Theorem hocofi 32374

Description: Mapping of composition of Hilbert space operators. (Contributed by NM, 14-Nov-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoeq.1	⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
hoeq.2	⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hocofi	⊢ (𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ

Proof of Theorem hocofi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoeq.1	. 2 ⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
2		hoeq.2	. 2 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
3		fco 6735	. 2 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
4	1, 2, 3	mp2an 705	1 ⊢ (𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ

This proof depends on syntax axioms:   ∘ ccom 5654  ⟶wf 6535   ℋchba 31527

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543

This theorem is used by:  hocofni  32375  hocadddiri  32387  hocsubdiri  32388  ho2coi  32389  ho0coi  32396  hoid1i  32397  hoid1ri  32398  hoddii  32597  lnopcoi  32611  bdopcoi  32706  adjcoi  32708  nmopcoadji  32709  unierri  32712  pjsdii  32763  pjddii  32764  pjsdi2i  32765  pjss1coi  32771  pjss2coi  32772  pjorthcoi  32777  pjinvari  32799  pjclem1  32803  pjclem4  32807  pjadj2coi  32812  pj3lem1  32814  pj3si  32815  pj3cor1i  32817