Theorem hocoi 31449

Description: Composition of Hilbert space operators. (Contributed by NM, 12-Nov-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoeq.1	⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
hoeq.2	⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hocoi	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝐴) = (𝑆‘(𝑇‘𝐴)))

Proof of Theorem hocoi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoeq.2	. 2 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
2		fvco3 6990	. 2 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝐴) = (𝑆‘(𝑇‘𝐴)))
3	1, 2	mpan 687	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝐴) = (𝑆‘(𝑇‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ∘ ccom 5680  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543   ℋchba 30604

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551

This theorem is referenced by:  hococli  31450  hocadddiri  31464  hocsubdiri  31465  ho2coi  31466  ho0coi  31473  hoid1i  31474  hoid1ri  31475  hoddii  31674  lnopcoi  31688  lnopco0i  31689  nmopcoi  31780  adjcoi  31785  nmopcoadji  31786  hmopidmchi  31836  hmopidmpji  31837  pjsdii  31840  pjddii  31841  pjcoi  31843  pjcohocli  31888  pjadj2coi  31889  pj3lem1  31891