Theorem cnvresid 6497

Description: Converse of a restricted identity function. (Contributed by FL, 4-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
cnvresid	⊢ ◡( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴)

Proof of Theorem cnvresid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvi 6034	. . 3 ⊢ ◡ I = I
2	1	eqcomi 2747	. 2 ⊢ I = ◡ I
3		funi 6450	. . 3 ⊢ Fun I
4		funeq 6438	. . 3 ⊢ ( I = ◡ I → (Fun I ↔ Fun ◡ I ))
5	3, 4	mpbii 232	. 2 ⊢ ( I = ◡ I → Fun ◡ I )
6		funcnvres 6496	. . 3 ⊢ (Fun ◡ I → ◡( I ↾ 𝐴) = (◡ I ↾ ( I “ 𝐴)))
7		imai 5971	. . . 4 ⊢ ( I “ 𝐴) = 𝐴
8	1, 7	reseq12i 5878	. . 3 ⊢ (◡ I ↾ ( I “ 𝐴)) = ( I ↾ 𝐴)
9	6, 8	eqtrdi 2795	. 2 ⊢ (Fun ◡ I → ◡( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴))
10	2, 5, 9	mp2b 10	1 ⊢ ◡( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴)

Syntax hints:   = wceq 1539   I cid 5479  ^◡ccnv 5579   ↾ cres 5582   “ cima 5583  Fun wfun 6412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-br 5071  df-opab 5133  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-fun 6420

This theorem is referenced by:  fcoi1  6632  f1oi  6737  relexpcnv  14674  tsrdir  18237  gicref  18802  ssidcn  22314  idqtop  22765  idhmeo  22832  bj-iminvid  35293  ltrncnvnid  38068  dihmeetlem1N  39231  dihglblem5apreN  39232  diophrw  40497  cnvrcl0  41122  relexpaddss  41215