Theorem hocoi 30027

Description: Composition of Hilbert space operators. (Contributed by NM, 12-Nov-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoeq.1	⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
hoeq.2	⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hocoi	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝐴) = (𝑆‘(𝑇‘𝐴)))

Proof of Theorem hocoi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoeq.2	. 2 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
2		fvco3 6849	. 2 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝐴) = (𝑆‘(𝑇‘𝐴)))
3	1, 2	mpan 686	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝐴) = (𝑆‘(𝑇‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ∘ ccom 5584  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418   ℋchba 29182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-fv 6426

This theorem is referenced by:  hococli  30028  hocadddiri  30042  hocsubdiri  30043  ho2coi  30044  ho0coi  30051  hoid1i  30052  hoid1ri  30053  hoddii  30252  lnopcoi  30266  lnopco0i  30267  nmopcoi  30358  adjcoi  30363  nmopcoadji  30364  hmopidmchi  30414  hmopidmpji  30415  pjsdii  30418  pjddii  30419  pjcoi  30421  pjcohocli  30466  pjadj2coi  30467  pj3lem1  30469