Theorem funcnvres2 6622

Description: The converse of a restriction of the converse of a function equals the function restricted to the image of its converse. (Contributed by NM, 4-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
funcnvres2	⊢ (Fun 𝐹 → ◡(◡𝐹 ↾ 𝐴) = (𝐹 ↾ (◡𝐹 “ 𝐴)))

Proof of Theorem funcnvres2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcnvcnv 6609	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 → Fun ◡◡𝐹)
2		funcnvres 6620	. . 3 ⊢ (Fun ◡◡𝐹 → ◡(◡𝐹 ↾ 𝐴) = (◡◡𝐹 ↾ (◡𝐹 “ 𝐴)))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (Fun 𝐹 → ◡(◡𝐹 ↾ 𝐴) = (◡◡𝐹 ↾ (◡𝐹 “ 𝐴)))
4		funrel 6559	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
5		dfrel2 6182	. . . 4 ⊢ (Rel 𝐹 ↔ ◡◡𝐹 = 𝐹)
6	4, 5	sylib 217	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 → ◡◡𝐹 = 𝐹)
7	6	reseq1d 5974	. 2 ⊢ (Fun 𝐹 → (◡◡𝐹 ↾ (◡𝐹 “ 𝐴)) = (𝐹 ↾ (◡𝐹 “ 𝐴)))
8	3, 7	eqtrd 2766	1 ⊢ (Fun 𝐹 → ◡(◡𝐹 ↾ 𝐴) = (𝐹 ↾ (◡𝐹 “ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533  ^◡ccnv 5668   ↾ cres 5671   “ cima 5672  Rel wrel 5674  Fun wfun 6531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-br 5142  df-opab 5204  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-fun 6539

This theorem is referenced by:  funimacnv  6623  foimacnv  6844  unbenlem  16850  ofco2  22308  dvlog  26540  fresf1o  32364  fressupp  32417