MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fimin2g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fimin2g 8559
Description: A finite set has a minimum under a total order. (Contributed by AV, 6-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
fimin2g ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem fimin2g
StepHypRef Expression
1 3simpc 1146 . 2 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅))
2 sopo 5187 . . . 4 (𝑅 Or 𝐴𝑅 Po 𝐴)
323ad2ant1 1127 . . 3 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝑅 Po 𝐴)
4 simp2 1131 . . 3 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Fin)
5 frfi 8361 . . 3 ((𝑅 Po 𝐴𝐴 ∈ Fin) → 𝑅 Fr 𝐴)
63, 4, 5syl2anc 573 . 2 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝑅 Fr 𝐴)
7 ssid 3773 . . . 4 𝐴𝐴
8 fri 5211 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑅 Fr 𝐴) ∧ (𝐴𝐴𝐴 ≠ ∅)) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
97, 8mpanr1 683 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑅 Fr 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
109an32s 631 . 2 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑅 Fr 𝐴) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
111, 6, 10syl2anc 573 1 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382  w3a 1071  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  wrex 3062  wss 3723  c0 4063   class class class wbr 4786   Po wpo 5168   Or wor 5169   Fr wfr 5205  Fincfn 8109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-om 7213  df-1o 7713  df-er 7896  df-en 8110  df-fin 8113
This theorem is referenced by:  fiming  8560
  Copyright terms: Public domain W3C validator