Theorem gneispace0nelrn2 44586

Description: A generic neighborhood space has a nonempty set of neighborhoods for every point in its domain. (Contributed by RP, 15-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
gneispace.a	⊢ 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:dom 𝑓⟶(𝒫 (𝒫 dom 𝑓 ∖ {∅}) ∖ {∅}) ∧ ∀𝑝 ∈ dom 𝑓∀𝑛 ∈ (𝑓‘𝑝)(𝑝 ∈ 𝑛 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 dom 𝑓(𝑛 ⊆ 𝑠 → 𝑠 ∈ (𝑓‘𝑝))))}

Assertion

Ref	Expression
gneispace0nelrn2	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑃) ≠ ∅)

Distinct variable groups:   𝑛,𝐹,𝑝,𝑓   𝐹,𝑠,𝑓   𝑓,𝑛,𝑝   𝑃,𝑝,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓,𝑛,𝑠,𝑝)   𝑃(𝑓,𝑠)

Proof of Theorem gneispace0nelrn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gneispace.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:dom 𝑓⟶(𝒫 (𝒫 dom 𝑓 ∖ {∅}) ∖ {∅}) ∧ ∀𝑝 ∈ dom 𝑓∀𝑛 ∈ (𝑓‘𝑝)(𝑝 ∈ 𝑛 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 dom 𝑓(𝑛 ⊆ 𝑠 → 𝑠 ∈ (𝑓‘𝑝))))}
2	1	gneispace0nelrn 44585	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → ∀𝑝 ∈ dom 𝐹(𝐹‘𝑝) ≠ ∅)
3		fveq2 6834	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑃))
4	3	neeq1d 2992	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ((𝐹‘𝑝) ≠ ∅ ↔ (𝐹‘𝑃) ≠ ∅))
5	4	rspccv 3562	. . 3 ⊢ (∀𝑝 ∈ dom 𝐹(𝐹‘𝑝) ≠ ∅ → (𝑃 ∈ dom 𝐹 → (𝐹‘𝑃) ≠ ∅))
6	2, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝑃 ∈ dom 𝐹 → (𝐹‘𝑃) ≠ ∅))
7	6	imp 406	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑃) ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cab 2715   ≠ wne 2933  ∀wral 3052   ∖ cdif 3887   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  𝒫 cpw 4542  {csn 4568  dom cdm 5624  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500

This theorem is referenced by: (None)