Theorem cnvresid 6436

Description: Converse of a restricted identity function. (Contributed by FL, 4-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
cnvresid	⊢ ◡( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴)

Proof of Theorem cnvresid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvi 6003	. . 3 ⊢ ◡ I = I
2	1	eqcomi 2833	. 2 ⊢ I = ◡ I
3		funi 6390	. . 3 ⊢ Fun I
4		funeq 6378	. . 3 ⊢ ( I = ◡ I → (Fun I ↔ Fun ◡ I ))
5	3, 4	mpbii 235	. 2 ⊢ ( I = ◡ I → Fun ◡ I )
6		funcnvres 6435	. . 3 ⊢ (Fun ◡ I → ◡( I ↾ 𝐴) = (◡ I ↾ ( I “ 𝐴)))
7		imai 5945	. . . 4 ⊢ ( I “ 𝐴) = 𝐴
8	1, 7	reseq12i 5854	. . 3 ⊢ (◡ I ↾ ( I “ 𝐴)) = ( I ↾ 𝐴)
9	6, 8	syl6eq 2875	. 2 ⊢ (Fun ◡ I → ◡( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴))
10	2, 5, 9	mp2b 10	1 ⊢ ◡( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴)

Syntax hints:   = wceq 1536   I cid 5462  ^◡ccnv 5557   ↾ cres 5560   “ cima 5561  Fun wfun 6352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pr 5333

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ral 3146  df-rex 3147  df-rab 3150  df-v 3499  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-br 5070  df-opab 5132  df-id 5463  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-fun 6360

This theorem is referenced by:  fcoi1  6555  f1oi  6655  relexpcnv  14397  tsrdir  17851  gicref  18414  ssidcn  21866  idqtop  22317  idhmeo  22384  ltrncnvnid  37267  dihmeetlem1N  38430  dihglblem5apreN  38431  diophrw  39362  cnvrcl0  39991  relexpaddss  40069