Theorem cnvresid 6646

Description: Converse of a restricted identity function. (Contributed by FL, 4-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
cnvresid	⊢ ◡( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴)

Proof of Theorem cnvresid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvi 6163	. . 3 ⊢ ◡ I = I
2	1	eqcomi 2743	. 2 ⊢ I = ◡ I
3		funi 6599	. . 3 ⊢ Fun I
4		funeq 6587	. . 3 ⊢ ( I = ◡ I → (Fun I ↔ Fun ◡ I ))
5	3, 4	mpbii 233	. 2 ⊢ ( I = ◡ I → Fun ◡ I )
6		funcnvres 6645	. . 3 ⊢ (Fun ◡ I → ◡( I ↾ 𝐴) = (◡ I ↾ ( I “ 𝐴)))
7		imai 6093	. . . 4 ⊢ ( I “ 𝐴) = 𝐴
8	1, 7	reseq12i 5997	. . 3 ⊢ (◡ I ↾ ( I “ 𝐴)) = ( I ↾ 𝐴)
9	6, 8	eqtrdi 2790	. 2 ⊢ (Fun ◡ I → ◡( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴))
10	2, 5, 9	mp2b 10	1 ⊢ ◡( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴)

Syntax hints:   = wceq 1536   I cid 5581  ^◡ccnv 5687   ↾ cres 5690   “ cima 5691  Fun wfun 6556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-br 5148  df-opab 5210  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-fun 6564

This theorem is referenced by:  fcoi1  6782  f1oi  6886  relexpcnv  15070  tsrdir  18661  gicref  19302  ssidcn  23278  idqtop  23729  idhmeo  23796  bj-iminvid  37177  ltrncnvnid  40109  dihmeetlem1N  41272  dihglblem5apreN  41273  diophrw  42746  cnvrcl0  43614  relexpaddss  43707