MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcnvres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funcnvres 6405
Description: The converse of a restricted function. (Contributed by NM, 27-Mar-1998.)
Assertion
Ref Expression
funcnvres (Fun 𝐹(𝐹𝐴) = (𝐹 ↾ (𝐹𝐴)))

Proof of Theorem funcnvres
StepHypRef Expression
1 df-ima 5541 . . . 4 (𝐹𝐴) = ran (𝐹𝐴)
2 df-rn 5539 . . . 4 ran (𝐹𝐴) = dom (𝐹𝐴)
31, 2eqtri 2844 . . 3 (𝐹𝐴) = dom (𝐹𝐴)
43reseq2i 5823 . 2 (𝐹 ↾ (𝐹𝐴)) = (𝐹 ↾ dom (𝐹𝐴))
5 resss 5851 . . . 4 (𝐹𝐴) ⊆ 𝐹
6 cnvss 5716 . . . 4 ((𝐹𝐴) ⊆ 𝐹(𝐹𝐴) ⊆ 𝐹)
75, 6ax-mp 5 . . 3 (𝐹𝐴) ⊆ 𝐹
8 funssres 6371 . . 3 ((Fun 𝐹(𝐹𝐴) ⊆ 𝐹) → (𝐹 ↾ dom (𝐹𝐴)) = (𝐹𝐴))
97, 8mpan2 690 . 2 (Fun 𝐹 → (𝐹 ↾ dom (𝐹𝐴)) = (𝐹𝐴))
104, 9syl5req 2869 1 (Fun 𝐹(𝐹𝐴) = (𝐹 ↾ (𝐹𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wss 3910  ccnv 5527  dom cdm 5528  ran crn 5529  cres 5530  cima 5531  Fun wfun 6322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pr 5303
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ral 3131  df-rex 3132  df-rab 3135  df-v 3473  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4267  df-if 4441  df-sn 4541  df-pr 4543  df-op 4547  df-br 5040  df-opab 5102  df-id 5433  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-fun 6330
This theorem is referenced by:  cnvresid  6406  funcnvres2  6407  f1orescnv  6603  f1imacnv  6604  sbthlem4  8606  fpwwe2lem6  10034  fpwwe2lem9  10037  hmeores  22355  dvcnvrelem2  24600  dfrelog  25136  efopnlem2  25227  diophrw  39511
  Copyright terms: Public domain W3C validator