Theorem hocoi 30105

Description: Composition of Hilbert space operators. (Contributed by NM, 12-Nov-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoeq.1	⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
hoeq.2	⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hocoi	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝐴) = (𝑆‘(𝑇‘𝐴)))

Proof of Theorem hocoi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoeq.2	. 2 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
2		fvco3 6861	. 2 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝐴) = (𝑆‘(𝑇‘𝐴)))
3	1, 2	mpan 686	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝐴) = (𝑆‘(𝑇‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2109   ∘ ccom 5592  ⟶wf 6426  ‘cfv 6430   ℋchba 29260

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pr 5355

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rab 3074  df-v 3432  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-br 5079  df-opab 5141  df-id 5488  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-fv 6438

This theorem is referenced by:  hococli  30106  hocadddiri  30120  hocsubdiri  30121  ho2coi  30122  ho0coi  30129  hoid1i  30130  hoid1ri  30131  hoddii  30330  lnopcoi  30344  lnopco0i  30345  nmopcoi  30436  adjcoi  30441  nmopcoadji  30442  hmopidmchi  30492  hmopidmpji  30493  pjsdii  30496  pjddii  30497  pjcoi  30499  pjcohocli  30544  pjadj2coi  30545  pj3lem1  30547