MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fimin2g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fimin2g 9474
Description: A finite set has a minimum under a total order. (Contributed by AV, 6-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
fimin2g ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem fimin2g
StepHypRef Expression
1 3simpc 1150 . 2 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅))
2 sopo 5600 . . . 4 (𝑅 Or 𝐴𝑅 Po 𝐴)
323ad2ant1 1133 . . 3 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝑅 Po 𝐴)
4 simp2 1137 . . 3 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Fin)
5 frfi 9271 . . 3 ((𝑅 Po 𝐴𝐴 ∈ Fin) → 𝑅 Fr 𝐴)
63, 4, 5syl2anc 584 . 2 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝑅 Fr 𝐴)
7 ssid 4000 . . . 4 𝐴𝐴
8 fri 5629 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑅 Fr 𝐴) ∧ (𝐴𝐴𝐴 ≠ ∅)) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
97, 8mpanr1 701 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑅 Fr 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
109an32s 650 . 2 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑅 Fr 𝐴) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
111, 6, 10syl2anc 584 1 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1087  wcel 2106  wne 2939  wral 3060  wrex 3069  wss 3944  c0 4318   class class class wbr 5141   Po wpo 5579   Or wor 5580   Fr wfr 5621  Fincfn 8922
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-br 5142  df-opab 5204  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-om 7839  df-en 8923  df-fin 8926
This theorem is referenced by:  fiming  9475
  Copyright terms: Public domain W3C validator