MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unbenlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unbenlem 16785
Description: Lemma for unben 16786. (Contributed by NM, 5-May-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
unbenlem.1 𝐺 = (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 1) β†Ύ Ο‰)
Assertion
Ref Expression
unbenlem ((𝐴 βŠ† β„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 π‘š < 𝑛) β†’ 𝐴 β‰ˆ Ο‰)
Distinct variable groups:   π‘š,𝑛,𝐴   π‘š,𝐺,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯)   𝐺(π‘₯)

Proof of Theorem unbenlem
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnex 12164 . . . . 5 β„• ∈ V
21ssex 5279 . . . 4 (𝐴 βŠ† β„• β†’ 𝐴 ∈ V)
3 1z 12538 . . . . . . . 8 1 ∈ β„€
4 unbenlem.1 . . . . . . . 8 𝐺 = (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 1) β†Ύ Ο‰)
53, 4om2uzf1oi 13864 . . . . . . 7 𝐺:ω–1-1-ontoβ†’(β„€β‰₯β€˜1)
6 nnuz 12811 . . . . . . . 8 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
7 f1oeq3 6775 . . . . . . . 8 (β„• = (β„€β‰₯β€˜1) β†’ (𝐺:ω–1-1-ontoβ†’β„• ↔ 𝐺:ω–1-1-ontoβ†’(β„€β‰₯β€˜1)))
86, 7ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝐺:ω–1-1-ontoβ†’β„• ↔ 𝐺:ω–1-1-ontoβ†’(β„€β‰₯β€˜1))
95, 8mpbir 230 . . . . . 6 𝐺:ω–1-1-ontoβ†’β„•
10 f1ocnv 6797 . . . . . 6 (𝐺:ω–1-1-ontoβ†’β„• β†’ ◑𝐺:ℕ–1-1-ontoβ†’Ο‰)
11 f1of1 6784 . . . . . 6 (◑𝐺:ℕ–1-1-ontoβ†’Ο‰ β†’ ◑𝐺:ℕ–1-1β†’Ο‰)
129, 10, 11mp2b 10 . . . . 5 ◑𝐺:ℕ–1-1β†’Ο‰
13 f1ores 6799 . . . . 5 ((◑𝐺:ℕ–1-1β†’Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† β„•) β†’ (◑𝐺 β†Ύ 𝐴):𝐴–1-1-ontoβ†’(◑𝐺 β€œ 𝐴))
1412, 13mpan 689 . . . 4 (𝐴 βŠ† β„• β†’ (◑𝐺 β†Ύ 𝐴):𝐴–1-1-ontoβ†’(◑𝐺 β€œ 𝐴))
15 f1oeng 8914 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ (◑𝐺 β†Ύ 𝐴):𝐴–1-1-ontoβ†’(◑𝐺 β€œ 𝐴)) β†’ 𝐴 β‰ˆ (◑𝐺 β€œ 𝐴))
162, 14, 15syl2anc 585 . . 3 (𝐴 βŠ† β„• β†’ 𝐴 β‰ˆ (◑𝐺 β€œ 𝐴))
1716adantr 482 . 2 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 π‘š < 𝑛) β†’ 𝐴 β‰ˆ (◑𝐺 β€œ 𝐴))
18 imassrn 6025 . . . 4 (◑𝐺 β€œ 𝐴) βŠ† ran ◑𝐺
19 dfdm4 5852 . . . . 5 dom 𝐺 = ran ◑𝐺
20 f1of 6785 . . . . . . 7 (𝐺:ω–1-1-ontoβ†’β„• β†’ 𝐺:Ο‰βŸΆβ„•)
219, 20ax-mp 5 . . . . . 6 𝐺:Ο‰βŸΆβ„•
2221fdmi 6681 . . . . 5 dom 𝐺 = Ο‰
2319, 22eqtr3i 2763 . . . 4 ran ◑𝐺 = Ο‰
2418, 23sseqtri 3981 . . 3 (◑𝐺 β€œ 𝐴) βŠ† Ο‰
253, 4om2uzuzi 13860 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ Ο‰ β†’ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
2625, 6eleqtrrdi 2845 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ Ο‰ β†’ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ β„•)
27 breq1 5109 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š = (πΊβ€˜π‘¦) β†’ (π‘š < 𝑛 ↔ (πΊβ€˜π‘¦) < 𝑛))
2827rexbidv 3172 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = (πΊβ€˜π‘¦) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 π‘š < 𝑛 ↔ βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 (πΊβ€˜π‘¦) < 𝑛))
2928rspcv 3576 . . . . . . . . . 10 ((πΊβ€˜π‘¦) ∈ β„• β†’ (βˆ€π‘š ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 π‘š < 𝑛 β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 (πΊβ€˜π‘¦) < 𝑛))
3026, 29syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ Ο‰ β†’ (βˆ€π‘š ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 π‘š < 𝑛 β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 (πΊβ€˜π‘¦) < 𝑛))
3130adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† β„•) β†’ (βˆ€π‘š ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 π‘š < 𝑛 β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 (πΊβ€˜π‘¦) < 𝑛))
32 f1ocnv 6797 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((◑𝐺 β†Ύ 𝐴):𝐴–1-1-ontoβ†’(◑𝐺 β€œ 𝐴) β†’ β—‘(◑𝐺 β†Ύ 𝐴):(◑𝐺 β€œ 𝐴)–1-1-onto→𝐴)
3314, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 βŠ† β„• β†’ β—‘(◑𝐺 β†Ύ 𝐴):(◑𝐺 β€œ 𝐴)–1-1-onto→𝐴)
34 f1ofun 6787 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐺:ω–1-1-ontoβ†’β„• β†’ Fun 𝐺)
359, 34ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Fun 𝐺
36 funcnvres2 6582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Fun 𝐺 β†’ β—‘(◑𝐺 β†Ύ 𝐴) = (𝐺 β†Ύ (◑𝐺 β€œ 𝐴)))
37 f1oeq1 6773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (β—‘(◑𝐺 β†Ύ 𝐴) = (𝐺 β†Ύ (◑𝐺 β€œ 𝐴)) β†’ (β—‘(◑𝐺 β†Ύ 𝐴):(◑𝐺 β€œ 𝐴)–1-1-onto→𝐴 ↔ (𝐺 β†Ύ (◑𝐺 β€œ 𝐴)):(◑𝐺 β€œ 𝐴)–1-1-onto→𝐴))
3835, 36, 37mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (β—‘(◑𝐺 β†Ύ 𝐴):(◑𝐺 β€œ 𝐴)–1-1-onto→𝐴 ↔ (𝐺 β†Ύ (◑𝐺 β€œ 𝐴)):(◑𝐺 β€œ 𝐴)–1-1-onto→𝐴)
3933, 38sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 βŠ† β„• β†’ (𝐺 β†Ύ (◑𝐺 β€œ 𝐴)):(◑𝐺 β€œ 𝐴)–1-1-onto→𝐴)
40 f1ofo 6792 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐺 β†Ύ (◑𝐺 β€œ 𝐴)):(◑𝐺 β€œ 𝐴)–1-1-onto→𝐴 β†’ (𝐺 β†Ύ (◑𝐺 β€œ 𝐴)):(◑𝐺 β€œ 𝐴)–onto→𝐴)
41 forn 6760 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐺 β†Ύ (◑𝐺 β€œ 𝐴)):(◑𝐺 β€œ 𝐴)–onto→𝐴 β†’ ran (𝐺 β†Ύ (◑𝐺 β€œ 𝐴)) = 𝐴)
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺 β†Ύ (◑𝐺 β€œ 𝐴)):(◑𝐺 β€œ 𝐴)–1-1-onto→𝐴 β†’ ran (𝐺 β†Ύ (◑𝐺 β€œ 𝐴)) = 𝐴)
4342eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 β†Ύ (◑𝐺 β€œ 𝐴)):(◑𝐺 β€œ 𝐴)–1-1-onto→𝐴 β†’ (𝑛 ∈ ran (𝐺 β†Ύ (◑𝐺 β€œ 𝐴)) ↔ 𝑛 ∈ 𝐴))
44 f1ofn 6786 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺 β†Ύ (◑𝐺 β€œ 𝐴)):(◑𝐺 β€œ 𝐴)–1-1-onto→𝐴 β†’ (𝐺 β†Ύ (◑𝐺 β€œ 𝐴)) Fn (◑𝐺 β€œ 𝐴))
45 fvelrnb 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺 β†Ύ (◑𝐺 β€œ 𝐴)) Fn (◑𝐺 β€œ 𝐴) β†’ (𝑛 ∈ ran (𝐺 β†Ύ (◑𝐺 β€œ 𝐴)) ↔ βˆƒπ‘š ∈ (◑𝐺 β€œ 𝐴)((𝐺 β†Ύ (◑𝐺 β€œ 𝐴))β€˜π‘š) = 𝑛))
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 β†Ύ (◑𝐺 β€œ 𝐴)):(◑𝐺 β€œ 𝐴)–1-1-onto→𝐴 β†’ (𝑛 ∈ ran (𝐺 β†Ύ (◑𝐺 β€œ 𝐴)) ↔ βˆƒπ‘š ∈ (◑𝐺 β€œ 𝐴)((𝐺 β†Ύ (◑𝐺 β€œ 𝐴))β€˜π‘š) = 𝑛))
4743, 46bitr3d 281 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 β†Ύ (◑𝐺 β€œ 𝐴)):(◑𝐺 β€œ 𝐴)–1-1-onto→𝐴 β†’ (𝑛 ∈ 𝐴 ↔ βˆƒπ‘š ∈ (◑𝐺 β€œ 𝐴)((𝐺 β†Ύ (◑𝐺 β€œ 𝐴))β€˜π‘š) = 𝑛))
4839, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 βŠ† β„• β†’ (𝑛 ∈ 𝐴 ↔ βˆƒπ‘š ∈ (◑𝐺 β€œ 𝐴)((𝐺 β†Ύ (◑𝐺 β€œ 𝐴))β€˜π‘š) = 𝑛))
4948biimpa 478 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (◑𝐺 β€œ 𝐴)((𝐺 β†Ύ (◑𝐺 β€œ 𝐴))β€˜π‘š) = 𝑛)
50 fvres 6862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘š ∈ (◑𝐺 β€œ 𝐴) β†’ ((𝐺 β†Ύ (◑𝐺 β€œ 𝐴))β€˜π‘š) = (πΊβ€˜π‘š))
5150eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘š ∈ (◑𝐺 β€œ 𝐴) β†’ (((𝐺 β†Ύ (◑𝐺 β€œ 𝐴))β€˜π‘š) = 𝑛 ↔ (πΊβ€˜π‘š) = 𝑛))
5251biimpa 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘š ∈ (◑𝐺 β€œ 𝐴) ∧ ((𝐺 β†Ύ (◑𝐺 β€œ 𝐴))β€˜π‘š) = 𝑛) β†’ (πΊβ€˜π‘š) = 𝑛)
5352adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑦 ∈ Ο‰ ∧ π‘š ∈ (◑𝐺 β€œ 𝐴)) ∧ ((𝐺 β†Ύ (◑𝐺 β€œ 𝐴))β€˜π‘š) = 𝑛) β†’ (πΊβ€˜π‘š) = 𝑛)
5424sseli 3941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘š ∈ (◑𝐺 β€œ 𝐴) β†’ π‘š ∈ Ο‰)
553, 4om2uzlt2i 13862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ Ο‰ ∧ π‘š ∈ Ο‰) β†’ (𝑦 ∈ π‘š ↔ (πΊβ€˜π‘¦) < (πΊβ€˜π‘š)))
5654, 55sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ Ο‰ ∧ π‘š ∈ (◑𝐺 β€œ 𝐴)) β†’ (𝑦 ∈ π‘š ↔ (πΊβ€˜π‘¦) < (πΊβ€˜π‘š)))
57 breq2 5110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πΊβ€˜π‘š) = 𝑛 β†’ ((πΊβ€˜π‘¦) < (πΊβ€˜π‘š) ↔ (πΊβ€˜π‘¦) < 𝑛))
5856, 57sylan9bb 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑦 ∈ Ο‰ ∧ π‘š ∈ (◑𝐺 β€œ 𝐴)) ∧ (πΊβ€˜π‘š) = 𝑛) β†’ (𝑦 ∈ π‘š ↔ (πΊβ€˜π‘¦) < 𝑛))
5953, 58syldan 592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑦 ∈ Ο‰ ∧ π‘š ∈ (◑𝐺 β€œ 𝐴)) ∧ ((𝐺 β†Ύ (◑𝐺 β€œ 𝐴))β€˜π‘š) = 𝑛) β†’ (𝑦 ∈ π‘š ↔ (πΊβ€˜π‘¦) < 𝑛))
6059biimparc 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πΊβ€˜π‘¦) < 𝑛 ∧ ((𝑦 ∈ Ο‰ ∧ π‘š ∈ (◑𝐺 β€œ 𝐴)) ∧ ((𝐺 β†Ύ (◑𝐺 β€œ 𝐴))β€˜π‘š) = 𝑛)) β†’ 𝑦 ∈ π‘š)
6160exp44 439 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πΊβ€˜π‘¦) < 𝑛 β†’ (𝑦 ∈ Ο‰ β†’ (π‘š ∈ (◑𝐺 β€œ 𝐴) β†’ (((𝐺 β†Ύ (◑𝐺 β€œ 𝐴))β€˜π‘š) = 𝑛 β†’ 𝑦 ∈ π‘š))))
6261imp31 419 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πΊβ€˜π‘¦) < 𝑛 ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) ∧ π‘š ∈ (◑𝐺 β€œ 𝐴)) β†’ (((𝐺 β†Ύ (◑𝐺 β€œ 𝐴))β€˜π‘š) = 𝑛 β†’ 𝑦 ∈ π‘š))
6362reximdva 3162 . . . . . . . . . . . . 13 (((πΊβ€˜π‘¦) < 𝑛 ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ (◑𝐺 β€œ 𝐴)((𝐺 β†Ύ (◑𝐺 β€œ 𝐴))β€˜π‘š) = 𝑛 β†’ βˆƒπ‘š ∈ (◑𝐺 β€œ 𝐴)𝑦 ∈ π‘š))
6449, 63syl5 34 . . . . . . . . . . . 12 (((πΊβ€˜π‘¦) < 𝑛 ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ ((𝐴 βŠ† β„• ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (◑𝐺 β€œ 𝐴)𝑦 ∈ π‘š))
6564exp4b 432 . . . . . . . . . . 11 ((πΊβ€˜π‘¦) < 𝑛 β†’ (𝑦 ∈ Ο‰ β†’ (𝐴 βŠ† β„• β†’ (𝑛 ∈ 𝐴 β†’ βˆƒπ‘š ∈ (◑𝐺 β€œ 𝐴)𝑦 ∈ π‘š))))
6665com4l 92 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ Ο‰ β†’ (𝐴 βŠ† β„• β†’ (𝑛 ∈ 𝐴 β†’ ((πΊβ€˜π‘¦) < 𝑛 β†’ βˆƒπ‘š ∈ (◑𝐺 β€œ 𝐴)𝑦 ∈ π‘š))))
6766imp 408 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† β„•) β†’ (𝑛 ∈ 𝐴 β†’ ((πΊβ€˜π‘¦) < 𝑛 β†’ βˆƒπ‘š ∈ (◑𝐺 β€œ 𝐴)𝑦 ∈ π‘š)))
6867rexlimdv 3147 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† β„•) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 (πΊβ€˜π‘¦) < 𝑛 β†’ βˆƒπ‘š ∈ (◑𝐺 β€œ 𝐴)𝑦 ∈ π‘š))
6931, 68syld 47 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† β„•) β†’ (βˆ€π‘š ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 π‘š < 𝑛 β†’ βˆƒπ‘š ∈ (◑𝐺 β€œ 𝐴)𝑦 ∈ π‘š))
7069ex 414 . . . . . 6 (𝑦 ∈ Ο‰ β†’ (𝐴 βŠ† β„• β†’ (βˆ€π‘š ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 π‘š < 𝑛 β†’ βˆƒπ‘š ∈ (◑𝐺 β€œ 𝐴)𝑦 ∈ π‘š)))
7170com3l 89 . . . . 5 (𝐴 βŠ† β„• β†’ (βˆ€π‘š ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 π‘š < 𝑛 β†’ (𝑦 ∈ Ο‰ β†’ βˆƒπ‘š ∈ (◑𝐺 β€œ 𝐴)𝑦 ∈ π‘š)))
7271imp 408 . . . 4 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 π‘š < 𝑛) β†’ (𝑦 ∈ Ο‰ β†’ βˆƒπ‘š ∈ (◑𝐺 β€œ 𝐴)𝑦 ∈ π‘š))
7372ralrimiv 3139 . . 3 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 π‘š < 𝑛) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ Ο‰ βˆƒπ‘š ∈ (◑𝐺 β€œ 𝐴)𝑦 ∈ π‘š)
74 unbnn3 9600 . . 3 (((◑𝐺 β€œ 𝐴) βŠ† Ο‰ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ Ο‰ βˆƒπ‘š ∈ (◑𝐺 β€œ 𝐴)𝑦 ∈ π‘š) β†’ (◑𝐺 β€œ 𝐴) β‰ˆ Ο‰)
7524, 73, 74sylancr 588 . 2 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 π‘š < 𝑛) β†’ (◑𝐺 β€œ 𝐴) β‰ˆ Ο‰)
76 entr 8949 . 2 ((𝐴 β‰ˆ (◑𝐺 β€œ 𝐴) ∧ (◑𝐺 β€œ 𝐴) β‰ˆ Ο‰) β†’ 𝐴 β‰ˆ Ο‰)
7717, 75, 76syl2anc 585 1 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• βˆƒπ‘› ∈ 𝐴 π‘š < 𝑛) β†’ 𝐴 β‰ˆ Ο‰)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3444   βŠ† wss 3911   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  β—‘ccnv 5633  dom cdm 5634  ran crn 5635   β†Ύ cres 5636   β€œ cima 5637  Fun wfun 6491   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€“1-1β†’wf1 6494  β€“ontoβ†’wfo 6495  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6496  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Ο‰com 7803  reccrdg 8356   β‰ˆ cen 8883  1c1 11057   + caddc 11059   < clt 11194  β„•cn 12158  β„€β‰₯cuz 12768
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769
This theorem is referenced by:  unben  16786
  Copyright terms: Public domain W3C validator