MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcnvres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funcnvres 6646
Description: The converse of a restricted function. (Contributed by NM, 27-Mar-1998.)
Assertion
Ref Expression
funcnvres (Fun 𝐹(𝐹𝐴) = (𝐹 ↾ (𝐹𝐴)))

Proof of Theorem funcnvres
StepHypRef Expression
1 df-ima 5702 . . . 4 (𝐹𝐴) = ran (𝐹𝐴)
2 df-rn 5700 . . . 4 ran (𝐹𝐴) = dom (𝐹𝐴)
31, 2eqtri 2763 . . 3 (𝐹𝐴) = dom (𝐹𝐴)
43reseq2i 5997 . 2 (𝐹 ↾ (𝐹𝐴)) = (𝐹 ↾ dom (𝐹𝐴))
5 resss 6022 . . . 4 (𝐹𝐴) ⊆ 𝐹
6 cnvss 5886 . . . 4 ((𝐹𝐴) ⊆ 𝐹(𝐹𝐴) ⊆ 𝐹)
75, 6ax-mp 5 . . 3 (𝐹𝐴) ⊆ 𝐹
8 funssres 6612 . . 3 ((Fun 𝐹(𝐹𝐴) ⊆ 𝐹) → (𝐹 ↾ dom (𝐹𝐴)) = (𝐹𝐴))
97, 8mpan2 691 . 2 (Fun 𝐹 → (𝐹 ↾ dom (𝐹𝐴)) = (𝐹𝐴))
104, 9eqtr2id 2788 1 (Fun 𝐹(𝐹𝐴) = (𝐹 ↾ (𝐹𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wss 3963  ccnv 5688  dom cdm 5689  ran crn 5690  cres 5691  cima 5692  Fun wfun 6557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-fun 6565
This theorem is referenced by:  cnvresid  6647  funcnvres2  6648  f1orescnv  6864  f1imacnv  6865  sbthlem4  9125  fpwwe2lem5  10673  fpwwe2lem8  10676  hmeores  23795  dvcnvrelem2  26072  dfrelog  26622  efopnlem2  26714  diophrw  42747
  Copyright terms: Public domain W3C validator