Theorem cnvresid 6560

Description: Converse of a restricted identity function. (Contributed by FL, 4-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
cnvresid	⊢ ◡( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴)

Proof of Theorem cnvresid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvi 6088	. . 3 ⊢ ◡ I = I
2	1	eqcomi 2740	. 2 ⊢ I = ◡ I
3		funi 6513	. . 3 ⊢ Fun I
4		funeq 6501	. . 3 ⊢ ( I = ◡ I → (Fun I ↔ Fun ◡ I ))
5	3, 4	mpbii 233	. 2 ⊢ ( I = ◡ I → Fun ◡ I )
6		funcnvres 6559	. . 3 ⊢ (Fun ◡ I → ◡( I ↾ 𝐴) = (◡ I ↾ ( I “ 𝐴)))
7		imai 6022	. . . 4 ⊢ ( I “ 𝐴) = 𝐴
8	1, 7	reseq12i 5925	. . 3 ⊢ (◡ I ↾ ( I “ 𝐴)) = ( I ↾ 𝐴)
9	6, 8	eqtrdi 2782	. 2 ⊢ (Fun ◡ I → ◡( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴))
10	2, 5, 9	mp2b 10	1 ⊢ ◡( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴)

Syntax hints:   = wceq 1541   I cid 5508  ^◡ccnv 5613   ↾ cres 5616   “ cima 5617  Fun wfun 6475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-br 5090  df-opab 5152  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-fun 6483

This theorem is referenced by:  fcoi1  6697  f1oi  6801  relexpcnv  14942  tsrdir  18510  gicref  19184  ssidcn  23170  idqtop  23621  idhmeo  23688  bj-iminvid  37239  ltrncnvnid  40225  dihmeetlem1N  41388  dihglblem5apreN  41389  diophrw  42851  cnvrcl0  43717  relexpaddss  43810  imaidfu  49210