Theorem ho2coi 31728

Description: Double composition of Hilbert space operators. (Contributed by NM, 1-Dec-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hods.1	⊢ 𝑅: ℋ⟶ ℋ
hods.2	⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
hods.3	⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ

Assertion

Ref	Expression
ho2coi	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (((𝑅 ∘ 𝑆) ∘ 𝑇)‘𝐴) = (𝑅‘(𝑆‘(𝑇‘𝐴))))

Proof of Theorem ho2coi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hods.1	. . . 4 ⊢ 𝑅: ℋ⟶ ℋ
2		hods.2	. . . 4 ⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
3	1, 2	hocofi 31713	. . 3 ⊢ (𝑅 ∘ 𝑆): ℋ⟶ ℋ
4		hods.3	. . 3 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
5	3, 4	hocoi 31711	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (((𝑅 ∘ 𝑆) ∘ 𝑇)‘𝐴) = ((𝑅 ∘ 𝑆)‘(𝑇‘𝐴)))
6	4	ffvelcdmi 7083	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝑇‘𝐴) ∈ ℋ)
7	1, 2	hocoi 31711	. . 3 ⊢ ((𝑇‘𝐴) ∈ ℋ → ((𝑅 ∘ 𝑆)‘(𝑇‘𝐴)) = (𝑅‘(𝑆‘(𝑇‘𝐴))))
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((𝑅 ∘ 𝑆)‘(𝑇‘𝐴)) = (𝑅‘(𝑆‘(𝑇‘𝐴))))
9	5, 8	eqtrd 2769	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (((𝑅 ∘ 𝑆) ∘ 𝑇)‘𝐴) = (𝑅‘(𝑆‘(𝑇‘𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ∘ ccom 5669  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541   ℋchba 30866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pr 5412

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3420  df-v 3465  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-br 5124  df-opab 5186  df-id 5558  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-fv 6549

This theorem is referenced by:  pj2cocli  32152