MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unbenlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unbenlem 16880
Description: Lemma for unben 16881. (Contributed by NM, 5-May-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
unbenlem.1 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)
Assertion
Ref Expression
unbenlem ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝐴 𝑚 < 𝑛) → 𝐴 ≈ ω)
Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝐴   𝑚,𝐺,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem unbenlem
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnex 12251 . . . . 5 ℕ ∈ V
21ssex 5322 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℕ → 𝐴 ∈ V)
3 1z 12625 . . . . . . . 8 1 ∈ ℤ
4 unbenlem.1 . . . . . . . 8 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)
53, 4om2uzf1oi 13954 . . . . . . 7 𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ‘1)
6 nnuz 12898 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
7 f1oeq3 6828 . . . . . . . 8 (ℕ = (ℤ‘1) → (𝐺:ω–1-1-onto→ℕ ↔ 𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ‘1)))
86, 7ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝐺:ω–1-1-onto→ℕ ↔ 𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ‘1))
95, 8mpbir 230 . . . . . 6 𝐺:ω–1-1-onto→ℕ
10 f1ocnv 6850 . . . . . 6 (𝐺:ω–1-1-onto→ℕ → 𝐺:ℕ–1-1-onto→ω)
11 f1of1 6837 . . . . . 6 (𝐺:ℕ–1-1-onto→ω → 𝐺:ℕ–1-1→ω)
129, 10, 11mp2b 10 . . . . 5 𝐺:ℕ–1-1→ω
13 f1ores 6852 . . . . 5 ((𝐺:ℕ–1-1→ω ∧ 𝐴 ⊆ ℕ) → (𝐺𝐴):𝐴1-1-onto→(𝐺𝐴))
1412, 13mpan 688 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℕ → (𝐺𝐴):𝐴1-1-onto→(𝐺𝐴))
15 f1oeng 8992 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ (𝐺𝐴):𝐴1-1-onto→(𝐺𝐴)) → 𝐴 ≈ (𝐺𝐴))
162, 14, 15syl2anc 582 . . 3 (𝐴 ⊆ ℕ → 𝐴 ≈ (𝐺𝐴))
1716adantr 479 . 2 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝐴 𝑚 < 𝑛) → 𝐴 ≈ (𝐺𝐴))
18 imassrn 6075 . . . 4 (𝐺𝐴) ⊆ ran 𝐺
19 dfdm4 5898 . . . . 5 dom 𝐺 = ran 𝐺
20 f1of 6838 . . . . . . 7 (𝐺:ω–1-1-onto→ℕ → 𝐺:ω⟶ℕ)
219, 20ax-mp 5 . . . . . 6 𝐺:ω⟶ℕ
2221fdmi 6734 . . . . 5 dom 𝐺 = ω
2319, 22eqtr3i 2755 . . . 4 ran 𝐺 = ω
2418, 23sseqtri 4013 . . 3 (𝐺𝐴) ⊆ ω
253, 4om2uzuzi 13950 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ω → (𝐺𝑦) ∈ (ℤ‘1))
2625, 6eleqtrrdi 2836 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ω → (𝐺𝑦) ∈ ℕ)
27 breq1 5152 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = (𝐺𝑦) → (𝑚 < 𝑛 ↔ (𝐺𝑦) < 𝑛))
2827rexbidv 3168 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (𝐺𝑦) → (∃𝑛𝐴 𝑚 < 𝑛 ↔ ∃𝑛𝐴 (𝐺𝑦) < 𝑛))
2928rspcv 3602 . . . . . . . . . 10 ((𝐺𝑦) ∈ ℕ → (∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝐴 𝑚 < 𝑛 → ∃𝑛𝐴 (𝐺𝑦) < 𝑛))
3026, 29syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ω → (∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝐴 𝑚 < 𝑛 → ∃𝑛𝐴 (𝐺𝑦) < 𝑛))
3130adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝐴 ⊆ ℕ) → (∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝐴 𝑚 < 𝑛 → ∃𝑛𝐴 (𝐺𝑦) < 𝑛))
32 f1ocnv 6850 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺𝐴):𝐴1-1-onto→(𝐺𝐴) → (𝐺𝐴):(𝐺𝐴)–1-1-onto𝐴)
3314, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ⊆ ℕ → (𝐺𝐴):(𝐺𝐴)–1-1-onto𝐴)
34 f1ofun 6840 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐺:ω–1-1-onto→ℕ → Fun 𝐺)
359, 34ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Fun 𝐺
36 funcnvres2 6634 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Fun 𝐺(𝐺𝐴) = (𝐺 ↾ (𝐺𝐴)))
37 f1oeq1 6826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺𝐴) = (𝐺 ↾ (𝐺𝐴)) → ((𝐺𝐴):(𝐺𝐴)–1-1-onto𝐴 ↔ (𝐺 ↾ (𝐺𝐴)):(𝐺𝐴)–1-1-onto𝐴))
3835, 36, 37mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺𝐴):(𝐺𝐴)–1-1-onto𝐴 ↔ (𝐺 ↾ (𝐺𝐴)):(𝐺𝐴)–1-1-onto𝐴)
3933, 38sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ⊆ ℕ → (𝐺 ↾ (𝐺𝐴)):(𝐺𝐴)–1-1-onto𝐴)
40 f1ofo 6845 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐺 ↾ (𝐺𝐴)):(𝐺𝐴)–1-1-onto𝐴 → (𝐺 ↾ (𝐺𝐴)):(𝐺𝐴)–onto𝐴)
41 forn 6813 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐺 ↾ (𝐺𝐴)):(𝐺𝐴)–onto𝐴 → ran (𝐺 ↾ (𝐺𝐴)) = 𝐴)
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺 ↾ (𝐺𝐴)):(𝐺𝐴)–1-1-onto𝐴 → ran (𝐺 ↾ (𝐺𝐴)) = 𝐴)
4342eleq2d 2811 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 ↾ (𝐺𝐴)):(𝐺𝐴)–1-1-onto𝐴 → (𝑛 ∈ ran (𝐺 ↾ (𝐺𝐴)) ↔ 𝑛𝐴))
44 f1ofn 6839 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺 ↾ (𝐺𝐴)):(𝐺𝐴)–1-1-onto𝐴 → (𝐺 ↾ (𝐺𝐴)) Fn (𝐺𝐴))
45 fvelrnb 6958 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺 ↾ (𝐺𝐴)) Fn (𝐺𝐴) → (𝑛 ∈ ran (𝐺 ↾ (𝐺𝐴)) ↔ ∃𝑚 ∈ (𝐺𝐴)((𝐺 ↾ (𝐺𝐴))‘𝑚) = 𝑛))
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 ↾ (𝐺𝐴)):(𝐺𝐴)–1-1-onto𝐴 → (𝑛 ∈ ran (𝐺 ↾ (𝐺𝐴)) ↔ ∃𝑚 ∈ (𝐺𝐴)((𝐺 ↾ (𝐺𝐴))‘𝑚) = 𝑛))
4743, 46bitr3d 280 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ↾ (𝐺𝐴)):(𝐺𝐴)–1-1-onto𝐴 → (𝑛𝐴 ↔ ∃𝑚 ∈ (𝐺𝐴)((𝐺 ↾ (𝐺𝐴))‘𝑚) = 𝑛))
4839, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ⊆ ℕ → (𝑛𝐴 ↔ ∃𝑚 ∈ (𝐺𝐴)((𝐺 ↾ (𝐺𝐴))‘𝑚) = 𝑛))
4948biimpa 475 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑛𝐴) → ∃𝑚 ∈ (𝐺𝐴)((𝐺 ↾ (𝐺𝐴))‘𝑚) = 𝑛)
50 fvres 6915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑚 ∈ (𝐺𝐴) → ((𝐺 ↾ (𝐺𝐴))‘𝑚) = (𝐺𝑚))
5150eqeq1d 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑚 ∈ (𝐺𝐴) → (((𝐺 ↾ (𝐺𝐴))‘𝑚) = 𝑛 ↔ (𝐺𝑚) = 𝑛))
5251biimpa 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑚 ∈ (𝐺𝐴) ∧ ((𝐺 ↾ (𝐺𝐴))‘𝑚) = 𝑛) → (𝐺𝑚) = 𝑛)
5352adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ (𝐺𝐴)) ∧ ((𝐺 ↾ (𝐺𝐴))‘𝑚) = 𝑛) → (𝐺𝑚) = 𝑛)
5424sseli 3972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑚 ∈ (𝐺𝐴) → 𝑚 ∈ ω)
553, 4om2uzlt2i 13952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) → (𝑦𝑚 ↔ (𝐺𝑦) < (𝐺𝑚)))
5654, 55sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ (𝐺𝐴)) → (𝑦𝑚 ↔ (𝐺𝑦) < (𝐺𝑚)))
57 breq2 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐺𝑚) = 𝑛 → ((𝐺𝑦) < (𝐺𝑚) ↔ (𝐺𝑦) < 𝑛))
5856, 57sylan9bb 508 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ (𝐺𝐴)) ∧ (𝐺𝑚) = 𝑛) → (𝑦𝑚 ↔ (𝐺𝑦) < 𝑛))
5953, 58syldan 589 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ (𝐺𝐴)) ∧ ((𝐺 ↾ (𝐺𝐴))‘𝑚) = 𝑛) → (𝑦𝑚 ↔ (𝐺𝑦) < 𝑛))
6059biimparc 478 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐺𝑦) < 𝑛 ∧ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ (𝐺𝐴)) ∧ ((𝐺 ↾ (𝐺𝐴))‘𝑚) = 𝑛)) → 𝑦𝑚)
6160exp44 436 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺𝑦) < 𝑛 → (𝑦 ∈ ω → (𝑚 ∈ (𝐺𝐴) → (((𝐺 ↾ (𝐺𝐴))‘𝑚) = 𝑛𝑦𝑚))))
6261imp31 416 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐺𝑦) < 𝑛𝑦 ∈ ω) ∧ 𝑚 ∈ (𝐺𝐴)) → (((𝐺 ↾ (𝐺𝐴))‘𝑚) = 𝑛𝑦𝑚))
6362reximdva 3157 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺𝑦) < 𝑛𝑦 ∈ ω) → (∃𝑚 ∈ (𝐺𝐴)((𝐺 ↾ (𝐺𝐴))‘𝑚) = 𝑛 → ∃𝑚 ∈ (𝐺𝐴)𝑦𝑚))
6449, 63syl5 34 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺𝑦) < 𝑛𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑛𝐴) → ∃𝑚 ∈ (𝐺𝐴)𝑦𝑚))
6564exp4b 429 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺𝑦) < 𝑛 → (𝑦 ∈ ω → (𝐴 ⊆ ℕ → (𝑛𝐴 → ∃𝑚 ∈ (𝐺𝐴)𝑦𝑚))))
6665com4l 92 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ω → (𝐴 ⊆ ℕ → (𝑛𝐴 → ((𝐺𝑦) < 𝑛 → ∃𝑚 ∈ (𝐺𝐴)𝑦𝑚))))
6766imp 405 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝐴 ⊆ ℕ) → (𝑛𝐴 → ((𝐺𝑦) < 𝑛 → ∃𝑚 ∈ (𝐺𝐴)𝑦𝑚)))
6867rexlimdv 3142 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝐴 ⊆ ℕ) → (∃𝑛𝐴 (𝐺𝑦) < 𝑛 → ∃𝑚 ∈ (𝐺𝐴)𝑦𝑚))
6931, 68syld 47 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝐴 ⊆ ℕ) → (∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝐴 𝑚 < 𝑛 → ∃𝑚 ∈ (𝐺𝐴)𝑦𝑚))
7069ex 411 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ω → (𝐴 ⊆ ℕ → (∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝐴 𝑚 < 𝑛 → ∃𝑚 ∈ (𝐺𝐴)𝑦𝑚)))
7170com3l 89 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℕ → (∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝐴 𝑚 < 𝑛 → (𝑦 ∈ ω → ∃𝑚 ∈ (𝐺𝐴)𝑦𝑚)))
7271imp 405 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝐴 𝑚 < 𝑛) → (𝑦 ∈ ω → ∃𝑚 ∈ (𝐺𝐴)𝑦𝑚))
7372ralrimiv 3134 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝐴 𝑚 < 𝑛) → ∀𝑦 ∈ ω ∃𝑚 ∈ (𝐺𝐴)𝑦𝑚)
74 unbnn3 9684 . . 3 (((𝐺𝐴) ⊆ ω ∧ ∀𝑦 ∈ ω ∃𝑚 ∈ (𝐺𝐴)𝑦𝑚) → (𝐺𝐴) ≈ ω)
7524, 73, 74sylancr 585 . 2 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝐴 𝑚 < 𝑛) → (𝐺𝐴) ≈ ω)
76 entr 9027 . 2 ((𝐴 ≈ (𝐺𝐴) ∧ (𝐺𝐴) ≈ ω) → 𝐴 ≈ ω)
7717, 75, 76syl2anc 582 1 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝐴 𝑚 < 𝑛) → 𝐴 ≈ ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3050  wrex 3059  Vcvv 3461  wss 3944   class class class wbr 5149  cmpt 5232  ccnv 5677  dom cdm 5678  ran crn 5679  cres 5680  cima 5681  Fun wfun 6543   Fn wfn 6544  wf 6545  1-1wf1 6546  ontowfo 6547  1-1-ontowf1o 6548  cfv 6549  (class class class)co 7419  ωcom 7871  reccrdg 8430  cen 8961  1c1 11141   + caddc 11143   < clt 11280  cn 12245  cuz 12855
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856
This theorem is referenced by:  unben  16881
  Copyright terms: Public domain W3C validator