Theorem hocofi 31913

Description: Mapping of composition of Hilbert space operators. (Contributed by NM, 14-Nov-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoeq.1	⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
hoeq.2	⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hocofi	⊢ (𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ

Proof of Theorem hocofi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoeq.1	. 2 ⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
2		hoeq.2	. 2 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
3		fco 6710	. 2 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
4	1, 2, 3	mp2an 702	1 ⊢ (𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ

Syntax hints:   ∘ ccom 5649  ⟶wf 6511   ℋchba 31066

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-br 5100  df-opab 5162  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519

This theorem is referenced by:  hocofni  31914  hocadddiri  31926  hocsubdiri  31927  ho2coi  31928  ho0coi  31935  hoid1i  31936  hoid1ri  31937  hoddii  32136  lnopcoi  32150  bdopcoi  32245  adjcoi  32247  nmopcoadji  32248  unierri  32251  pjsdii  32302  pjddii  32303  pjsdi2i  32304  pjss1coi  32310  pjss2coi  32311  pjorthcoi  32316  pjinvari  32338  pjclem1  32342  pjclem4  32346  pjadj2coi  32351  pj3lem1  32353  pj3si  32354  pj3cor1i  32356