Theorem funcnvres 6402

Description: The converse of a restricted function. (Contributed by NM, 27-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
funcnvres	⊢ (Fun ◡𝐹 → ◡(𝐹 ↾ 𝐴) = (◡𝐹 ↾ (𝐹 “ 𝐴)))

Proof of Theorem funcnvres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ima 5532	. . . 4 ⊢ (𝐹 “ 𝐴) = ran (𝐹 ↾ 𝐴)
2		df-rn 5530	. . . 4 ⊢ ran (𝐹 ↾ 𝐴) = dom ◡(𝐹 ↾ 𝐴)
3	1, 2	eqtri 2821	. . 3 ⊢ (𝐹 “ 𝐴) = dom ◡(𝐹 ↾ 𝐴)
4	3	reseq2i 5815	. 2 ⊢ (◡𝐹 ↾ (𝐹 “ 𝐴)) = (◡𝐹 ↾ dom ◡(𝐹 ↾ 𝐴))
5		resss 5843	. . . 4 ⊢ (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ 𝐹
6		cnvss 5707	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ 𝐹 → ◡(𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ ◡𝐹)
7	5, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ◡(𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ ◡𝐹
8		funssres 6368	. . 3 ⊢ ((Fun ◡𝐹 ∧ ◡(𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ ◡𝐹) → (◡𝐹 ↾ dom ◡(𝐹 ↾ 𝐴)) = ◡(𝐹 ↾ 𝐴))
9	7, 8	mpan2 690	. 2 ⊢ (Fun ◡𝐹 → (◡𝐹 ↾ dom ◡(𝐹 ↾ 𝐴)) = ◡(𝐹 ↾ 𝐴))
10	4, 9	syl5req 2846	1 ⊢ (Fun ◡𝐹 → ◡(𝐹 ↾ 𝐴) = (◡𝐹 ↾ (𝐹 “ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ⊆ wss 3881  ^◡ccnv 5518  dom cdm 5519  ran crn 5520   ↾ cres 5521   “ cima 5522  Fun wfun 6318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-br 5031  df-opab 5093  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-fun 6326

This theorem is referenced by:  cnvresid  6403  funcnvres2  6404  f1orescnv  6605  f1imacnv  6606  sbthlem4  8614  fpwwe2lem6  10046  fpwwe2lem9  10049  hmeores  22376  dvcnvrelem2  24621  dfrelog  25157  efopnlem2  25248  diophrw  39700