Theorem ho2coi 31867

Description: Double composition of Hilbert space operators. (Contributed by NM, 1-Dec-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hods.1	⊢ 𝑅: ℋ⟶ ℋ
hods.2	⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
hods.3	⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ

Assertion

Ref	Expression
ho2coi	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (((𝑅 ∘ 𝑆) ∘ 𝑇)‘𝐴) = (𝑅‘(𝑆‘(𝑇‘𝐴))))

Proof of Theorem ho2coi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hods.1	. . . 4 ⊢ 𝑅: ℋ⟶ ℋ
2		hods.2	. . . 4 ⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
3	1, 2	hocofi 31852	. . 3 ⊢ (𝑅 ∘ 𝑆): ℋ⟶ ℋ
4		hods.3	. . 3 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
5	3, 4	hocoi 31850	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (((𝑅 ∘ 𝑆) ∘ 𝑇)‘𝐴) = ((𝑅 ∘ 𝑆)‘(𝑇‘𝐴)))
6	4	ffvelcdmi 7029	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝑇‘𝐴) ∈ ℋ)
7	1, 2	hocoi 31850	. . 3 ⊢ ((𝑇‘𝐴) ∈ ℋ → ((𝑅 ∘ 𝑆)‘(𝑇‘𝐴)) = (𝑅‘(𝑆‘(𝑇‘𝐴))))
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((𝑅 ∘ 𝑆)‘(𝑇‘𝐴)) = (𝑅‘(𝑆‘(𝑇‘𝐴))))
9	5, 8	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (((𝑅 ∘ 𝑆) ∘ 𝑇)‘𝐴) = (𝑅‘(𝑆‘(𝑇‘𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∘ ccom 5628  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492   ℋchba 31005

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500

This theorem is referenced by:  pj2cocli  32291