Theorem cnvresid 6619

Description: Converse of a restricted identity function. (Contributed by FL, 4-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
cnvresid	⊢ ◡( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴)

Proof of Theorem cnvresid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvi 5862	. . 3 ⊢ ◡ I = I
2	1	eqcomi 2769	. 2 ⊢ I = ◡ I
3		funi 6572	. . 3 ⊢ Fun I
4		funeq 6559	. . 3 ⊢ ( I = ◡ I → (Fun I ↔ Fun ◡ I ))
5	3, 4	mpbii 236	. 2 ⊢ ( I = ◡ I → Fun ◡ I )
6		funcnvres 6618	. . 3 ⊢ (Fun ◡ I → ◡( I ↾ 𝐴) = (◡ I ↾ ( I “ 𝐴)))
7		imai 6071	. . . 4 ⊢ ( I “ 𝐴) = 𝐴
8	1, 7	reseq12i 5967	. . 3 ⊢ (◡ I ↾ ( I “ 𝐴)) = ( I ↾ 𝐴)
9	6, 8	eqtrdi 2811	. 2 ⊢ (Fun ◡ I → ◡( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴))
10	2, 5, 9	mp2b 10	1 ⊢ ◡( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   I cid 5544  ^◡ccnv 5649   ↾ cres 5652   “ cima 5653  Fun wfun 6532

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-fun 6540

This theorem is used by:  fcoi1  6756  f1oiOLD  6864  relexpcnv  15188  tsrdir  18778  gicref  19486  ssidcn  23573  idqtop  24025  idhmeo  24092  bj-iminvid  38117  ltrncnvnid  41185  dihmeetlem1N  42348  dihglblem5apreN  42349  diophrw  43770  cnvrcl0  44625  relexpaddss  44718  imaidfu  50218