Theorem cnvresid 6403

Description: Converse of a restricted identity function. (Contributed by FL, 4-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
cnvresid	⊢ ◡( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴)

Proof of Theorem cnvresid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvi 5967	. . 3 ⊢ ◡ I = I
2	1	eqcomi 2807	. 2 ⊢ I = ◡ I
3		funi 6356	. . 3 ⊢ Fun I
4		funeq 6344	. . 3 ⊢ ( I = ◡ I → (Fun I ↔ Fun ◡ I ))
5	3, 4	mpbii 236	. 2 ⊢ ( I = ◡ I → Fun ◡ I )
6		funcnvres 6402	. . 3 ⊢ (Fun ◡ I → ◡( I ↾ 𝐴) = (◡ I ↾ ( I “ 𝐴)))
7		imai 5909	. . . 4 ⊢ ( I “ 𝐴) = 𝐴
8	1, 7	reseq12i 5816	. . 3 ⊢ (◡ I ↾ ( I “ 𝐴)) = ( I ↾ 𝐴)
9	6, 8	eqtrdi 2849	. 2 ⊢ (Fun ◡ I → ◡( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴))
10	2, 5, 9	mp2b 10	1 ⊢ ◡( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴)

Syntax hints:   = wceq 1538   I cid 5424  ^◡ccnv 5518   ↾ cres 5521   “ cima 5522  Fun wfun 6318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-br 5031  df-opab 5093  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-fun 6326

This theorem is referenced by:  fcoi1  6526  f1oi  6627  relexpcnv  14386  tsrdir  17840  gicref  18403  ssidcn  21860  idqtop  22311  idhmeo  22378  bj-iminvid  34610  ltrncnvnid  37423  dihmeetlem1N  38586  dihglblem5apreN  38587  diophrw  39700  cnvrcl0  40325  relexpaddss  40419