Theorem funcnvres 6616

Description: The converse of a restricted function. (Contributed by NM, 27-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
funcnvres	⊢ (Fun ◡𝐹 → ◡(𝐹 ↾ 𝐴) = (◡𝐹 ↾ (𝐹 “ 𝐴)))

Proof of Theorem funcnvres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ima 5679	. . . 4 ⊢ (𝐹 “ 𝐴) = ran (𝐹 ↾ 𝐴)
2		df-rn 5677	. . . 4 ⊢ ran (𝐹 ↾ 𝐴) = dom ◡(𝐹 ↾ 𝐴)
3	1, 2	eqtri 2752	. . 3 ⊢ (𝐹 “ 𝐴) = dom ◡(𝐹 ↾ 𝐴)
4	3	reseq2i 5968	. 2 ⊢ (◡𝐹 ↾ (𝐹 “ 𝐴)) = (◡𝐹 ↾ dom ◡(𝐹 ↾ 𝐴))
5		resss 5996	. . . 4 ⊢ (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ 𝐹
6		cnvss 5862	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ 𝐹 → ◡(𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ ◡𝐹)
7	5, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ◡(𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ ◡𝐹
8		funssres 6582	. . 3 ⊢ ((Fun ◡𝐹 ∧ ◡(𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ ◡𝐹) → (◡𝐹 ↾ dom ◡(𝐹 ↾ 𝐴)) = ◡(𝐹 ↾ 𝐴))
9	7, 8	mpan2 688	. 2 ⊢ (Fun ◡𝐹 → (◡𝐹 ↾ dom ◡(𝐹 ↾ 𝐴)) = ◡(𝐹 ↾ 𝐴))
10	4, 9	eqtr2id 2777	1 ⊢ (Fun ◡𝐹 → ◡(𝐹 ↾ 𝐴) = (◡𝐹 ↾ (𝐹 “ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ⊆ wss 3940  ^◡ccnv 5665  dom cdm 5666  ran crn 5667   ↾ cres 5668   “ cima 5669  Fun wfun 6527

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pr 5417

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-br 5139  df-opab 5201  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-fun 6535

This theorem is referenced by:  cnvresid  6617  funcnvres2  6618  f1orescnv  6838  f1imacnv  6839  sbthlem4  9081  fpwwe2lem5  10625  fpwwe2lem8  10628  hmeores  23596  dvcnvrelem2  25872  dfrelog  26415  efopnlem2  26506  diophrw  41952