Theorem hocofi 32099

Description: Mapping of composition of Hilbert space operators. (Contributed by NM, 14-Nov-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoeq.1	⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
hoeq.2	⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hocofi	⊢ (𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ

Proof of Theorem hocofi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoeq.1	. 2 ⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
2		hoeq.2	. 2 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
3		fco 6732	. 2 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
4	1, 2, 3	mp2an 704	1 ⊢ (𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ

Syntax hints:   ∘ ccom 5667  ⟶wf 6534   ℋchba 31252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-pr 5406

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-br 5111  df-opab 5175  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542

This theorem is referenced by:  hocofni  32100  hocadddiri  32112  hocsubdiri  32113  ho2coi  32114  ho0coi  32121  hoid1i  32122  hoid1ri  32123  hoddii  32322  lnopcoi  32336  bdopcoi  32431  adjcoi  32433  nmopcoadji  32434  unierri  32437  pjsdii  32488  pjddii  32489  pjsdi2i  32490  pjss1coi  32496  pjss2coi  32497  pjorthcoi  32502  pjinvari  32524  pjclem1  32528  pjclem4  32532  pjadj2coi  32537  pj3lem1  32539  pj3si  32540  pj3cor1i  32542