MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnvresid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnvresid 6624
Description: Converse of a restricted identity function. (Contributed by FL, 4-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
cnvresid ( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴)

Proof of Theorem cnvresid
StepHypRef Expression
1 cnvi 6138 . . 3 I = I
21eqcomi 2741 . 2 I = I
3 funi 6577 . . 3 Fun I
4 funeq 6565 . . 3 ( I = I → (Fun I ↔ Fun I ))
53, 4mpbii 232 . 2 ( I = I → Fun I )
6 funcnvres 6623 . . 3 (Fun I → ( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ ( I “ 𝐴)))
7 imai 6070 . . . 4 ( I “ 𝐴) = 𝐴
81, 7reseq12i 5977 . . 3 ( I ↾ ( I “ 𝐴)) = ( I ↾ 𝐴)
96, 8eqtrdi 2788 . 2 (Fun I → ( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴))
102, 5, 9mp2b 10 1 ( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1541   I cid 5572  ccnv 5674  cres 5677  cima 5678  Fun wfun 6534
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-br 5148  df-opab 5210  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-fun 6542
This theorem is referenced by:  fcoi1  6762  f1oi  6868  relexpcnv  14978  tsrdir  18553  gicref  19139  ssidcn  22750  idqtop  23201  idhmeo  23268  bj-iminvid  36064  ltrncnvnid  38986  dihmeetlem1N  40149  dihglblem5apreN  40150  diophrw  41482  cnvrcl0  42361  relexpaddss  42454
  Copyright terms: Public domain W3C validator