MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnvresid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnvresid 6581
Description: Converse of a restricted identity function. (Contributed by FL, 4-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
cnvresid ( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴)

Proof of Theorem cnvresid
StepHypRef Expression
1 cnvi 6095 . . 3 I = I
21eqcomi 2742 . 2 I = I
3 funi 6534 . . 3 Fun I
4 funeq 6522 . . 3 ( I = I → (Fun I ↔ Fun I ))
53, 4mpbii 232 . 2 ( I = I → Fun I )
6 funcnvres 6580 . . 3 (Fun I → ( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ ( I “ 𝐴)))
7 imai 6027 . . . 4 ( I “ 𝐴) = 𝐴
81, 7reseq12i 5936 . . 3 ( I ↾ ( I “ 𝐴)) = ( I ↾ 𝐴)
96, 8eqtrdi 2789 . 2 (Fun I → ( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴))
102, 5, 9mp2b 10 1 ( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542   I cid 5531  ccnv 5633  cres 5636  cima 5637  Fun wfun 6491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-br 5107  df-opab 5169  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-fun 6499
This theorem is referenced by:  fcoi1  6717  f1oi  6823  relexpcnv  14926  tsrdir  18498  gicref  19066  ssidcn  22622  idqtop  23073  idhmeo  23140  bj-iminvid  35712  ltrncnvnid  38636  dihmeetlem1N  39799  dihglblem5apreN  39800  diophrw  41125  cnvrcl0  41985  relexpaddss  42078
  Copyright terms: Public domain W3C validator