Theorem cnvresid 6568

Description: Converse of a restricted identity function. (Contributed by FL, 4-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
cnvresid	⊢ ◡( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴)

Proof of Theorem cnvresid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvi 5830	. . 3 ⊢ ◡ I = I
2	1	eqcomi 2750	. 2 ⊢ I = ◡ I
3		funi 6521	. . 3 ⊢ Fun I
4		funeq 6509	. . 3 ⊢ ( I = ◡ I → (Fun I ↔ Fun ◡ I ))
5	3, 4	mpbii 235	. 2 ⊢ ( I = ◡ I → Fun ◡ I )
6		funcnvres 6567	. . 3 ⊢ (Fun ◡ I → ◡( I ↾ 𝐴) = (◡ I ↾ ( I “ 𝐴)))
7		imai 6033	. . . 4 ⊢ ( I “ 𝐴) = 𝐴
8	1, 7	reseq12i 5936	. . 3 ⊢ (◡ I ↾ ( I “ 𝐴)) = ( I ↾ 𝐴)
9	6, 8	eqtrdi 2792	. 2 ⊢ (Fun ◡ I → ◡( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴))
10	2, 5, 9	mp2b 10	1 ⊢ ◡( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴)

Syntax hints:   = wceq 1548   I cid 5515  ^◡ccnv 5620   ↾ cres 5623   “ cima 5624  Fun wfun 6483

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-pr 5365

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rab 3394  df-v 3435  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-br 5076  df-opab 5138  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-fun 6491

This theorem is referenced by:  fcoi1  6705  f1oiOLD  6810  relexpcnv  14992  tsrdir  18565  gicref  19242  ssidcn  23242  idqtop  23693  idhmeo  23760  bj-iminvid  37570  ltrncnvnid  40634  dihmeetlem1N  41797  dihglblem5apreN  41798  diophrw  43223  cnvrcl0  44084  relexpaddss  44177  imaidfu  49614