Theorem smfdivdmmbl 48063

Description: If a functions and a sigma-measurable function have domains in the sigma-algebra, the domain of the division of the two functions is in the sigma-algebra. This is the third statement of Proposition 121H of [Fremlin1] p. 39 . Note: While the theorem in the book assumes both functions are sigma-measurable, this assumption is unnecessary for the part concerning their division, for the function at the numerator (it is needed only for the function at the denominator). (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfdivdmmbl.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
smfdivdmmbl.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐵
smfdivdmmbl.3	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfdivdmmbl.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
smfdivdmmbl.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
smfdivdmmbl.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐷 ∈ 𝑊)
smfdivdmmbl.7	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfdivdmmbl.8	⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝐷 ≠ 0}

Assertion

Ref	Expression
smfdivdmmbl	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐸) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem smfdivdmmbl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfdivdmmbl.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
2		smfdivdmmbl.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
3		smfdivdmmbl.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
4		smfdivdmmbl.2	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
5		smfdivdmmbl.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
6		nfcv 2926	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥ℝ
7		smfdivdmmbl.6	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐷 ∈ 𝑊)
8		smfdivdmmbl.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
9	3, 4, 1, 7, 8	smffmptf 48029	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷):𝐵⟶ℝ)
10	4, 6, 9	fvmptelcdmf 46497	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐷 ∈ ℝ)
11		0red 11341	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
12		smfdivdmmbl.8	. . 3 ⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝐷 ≠ 0}
13	3, 4, 1, 5, 10, 8, 11, 12	smfdmmblpimne 48062	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑆)
14	1, 2, 13	salincld 47577	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐸) ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2147  Ⅎwnfc 2911   ≠ wne 2959  {crab 3416   ∩ cin 4092   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6561  ℝcr 11229  0cc0 11230  SAlgcsalg 47533  SMblFncsmblfn 47920

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-inf2 9672  ax-cc 10543  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8748  df-map 8880  df-pm 8881  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-sup 9464  df-inf 9465  df-card 10050  df-acn 10053  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-q 13106  df-rp 13151  df-ioo 13510  df-ico 13512  df-fl 13962  df-rest 17625  df-salg 47534  df-smblfn 47921

This theorem is used by: (None)