Theorem ho2coi 31826

Description: Double composition of Hilbert space operators. (Contributed by NM, 1-Dec-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hods.1	⊢ 𝑅: ℋ⟶ ℋ
hods.2	⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
hods.3	⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ

Assertion

Ref	Expression
ho2coi	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (((𝑅 ∘ 𝑆) ∘ 𝑇)‘𝐴) = (𝑅‘(𝑆‘(𝑇‘𝐴))))

Proof of Theorem ho2coi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hods.1	. . . 4 ⊢ 𝑅: ℋ⟶ ℋ
2		hods.2	. . . 4 ⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
3	1, 2	hocofi 31811	. . 3 ⊢ (𝑅 ∘ 𝑆): ℋ⟶ ℋ
4		hods.3	. . 3 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
5	3, 4	hocoi 31809	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (((𝑅 ∘ 𝑆) ∘ 𝑇)‘𝐴) = ((𝑅 ∘ 𝑆)‘(𝑇‘𝐴)))
6	4	ffvelcdmi 7110	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝑇‘𝐴) ∈ ℋ)
7	1, 2	hocoi 31809	. . 3 ⊢ ((𝑇‘𝐴) ∈ ℋ → ((𝑅 ∘ 𝑆)‘(𝑇‘𝐴)) = (𝑅‘(𝑆‘(𝑇‘𝐴))))
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((𝑅 ∘ 𝑆)‘(𝑇‘𝐴)) = (𝑅‘(𝑆‘(𝑇‘𝐴))))
9	5, 8	eqtrd 2777	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (((𝑅 ∘ 𝑆) ∘ 𝑇)‘𝐴) = (𝑅‘(𝑆‘(𝑇‘𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ∘ ccom 5697  ⟶wf 6565  ‘cfv 6569   ℋchba 30964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pr 5441

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3483  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-nul 4343  df-if 4535  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4916  df-br 5152  df-opab 5214  df-id 5587  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-fv 6577

This theorem is referenced by:  pj2cocli  32250