Theorem hocoi 31857

Description: Composition of Hilbert space operators. (Contributed by NM, 12-Nov-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoeq.1	⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
hoeq.2	⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hocoi	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝐴) = (𝑆‘(𝑇‘𝐴)))

Proof of Theorem hocoi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoeq.2	. 2 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
2		fvco3 6931	. 2 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝐴) = (𝑆‘(𝑇‘𝐴)))
3	1, 2	mpan 697	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝐴) = (𝑆‘(𝑇‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ∘ ccom 5625  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489   ℋchba 31012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pr 5365

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rab 3394  df-v 3435  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-br 5076  df-opab 5138  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-fv 6497

This theorem is referenced by:  hococli  31858  hocadddiri  31872  hocsubdiri  31873  ho2coi  31874  ho0coi  31881  hoid1i  31882  hoid1ri  31883  hoddii  32082  lnopcoi  32096  lnopco0i  32097  nmopcoi  32188  adjcoi  32193  nmopcoadji  32194  hmopidmchi  32244  hmopidmpji  32245  pjsdii  32248  pjddii  32249  pjcoi  32251  pjcohocli  32296  pjadj2coi  32297  pj3lem1  32299