Theorem hocofi 31741

Description: Mapping of composition of Hilbert space operators. (Contributed by NM, 14-Nov-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoeq.1	⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
hoeq.2	⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hocofi	⊢ (𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ

Proof of Theorem hocofi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoeq.1	. 2 ⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
2		hoeq.2	. 2 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
3		fco 6675	. 2 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
4	1, 2, 3	mp2an 692	1 ⊢ (𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ

Syntax hints:   ∘ ccom 5620  ⟶wf 6477   ℋchba 30894

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-br 5092  df-opab 5154  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485

This theorem is referenced by:  hocofni  31742  hocadddiri  31754  hocsubdiri  31755  ho2coi  31756  ho0coi  31763  hoid1i  31764  hoid1ri  31765  hoddii  31964  lnopcoi  31978  bdopcoi  32073  adjcoi  32075  nmopcoadji  32076  unierri  32079  pjsdii  32130  pjddii  32131  pjsdi2i  32132  pjss1coi  32138  pjss2coi  32139  pjorthcoi  32144  pjinvari  32166  pjclem1  32170  pjclem4  32174  pjadj2coi  32179  pj3lem1  32181  pj3si  32182  pj3cor1i  32184