Theorem funcnvres2 6572

Description: The converse of a restriction of the converse of a function equals the function restricted to the image of its converse. (Contributed by NM, 4-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
funcnvres2	⊢ (Fun 𝐹 → ◡(◡𝐹 ↾ 𝐴) = (𝐹 ↾ (◡𝐹 “ 𝐴)))

Proof of Theorem funcnvres2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcnvcnv 6559	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 → Fun ◡◡𝐹)
2		funcnvres 6570	. . 3 ⊢ (Fun ◡◡𝐹 → ◡(◡𝐹 ↾ 𝐴) = (◡◡𝐹 ↾ (◡𝐹 “ 𝐴)))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (Fun 𝐹 → ◡(◡𝐹 ↾ 𝐴) = (◡◡𝐹 ↾ (◡𝐹 “ 𝐴)))
4		funrel 6509	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
5		dfrel2 6147	. . . 4 ⊢ (Rel 𝐹 ↔ ◡◡𝐹 = 𝐹)
6	4, 5	sylib 218	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 → ◡◡𝐹 = 𝐹)
7	6	reseq1d 5937	. 2 ⊢ (Fun 𝐹 → (◡◡𝐹 ↾ (◡𝐹 “ 𝐴)) = (𝐹 ↾ (◡𝐹 “ 𝐴)))
8	3, 7	eqtrd 2771	1 ⊢ (Fun 𝐹 → ◡(◡𝐹 ↾ 𝐴) = (𝐹 ↾ (◡𝐹 “ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541  ^◡ccnv 5623   ↾ cres 5626   “ cima 5627  Rel wrel 5629  Fun wfun 6486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-br 5099  df-opab 5161  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-fun 6494

This theorem is referenced by:  funimacnv  6573  foimacnv  6791  unbenlem  16836  ofco2  22395  dvlog  26616  fresf1o  32709  fressupp  32767