Theorem hocsubdiri 31632

Description: Distributive law for Hilbert space operator difference. (Contributed by NM, 26-Nov-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hods.1	⊢ 𝑅: ℋ⟶ ℋ
hods.2	⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
hods.3	⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hocsubdiri	⊢ ((𝑅 −op 𝑆) ∘ 𝑇) = ((𝑅 ∘ 𝑇) −op (𝑆 ∘ 𝑇))

Proof of Theorem hocsubdiri

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hods.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑅: ℋ⟶ ℋ
2		hods.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
3	1, 2	hosubcli 31621	. . . . 5 ⊢ (𝑅 −op 𝑆): ℋ⟶ ℋ
4		hods.3	. . . . 5 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
5	3, 4	hocoi 31616	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑅 −op 𝑆) ∘ 𝑇)‘𝑥) = ((𝑅 −op 𝑆)‘(𝑇‘𝑥)))
6	1, 4	hocofi 31618	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ
7	2, 4	hocofi 31618	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ
8		hodval 31594	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑅 ∘ 𝑇) −op (𝑆 ∘ 𝑇))‘𝑥) = (((𝑅 ∘ 𝑇)‘𝑥) −ℎ ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)))
9	6, 7, 8	mp3an12 1447	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑅 ∘ 𝑇) −op (𝑆 ∘ 𝑇))‘𝑥) = (((𝑅 ∘ 𝑇)‘𝑥) −ℎ ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)))
10	4	ffvelcdmi 7087	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
11		hodval 31594	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ) → ((𝑅 −op 𝑆)‘(𝑇‘𝑥)) = ((𝑅‘(𝑇‘𝑥)) −ℎ (𝑆‘(𝑇‘𝑥))))
12	1, 2, 11	mp3an12 1447	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ → ((𝑅 −op 𝑆)‘(𝑇‘𝑥)) = ((𝑅‘(𝑇‘𝑥)) −ℎ (𝑆‘(𝑇‘𝑥))))
13	10, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑅 −op 𝑆)‘(𝑇‘𝑥)) = ((𝑅‘(𝑇‘𝑥)) −ℎ (𝑆‘(𝑇‘𝑥))))
14	1, 4	hocoi 31616	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑅 ∘ 𝑇)‘𝑥) = (𝑅‘(𝑇‘𝑥)))
15	2, 4	hocoi 31616	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) = (𝑆‘(𝑇‘𝑥)))
16	14, 15	oveq12d 7433	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑅 ∘ 𝑇)‘𝑥) −ℎ ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) = ((𝑅‘(𝑇‘𝑥)) −ℎ (𝑆‘(𝑇‘𝑥))))
17	13, 16	eqtr4d 2768	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑅 −op 𝑆)‘(𝑇‘𝑥)) = (((𝑅 ∘ 𝑇)‘𝑥) −ℎ ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)))
18	9, 17	eqtr4d 2768	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑅 ∘ 𝑇) −op (𝑆 ∘ 𝑇))‘𝑥) = ((𝑅 −op 𝑆)‘(𝑇‘𝑥)))
19	5, 18	eqtr4d 2768	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑅 −op 𝑆) ∘ 𝑇)‘𝑥) = (((𝑅 ∘ 𝑇) −op (𝑆 ∘ 𝑇))‘𝑥))
20	19	rgen 3053	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ (((𝑅 −op 𝑆) ∘ 𝑇)‘𝑥) = (((𝑅 ∘ 𝑇) −op (𝑆 ∘ 𝑇))‘𝑥)
21	3, 4	hocofi 31618	. . 3 ⊢ ((𝑅 −op 𝑆) ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ
22	6, 7	hosubcli 31621	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∘ 𝑇) −op (𝑆 ∘ 𝑇)): ℋ⟶ ℋ
23	21, 22	hoeqi 31613	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ (((𝑅 −op 𝑆) ∘ 𝑇)‘𝑥) = (((𝑅 ∘ 𝑇) −op (𝑆 ∘ 𝑇))‘𝑥) ↔ ((𝑅 −op 𝑆) ∘ 𝑇) = ((𝑅 ∘ 𝑇) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))
24	20, 23	mpbi 229	1 ⊢ ((𝑅 −op 𝑆) ∘ 𝑇) = ((𝑅 ∘ 𝑇) −op (𝑆 ∘ 𝑇))

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3051   ∘ ccom 5676  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7415   ℋchba 30771   −_ℎ cmv 30777   −_op chod 30792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-hilex 30851  ax-hfvadd 30852  ax-hfvmul 30857

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-ltxr 11281  df-sub 11474  df-neg 11475  df-hvsub 30823  df-hodif 31584

This theorem is referenced by:  hocsubdir  31637  unierri  31956  pjclem3  32049