Theorem cnvresid 6595

Description: Converse of a restricted identity function. (Contributed by FL, 4-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
cnvresid	⊢ ◡( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴)

Proof of Theorem cnvresid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvi 6114	. . 3 ⊢ ◡ I = I
2	1	eqcomi 2738	. 2 ⊢ I = ◡ I
3		funi 6548	. . 3 ⊢ Fun I
4		funeq 6536	. . 3 ⊢ ( I = ◡ I → (Fun I ↔ Fun ◡ I ))
5	3, 4	mpbii 233	. 2 ⊢ ( I = ◡ I → Fun ◡ I )
6		funcnvres 6594	. . 3 ⊢ (Fun ◡ I → ◡( I ↾ 𝐴) = (◡ I ↾ ( I “ 𝐴)))
7		imai 6045	. . . 4 ⊢ ( I “ 𝐴) = 𝐴
8	1, 7	reseq12i 5948	. . 3 ⊢ (◡ I ↾ ( I “ 𝐴)) = ( I ↾ 𝐴)
9	6, 8	eqtrdi 2780	. 2 ⊢ (Fun ◡ I → ◡( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴))
10	2, 5, 9	mp2b 10	1 ⊢ ◡( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴)

Syntax hints:   = wceq 1540   I cid 5532  ^◡ccnv 5637   ↾ cres 5640   “ cima 5641  Fun wfun 6505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-br 5108  df-opab 5170  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-fun 6513

This theorem is referenced by:  fcoi1  6734  f1oi  6838  relexpcnv  15001  tsrdir  18563  gicref  19204  ssidcn  23142  idqtop  23593  idhmeo  23660  bj-iminvid  37183  ltrncnvnid  40121  dihmeetlem1N  41284  dihglblem5apreN  41285  diophrw  42747  cnvrcl0  43614  relexpaddss  43707  imaidfu  49099