MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnvresid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnvresid 6146
Description: Converse of a restricted identity function. (Contributed by FL, 4-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
cnvresid ( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴)

Proof of Theorem cnvresid
StepHypRef Expression
1 cnvi 5720 . . 3 I = I
21eqcomi 2774 . 2 I = I
3 funi 6100 . . 3 Fun I
4 funeq 6088 . . 3 ( I = I → (Fun I ↔ Fun I ))
53, 4mpbii 224 . 2 ( I = I → Fun I )
6 funcnvres 6145 . . 3 (Fun I → ( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ ( I “ 𝐴)))
7 imai 5660 . . . 4 ( I “ 𝐴) = 𝐴
81, 7reseq12i 5563 . . 3 ( I ↾ ( I “ 𝐴)) = ( I ↾ 𝐴)
96, 8syl6eq 2815 . 2 (Fun I → ( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴))
102, 5, 9mp2b 10 1 ( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1652   I cid 5184  ccnv 5276  cres 5279  cima 5280  Fun wfun 6062
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pr 5062
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ral 3060  df-rex 3061  df-rab 3064  df-v 3352  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-br 4810  df-opab 4872  df-id 5185  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-fun 6070
This theorem is referenced by:  fcoi1  6260  f1oi  6357  relexpcnv  14062  tsrdir  17506  gicref  17979  ssidcn  21339  idqtop  21789  idhmeo  21856  ltrncnvnid  36015  dihmeetlem1N  37178  dihglblem5apreN  37179  diophrw  37932  cnvrcl0  38539  relexpaddss  38617
  Copyright terms: Public domain W3C validator