Theorem cnvresid 6645

Description: Converse of a restricted identity function. (Contributed by FL, 4-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
cnvresid	⊢ ◡( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴)

Proof of Theorem cnvresid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvi 6161	. . 3 ⊢ ◡ I = I
2	1	eqcomi 2746	. 2 ⊢ I = ◡ I
3		funi 6598	. . 3 ⊢ Fun I
4		funeq 6586	. . 3 ⊢ ( I = ◡ I → (Fun I ↔ Fun ◡ I ))
5	3, 4	mpbii 233	. 2 ⊢ ( I = ◡ I → Fun ◡ I )
6		funcnvres 6644	. . 3 ⊢ (Fun ◡ I → ◡( I ↾ 𝐴) = (◡ I ↾ ( I “ 𝐴)))
7		imai 6092	. . . 4 ⊢ ( I “ 𝐴) = 𝐴
8	1, 7	reseq12i 5995	. . 3 ⊢ (◡ I ↾ ( I “ 𝐴)) = ( I ↾ 𝐴)
9	6, 8	eqtrdi 2793	. 2 ⊢ (Fun ◡ I → ◡( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴))
10	2, 5, 9	mp2b 10	1 ⊢ ◡( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴)

Syntax hints:   = wceq 1540   I cid 5577  ^◡ccnv 5684   ↾ cres 5687   “ cima 5688  Fun wfun 6555

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-fun 6563

This theorem is referenced by:  fcoi1  6782  f1oi  6886  relexpcnv  15074  tsrdir  18649  gicref  19290  ssidcn  23263  idqtop  23714  idhmeo  23781  bj-iminvid  37196  ltrncnvnid  40129  dihmeetlem1N  41292  dihglblem5apreN  41293  diophrw  42770  cnvrcl0  43638  relexpaddss  43731