Theorem smfdivdmmbl 47669

Description: If a functions and a sigma-measurable function have domains in the sigma-algebra, the domain of the division of the two functions is in the sigma-algebra. This is the third statement of Proposition 121H of [Fremlin1] p. 39 . Note: While the theorem in the book assumes both functions are sigma-measurable, this assumption is unnecessary for the part concerning their division, for the function at the numerator (it is needed only for the function at the denominator). (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfdivdmmbl.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
smfdivdmmbl.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐵
smfdivdmmbl.3	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfdivdmmbl.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
smfdivdmmbl.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
smfdivdmmbl.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐷 ∈ 𝑊)
smfdivdmmbl.7	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfdivdmmbl.8	⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝐷 ≠ 0}

Assertion

Ref	Expression
smfdivdmmbl	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐸) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem smfdivdmmbl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfdivdmmbl.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
2		smfdivdmmbl.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
3		smfdivdmmbl.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
4		smfdivdmmbl.2	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
5		smfdivdmmbl.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
6		nfcv 2922	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥ℝ
7		smfdivdmmbl.6	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐷 ∈ 𝑊)
8		smfdivdmmbl.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
9	3, 4, 1, 7, 8	smffmptf 47635	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷):𝐵⟶ℝ)
10	4, 6, 9	fvmptelcdmf 46102	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐷 ∈ ℝ)
11		0red 11238	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
12		smfdivdmmbl.8	. . 3 ⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝐷 ≠ 0}
13	3, 4, 1, 5, 10, 8, 11, 12	smfdmmblpimne 47668	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑆)
14	1, 2, 13	salincld 47183	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐸) ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2145  Ⅎwnfc 2907   ≠ wne 2955  {crab 3412   ∩ cin 3898   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6533  ℝcr 11126  0cc0 11127  SAlgcsalg 47139  SMblFncsmblfn 47526

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-inf2 9623  ax-cc 10440  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-inf 9416  df-card 9947  df-acn 9950  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13046  df-ioo 13405  df-ico 13407  df-fl 13856  df-rest 17510  df-salg 47140  df-smblfn 47527

This theorem is used by: (None)