MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvlog Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvlog 26151
Description: The derivative of the complex logarithm function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
logcn.d 𝐷 = (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))
Assertion
Ref Expression
dvlog (β„‚ D (log β†Ύ 𝐷)) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (1 / π‘₯))
Distinct variable group:   π‘₯,𝐷
Proof of Theorem dvlog
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . 4 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
21cnfldtopon 24291 . . . . 5 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
32toponrestid 22415 . . . 4 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚)
4 cnelprrecn 11200 . . . . 5 β„‚ ∈ {ℝ, β„‚}
54a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ β„‚ ∈ {ℝ, β„‚})
6 logcn.d . . . . . 6 𝐷 = (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))
76logdmopn 26149 . . . . 5 𝐷 ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld)
87a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ 𝐷 ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld))
9 logf1o 26065 . . . . . . . . 9 log:(β„‚ βˆ– {0})–1-1-ontoβ†’ran log
10 f1of1 6830 . . . . . . . . 9 (log:(β„‚ βˆ– {0})–1-1-ontoβ†’ran log β†’ log:(β„‚ βˆ– {0})–1-1β†’ran log)
119, 10ax-mp 5 . . . . . . . 8 log:(β„‚ βˆ– {0})–1-1β†’ran log
126logdmss 26142 . . . . . . . 8 𝐷 βŠ† (β„‚ βˆ– {0})
13 f1ores 6845 . . . . . . . 8 ((log:(β„‚ βˆ– {0})–1-1β†’ran log ∧ 𝐷 βŠ† (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (log β†Ύ 𝐷):𝐷–1-1-ontoβ†’(log β€œ 𝐷))
1411, 12, 13mp2an 691 . . . . . . 7 (log β†Ύ 𝐷):𝐷–1-1-ontoβ†’(log β€œ 𝐷)
15 f1ocnv 6843 . . . . . . 7 ((log β†Ύ 𝐷):𝐷–1-1-ontoβ†’(log β€œ 𝐷) β†’ β—‘(log β†Ύ 𝐷):(log β€œ 𝐷)–1-1-onto→𝐷)
1614, 15ax-mp 5 . . . . . 6 β—‘(log β†Ύ 𝐷):(log β€œ 𝐷)–1-1-onto→𝐷
17 df-log 26057 . . . . . . . . . . 11 log = β—‘(exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€)))
1817reseq1i 5976 . . . . . . . . . 10 (log β†Ύ 𝐷) = (β—‘(exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))) β†Ύ 𝐷)
1918cnveqi 5873 . . . . . . . . 9 β—‘(log β†Ύ 𝐷) = β—‘(β—‘(exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))) β†Ύ 𝐷)
20 eff 16022 . . . . . . . . . . 11 exp:β„‚βŸΆβ„‚
21 cnvimass 6078 . . . . . . . . . . . 12 (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€)) βŠ† dom β„‘
22 imf 15057 . . . . . . . . . . . . 13 β„‘:β„‚βŸΆβ„
2322fdmi 6727 . . . . . . . . . . . 12 dom β„‘ = β„‚
2421, 23sseqtri 4018 . . . . . . . . . . 11 (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€)) βŠ† β„‚
25 fssres 6755 . . . . . . . . . . 11 ((exp:β„‚βŸΆβ„‚ ∧ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€)) βŠ† β„‚) β†’ (exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))):(β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))βŸΆβ„‚)
2620, 24, 25mp2an 691 . . . . . . . . . 10 (exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))):(β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))βŸΆβ„‚
27 ffun 6718 . . . . . . . . . 10 ((exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))):(β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))βŸΆβ„‚ β†’ Fun (exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))))
28 funcnvres2 6626 . . . . . . . . . 10 (Fun (exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))) β†’ β—‘(β—‘(exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))) β†Ύ 𝐷) = ((exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))) β†Ύ (β—‘(exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))) β€œ 𝐷)))
2926, 27, 28mp2b 10 . . . . . . . . 9 β—‘(β—‘(exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))) β†Ύ 𝐷) = ((exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))) β†Ύ (β—‘(exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))) β€œ 𝐷))
30 cnvimass 6078 . . . . . . . . . . 11 (β—‘(exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))) β€œ 𝐷) βŠ† dom (exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€)))
3126fdmi 6727 . . . . . . . . . . 11 dom (exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))) = (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))
3230, 31sseqtri 4018 . . . . . . . . . 10 (β—‘(exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))) β€œ 𝐷) βŠ† (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))
33 resabs1 6010 . . . . . . . . . 10 ((β—‘(exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))) β€œ 𝐷) βŠ† (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€)) β†’ ((exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))) β†Ύ (β—‘(exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))) β€œ 𝐷)) = (exp β†Ύ (β—‘(exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))) β€œ 𝐷)))
3432, 33ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))) β†Ύ (β—‘(exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))) β€œ 𝐷)) = (exp β†Ύ (β—‘(exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))) β€œ 𝐷))
3519, 29, 343eqtri 2765 . . . . . . . 8 β—‘(log β†Ύ 𝐷) = (exp β†Ύ (β—‘(exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))) β€œ 𝐷))
3617imaeq1i 6055 . . . . . . . . 9 (log β€œ 𝐷) = (β—‘(exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))) β€œ 𝐷)
3736reseq2i 5977 . . . . . . . 8 (exp β†Ύ (log β€œ 𝐷)) = (exp β†Ύ (β—‘(exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))) β€œ 𝐷))
3835, 37eqtr4i 2764 . . . . . . 7 β—‘(log β†Ύ 𝐷) = (exp β†Ύ (log β€œ 𝐷))
39 f1oeq1 6819 . . . . . . 7 (β—‘(log β†Ύ 𝐷) = (exp β†Ύ (log β€œ 𝐷)) β†’ (β—‘(log β†Ύ 𝐷):(log β€œ 𝐷)–1-1-onto→𝐷 ↔ (exp β†Ύ (log β€œ 𝐷)):(log β€œ 𝐷)–1-1-onto→𝐷))
4038, 39ax-mp 5 . . . . . 6 (β—‘(log β†Ύ 𝐷):(log β€œ 𝐷)–1-1-onto→𝐷 ↔ (exp β†Ύ (log β€œ 𝐷)):(log β€œ 𝐷)–1-1-onto→𝐷)
4116, 40mpbi 229 . . . . 5 (exp β†Ύ (log β€œ 𝐷)):(log β€œ 𝐷)–1-1-onto→𝐷
4241a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ (exp β†Ύ (log β€œ 𝐷)):(log β€œ 𝐷)–1-1-onto→𝐷)
4338cnveqi 5873 . . . . . 6 β—‘β—‘(log β†Ύ 𝐷) = β—‘(exp β†Ύ (log β€œ 𝐷))
44 relres 6009 . . . . . . 7 Rel (log β†Ύ 𝐷)
45 dfrel2 6186 . . . . . . 7 (Rel (log β†Ύ 𝐷) ↔ β—‘β—‘(log β†Ύ 𝐷) = (log β†Ύ 𝐷))
4644, 45mpbi 229 . . . . . 6 β—‘β—‘(log β†Ύ 𝐷) = (log β†Ύ 𝐷)
4743, 46eqtr3i 2763 . . . . 5 β—‘(exp β†Ύ (log β€œ 𝐷)) = (log β†Ύ 𝐷)
48 f1of 6831 . . . . . . 7 ((log β†Ύ 𝐷):𝐷–1-1-ontoβ†’(log β€œ 𝐷) β†’ (log β†Ύ 𝐷):𝐷⟢(log β€œ 𝐷))
4914, 48mp1i 13 . . . . . 6 (⊀ β†’ (log β†Ύ 𝐷):𝐷⟢(log β€œ 𝐷))
50 imassrn 6069 . . . . . . . 8 (log β€œ 𝐷) βŠ† ran log
51 logrncn 26063 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ran log β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
5251ssriv 3986 . . . . . . . 8 ran log βŠ† β„‚
5350, 52sstri 3991 . . . . . . 7 (log β€œ 𝐷) βŠ† β„‚
546logcn 26147 . . . . . . 7 (log β†Ύ 𝐷) ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚)
55 cncfcdm 24406 . . . . . . 7 (((log β€œ 𝐷) βŠ† β„‚ ∧ (log β†Ύ 𝐷) ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚)) β†’ ((log β†Ύ 𝐷) ∈ (𝐷–cnβ†’(log β€œ 𝐷)) ↔ (log β†Ύ 𝐷):𝐷⟢(log β€œ 𝐷)))
5653, 54, 55mp2an 691 . . . . . 6 ((log β†Ύ 𝐷) ∈ (𝐷–cnβ†’(log β€œ 𝐷)) ↔ (log β†Ύ 𝐷):𝐷⟢(log β€œ 𝐷))
5749, 56sylibr 233 . . . . 5 (⊀ β†’ (log β†Ύ 𝐷) ∈ (𝐷–cnβ†’(log β€œ 𝐷)))
5847, 57eqeltrid 2838 . . . 4 (⊀ β†’ β—‘(exp β†Ύ (log β€œ 𝐷)) ∈ (𝐷–cnβ†’(log β€œ 𝐷)))
59 ssid 4004 . . . . . . . . 9 β„‚ βŠ† β„‚
601, 3dvres 25420 . . . . . . . . 9 (((β„‚ βŠ† β„‚ ∧ exp:β„‚βŸΆβ„‚) ∧ (β„‚ βŠ† β„‚ ∧ (log β€œ 𝐷) βŠ† β„‚)) β†’ (β„‚ D (exp β†Ύ (log β€œ 𝐷))) = ((β„‚ D exp) β†Ύ ((intβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(log β€œ 𝐷))))
6159, 20, 59, 53, 60mp4an 692 . . . . . . . 8 (β„‚ D (exp β†Ύ (log β€œ 𝐷))) = ((β„‚ D exp) β†Ύ ((intβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(log β€œ 𝐷)))
62 dvef 25489 . . . . . . . . 9 (β„‚ D exp) = exp
631cnfldtop 24292 . . . . . . . . . 10 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top
646dvloglem 26148 . . . . . . . . . 10 (log β€œ 𝐷) ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld)
65 isopn3i 22578 . . . . . . . . . 10 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top ∧ (log β€œ 𝐷) ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld)) β†’ ((intβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(log β€œ 𝐷)) = (log β€œ 𝐷))
6663, 64, 65mp2an 691 . . . . . . . . 9 ((intβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(log β€œ 𝐷)) = (log β€œ 𝐷)
6762, 66reseq12i 5978 . . . . . . . 8 ((β„‚ D exp) β†Ύ ((intβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(log β€œ 𝐷))) = (exp β†Ύ (log β€œ 𝐷))
6861, 67eqtri 2761 . . . . . . 7 (β„‚ D (exp β†Ύ (log β€œ 𝐷))) = (exp β†Ύ (log β€œ 𝐷))
6968dmeqi 5903 . . . . . 6 dom (β„‚ D (exp β†Ύ (log β€œ 𝐷))) = dom (exp β†Ύ (log β€œ 𝐷))
70 dmres 6002 . . . . . 6 dom (exp β†Ύ (log β€œ 𝐷)) = ((log β€œ 𝐷) ∩ dom exp)
7120fdmi 6727 . . . . . . . 8 dom exp = β„‚
7253, 71sseqtrri 4019 . . . . . . 7 (log β€œ 𝐷) βŠ† dom exp
73 df-ss 3965 . . . . . . 7 ((log β€œ 𝐷) βŠ† dom exp ↔ ((log β€œ 𝐷) ∩ dom exp) = (log β€œ 𝐷))
7472, 73mpbi 229 . . . . . 6 ((log β€œ 𝐷) ∩ dom exp) = (log β€œ 𝐷)
7569, 70, 743eqtri 2765 . . . . 5 dom (β„‚ D (exp β†Ύ (log β€œ 𝐷))) = (log β€œ 𝐷)
7675a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ dom (β„‚ D (exp β†Ύ (log β€œ 𝐷))) = (log β€œ 𝐷))
77 neirr 2950 . . . . . 6 Β¬ 0 β‰  0
78 resss 6005 . . . . . . . . . . . . 13 ((β„‚ D exp) β†Ύ ((intβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(log β€œ 𝐷))) βŠ† (β„‚ D exp)
7961, 78eqsstri 4016 . . . . . . . . . . . 12 (β„‚ D (exp β†Ύ (log β€œ 𝐷))) βŠ† (β„‚ D exp)
8079, 62sseqtri 4018 . . . . . . . . . . 11 (β„‚ D (exp β†Ύ (log β€œ 𝐷))) βŠ† exp
8180rnssi 5938 . . . . . . . . . 10 ran (β„‚ D (exp β†Ύ (log β€œ 𝐷))) βŠ† ran exp
82 eff2 16039 . . . . . . . . . . 11 exp:β„‚βŸΆ(β„‚ βˆ– {0})
83 frn 6722 . . . . . . . . . . 11 (exp:β„‚βŸΆ(β„‚ βˆ– {0}) β†’ ran exp βŠ† (β„‚ βˆ– {0}))
8482, 83ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ran exp βŠ† (β„‚ βˆ– {0})
8581, 84sstri 3991 . . . . . . . . 9 ran (β„‚ D (exp β†Ύ (log β€œ 𝐷))) βŠ† (β„‚ βˆ– {0})
8685sseli 3978 . . . . . . . 8 (0 ∈ ran (β„‚ D (exp β†Ύ (log β€œ 𝐷))) β†’ 0 ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
87 eldifsn 4790 . . . . . . . 8 (0 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↔ (0 ∈ β„‚ ∧ 0 β‰  0))
8886, 87sylib 217 . . . . . . 7 (0 ∈ ran (β„‚ D (exp β†Ύ (log β€œ 𝐷))) β†’ (0 ∈ β„‚ ∧ 0 β‰  0))
8988simprd 497 . . . . . 6 (0 ∈ ran (β„‚ D (exp β†Ύ (log β€œ 𝐷))) β†’ 0 β‰  0)
9077, 89mto 196 . . . . 5 Β¬ 0 ∈ ran (β„‚ D (exp β†Ύ (log β€œ 𝐷)))
9190a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ Β¬ 0 ∈ ran (β„‚ D (exp β†Ύ (log β€œ 𝐷))))
921, 3, 5, 8, 42, 58, 76, 91dvcnv 25486 . . 3 (⊀ β†’ (β„‚ D β—‘(exp β†Ύ (log β€œ 𝐷))) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (1 / ((β„‚ D (exp β†Ύ (log β€œ 𝐷)))β€˜(β—‘(exp β†Ύ (log β€œ 𝐷))β€˜π‘₯)))))
9392mptru 1549 . 2 (β„‚ D β—‘(exp β†Ύ (log β€œ 𝐷))) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (1 / ((β„‚ D (exp β†Ύ (log β€œ 𝐷)))β€˜(β—‘(exp β†Ύ (log β€œ 𝐷))β€˜π‘₯))))
9447oveq2i 7417 . 2 (β„‚ D β—‘(exp β†Ύ (log β€œ 𝐷))) = (β„‚ D (log β†Ύ 𝐷))
9568fveq1i 6890 . . . . 5 ((β„‚ D (exp β†Ύ (log β€œ 𝐷)))β€˜(β—‘(exp β†Ύ (log β€œ 𝐷))β€˜π‘₯)) = ((exp β†Ύ (log β€œ 𝐷))β€˜(β—‘(exp β†Ύ (log β€œ 𝐷))β€˜π‘₯))
96 f1ocnvfv2 7272 . . . . . 6 (((exp β†Ύ (log β€œ 𝐷)):(log β€œ 𝐷)–1-1-onto→𝐷 ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((exp β†Ύ (log β€œ 𝐷))β€˜(β—‘(exp β†Ύ (log β€œ 𝐷))β€˜π‘₯)) = π‘₯)
9741, 96mpan 689 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ ((exp β†Ύ (log β€œ 𝐷))β€˜(β—‘(exp β†Ύ (log β€œ 𝐷))β€˜π‘₯)) = π‘₯)
9895, 97eqtrid 2785 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ ((β„‚ D (exp β†Ύ (log β€œ 𝐷)))β€˜(β—‘(exp β†Ύ (log β€œ 𝐷))β€˜π‘₯)) = π‘₯)
9998oveq2d 7422 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ (1 / ((β„‚ D (exp β†Ύ (log β€œ 𝐷)))β€˜(β—‘(exp β†Ύ (log β€œ 𝐷))β€˜π‘₯))) = (1 / π‘₯))
10099mpteq2ia 5251 . 2 (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (1 / ((β„‚ D (exp β†Ύ (log β€œ 𝐷)))β€˜(β—‘(exp β†Ύ (log β€œ 𝐷))β€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (1 / π‘₯))
10193, 94, 1003eqtr3i 2769 1 (β„‚ D (log β†Ύ 𝐷)) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (1 / π‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  βŠ€wtru 1543   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   βˆ– cdif 3945   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  {csn 4628  {cpr 4630   ↦ cmpt 5231  β—‘ccnv 5675  dom cdm 5676  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678   β€œ cima 5679  Rel wrel 5681  Fun wfun 6535  βŸΆwf 6537  β€“1-1β†’wf1 6538  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6540  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  β„‚cc 11105  β„cr 11106  0cc0 11107  1c1 11108  -∞cmnf 11243  -cneg 11442   / cdiv 11868  (,]cioc 13322  β„‘cim 15042  expce 16002  Ο€cpi 16007  TopOpenctopn 17364  β„‚fldccnfld 20937  Topctop 22387  intcnt 22513  β€“cnβ†’ccncf 24384   D cdv 25372  logclog 26055
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-ioc 13326  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-shft 15011  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-limsup 15412  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-sum 15630  df-ef 16008  df-sin 16010  df-cos 16011  df-tan 16012  df-pi 16013  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-hom 17218  df-cco 17219  df-rest 17365  df-topn 17366  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-topgen 17386  df-pt 17387  df-prds 17390  df-xrs 17445  df-qtop 17450  df-imas 17451  df-xps 17453  df-mre 17527  df-mrc 17528  df-acs 17530  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-submnd 18669  df-mulg 18946  df-cntz 19176  df-cmn 19645  df-psmet 20929  df-xmet 20930  df-met 20931  df-bl 20932  df-mopn 20933  df-fbas 20934  df-fg 20935  df-cnfld 20938  df-top 22388  df-topon 22405  df-topsp 22427  df-bases 22441  df-cld 22515  df-ntr 22516  df-cls 22517  df-nei 22594  df-lp 22632  df-perf 22633  df-cn 22723  df-cnp 22724  df-haus 22811  df-cmp 22883  df-tx 23058  df-hmeo 23251  df-fil 23342  df-fm 23434  df-flim 23435  df-flf 23436  df-xms 23818  df-ms 23819  df-tms 23820  df-cncf 24386  df-limc 25375  df-dv 25376  df-log 26057
This theorem is referenced by:  dvlog2  26153  dvcncxp1  26241  dvatan  26430  lgamgulmlem2  26524  dvasin  36561
  Copyright terms: Public domain W3C validator