Theorem ho2coi 32133

Description: Double composition of Hilbert space operators. (Contributed by NM, 1-Dec-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hods.1	⊢ 𝑅: ℋ⟶ ℋ
hods.2	⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
hods.3	⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ

Assertion

Ref	Expression
ho2coi	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (((𝑅 ∘ 𝑆) ∘ 𝑇)‘𝐴) = (𝑅‘(𝑆‘(𝑇‘𝐴))))

Proof of Theorem ho2coi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hods.1	. . . 4 ⊢ 𝑅: ℋ⟶ ℋ
2		hods.2	. . . 4 ⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
3	1, 2	hocofi 32118	. . 3 ⊢ (𝑅 ∘ 𝑆): ℋ⟶ ℋ
4		hods.3	. . 3 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
5	3, 4	hocoi 32116	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (((𝑅 ∘ 𝑆) ∘ 𝑇)‘𝐴) = ((𝑅 ∘ 𝑆)‘(𝑇‘𝐴)))
6	4	ffvelcdmi 7078	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝑇‘𝐴) ∈ ℋ)
7	1, 2	hocoi 32116	. . 3 ⊢ ((𝑇‘𝐴) ∈ ℋ → ((𝑅 ∘ 𝑆)‘(𝑇‘𝐴)) = (𝑅‘(𝑆‘(𝑇‘𝐴))))
8	6, 7	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((𝑅 ∘ 𝑆)‘(𝑇‘𝐴)) = (𝑅‘(𝑆‘(𝑇‘𝐴))))
9	5, 8	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (((𝑅 ∘ 𝑆) ∘ 𝑇)‘𝐴) = (𝑅‘(𝑆‘(𝑇‘𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ∘ ccom 5665  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536   ℋchba 31271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544

This theorem is referenced by:  pj2cocli  32557