Theorem cnvresid 6616

Description: Converse of a restricted identity function. (Contributed by FL, 4-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
cnvresid	⊢ ◡( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴)

Proof of Theorem cnvresid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvi 5869	. . 3 ⊢ ◡ I = I
2	1	eqcomi 2771	. 2 ⊢ I = ◡ I
3		funi 6569	. . 3 ⊢ Fun I
4		funeq 6557	. . 3 ⊢ ( I = ◡ I → (Fun I ↔ Fun ◡ I ))
5	3, 4	mpbii 236	. 2 ⊢ ( I = ◡ I → Fun ◡ I )
6		funcnvres 6615	. . 3 ⊢ (Fun ◡ I → ◡( I ↾ 𝐴) = (◡ I ↾ ( I “ 𝐴)))
7		imai 6074	. . . 4 ⊢ ( I “ 𝐴) = 𝐴
8	1, 7	reseq12i 5974	. . 3 ⊢ (◡ I ↾ ( I “ 𝐴)) = ( I ↾ 𝐴)
9	6, 8	eqtrdi 2813	. 2 ⊢ (Fun ◡ I → ◡( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴))
10	2, 5, 9	mp2b 10	1 ⊢ ◡( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   I cid 5553  ^◡ccnv 5658   ↾ cres 5661   “ cima 5662  Fun wfun 6531

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-br 5108  df-opab 5172  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-fun 6539

This theorem is used by:  fcoi1  6753  f1oiOLD  6861  relexpcnv  15110  tsrdir  18696  gicref  19400  ssidcn  23481  idqtop  23933  idhmeo  24000  bj-iminvid  37934  ltrncnvnid  40987  dihmeetlem1N  42150  dihglblem5apreN  42151  diophrw  43591  cnvrcl0  44452  relexpaddss  44545  imaidfu  50023