↔ ((𝑓:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘𝑀) / 𝑎]𝜃)) ∧ ∀𝑘 ∈ ∅ 𝜒))
59	57, 58	mpbiran2 710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑓:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘𝑀) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ ∅ 𝜒) ↔ (𝑓:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘𝑀) / 𝑎]𝜃)))
60	56, 59	bitrdi 287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ (𝑓:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘𝑀) / 𝑎]𝜃))))
61	60	exbidv 1921	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘𝑀) / 𝑎]𝜃))))
62	61	rspcev 3579	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑍 ∧ ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘𝑀) / 𝑎]𝜃))) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))
63	6, 33, 62	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝜃) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))
64	63	adantll 714	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝜃) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))
65	64	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝜃) → (∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
66		fdc.11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝜑) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) → 𝑏𝑅𝑎)
67		breq1 5098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑑 = 𝑏 → (𝑑𝑅𝑎 ↔ 𝑏𝑅𝑎))
68	67	rspcev 3579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑏 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ∧ 𝑏𝑅𝑎) → ∃𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})𝑑𝑅𝑎)
69	68	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑏𝑅𝑎 → (𝑏 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) → ∃𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})𝑑𝑅𝑎))
70	66, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝜑) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) → (𝑏 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) → ∃𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})𝑑𝑅𝑎))
71		dfrex2 3056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∃𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})𝑑𝑅𝑎 ↔ ¬ ∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎)
72	70, 71	imbitrdi 251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝜑) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) → (𝑏 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) → ¬ ∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎))
73	72	con2d 134	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝜑) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) → (∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎 → ¬ 𝑏 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})))
74		eldif 3915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})) ↔ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑏 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})))
75	74	simplbi2 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐴 → (¬ 𝑏 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) → 𝑏 ∈ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}))))
76		ssrab2 4033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)} ⊆ 𝐴
77		dfss4 4222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ({𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)} ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})) = {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})
78	76, 77	mpbi 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})) = {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}
79	78	eleq2i 2820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})) ↔ 𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})
80		eqeq2 2741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ↔ (𝑓‘𝑀) = 𝑏))
81	80	anbi1d 631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → (((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ↔ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ 𝜏)))
82	81	3anbi2d 1443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → ((𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ (𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
83	82	exbidv 1921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → (∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
84	83	rexbidv 3153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
85	84	elrab3 3651	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐴 → (𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)} ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
86	79, 85	bitrid 283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐴 → (𝑏 ∈ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})) ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
87	75, 86	sylibd 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐴 → (¬ 𝑏 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
88	87	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝜑) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) → (¬ 𝑏 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
89		oveq2 7361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑀...𝑛) = (𝑀...𝑚))
90	89	feq2d 6640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ↔ 𝑓:(𝑀...𝑚)⟶𝐴))
91		fveq2 6826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑓‘𝑛) = (𝑓‘𝑚))
92	91	sbceq1d 3749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ([(𝑓‘𝑛) / 𝑎]𝜃 ↔ [(𝑓‘𝑚) / 𝑎]𝜃))
93	38, 92	bitr3id 285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝜏 ↔ [(𝑓‘𝑚) / 𝑎]𝜃))
94	93	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ 𝜏) ↔ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑓‘𝑚) / 𝑎]𝜃)))
95		oveq2 7361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑁...𝑛) = (𝑁...𝑚))
96	95	raleqdv 3290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒 ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)𝜒))
97	90, 94, 96	3anbi123d 1438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ (𝑓:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑓‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)𝜒)))
98	97	exbidv 1921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑓‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)𝜒)))
99	98	cbvrexvw 3208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑓‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)𝜒))
100		feq1 6634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑓:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ↔ 𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴))
101		fveq1 6825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑓‘𝑀) = (𝑔‘𝑀))
102	101	eqeq1d 2731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ↔ (𝑔‘𝑀) = 𝑏))
103		fveq1 6825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑓‘𝑚) = (𝑔‘𝑚))
104	103	sbceq1d 3749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → ([(𝑓‘𝑚) / 𝑎]𝜃 ↔ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃))
105	102, 104	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑓‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ↔ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃)))
106		fvex 6839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑓‘(𝑘 − 1)) ∈ V
107		fdc.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑎 = (𝑓‘(𝑘 − 1)) → (𝜑 ↔ 𝜓))
108	107	sbcbidv 3800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑎 = (𝑓‘(𝑘 − 1)) → ([(𝑓‘𝑘) / 𝑏]𝜑 ↔ [(𝑓‘𝑘) / 𝑏]𝜓))
109	106, 108	sbcie 3786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ([(𝑓‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑓‘𝑘) / 𝑏]𝜑 ↔ [(𝑓‘𝑘) / 𝑏]𝜓)
110		fvex 6839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑓‘𝑘) ∈ V
111		fdc.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑏 = (𝑓‘𝑘) → (𝜓 ↔ 𝜒))
112	110, 111	sbcie 3786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ([(𝑓‘𝑘) / 𝑏]𝜓 ↔ 𝜒)
113	109, 112	bitri 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ([(𝑓‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑓‘𝑘) / 𝑏]𝜑 ↔ 𝜒)
114		fveq1 6825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑓‘(𝑘 − 1)) = (𝑔‘(𝑘 − 1)))
115		fveq1 6825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑓‘𝑘) = (𝑔‘𝑘))
116	115	sbceq1d 3749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → ([(𝑓‘𝑘) / 𝑏]𝜑 ↔ [(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑))
117	114, 116	sbceqbid 3751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → ([(𝑓‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑓‘𝑘) / 𝑏]𝜑 ↔ [(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑))
118	113, 117	bitr3id 285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝜒 ↔ [(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑))
119	118	ralbidv 3152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)𝜒 ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑))
120	100, 105, 119	3anbi123d 1438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → ((𝑓:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑓‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)𝜒) ↔ (𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)))
121	120	cbvexvw 2037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑓‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)𝜒) ↔ ∃𝑔(𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑))
122	121	rexbii 3076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∃𝑚 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑓‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)𝜒) ↔ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∃𝑔(𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑))
123	99, 122	bitri 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∃𝑔(𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑))
124	5	peano2uzs 12821	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑚 + 1) ∈ 𝑍)
125	124	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜂 ∧ 𝜑) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ (𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) → (𝑚 + 1) ∈ 𝑍)
126		sbceq2a 3756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑑 = 𝑏 → ([𝑑 / 𝑏]𝜑 ↔ 𝜑))
127	126	anbi1d 631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑑 = 𝑏 → (([𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴)))
128	127	anbi1d 631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑑 = 𝑏 → ((([𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍)))
129		eqeq2 2741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑑 = 𝑏 → ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ↔ (𝑔‘𝑀) = 𝑏))
130	129	anbi1d 631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑑 = 𝑏 → (((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ↔ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃)))
131	130	3anbi2d 1443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑑 = 𝑏 → ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) ↔ (𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)))
132	131	imbi1d 341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑑 = 𝑏 → (((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒)) ↔ ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒))))
133	128, 132	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑑 = 𝑏 → (((([𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒))) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒)))))
134		sbceq2a 3756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → ([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ↔ [𝑑 / 𝑏]𝜑))
135		eleq1 2816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → (𝑐 ∈ 𝐴 ↔ 𝑎 ∈ 𝐴))
136	134, 135	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → (([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ↔ ([𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴)))
137	136	anbi1d 631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → ((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ↔ (([𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍)))
138		eqeq2 2741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ↔ (𝑓‘𝑀) = 𝑎))
139	138	anbi1d 631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → (((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ↔ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃)))
140	139	3anbi2d 1443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → ((𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒) ↔ (𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒)))
141	140	exbidv 1921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → (∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒) ↔ ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒)))
142	141	imbi2d 340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → (((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒)) ↔ ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒))))
143	137, 142	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒))) ↔ ((([𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒)))))
144		peano2uz 12820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑚 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
145	144, 5	eleq2s 2846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑚 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
146		elfzp12 13524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑚 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↔ (𝑥 = 𝑀 ∨ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)))))
147	145, 146	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↔ (𝑥 = 𝑀 ∨ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)))))
148	147	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ 𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↔ (𝑥 = 𝑀 ∨ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)))))
149		iftrue 4484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) = 𝑐)
150	149	eleq1d 2813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) ∈ 𝐴 ↔ 𝑐 ∈ 𝐴))
151	150	biimprcd 250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑐 ∈ 𝐴 → (𝑥 = 𝑀 → if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) ∈ 𝐴))
152	151	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ 𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴) → (𝑥 = 𝑀 → if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) ∈ 𝐴))
153		1re 11134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ 1 ∈ ℝ
154	46, 153	readdcli 11149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝑀 + 1) ∈ ℝ
155	46, 154	ltnlei 11255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (𝑀 < (𝑀 + 1) ↔ ¬ (𝑀 + 1) ≤ 𝑀)
156	47, 155	mpbi 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ¬ (𝑀 + 1) ≤ 𝑀
157		eleq1 2816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) ↔ 𝑀 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))))
158		elfzle1 13448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝑀 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑀)
159	157, 158	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑀))
160	159	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑥 = 𝑀 → (𝑀 + 1) ≤ 𝑀))
161	156, 160	mtoi 199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) → ¬ 𝑥 = 𝑀)
162	161	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))) → ¬ 𝑥 = 𝑀)
163	162	iffalsed 4489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) = (𝑔‘(𝑥 − 1)))
164		elfzelz 13445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) → 𝑥 ∈ ℤ)
165	164	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))) → 𝑥 ∈ ℤ)
166		eluzelz 12763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑚 ∈ ℤ)
167	166, 5	eleq2s 2846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → 𝑚 ∈ ℤ)
168	167	peano2zd 12601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑚 + 1) ∈ ℤ)
169		1z 12523	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ 1 ∈ ℤ
170		fzsubel 13481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ⊢ ((((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) ↔ (𝑥 − 1) ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1))))
171	170	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ ((((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑥 − 1) ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1))))
172	169, 171	mpanr2 704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ ((((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑥 − 1) ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1))))
173	49, 172	mpanl1 700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (((𝑚 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑥 − 1) ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1))))
174	173	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((𝑚 + 1) ∈ ℤ → (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑥 − 1) ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1)))))
175	168, 174	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑥 − 1) ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1)))))
176	175	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 − 1) ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1)))))
177	176	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))) → (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 − 1) ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1))))
178	165, 177	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))) → (𝑥 − 1) ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1)))
179	46	recni 11148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
180		ax-1cn 11086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ 1 ∈ ℂ
181	179, 180	pncan3oi 11397	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀
182	181	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
183	167	zcnd 12599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → 𝑚 ∈ ℂ)
184		pncan 11387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑚 + 1) − 1) = 𝑚)
185	183, 180, 184	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → ((𝑚 + 1) − 1) = 𝑚)
186	182, 185	oveq12d 7371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (((𝑀 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1)) = (𝑀...𝑚))
187	186	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))) → (((𝑀 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1)) = (𝑀...𝑚))
188	178, 187	eleqtrd 2830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))) → (𝑥 − 1) ∈ (𝑀...𝑚))
189		ffvelcdm 7019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ (𝑥 − 1) ∈ (𝑀...𝑚)) → (𝑔‘(𝑥 − 1)) ∈ 𝐴)
190	188, 189	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ (𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)))) → (𝑔‘(𝑥 − 1)) ∈ 𝐴)
191	190	anassrs 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))) → (𝑔‘(𝑥 − 1)) ∈ 𝐴)
192	191	ancom1s 653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))) → (𝑔‘(𝑥 − 1)) ∈ 𝐴)
193	163, 192	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) ∈ 𝐴)
194	193	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴) → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) ∈ 𝐴))
195	194	adantll 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ 𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴) → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) ∈ 𝐴))
196	152, 195	jaod 859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ 𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴) → ((𝑥 = 𝑀 ∨ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) ∈ 𝐴))
197	148, 196	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ 𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) ∈ 𝐴))
198	197	ralrimiv 3120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ 𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴) → ∀𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1))if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) ∈ 𝐴)
199		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) = (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))
200	199	fmpt 7048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1))if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))):(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴)
201	198, 200	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ 𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))):(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴)
202	201	adantlll 718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ 𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))):(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴)
203	202	3ad2antr1 1189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ (𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))):(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴)
204		eluzfz1 13452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑚 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)))
205	144, 204	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)))
206	205, 5	eleq2s 2846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → 𝑀 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)))
207		vex 3442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ 𝑐 ∈ V
208	149, 199, 207	fvmpt 6934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑀 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑀) = 𝑐)
209	206, 208	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑀) = 𝑐)
210	209	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ (𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑀) = 𝑐)
211		eluzfz2 13453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑚 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑚 + 1) ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)))
212	144, 211	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑚 + 1) ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)))
213	212, 5	eleq2s 2846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑚 + 1) ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)))
214		eqeq1 2733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑥 = (𝑚 + 1) → (𝑥 = 𝑀 ↔ (𝑚 + 1) = 𝑀))
215		fvoveq1 7376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑥 = (𝑚 + 1) → (𝑔‘(𝑥 − 1)) = (𝑔‘((𝑚 + 1) − 1)))
216	214, 215	ifbieq2d 4505	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑥 = (𝑚 + 1) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) = if((𝑚 + 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘((𝑚 + 1) − 1))))
217		fvex 6839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑔‘((𝑚 + 1) − 1)) ∈ V
218	207, 217	ifex 4529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ if((𝑚 + 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘((𝑚 + 1) − 1))) ∈ V
219	216, 199, 218	fvmpt 6934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑚 + 1) ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑚 + 1)) = if((𝑚 + 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘((𝑚 + 1) − 1))))
220	213, 219	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑚 + 1)) = if((𝑚 + 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘((𝑚 + 1) − 1))))
221		eluzle 12766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑚)
222	221, 5	eleq2s 2846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → 𝑀 ≤ 𝑚)
223		zleltp1 12544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑚 ↔ 𝑀 < (𝑚 + 1)))
224	2, 167, 223	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑀 ≤ 𝑚 ↔ 𝑀 < (𝑚 + 1)))
225	222, 224	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → 𝑀 < (𝑚 + 1))
226		ltne 11231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 < (𝑚 + 1)) → (𝑚 + 1) ≠ 𝑀)
227	46, 225, 226	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑚 + 1) ≠ 𝑀)
228	227	neneqd 2930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → ¬ (𝑚 + 1) = 𝑀)
229	228	iffalsed 4489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → if((𝑚 + 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘((𝑚 + 1) − 1))) = (𝑔‘((𝑚 + 1) − 1)))
230	185	fveq2d 6830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑔‘((𝑚 + 1) − 1)) = (𝑔‘𝑚))
231	220, 229, 230	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑚 + 1)) = (𝑔‘𝑚))
232	231	sbceq1d 3749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → ([((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃 ↔ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃))
233	232	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) → [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃)
234	233	ad2ant2l 746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃)) → [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃)
235	234	3ad2antr2 1190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ (𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) → [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃)
236		eluzp1p1 12781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑚 + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))
237	236, 5	eleq2s 2846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑚 + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))
238	44	fveq2i 6829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) = (ℤ≥‘(𝑀 + 1))
239	237, 238	eleqtrrdi 2839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑚 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
240		elfzp12 13524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑚 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝑗 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1)) ↔ (𝑗 = 𝑁 ∨ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)))))
241	239, 240	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑗 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1)) ↔ (𝑗 = 𝑁 ∨ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)))))
242	241	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))) → (𝑗 = 𝑁 ∨ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))))
243	242	adantll 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))) → (𝑗 = 𝑁 ∨ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))))
244	243	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) ∧ 𝑗 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))) → (𝑗 = 𝑁 ∨ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))))
245		oveq1 7360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝑗 − 1) = (𝑁 − 1))
246	44	oveq1i 7363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (𝑁 − 1) = ((𝑀 + 1) − 1)
247	246, 181	eqtri 2752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (𝑁 − 1) = 𝑀
248	245, 247	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝑗 − 1) = 𝑀)
249	248	fveq2d 6830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) = ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑀))
250	249	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ 𝑗 = 𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) = ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑀))
251	209	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ 𝑗 = 𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑀) = 𝑐)
252	250, 251	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ 𝑗 = 𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) = 𝑐)
253	44	eqeq2i 2742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (𝑗 = 𝑁 ↔ 𝑗 = (𝑀 + 1))
254		fveq2 6826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (𝑗 = (𝑀 + 1) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) = ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑀 + 1)))
255	253, 254	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) = ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑀 + 1)))
256	255	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ 𝑗 = 𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) = ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑀 + 1)))
257	46, 154, 47	ltleii 11257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ 𝑀 ≤ (𝑀 + 1)
258		eluz2 12759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ ((𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑀 + 1)))
259	2, 49, 257, 258	mpbir3an 1342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)
260		fzss1 13484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ ((𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) ⊆ (𝑀...(𝑚 + 1)))
261	259, 260	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)) ⊆ (𝑀...(𝑚 + 1))
262		eluzfz1 13452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑚))
263	262, 5	eleq2s 2846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑚))
264		fzaddel 13479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∈ (𝑀...𝑚) ↔ (𝑀 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))))
265	2, 169, 264	mpanr12 705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ (𝑀...𝑚) ↔ (𝑀 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))))
266	2, 167, 265	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑀 ∈ (𝑀...𝑚) ↔ (𝑀 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1))))
267	263, 266	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑀 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑚 + 1)))
268	261, 267	sselid 3935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑀 + 1) ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)))
269		eqeq1 2733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (𝑥 = (𝑀 + 1) → (𝑥 = 𝑀 ↔ (𝑀 + 1) = 𝑀))
270		oveq1 7360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ⊢ (𝑥 = (𝑀 + 1) → (𝑥 − 1) = ((𝑀 + 1) − 1))
271	270, 181	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ (𝑥 = (𝑀 + 1) → (𝑥 − 1) = 𝑀)
272	271	fveq2d 6830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (𝑥 = (𝑀 + 1) → (𝑔‘(𝑥 − 1)) = (𝑔‘𝑀))
273	269, 272	ifbieq2d 4505	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (𝑥 = (𝑀 + 1) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) = if((𝑀 + 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘𝑀)))
274		fvex 6839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (𝑔‘𝑀) ∈ V
275	207, 274	ifex 4529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ if((𝑀 + 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘𝑀)) ∈ V
276	273, 199, 275	fvmpt 6934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((𝑀 + 1) ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑀 + 1)) = if((𝑀 + 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘𝑀)))
277	268, 276	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑀 + 1)) = if((𝑀 + 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘𝑀)))
278	46, 47	gtneii 11246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (𝑀 + 1) ≠ 𝑀
279		ifnefalse 4490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((𝑀 + 1) ≠ 𝑀 → if((𝑀 + 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘𝑀)) = (𝑔‘𝑀))
280	278, 279	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ if((𝑀 + 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘𝑀)) = (𝑔‘𝑀)
281	277, 280	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑀 + 1)) = (𝑔‘𝑀))
282	281	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ 𝑗 = 𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑀 + 1)) = (𝑔‘𝑀))
283		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ 𝑗 = 𝑁)) → (𝑔‘𝑀) = 𝑑)
284	256, 282, 283	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ 𝑗 = 𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) = 𝑑)
285	284	sbceq1d 3749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ 𝑗 = 𝑁)) → ([((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑 ↔ [𝑑 / 𝑏]𝜑))
286	252, 285	sbceqbid 3751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ 𝑗 = 𝑁)) → ([((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑 ↔ [𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑))
287	286	biimparc 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑍 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ 𝑗 = 𝑁))) → [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑)
288	287	anassrs 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ 𝑗 = 𝑁)) → [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑)
289	288	anassrs 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑀) = 𝑑) ∧ 𝑗 = 𝑁) → [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑)
290	289	adantlrr 721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) ∧ 𝑗 = 𝑁) → [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑)
291		elfzelz 13445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → 𝑗 ∈ ℤ)
292	291	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → 𝑗 ∈ ℤ)
293	44, 49	eqeltri 2824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ 𝑁 ∈ ℤ
294		peano2z 12534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
295	293, 294	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (𝑁 + 1) ∈ ℤ
296		fzsubel 13481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ ((((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℤ) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) ↔ (𝑗 − 1) ∈ (((𝑁 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1))))
297	296	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ ((((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℤ) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑗 − 1) ∈ (((𝑁 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1))))
298	169, 297	mpanr2 704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ ((((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑗 − 1) ∈ (((𝑁 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1))))
299	298	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ ℤ → (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑗 − 1) ∈ (((𝑁 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1)))))
300	295, 168, 299	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑗 ∈ ℤ → (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑗 − 1) ∈ (((𝑁 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1)))))
301	300	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑗 ∈ ℤ → (𝑗 − 1) ∈ (((𝑁 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1)))))
302	301	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → (𝑗 ∈ ℤ → (𝑗 − 1) ∈ (((𝑁 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1))))
303	292, 302	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → (𝑗 − 1) ∈ (((𝑁 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1)))
304	293	zrei 12495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
305	304	recni 11148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
306	305, 180	pncan3oi 11397	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁
307	306	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
308	307, 185	oveq12d 7371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (((𝑁 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1)) = (𝑁...𝑚))
309	308	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → (((𝑁 + 1) − 1)...((𝑚 + 1) − 1)) = (𝑁...𝑚))
310	303, 309	eleqtrd 2830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → (𝑗 − 1) ∈ (𝑁...𝑚))
311		fvoveq1 7376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑔‘(𝑘 − 1)) = (𝑔‘((𝑗 − 1) − 1)))
312		fveq2 6826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑔‘𝑘) = (𝑔‘(𝑗 − 1)))
313	312	sbceq1d 3749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → ([(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑 ↔ [(𝑔‘(𝑗 − 1)) / 𝑏]𝜑))
314	311, 313	sbceqbid 3751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → ([(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑 ↔ [(𝑔‘((𝑗 − 1) − 1)) / 𝑎][(𝑔‘(𝑗 − 1)) / 𝑏]𝜑))
315	314	rspcva 3577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((𝑗 − 1) ∈ (𝑁...𝑚) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → [(𝑔‘((𝑗 − 1) − 1)) / 𝑎][(𝑔‘(𝑗 − 1)) / 𝑏]𝜑)
316	310, 315	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → [(𝑔‘((𝑗 − 1) − 1)) / 𝑎][(𝑔‘(𝑗 − 1)) / 𝑏]𝜑)
317	44, 259	eqeltri 2824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)
318		fzss1 13484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁...(𝑚 + 1)) ⊆ (𝑀...(𝑚 + 1)))
319	317, 318	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (𝑁...(𝑚 + 1)) ⊆ (𝑀...(𝑚 + 1))
320		fzssp1 13488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (𝑁...𝑚) ⊆ (𝑁...(𝑚 + 1))
321	320, 310	sselid 3935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → (𝑗 − 1) ∈ (𝑁...(𝑚 + 1)))
322	319, 321	sselid 3935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → (𝑗 − 1) ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)))
323		eqeq1 2733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (𝑥 = (𝑗 − 1) → (𝑥 = 𝑀 ↔ (𝑗 − 1) = 𝑀))
324		fvoveq1 7376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (𝑥 = (𝑗 − 1) → (𝑔‘(𝑥 − 1)) = (𝑔‘((𝑗 − 1) − 1)))
325	323, 324	ifbieq2d 4505	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (𝑥 = (𝑗 − 1) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) = if((𝑗 − 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘((𝑗 − 1) − 1))))
326		fvex 6839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (𝑔‘((𝑗 − 1) − 1)) ∈ V
327	207, 326	ifex 4529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ if((𝑗 − 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘((𝑗 − 1) − 1))) ∈ V
328	325, 199, 327	fvmpt 6934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝑗 − 1) ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) = if((𝑗 − 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘((𝑗 − 1) − 1))))
329	322, 328	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) = if((𝑗 − 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘((𝑗 − 1) − 1))))
330	154	ltp1i 12047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (𝑀 + 1) < ((𝑀 + 1) + 1)
331	44	oveq1i 7363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (𝑁 + 1) = ((𝑀 + 1) + 1)
332	330, 331	breqtrri 5122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (𝑀 + 1) < (𝑁 + 1)
333	304, 153	readdcli 11149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (𝑁 + 1) ∈ ℝ
334	154, 333	ltnlei 11255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ ((𝑀 + 1) < (𝑁 + 1) ↔ ¬ (𝑁 + 1) ≤ (𝑀 + 1))
335	332, 334	mpbi 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ¬ (𝑁 + 1) ≤ (𝑀 + 1)
336	291	zcnd 12599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → 𝑗 ∈ ℂ)
337		subadd 11384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ ((𝑗 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → ((𝑗 − 1) = 𝑀 ↔ (1 + 𝑀) = 𝑗))
338	180, 179, 337	mp3an23 1455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (𝑗 ∈ ℂ → ((𝑗 − 1) = 𝑀 ↔ (1 + 𝑀) = 𝑗))
339	336, 338	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → ((𝑗 − 1) = 𝑀 ↔ (1 + 𝑀) = 𝑗))
340		eqcom 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ ((1 + 𝑀) = 𝑗 ↔ 𝑗 = (1 + 𝑀))
341	180, 179	addcomi 11325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ⊢ (1 + 𝑀) = (𝑀 + 1)
342	341	eqeq2i 2742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ (𝑗 = (1 + 𝑀) ↔ 𝑗 = (𝑀 + 1))
343	340, 342	bitri 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ ((1 + 𝑀) = 𝑗 ↔ 𝑗 = (𝑀 + 1))
344		eleq1 2816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ⊢ (𝑗 = (𝑀 + 1) → (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) ↔ (𝑀 + 1) ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))))
345		elfzle1 13448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ⊢ ((𝑀 + 1) ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑁 + 1) ≤ (𝑀 + 1))
346	344, 345	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ (𝑗 = (𝑀 + 1) → (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑁 + 1) ≤ (𝑀 + 1)))
347	346	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑗 = (𝑀 + 1) → (𝑁 + 1) ≤ (𝑀 + 1)))
348	343, 347	biimtrid 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → ((1 + 𝑀) = 𝑗 → (𝑁 + 1) ≤ (𝑀 + 1)))
349	339, 348	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → ((𝑗 − 1) = 𝑀 → (𝑁 + 1) ≤ (𝑀 + 1)))
350	335, 349	mtoi 199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → ¬ (𝑗 − 1) = 𝑀)
351	350	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → ¬ (𝑗 − 1) = 𝑀)
352	351	iffalsed 4489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → if((𝑗 − 1) = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘((𝑗 − 1) − 1))) = (𝑔‘((𝑗 − 1) − 1)))
353	329, 352	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) = (𝑔‘((𝑗 − 1) − 1)))
354		peano2uz 12820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
355		fzss1 13484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) ⊆ (𝑀...(𝑚 + 1)))
356	317, 354, 355	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) ⊆ (𝑀...(𝑚 + 1))
357		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)))
358	356, 357	sselid 3935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → 𝑗 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)))
359		eqeq1 2733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (𝑥 = 𝑗 → (𝑥 = 𝑀 ↔ 𝑗 = 𝑀))
360		fvoveq1 7376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (𝑥 = 𝑗 → (𝑔‘(𝑥 − 1)) = (𝑔‘(𝑗 − 1)))
361	359, 360	ifbieq2d 4505	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (𝑥 = 𝑗 → if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))) = if(𝑗 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑗 − 1))))
362		fvex 6839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (𝑔‘(𝑗 − 1)) ∈ V
363	207, 362	ifex 4529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ if(𝑗 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑗 − 1))) ∈ V
364	361, 199, 363	fvmpt 6934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (𝑗 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) = if(𝑗 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑗 − 1))))
365	358, 364	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) = if(𝑗 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑗 − 1))))
366	47, 44	breqtrri 5122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ 𝑀 < 𝑁
367	304	ltp1i 12047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ 𝑁 < (𝑁 + 1)
368	46, 304, 333	lttri 11260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ ((𝑀 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (𝑁 + 1)) → 𝑀 < (𝑁 + 1))
369	366, 367, 368	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ 𝑀 < (𝑁 + 1)
370	46, 333	ltnlei 11255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (𝑀 < (𝑁 + 1) ↔ ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑀)
371	369, 370	mpbi 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑀
372		eleq1 2816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) ↔ 𝑀 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))))
373		elfzle1 13448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ (𝑀 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑀)
374	372, 373	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑀))
375	374	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → (𝑗 = 𝑀 → (𝑁 + 1) ≤ 𝑀))
376	371, 375	mtoi 199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)) → ¬ 𝑗 = 𝑀)
377	376	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → ¬ 𝑗 = 𝑀)
378	377	iffalsed 4489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → if(𝑗 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑗 − 1))) = (𝑔‘(𝑗 − 1)))
379	365, 378	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) = (𝑔‘(𝑗 − 1)))
380	379	sbceq1d 3749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → ([((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑 ↔ [(𝑔‘(𝑗 − 1)) / 𝑏]𝜑))
381	353, 380	sbceqbid 3751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → ([((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑 ↔ [(𝑔‘((𝑗 − 1) − 1)) / 𝑎][(𝑔‘(𝑗 − 1)) / 𝑏]𝜑))
382	381	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) ∧ [(𝑔‘((𝑗 − 1) − 1)) / 𝑎][(𝑔‘(𝑗 − 1)) / 𝑏]𝜑) → [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑)
383	316, 382	syldan 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑)
384	383	an32s 652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑)
385	384	adantlrl 720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑)
386	385	adantlll 718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1))) → [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑)
387	290, 386	jaodan 959	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) ∧ (𝑗 = 𝑁 ∨ 𝑗 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑚 + 1)))) → [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑)
388	244, 387	syldan 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) ∧ 𝑗 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))) → [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑)
389	388	ralrimiva 3121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) → ∀𝑗 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))[((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑)
390		fvoveq1 7376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) = ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑘 − 1)))
391		fveq2 6826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) = ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘))
392	391	sbceq1d 3749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ([((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑 ↔ [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘) / 𝑏]𝜑))
393	390, 392	sbceqbid 3751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ([((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑 ↔ [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘) / 𝑏]𝜑))
394	393	cbvralvw 3207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (∀𝑗 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))[((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑗 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑗) / 𝑏]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))[((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘) / 𝑏]𝜑)
395	389, 394	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) → ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))[((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘) / 𝑏]𝜑)
396	395	adantllr 719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) → ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))[((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘) / 𝑏]𝜑)
397	396	adantrlr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ (((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) → ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))[((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘) / 𝑏]𝜑)
398	397	3adantr1 1170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ (𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) → ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))[((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘) / 𝑏]𝜑)
399		ovex 7386	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑀...(𝑚 + 1)) ∈ V
400	399	mptex 7163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) ∈ V
401		feq1 6634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) → (𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ↔ (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))):(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴))
402		fveq1 6825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) → (𝑓‘𝑀) = ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑀))
403	402	eqeq1d 2731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) → ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ↔ ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑀) = 𝑐))
404		fveq1 6825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) → (𝑓‘(𝑚 + 1)) = ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑚 + 1)))
405	404	sbceq1d 3749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) → ([(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃 ↔ [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃))
406	403, 405	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) → (((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ↔ (((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑀) = 𝑐 ∧ [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃)))
407		fveq1 6825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) → (𝑓‘(𝑘 − 1)) = ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑘 − 1)))
408		fveq1 6825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) → (𝑓‘𝑘) = ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘))
409	408	sbceq1d 3749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) → ([(𝑓‘𝑘) / 𝑏]𝜑 ↔ [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘) / 𝑏]𝜑))
410	407, 409	sbceqbid 3751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) → ([(𝑓‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑓‘𝑘) / 𝑏]𝜑 ↔ [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘) / 𝑏]𝜑))
411	113, 410	bitr3id 285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) → (𝜒 ↔ [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘) / 𝑏]𝜑))
412	411	ralbidv 3152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) → (∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒 ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))[((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘) / 𝑏]𝜑))
413	401, 406, 412	3anbi123d 1438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))) → ((𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒) ↔ ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))):(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ (((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑀) = 𝑐 ∧ [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))[((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘) / 𝑏]𝜑)))
414	400, 413	spcev 3563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1)))):(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ (((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑀) = 𝑐 ∧ [((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))[((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][((𝑥 ∈ (𝑀...(𝑚 + 1)) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑐, (𝑔‘(𝑥 − 1))))‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒))
415	203, 210, 235, 398, 414	syl121anc 1377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ (𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒))
416	415	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((([𝑐 / 𝑎][𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒)))
417	143, 416	chvarvv 1989	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((([𝑑 / 𝑏]𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑑 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒)))
418	133, 417	chvarvv 1989	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒)))
419	418	adantlrr 721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒)))
420	419	adantlll 718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜂 ∧ 𝜑) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒)))
421	420	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜂 ∧ 𝜑) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ (𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒))
422		oveq2 7361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑀...𝑛) = (𝑀...(𝑚 + 1)))
423	422	feq2d 6640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ↔ 𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴))
424		fveq2 6826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑓‘𝑛) = (𝑓‘(𝑚 + 1)))
425	424	sbceq1d 3749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → ([(𝑓‘𝑛) / 𝑎]𝜃 ↔ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃))
426	38, 425	bitr3id 285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝜏 ↔ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃))
427	426	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ↔ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃)))
428		oveq2 7361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑁...𝑛) = (𝑁...(𝑚 + 1)))
429	428	raleqdv 3290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒 ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒))
430	423, 427, 429	3anbi123d 1438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ (𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒)))
431	430	exbidv 1921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒)))
432	431	rspcev 3579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑚 + 1) ∈ 𝑍 ∧ ∃𝑓(𝑓:(𝑀...(𝑚 + 1))⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ [(𝑓‘(𝑚 + 1)) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...(𝑚 + 1))𝜒)) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))
433	125, 421, 432	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜂 ∧ 𝜑) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ (𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑)) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))
434	433	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜂 ∧ 𝜑) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
435	434	exlimdv 1933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜂 ∧ 𝜑) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (∃𝑔(𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
436	435	rexlimdva 3130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝜑) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) → (∃𝑚 ∈ 𝑍 ∃𝑔(𝑔:(𝑀...𝑚)⟶𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑀) = 𝑏 ∧ [(𝑔‘𝑚) / 𝑎]𝜃) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑚)[(𝑔‘(𝑘 − 1)) / 𝑎][(𝑔‘𝑘) / 𝑏]𝜑) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
437	123, 436	biimtrid 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝜑) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) → (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑏 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
438	73, 88, 437	3syld 60	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝜑) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) → (∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
439	438	an42s 661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) → (∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
440	439	rexlimdvaa 3131	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜂 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (∃𝑏 ∈ 𝐴 𝜑 → (∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))))
441	440	imp 406	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝜑) → (∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
442		fdc.10	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜂 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝜃 ∨ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝜑))
443	65, 441, 442	mpjaodan 960	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜂 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
444	138	anbi1d 631	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → (((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ↔ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏)))
445	444	3anbi2d 1443	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → ((𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ (𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
446	445	exbidv 1921	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → (∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
447	446	rexbidv 3153	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
448	447	elrab3 3651	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → (𝑎 ∈ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)} ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
449	448	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜂 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑎 ∈ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)} ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
450	443, 449	sylibrd 259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜂 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}))
451	450	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜂 → (𝑎 ∈ 𝐴 → (∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})))
452	451	com23 86	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜂 → (∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎 → (𝑎 ∈ 𝐴 → 𝑎 ∈ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})))
453		eldif 3915	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ↔ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑎 ∈ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}))
454	453	notbii 320	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ↔ ¬ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑎 ∈ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}))
455		iman 401	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 → 𝑎 ∈ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ↔ ¬ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑎 ∈ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}))
456	454, 455	bitr4i 278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ↔ (𝑎 ∈ 𝐴 → 𝑎 ∈ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}))
457	452, 456	imbitrrdi 252	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜂 → (∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎 → ¬ 𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})))
458	457	con2d 134	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜂 → (𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) → ¬ ∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎))
459	458	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜂 ∧ 𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})) → ¬ ∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎)
460	459	nrexdv 3124	. . . . . 6 ⊢ (𝜂 → ¬ ∃𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎)
461		df-ne 2926	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ≠ ∅ ↔ ¬ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) = ∅)
462		fdc.9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜂 → 𝑅 Fr 𝐴)
463		difss 4089	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ⊆ 𝐴
464		fdc.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 ∈ V
465		difexg 5271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ∈ V)
466	464, 465	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ∈ V
467		fri 5581	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ∈ V ∧ 𝑅 Fr 𝐴) ∧ ((𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ≠ ∅)) → ∃𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎)
468	466, 467	mpanl1 700	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ ((𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ≠ ∅)) → ∃𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎)
469	468	expr 456	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ⊆ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ≠ ∅ → ∃𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎))
470	462, 463, 469	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜂 → ((𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ≠ ∅ → ∃𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎))
471	461, 470	biimtrrid 243	. . . . . 6 ⊢ (𝜂 → (¬ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) = ∅ → ∃𝑎 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})∀𝑑 ∈ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) ¬ 𝑑𝑅𝑎))
472	460, 471	mt3d 148	. . . . 5 ⊢ (𝜂 → (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) = ∅)
473		ssdif0 4319	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)} ↔ (𝐴 ∖ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)}) = ∅)
474	472, 473	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝜂 → 𝐴 ⊆ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})
475	76	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜂 → {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)} ⊆ 𝐴)
476	474, 475	eqssd 3955	. . 3 ⊢ (𝜂 → 𝐴 = {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)})
477		rabid2 3430	. . 3 ⊢ (𝐴 = {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)} ↔ ∀𝑐 ∈ 𝐴 ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))
478	476, 477	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜂 → ∀𝑐 ∈ 𝐴 ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))
479		eqeq2 2741	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ↔ (𝑓‘𝑀) = 𝐶))
480	479	anbi1d 631	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ↔ ((𝑓‘𝑀) = 𝐶 ∧ 𝜏)))
481	480	3anbi2d 1443	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ (𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝐶 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
482	481	exbidv 1921	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝐶 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
483	482	rexbidv 3153	. . 3 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝐶 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
484	483	rspcva 3577	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝐴 ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝐶 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))
485	1, 478, 484	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜂 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝐶 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  {crab 3396  Vcvv 3438  [wsbc 3744   ∖ cdif 3902   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  ifcif 4478  {csn 4579  ⟨cop 4585   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176   Fr wfr 5573  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  ℝcr 11027  1c1 11029   + caddc 11031   < clt 11168   ≤ cle 11169   − cmin 11365  ℤcz 12489  ℤ_≥cuz 12753  ...cfz 13428

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429

This theorem is referenced by:  fdc1  37725