Theorem funcnvres 6621

Description: The converse of a restricted function. (Contributed by NM, 27-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
funcnvres	⊢ (Fun ◡𝐹 → ◡(𝐹 ↾ 𝐴) = (◡𝐹 ↾ (𝐹 “ 𝐴)))

Proof of Theorem funcnvres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ima 5679	. . . 4 ⊢ (𝐹 “ 𝐴) = ran (𝐹 ↾ 𝐴)
2		df-rn 5677	. . . 4 ⊢ ran (𝐹 ↾ 𝐴) = dom ◡(𝐹 ↾ 𝐴)
3	1, 2	eqtri 2789	. . 3 ⊢ (𝐹 “ 𝐴) = dom ◡(𝐹 ↾ 𝐴)
4	3	reseq2i 5980	. 2 ⊢ (◡𝐹 ↾ (𝐹 “ 𝐴)) = (◡𝐹 ↾ dom ◡(𝐹 ↾ 𝐴))
5		resss 6005	. . . 4 ⊢ (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ 𝐹
6		cnvss 5863	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ 𝐹 → ◡(𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ ◡𝐹)
7	5, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ◡(𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ ◡𝐹
8		funssres 6587	. . 3 ⊢ ((Fun ◡𝐹 ∧ ◡(𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ ◡𝐹) → (◡𝐹 ↾ dom ◡(𝐹 ↾ 𝐴)) = ◡(𝐹 ↾ 𝐴))
9	7, 8	mpan2 704	. 2 ⊢ (Fun ◡𝐹 → (◡𝐹 ↾ dom ◡(𝐹 ↾ 𝐴)) = ◡(𝐹 ↾ 𝐴))
10	4, 9	eqtr2id 2814	1 ⊢ (Fun ◡𝐹 → ◡(𝐹 ↾ 𝐴) = (◡𝐹 ↾ (𝐹 “ 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ⊆ wss 3908  ^◡ccnv 5665  dom cdm 5666  ran crn 5667   ↾ cres 5668   “ cima 5669  Fun wfun 6537

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-pr 5409

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-br 5115  df-opab 5179  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-fun 6545

This theorem is used by:  cnvresid  6622  funcnvres2  6623  f1orescnv  6843  f1imacnv  6844  sbthlem4  9088  fpwwe2lem5  10638  fpwwe2lem8  10641  hmeores  23965  dvcnvrelem2  26214  dfrelog  26767  efopnlem2  26859  diophrw  43531