Theorem cnvresid 6619

Description: Converse of a restricted identity function. (Contributed by FL, 4-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
cnvresid	⊢ ◡( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴)

Proof of Theorem cnvresid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvi 5875	. . 3 ⊢ ◡ I = I
2	1	eqcomi 2779	. 2 ⊢ I = ◡ I
3		funi 6572	. . 3 ⊢ Fun I
4		funeq 6560	. . 3 ⊢ ( I = ◡ I → (Fun I ↔ Fun ◡ I ))
5	3, 4	mpbii 236	. 2 ⊢ ( I = ◡ I → Fun ◡ I )
6		funcnvres 6618	. . 3 ⊢ (Fun ◡ I → ◡( I ↾ 𝐴) = (◡ I ↾ ( I “ 𝐴)))
7		imai 6080	. . . 4 ⊢ ( I “ 𝐴) = 𝐴
8	1, 7	reseq12i 5980	. . 3 ⊢ (◡ I ↾ ( I “ 𝐴)) = ( I ↾ 𝐴)
9	6, 8	eqtrdi 2821	. 2 ⊢ (Fun ◡ I → ◡( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴))
10	2, 5, 9	mp2b 10	1 ⊢ ◡( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴)

Syntax hints:   = wceq 1568   I cid 5559  ^◡ccnv 5664   ↾ cres 5667   “ cima 5668  Fun wfun 6534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-sep 5262  ax-pr 5408

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rab 3424  df-v 3464  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-br 5115  df-opab 5179  df-id 5560  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-fun 6542

This theorem is referenced by:  fcoi1  6756  f1oiOLD  6864  relexpcnv  15075  tsrdir  18663  gicref  19345  ssidcn  23395  idqtop  23846  idhmeo  23913  bj-iminvid  37787  ltrncnvnid  40851  dihmeetlem1N  42014  dihglblem5apreN  42015  diophrw  43442  cnvrcl0  44303  relexpaddss  44396  imaidfu  49837