HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hocoi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hocoi 31793
Description: Composition of Hilbert space operators. (Contributed by NM, 12-Nov-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hoeq.1 𝑆: ℋ⟶ ℋ
hoeq.2 𝑇: ℋ⟶ ℋ
Assertion
Ref Expression
hocoi (𝐴 ∈ ℋ → ((𝑆𝑇)‘𝐴) = (𝑆‘(𝑇𝐴)))

Proof of Theorem hocoi
StepHypRef Expression
1 hoeq.2 . 2 𝑇: ℋ⟶ ℋ
2 fvco3 7008 . 2 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑆𝑇)‘𝐴) = (𝑆‘(𝑇𝐴)))
31, 2mpan 690 1 (𝐴 ∈ ℋ → ((𝑆𝑇)‘𝐴) = (𝑆‘(𝑇𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  ccom 5693  wf 6559  cfv 6563  chba 30948
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571
This theorem is referenced by:  hococli  31794  hocadddiri  31808  hocsubdiri  31809  ho2coi  31810  ho0coi  31817  hoid1i  31818  hoid1ri  31819  hoddii  32018  lnopcoi  32032  lnopco0i  32033  nmopcoi  32124  adjcoi  32129  nmopcoadji  32130  hmopidmchi  32180  hmopidmpji  32181  pjsdii  32184  pjddii  32185  pjcoi  32187  pjcohocli  32232  pjadj2coi  32233  pj3lem1  32235
  Copyright terms: Public domain W3C validator