Theorem cnvresid 6626

Description: Converse of a restricted identity function. (Contributed by FL, 4-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
cnvresid	⊢ ◡( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴)

Proof of Theorem cnvresid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvi 6140	. . 3 ⊢ ◡ I = I
2	1	eqcomi 2739	. 2 ⊢ I = ◡ I
3		funi 6579	. . 3 ⊢ Fun I
4		funeq 6567	. . 3 ⊢ ( I = ◡ I → (Fun I ↔ Fun ◡ I ))
5	3, 4	mpbii 232	. 2 ⊢ ( I = ◡ I → Fun ◡ I )
6		funcnvres 6625	. . 3 ⊢ (Fun ◡ I → ◡( I ↾ 𝐴) = (◡ I ↾ ( I “ 𝐴)))
7		imai 6072	. . . 4 ⊢ ( I “ 𝐴) = 𝐴
8	1, 7	reseq12i 5978	. . 3 ⊢ (◡ I ↾ ( I “ 𝐴)) = ( I ↾ 𝐴)
9	6, 8	eqtrdi 2786	. 2 ⊢ (Fun ◡ I → ◡( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴))
10	2, 5, 9	mp2b 10	1 ⊢ ◡( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴)

Syntax hints:   = wceq 1539   I cid 5572  ^◡ccnv 5674   ↾ cres 5677   “ cima 5678  Fun wfun 6536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-br 5148  df-opab 5210  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-fun 6544

This theorem is referenced by:  fcoi1  6764  f1oi  6870  relexpcnv  14986  tsrdir  18561  gicref  19186  ssidcn  22979  idqtop  23430  idhmeo  23497  bj-iminvid  36379  ltrncnvnid  39301  dihmeetlem1N  40464  dihglblem5apreN  40465  diophrw  41799  cnvrcl0  42678  relexpaddss  42771