Theorem smfdivdmmbl 46829

Description: If a functions and a sigma-measurable function have domains in the sigma-algebra, the domain of the division of the two functions is in the sigma-algebra. This is the third statement of Proposition 121H of [Fremlin1] p. 39 . Note: While the theorem in the book assumes both functions are sigma-measurable, this assumption is unnecessary for the part concerning their division, for the function at the numerator (it is needed only for the function at the denominator). (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfdivdmmbl.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
smfdivdmmbl.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐵
smfdivdmmbl.3	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfdivdmmbl.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
smfdivdmmbl.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
smfdivdmmbl.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐷 ∈ 𝑊)
smfdivdmmbl.7	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfdivdmmbl.8	⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝐷 ≠ 0}

Assertion

Ref	Expression
smfdivdmmbl	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐸) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem smfdivdmmbl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfdivdmmbl.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
2		smfdivdmmbl.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
3		smfdivdmmbl.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
4		smfdivdmmbl.2	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
5		smfdivdmmbl.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
6		nfcv 2892	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥ℝ
7		smfdivdmmbl.6	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐷 ∈ 𝑊)
8		smfdivdmmbl.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
9	3, 4, 1, 7, 8	smffmptf 46795	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷):𝐵⟶ℝ)
10	4, 6, 9	fvmptelcdmf 45257	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐷 ∈ ℝ)
11		0red 11183	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
12		smfdivdmmbl.8	. . 3 ⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝐷 ≠ 0}
13	3, 4, 1, 5, 10, 8, 11, 12	smfdmmblpimne 46828	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑆)
14	1, 2, 13	salincld 46343	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐸) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109  Ⅎwnfc 2877   ≠ wne 2926  {crab 3408   ∩ cin 3915   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6513  ℝcr 11073  0cc0 11074  SAlgcsalg 46299  SMblFncsmblfn 46686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-inf2 9600  ax-cc 10394  ax-ac2 10422  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-isom 6522  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-2o 8437  df-er 8673  df-map 8803  df-pm 8804  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-sup 9399  df-inf 9400  df-card 9898  df-acn 9901  df-ac 10075  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12188  df-n0 12449  df-z 12536  df-uz 12800  df-q 12914  df-rp 12958  df-ioo 13316  df-ico 13318  df-fl 13760  df-rest 17391  df-salg 46300  df-smblfn 46687

This theorem is referenced by: (None)