Theorem smfdivdmmbl 45489

Description: If a functions and a sigma-measurable function have domains in the sigma-algebra, the domain of the division of the two functions is in the sigma-algebra. This is the third statement of Proposition 121H of [Fremlin1] p. 39 . Note: While the theorem in the book assumes both functions are sigma-measurable, this assumption is unnecessary for the part concerning their division, for the function at the numerator (it is needed only for the function at the denominator). (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfdivdmmbl.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
smfdivdmmbl.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐵
smfdivdmmbl.3	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfdivdmmbl.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
smfdivdmmbl.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
smfdivdmmbl.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐷 ∈ 𝑊)
smfdivdmmbl.7	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfdivdmmbl.8	⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝐷 ≠ 0}

Assertion

Ref	Expression
smfdivdmmbl	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐸) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem smfdivdmmbl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfdivdmmbl.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
2		smfdivdmmbl.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
3		smfdivdmmbl.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
4		smfdivdmmbl.2	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
5		smfdivdmmbl.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
6		nfcv 2904	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥ℝ
7		smfdivdmmbl.6	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐷 ∈ 𝑊)
8		smfdivdmmbl.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
9	3, 4, 1, 7, 8	smffmptf 45455	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷):𝐵⟶ℝ)
10	4, 6, 9	fvmptelcdmf 43910	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐷 ∈ ℝ)
11		0red 11213	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
12		smfdivdmmbl.8	. . 3 ⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝐷 ≠ 0}
13	3, 4, 1, 5, 10, 8, 11, 12	smfdmmblpimne 45488	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑆)
14	1, 2, 13	salincld 45003	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐸) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542  Ⅎwnf 1786   ∈ wcel 2107  Ⅎwnfc 2884   ≠ wne 2941  {crab 3433   ∩ cin 3946   ↦ cmpt 5230  ‘cfv 6540  ℝcr 11105  0cc0 11106  SAlgcsalg 44959  SMblFncsmblfn 45346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-inf2 9632  ax-cc 10426  ax-ac2 10454  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-card 9930  df-acn 9933  df-ac 10107  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-fl 13753  df-rest 17364  df-salg 44960  df-smblfn 45347

This theorem is referenced by: (None)