Theorem cnvresid 6572

Description: Converse of a restricted identity function. (Contributed by FL, 4-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
cnvresid	⊢ ◡( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴)

Proof of Theorem cnvresid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvi 6100	. . 3 ⊢ ◡ I = I
2	1	eqcomi 2746	. 2 ⊢ I = ◡ I
3		funi 6525	. . 3 ⊢ Fun I
4		funeq 6513	. . 3 ⊢ ( I = ◡ I → (Fun I ↔ Fun ◡ I ))
5	3, 4	mpbii 233	. 2 ⊢ ( I = ◡ I → Fun ◡ I )
6		funcnvres 6571	. . 3 ⊢ (Fun ◡ I → ◡( I ↾ 𝐴) = (◡ I ↾ ( I “ 𝐴)))
7		imai 6034	. . . 4 ⊢ ( I “ 𝐴) = 𝐴
8	1, 7	reseq12i 5937	. . 3 ⊢ (◡ I ↾ ( I “ 𝐴)) = ( I ↾ 𝐴)
9	6, 8	eqtrdi 2788	. 2 ⊢ (Fun ◡ I → ◡( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴))
10	2, 5, 9	mp2b 10	1 ⊢ ◡( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴)

Syntax hints:   = wceq 1542   I cid 5519  ^◡ccnv 5624   ↾ cres 5627   “ cima 5628  Fun wfun 6487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pr 5378

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-br 5100  df-opab 5162  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-fun 6495

This theorem is referenced by:  fcoi1  6709  f1oiOLD  6814  relexpcnv  14963  tsrdir  18532  gicref  19206  ssidcn  23204  idqtop  23655  idhmeo  23722  bj-iminvid  37413  ltrncnvnid  40466  dihmeetlem1N  41629  dihglblem5apreN  41630  diophrw  43079  cnvrcl0  43944  relexpaddss  44037  imaidfu  49432