HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hocsubdiri Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hocsubdiri 31542
Description: Distributive law for Hilbert space operator difference. (Contributed by NM, 26-Nov-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hods.1 𝑅: ℋ⟶ ℋ
hods.2 𝑆: ℋ⟶ ℋ
hods.3 𝑇: ℋ⟶ ℋ
Assertion
Ref Expression
hocsubdiri ((𝑅op 𝑆) ∘ 𝑇) = ((𝑅𝑇) −op (𝑆𝑇))

Proof of Theorem hocsubdiri
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hods.1 . . . . . 6 𝑅: ℋ⟶ ℋ
2 hods.2 . . . . . 6 𝑆: ℋ⟶ ℋ
31, 2hosubcli 31531 . . . . 5 (𝑅op 𝑆): ℋ⟶ ℋ
4 hods.3 . . . . 5 𝑇: ℋ⟶ ℋ
53, 4hocoi 31526 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑅op 𝑆) ∘ 𝑇)‘𝑥) = ((𝑅op 𝑆)‘(𝑇𝑥)))
61, 4hocofi 31528 . . . . . 6 (𝑅𝑇): ℋ⟶ ℋ
72, 4hocofi 31528 . . . . . 6 (𝑆𝑇): ℋ⟶ ℋ
8 hodval 31504 . . . . . 6 (((𝑅𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑆𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑅𝑇) −op (𝑆𝑇))‘𝑥) = (((𝑅𝑇)‘𝑥) − ((𝑆𝑇)‘𝑥)))
96, 7, 8mp3an12 1447 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑅𝑇) −op (𝑆𝑇))‘𝑥) = (((𝑅𝑇)‘𝑥) − ((𝑆𝑇)‘𝑥)))
104ffvelcdmi 7079 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
11 hodval 31504 . . . . . . . 8 ((𝑅: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℋ) → ((𝑅op 𝑆)‘(𝑇𝑥)) = ((𝑅‘(𝑇𝑥)) − (𝑆‘(𝑇𝑥))))
121, 2, 11mp3an12 1447 . . . . . . 7 ((𝑇𝑥) ∈ ℋ → ((𝑅op 𝑆)‘(𝑇𝑥)) = ((𝑅‘(𝑇𝑥)) − (𝑆‘(𝑇𝑥))))
1310, 12syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑅op 𝑆)‘(𝑇𝑥)) = ((𝑅‘(𝑇𝑥)) − (𝑆‘(𝑇𝑥))))
141, 4hocoi 31526 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑅𝑇)‘𝑥) = (𝑅‘(𝑇𝑥)))
152, 4hocoi 31526 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆𝑇)‘𝑥) = (𝑆‘(𝑇𝑥)))
1614, 15oveq12d 7423 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑅𝑇)‘𝑥) − ((𝑆𝑇)‘𝑥)) = ((𝑅‘(𝑇𝑥)) − (𝑆‘(𝑇𝑥))))
1713, 16eqtr4d 2769 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑅op 𝑆)‘(𝑇𝑥)) = (((𝑅𝑇)‘𝑥) − ((𝑆𝑇)‘𝑥)))
189, 17eqtr4d 2769 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑅𝑇) −op (𝑆𝑇))‘𝑥) = ((𝑅op 𝑆)‘(𝑇𝑥)))
195, 18eqtr4d 2769 . . 3 (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑅op 𝑆) ∘ 𝑇)‘𝑥) = (((𝑅𝑇) −op (𝑆𝑇))‘𝑥))
2019rgen 3057 . 2 𝑥 ∈ ℋ (((𝑅op 𝑆) ∘ 𝑇)‘𝑥) = (((𝑅𝑇) −op (𝑆𝑇))‘𝑥)
213, 4hocofi 31528 . . 3 ((𝑅op 𝑆) ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ
226, 7hosubcli 31531 . . 3 ((𝑅𝑇) −op (𝑆𝑇)): ℋ⟶ ℋ
2321, 22hoeqi 31523 . 2 (∀𝑥 ∈ ℋ (((𝑅op 𝑆) ∘ 𝑇)‘𝑥) = (((𝑅𝑇) −op (𝑆𝑇))‘𝑥) ↔ ((𝑅op 𝑆) ∘ 𝑇) = ((𝑅𝑇) −op (𝑆𝑇)))
2420, 23mpbi 229 1 ((𝑅op 𝑆) ∘ 𝑇) = ((𝑅𝑇) −op (𝑆𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3055  ccom 5673  wf 6533  cfv 6537  (class class class)co 7405  chba 30681   cmv 30687  op chod 30702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-hilex 30761  ax-hfvadd 30762  ax-hfvmul 30767
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-ltxr 11257  df-sub 11450  df-neg 11451  df-hvsub 30733  df-hodif 31494
This theorem is referenced by:  hocsubdir  31547  unierri  31866  pjclem3  31959
  Copyright terms: Public domain W3C validator