Theorem cnvresid 6513

Description: Converse of a restricted identity function. (Contributed by FL, 4-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
cnvresid	⊢ ◡( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴)

Proof of Theorem cnvresid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvi 6045	. . 3 ⊢ ◡ I = I
2	1	eqcomi 2747	. 2 ⊢ I = ◡ I
3		funi 6466	. . 3 ⊢ Fun I
4		funeq 6454	. . 3 ⊢ ( I = ◡ I → (Fun I ↔ Fun ◡ I ))
5	3, 4	mpbii 232	. 2 ⊢ ( I = ◡ I → Fun ◡ I )
6		funcnvres 6512	. . 3 ⊢ (Fun ◡ I → ◡( I ↾ 𝐴) = (◡ I ↾ ( I “ 𝐴)))
7		imai 5982	. . . 4 ⊢ ( I “ 𝐴) = 𝐴
8	1, 7	reseq12i 5889	. . 3 ⊢ (◡ I ↾ ( I “ 𝐴)) = ( I ↾ 𝐴)
9	6, 8	eqtrdi 2794	. 2 ⊢ (Fun ◡ I → ◡( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴))
10	2, 5, 9	mp2b 10	1 ⊢ ◡( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴)

Syntax hints:   = wceq 1539   I cid 5488  ^◡ccnv 5588   ↾ cres 5591   “ cima 5592  Fun wfun 6427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-br 5075  df-opab 5137  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-fun 6435

This theorem is referenced by:  fcoi1  6648  f1oi  6754  relexpcnv  14746  tsrdir  18322  gicref  18887  ssidcn  22406  idqtop  22857  idhmeo  22924  bj-iminvid  35366  ltrncnvnid  38141  dihmeetlem1N  39304  dihglblem5apreN  39305  diophrw  40581  cnvrcl0  41233  relexpaddss  41326