MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvlog Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvlog 26159
Description: The derivative of the complex logarithm function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
logcn.d 𝐷 = (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))
Assertion
Ref Expression
dvlog (β„‚ D (log β†Ύ 𝐷)) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (1 / π‘₯))
Distinct variable group:   π‘₯,𝐷
Proof of Theorem dvlog
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . 4 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
21cnfldtopon 24299 . . . . 5 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
32toponrestid 22423 . . . 4 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚)
4 cnelprrecn 11203 . . . . 5 β„‚ ∈ {ℝ, β„‚}
54a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ β„‚ ∈ {ℝ, β„‚})
6 logcn.d . . . . . 6 𝐷 = (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))
76logdmopn 26157 . . . . 5 𝐷 ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld)
87a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ 𝐷 ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld))
9 logf1o 26073 . . . . . . . . 9 log:(β„‚ βˆ– {0})–1-1-ontoβ†’ran log
10 f1of1 6833 . . . . . . . . 9 (log:(β„‚ βˆ– {0})–1-1-ontoβ†’ran log β†’ log:(β„‚ βˆ– {0})–1-1β†’ran log)
119, 10ax-mp 5 . . . . . . . 8 log:(β„‚ βˆ– {0})–1-1β†’ran log
126logdmss 26150 . . . . . . . 8 𝐷 βŠ† (β„‚ βˆ– {0})
13 f1ores 6848 . . . . . . . 8 ((log:(β„‚ βˆ– {0})–1-1β†’ran log ∧ 𝐷 βŠ† (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (log β†Ύ 𝐷):𝐷–1-1-ontoβ†’(log β€œ 𝐷))
1411, 12, 13mp2an 691 . . . . . . 7 (log β†Ύ 𝐷):𝐷–1-1-ontoβ†’(log β€œ 𝐷)
15 f1ocnv 6846 . . . . . . 7 ((log β†Ύ 𝐷):𝐷–1-1-ontoβ†’(log β€œ 𝐷) β†’ β—‘(log β†Ύ 𝐷):(log β€œ 𝐷)–1-1-onto→𝐷)
1614, 15ax-mp 5 . . . . . 6 β—‘(log β†Ύ 𝐷):(log β€œ 𝐷)–1-1-onto→𝐷
17 df-log 26065 . . . . . . . . . . 11 log = β—‘(exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€)))
1817reseq1i 5978 . . . . . . . . . 10 (log β†Ύ 𝐷) = (β—‘(exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))) β†Ύ 𝐷)
1918cnveqi 5875 . . . . . . . . 9 β—‘(log β†Ύ 𝐷) = β—‘(β—‘(exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))) β†Ύ 𝐷)
20 eff 16025 . . . . . . . . . . 11 exp:β„‚βŸΆβ„‚
21 cnvimass 6081 . . . . . . . . . . . 12 (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€)) βŠ† dom β„‘
22 imf 15060 . . . . . . . . . . . . 13 β„‘:β„‚βŸΆβ„
2322fdmi 6730 . . . . . . . . . . . 12 dom β„‘ = β„‚
2421, 23sseqtri 4019 . . . . . . . . . . 11 (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€)) βŠ† β„‚
25 fssres 6758 . . . . . . . . . . 11 ((exp:β„‚βŸΆβ„‚ ∧ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€)) βŠ† β„‚) β†’ (exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))):(β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))βŸΆβ„‚)
2620, 24, 25mp2an 691 . . . . . . . . . 10 (exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))):(β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))βŸΆβ„‚
27 ffun 6721 . . . . . . . . . 10 ((exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))):(β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))βŸΆβ„‚ β†’ Fun (exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))))
28 funcnvres2 6629 . . . . . . . . . 10 (Fun (exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))) β†’ β—‘(β—‘(exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))) β†Ύ 𝐷) = ((exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))) β†Ύ (β—‘(exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))) β€œ 𝐷)))
2926, 27, 28mp2b 10 . . . . . . . . 9 β—‘(β—‘(exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))) β†Ύ 𝐷) = ((exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))) β†Ύ (β—‘(exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))) β€œ 𝐷))
30 cnvimass 6081 . . . . . . . . . . 11 (β—‘(exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))) β€œ 𝐷) βŠ† dom (exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€)))
3126fdmi 6730 . . . . . . . . . . 11 dom (exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))) = (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))
3230, 31sseqtri 4019 . . . . . . . . . 10 (β—‘(exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))) β€œ 𝐷) βŠ† (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))
33 resabs1 6012 . . . . . . . . . 10 ((β—‘(exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))) β€œ 𝐷) βŠ† (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€)) β†’ ((exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))) β†Ύ (β—‘(exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))) β€œ 𝐷)) = (exp β†Ύ (β—‘(exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))) β€œ 𝐷)))
3432, 33ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))) β†Ύ (β—‘(exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))) β€œ 𝐷)) = (exp β†Ύ (β—‘(exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))) β€œ 𝐷))
3519, 29, 343eqtri 2765 . . . . . . . 8 β—‘(log β†Ύ 𝐷) = (exp β†Ύ (β—‘(exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))) β€œ 𝐷))
3617imaeq1i 6057 . . . . . . . . 9 (log β€œ 𝐷) = (β—‘(exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))) β€œ 𝐷)
3736reseq2i 5979 . . . . . . . 8 (exp β†Ύ (log β€œ 𝐷)) = (exp β†Ύ (β—‘(exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))) β€œ 𝐷))
3835, 37eqtr4i 2764 . . . . . . 7 β—‘(log β†Ύ 𝐷) = (exp β†Ύ (log β€œ 𝐷))
39 f1oeq1 6822 . . . . . . 7 (β—‘(log β†Ύ 𝐷) = (exp β†Ύ (log β€œ 𝐷)) β†’ (β—‘(log β†Ύ 𝐷):(log β€œ 𝐷)–1-1-onto→𝐷 ↔ (exp β†Ύ (log β€œ 𝐷)):(log β€œ 𝐷)–1-1-onto→𝐷))
4038, 39ax-mp 5 . . . . . 6 (β—‘(log β†Ύ 𝐷):(log β€œ 𝐷)–1-1-onto→𝐷 ↔ (exp β†Ύ (log β€œ 𝐷)):(log β€œ 𝐷)–1-1-onto→𝐷)
4116, 40mpbi 229 . . . . 5 (exp β†Ύ (log β€œ 𝐷)):(log β€œ 𝐷)–1-1-onto→𝐷
4241a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ (exp β†Ύ (log β€œ 𝐷)):(log β€œ 𝐷)–1-1-onto→𝐷)
4338cnveqi 5875 . . . . . 6 β—‘β—‘(log β†Ύ 𝐷) = β—‘(exp β†Ύ (log β€œ 𝐷))
44 relres 6011 . . . . . . 7 Rel (log β†Ύ 𝐷)
45 dfrel2 6189 . . . . . . 7 (Rel (log β†Ύ 𝐷) ↔ β—‘β—‘(log β†Ύ 𝐷) = (log β†Ύ 𝐷))
4644, 45mpbi 229 . . . . . 6 β—‘β—‘(log β†Ύ 𝐷) = (log β†Ύ 𝐷)
4743, 46eqtr3i 2763 . . . . 5 β—‘(exp β†Ύ (log β€œ 𝐷)) = (log β†Ύ 𝐷)
48 f1of 6834 . . . . . . 7 ((log β†Ύ 𝐷):𝐷–1-1-ontoβ†’(log β€œ 𝐷) β†’ (log β†Ύ 𝐷):𝐷⟢(log β€œ 𝐷))
4914, 48mp1i 13 . . . . . 6 (⊀ β†’ (log β†Ύ 𝐷):𝐷⟢(log β€œ 𝐷))
50 imassrn 6071 . . . . . . . 8 (log β€œ 𝐷) βŠ† ran log
51 logrncn 26071 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ran log β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
5251ssriv 3987 . . . . . . . 8 ran log βŠ† β„‚
5350, 52sstri 3992 . . . . . . 7 (log β€œ 𝐷) βŠ† β„‚
546logcn 26155 . . . . . . 7 (log β†Ύ 𝐷) ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚)
55 cncfcdm 24414 . . . . . . 7 (((log β€œ 𝐷) βŠ† β„‚ ∧ (log β†Ύ 𝐷) ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚)) β†’ ((log β†Ύ 𝐷) ∈ (𝐷–cnβ†’(log β€œ 𝐷)) ↔ (log β†Ύ 𝐷):𝐷⟢(log β€œ 𝐷)))
5653, 54, 55mp2an 691 . . . . . 6 ((log β†Ύ 𝐷) ∈ (𝐷–cnβ†’(log β€œ 𝐷)) ↔ (log β†Ύ 𝐷):𝐷⟢(log β€œ 𝐷))
5749, 56sylibr 233 . . . . 5 (⊀ β†’ (log β†Ύ 𝐷) ∈ (𝐷–cnβ†’(log β€œ 𝐷)))
5847, 57eqeltrid 2838 . . . 4 (⊀ β†’ β—‘(exp β†Ύ (log β€œ 𝐷)) ∈ (𝐷–cnβ†’(log β€œ 𝐷)))
59 ssid 4005 . . . . . . . . 9 β„‚ βŠ† β„‚
601, 3dvres 25428 . . . . . . . . 9 (((β„‚ βŠ† β„‚ ∧ exp:β„‚βŸΆβ„‚) ∧ (β„‚ βŠ† β„‚ ∧ (log β€œ 𝐷) βŠ† β„‚)) β†’ (β„‚ D (exp β†Ύ (log β€œ 𝐷))) = ((β„‚ D exp) β†Ύ ((intβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(log β€œ 𝐷))))
6159, 20, 59, 53, 60mp4an 692 . . . . . . . 8 (β„‚ D (exp β†Ύ (log β€œ 𝐷))) = ((β„‚ D exp) β†Ύ ((intβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(log β€œ 𝐷)))
62 dvef 25497 . . . . . . . . 9 (β„‚ D exp) = exp
631cnfldtop 24300 . . . . . . . . . 10 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top
646dvloglem 26156 . . . . . . . . . 10 (log β€œ 𝐷) ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld)
65 isopn3i 22586 . . . . . . . . . 10 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top ∧ (log β€œ 𝐷) ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld)) β†’ ((intβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(log β€œ 𝐷)) = (log β€œ 𝐷))
6663, 64, 65mp2an 691 . . . . . . . . 9 ((intβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(log β€œ 𝐷)) = (log β€œ 𝐷)
6762, 66reseq12i 5980 . . . . . . . 8 ((β„‚ D exp) β†Ύ ((intβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(log β€œ 𝐷))) = (exp β†Ύ (log β€œ 𝐷))
6861, 67eqtri 2761 . . . . . . 7 (β„‚ D (exp β†Ύ (log β€œ 𝐷))) = (exp β†Ύ (log β€œ 𝐷))
6968dmeqi 5905 . . . . . 6 dom (β„‚ D (exp β†Ύ (log β€œ 𝐷))) = dom (exp β†Ύ (log β€œ 𝐷))
70 dmres 6004 . . . . . 6 dom (exp β†Ύ (log β€œ 𝐷)) = ((log β€œ 𝐷) ∩ dom exp)
7120fdmi 6730 . . . . . . . 8 dom exp = β„‚
7253, 71sseqtrri 4020 . . . . . . 7 (log β€œ 𝐷) βŠ† dom exp
73 df-ss 3966 . . . . . . 7 ((log β€œ 𝐷) βŠ† dom exp ↔ ((log β€œ 𝐷) ∩ dom exp) = (log β€œ 𝐷))
7472, 73mpbi 229 . . . . . 6 ((log β€œ 𝐷) ∩ dom exp) = (log β€œ 𝐷)
7569, 70, 743eqtri 2765 . . . . 5 dom (β„‚ D (exp β†Ύ (log β€œ 𝐷))) = (log β€œ 𝐷)
7675a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ dom (β„‚ D (exp β†Ύ (log β€œ 𝐷))) = (log β€œ 𝐷))
77 neirr 2950 . . . . . 6 Β¬ 0 β‰  0
78 resss 6007 . . . . . . . . . . . . 13 ((β„‚ D exp) β†Ύ ((intβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(log β€œ 𝐷))) βŠ† (β„‚ D exp)
7961, 78eqsstri 4017 . . . . . . . . . . . 12 (β„‚ D (exp β†Ύ (log β€œ 𝐷))) βŠ† (β„‚ D exp)
8079, 62sseqtri 4019 . . . . . . . . . . 11 (β„‚ D (exp β†Ύ (log β€œ 𝐷))) βŠ† exp
8180rnssi 5940 . . . . . . . . . 10 ran (β„‚ D (exp β†Ύ (log β€œ 𝐷))) βŠ† ran exp
82 eff2 16042 . . . . . . . . . . 11 exp:β„‚βŸΆ(β„‚ βˆ– {0})
83 frn 6725 . . . . . . . . . . 11 (exp:β„‚βŸΆ(β„‚ βˆ– {0}) β†’ ran exp βŠ† (β„‚ βˆ– {0}))
8482, 83ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ran exp βŠ† (β„‚ βˆ– {0})
8581, 84sstri 3992 . . . . . . . . 9 ran (β„‚ D (exp β†Ύ (log β€œ 𝐷))) βŠ† (β„‚ βˆ– {0})
8685sseli 3979 . . . . . . . 8 (0 ∈ ran (β„‚ D (exp β†Ύ (log β€œ 𝐷))) β†’ 0 ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
87 eldifsn 4791 . . . . . . . 8 (0 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↔ (0 ∈ β„‚ ∧ 0 β‰  0))
8886, 87sylib 217 . . . . . . 7 (0 ∈ ran (β„‚ D (exp β†Ύ (log β€œ 𝐷))) β†’ (0 ∈ β„‚ ∧ 0 β‰  0))
8988simprd 497 . . . . . 6 (0 ∈ ran (β„‚ D (exp β†Ύ (log β€œ 𝐷))) β†’ 0 β‰  0)
9077, 89mto 196 . . . . 5 Β¬ 0 ∈ ran (β„‚ D (exp β†Ύ (log β€œ 𝐷)))
9190a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ Β¬ 0 ∈ ran (β„‚ D (exp β†Ύ (log β€œ 𝐷))))
921, 3, 5, 8, 42, 58, 76, 91dvcnv 25494 . . 3 (⊀ β†’ (β„‚ D β—‘(exp β†Ύ (log β€œ 𝐷))) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (1 / ((β„‚ D (exp β†Ύ (log β€œ 𝐷)))β€˜(β—‘(exp β†Ύ (log β€œ 𝐷))β€˜π‘₯)))))
9392mptru 1549 . 2 (β„‚ D β—‘(exp β†Ύ (log β€œ 𝐷))) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (1 / ((β„‚ D (exp β†Ύ (log β€œ 𝐷)))β€˜(β—‘(exp β†Ύ (log β€œ 𝐷))β€˜π‘₯))))
9447oveq2i 7420 . 2 (β„‚ D β—‘(exp β†Ύ (log β€œ 𝐷))) = (β„‚ D (log β†Ύ 𝐷))
9568fveq1i 6893 . . . . 5 ((β„‚ D (exp β†Ύ (log β€œ 𝐷)))β€˜(β—‘(exp β†Ύ (log β€œ 𝐷))β€˜π‘₯)) = ((exp β†Ύ (log β€œ 𝐷))β€˜(β—‘(exp β†Ύ (log β€œ 𝐷))β€˜π‘₯))
96 f1ocnvfv2 7275 . . . . . 6 (((exp β†Ύ (log β€œ 𝐷)):(log β€œ 𝐷)–1-1-onto→𝐷 ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((exp β†Ύ (log β€œ 𝐷))β€˜(β—‘(exp β†Ύ (log β€œ 𝐷))β€˜π‘₯)) = π‘₯)
9741, 96mpan 689 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ ((exp β†Ύ (log β€œ 𝐷))β€˜(β—‘(exp β†Ύ (log β€œ 𝐷))β€˜π‘₯)) = π‘₯)
9895, 97eqtrid 2785 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ ((β„‚ D (exp β†Ύ (log β€œ 𝐷)))β€˜(β—‘(exp β†Ύ (log β€œ 𝐷))β€˜π‘₯)) = π‘₯)
9998oveq2d 7425 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ (1 / ((β„‚ D (exp β†Ύ (log β€œ 𝐷)))β€˜(β—‘(exp β†Ύ (log β€œ 𝐷))β€˜π‘₯))) = (1 / π‘₯))
10099mpteq2ia 5252 . 2 (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (1 / ((β„‚ D (exp β†Ύ (log β€œ 𝐷)))β€˜(β—‘(exp β†Ύ (log β€œ 𝐷))β€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (1 / π‘₯))
10193, 94, 1003eqtr3i 2769 1 (β„‚ D (log β†Ύ 𝐷)) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (1 / π‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  βŠ€wtru 1543   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   βˆ– cdif 3946   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  {csn 4629  {cpr 4631   ↦ cmpt 5232  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679   β€œ cima 5680  Rel wrel 5682  Fun wfun 6538  βŸΆwf 6540  β€“1-1β†’wf1 6541  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111  -∞cmnf 11246  -cneg 11445   / cdiv 11871  (,]cioc 13325  β„‘cim 15045  expce 16005  Ο€cpi 16010  TopOpenctopn 17367  β„‚fldccnfld 20944  Topctop 22395  intcnt 22521  β€“cnβ†’ccncf 24392   D cdv 25380  logclog 26063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-tan 16015  df-pi 16016  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-log 26065
This theorem is referenced by:  dvlog2  26161  dvcncxp1  26251  dvatan  26440  lgamgulmlem2  26534  dvasin  36572
  Copyright terms: Public domain W3C validator