Theorem gneispace0nelrn2 45333

Description: A generic neighborhood space has a nonempty set of neighborhoods for every point in its domain. (Contributed by RP, 15-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
gneispace.a	⊢ 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:dom 𝑓⟶(𝒫 (𝒫 dom 𝑓 ∖ {∅}) ∖ {∅}) ∧ ∀𝑝 ∈ dom 𝑓∀𝑛 ∈ (𝑓‘𝑝)(𝑝 ∈ 𝑛 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 dom 𝑓(𝑛 ⊆ 𝑠 → 𝑠 ∈ (𝑓‘𝑝))))}

Assertion

Ref	Expression
gneispace0nelrn2	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑃) ≠ ∅)

Distinct variable groups:   𝑛,𝐹,𝑝,𝑓   𝐹,𝑠,𝑓   𝑓,𝑛,𝑝   𝑃,𝑝,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓, 𝑛, 𝑠, 𝑝)   𝑃(𝑓, 𝑠)

Proof of Theorem gneispace0nelrn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gneispace.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:dom 𝑓⟶(𝒫 (𝒫 dom 𝑓 ∖ {∅}) ∖ {∅}) ∧ ∀𝑝 ∈ dom 𝑓∀𝑛 ∈ (𝑓‘𝑝)(𝑝 ∈ 𝑛 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 dom 𝑓(𝑛 ⊆ 𝑠 → 𝑠 ∈ (𝑓‘𝑝))))}
2	1	gneispace0nelrn 45332	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → ∀𝑝 ∈ dom 𝐹(𝐹‘𝑝) ≠ ∅)
3		fveq2 6908	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑃))
4	3	neeq1d 3018	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ((𝐹‘𝑝) ≠ ∅ ↔ (𝐹‘𝑃) ≠ ∅))
5	4	rspccv 3577	. . 3 ⊢ (∀𝑝 ∈ dom 𝐹(𝐹‘𝑝) ≠ ∅ → (𝑃 ∈ dom 𝐹 → (𝐹‘𝑃) ≠ ∅))
6	2, 5	syl 18	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝑃 ∈ dom 𝐹 → (𝐹‘𝑃) ≠ ∅))
7	6	imp 412	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑃) ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {cab 2741   ≠ wne 2959  ∀wral 3080   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048  ∅c0 4281  𝒫 cpw 4560  {csn 4588  dom cdm 5655  ⟶wf 6554  ‘cfv 6558

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-fv 6566

This theorem is used by: (None)