Theorem cnvresid 6628

Description: Converse of a restricted identity function. (Contributed by FL, 4-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
cnvresid	⊢ ◡( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴)

Proof of Theorem cnvresid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvi 6142	. . 3 ⊢ ◡ I = I
2	1	eqcomi 2742	. 2 ⊢ I = ◡ I
3		funi 6581	. . 3 ⊢ Fun I
4		funeq 6569	. . 3 ⊢ ( I = ◡ I → (Fun I ↔ Fun ◡ I ))
5	3, 4	mpbii 232	. 2 ⊢ ( I = ◡ I → Fun ◡ I )
6		funcnvres 6627	. . 3 ⊢ (Fun ◡ I → ◡( I ↾ 𝐴) = (◡ I ↾ ( I “ 𝐴)))
7		imai 6074	. . . 4 ⊢ ( I “ 𝐴) = 𝐴
8	1, 7	reseq12i 5980	. . 3 ⊢ (◡ I ↾ ( I “ 𝐴)) = ( I ↾ 𝐴)
9	6, 8	eqtrdi 2789	. 2 ⊢ (Fun ◡ I → ◡( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴))
10	2, 5, 9	mp2b 10	1 ⊢ ◡( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴)

Syntax hints:   = wceq 1542   I cid 5574  ^◡ccnv 5676   ↾ cres 5679   “ cima 5680  Fun wfun 6538

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-br 5150  df-opab 5212  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-fun 6546

This theorem is referenced by:  fcoi1  6766  f1oi  6872  relexpcnv  14982  tsrdir  18557  gicref  19145  ssidcn  22759  idqtop  23210  idhmeo  23277  bj-iminvid  36076  ltrncnvnid  38998  dihmeetlem1N  40161  dihglblem5apreN  40162  diophrw  41497  cnvrcl0  42376  relexpaddss  42469