Theorem cnvresid 6607

Description: Converse of a restricted identity function. (Contributed by FL, 4-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
cnvresid	⊢ ◡( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴)

Proof of Theorem cnvresid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvi 5859	. . 3 ⊢ ◡ I = I
2	1	eqcomi 2769	. 2 ⊢ I = ◡ I
3		funi 6560	. . 3 ⊢ Fun I
4		funeq 6547	. . 3 ⊢ ( I = ◡ I → (Fun I ↔ Fun ◡ I ))
5	3, 4	mpbii 236	. 2 ⊢ ( I = ◡ I → Fun ◡ I )
6		funcnvres 6606	. . 3 ⊢ (Fun ◡ I → ◡( I ↾ 𝐴) = (◡ I ↾ ( I “ 𝐴)))
7		imai 6064	. . . 4 ⊢ ( I “ 𝐴) = 𝐴
8	1, 7	reseq12i 5964	. . 3 ⊢ (◡ I ↾ ( I “ 𝐴)) = ( I ↾ 𝐴)
9	6, 8	eqtrdi 2811	. 2 ⊢ (Fun ◡ I → ◡( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴))
10	2, 5, 9	mp2b 10	1 ⊢ ◡( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   I cid 5541  ^◡ccnv 5646   ↾ cres 5649   “ cima 5650  Fun wfun 6521

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-fun 6529

This theorem is used by:  fcoi1  6744  f1oiOLD  6852  relexpcnv  15155  tsrdir  18739  gicref  19447  ssidcn  23534  idqtop  23986  idhmeo  24053  bj-iminvid  38036  ltrncnvnid  41104  dihmeetlem1N  42267  dihglblem5apreN  42268  diophrw  43708  cnvrcl0  44569  relexpaddss  44662  imaidfu  50140