MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnvresid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnvresid 6412
Description: Converse of a restricted identity function. (Contributed by FL, 4-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
cnvresid ( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴)

Proof of Theorem cnvresid
StepHypRef Expression
1 cnvi 5968 . . 3 I = I
21eqcomi 2747 . 2 I = I
3 funi 6365 . . 3 Fun I
4 funeq 6353 . . 3 ( I = I → (Fun I ↔ Fun I ))
53, 4mpbii 236 . 2 ( I = I → Fun I )
6 funcnvres 6411 . . 3 (Fun I → ( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ ( I “ 𝐴)))
7 imai 5910 . . . 4 ( I “ 𝐴) = 𝐴
81, 7reseq12i 5817 . . 3 ( I ↾ ( I “ 𝐴)) = ( I ↾ 𝐴)
96, 8eqtrdi 2789 . 2 (Fun I → ( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴))
102, 5, 9mp2b 10 1 ( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542   I cid 5424  ccnv 5518  cres 5521  cima 5522  Fun wfun 6327
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pr 5293
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ral 3058  df-rex 3059  df-rab 3062  df-v 3399  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-nul 4210  df-if 4412  df-sn 4514  df-pr 4516  df-op 4520  df-br 5028  df-opab 5090  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-fun 6335
This theorem is referenced by:  fcoi1  6546  f1oi  6649  relexpcnv  14477  tsrdir  17957  gicref  18522  ssidcn  21999  idqtop  22450  idhmeo  22517  bj-iminvid  34976  ltrncnvnid  37753  dihmeetlem1N  38916  dihglblem5apreN  38917  diophrw  40137  cnvrcl0  40762  relexpaddss  40856
  Copyright terms: Public domain W3C validator