Theorem cnvresid 6602

Description: Converse of a restricted identity function. (Contributed by FL, 4-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
cnvresid	⊢ ◡( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴)

Proof of Theorem cnvresid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvi 5859	. . 3 ⊢ ◡ I = I
2	1	eqcomi 2773	. 2 ⊢ I = ◡ I
3		funi 6555	. . 3 ⊢ Fun I
4		funeq 6543	. . 3 ⊢ ( I = ◡ I → (Fun I ↔ Fun ◡ I ))
5	3, 4	mpbii 235	. 2 ⊢ ( I = ◡ I → Fun ◡ I )
6		funcnvres 6601	. . 3 ⊢ (Fun ◡ I → ◡( I ↾ 𝐴) = (◡ I ↾ ( I “ 𝐴)))
7		imai 6065	. . . 4 ⊢ ( I “ 𝐴) = 𝐴
8	1, 7	reseq12i 5965	. . 3 ⊢ (◡ I ↾ ( I “ 𝐴)) = ( I ↾ 𝐴)
9	6, 8	eqtrdi 2815	. 2 ⊢ (Fun ◡ I → ◡( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴))
10	2, 5, 9	mp2b 10	1 ⊢ ◡( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴)

Syntax hints:   = wceq 1562   I cid 5543  ^◡ccnv 5648   ↾ cres 5651   “ cima 5652  Fun wfun 6517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-pr 5392

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3417  df-v 3458  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5103  df-opab 5165  df-id 5544  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-fun 6525

This theorem is referenced by:  fcoi1  6740  f1oiOLD  6848  relexpcnv  15050  tsrdir  18638  gicref  19314  ssidcn  23317  idqtop  23768  idhmeo  23835  bj-iminvid  37692  ltrncnvnid  40756  dihmeetlem1N  41919  dihglblem5apreN  41920  diophrw  43345  cnvrcl0  44206  relexpaddss  44299  imaidfu  49736