Theorem hocsubdiri 31812

Description: Distributive law for Hilbert space operator difference. (Contributed by NM, 26-Nov-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hods.1	⊢ 𝑅: ℋ⟶ ℋ
hods.2	⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
hods.3	⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hocsubdiri	⊢ ((𝑅 −op 𝑆) ∘ 𝑇) = ((𝑅 ∘ 𝑇) −op (𝑆 ∘ 𝑇))

Proof of Theorem hocsubdiri

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hods.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑅: ℋ⟶ ℋ
2		hods.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
3	1, 2	hosubcli 31801	. . . . 5 ⊢ (𝑅 −op 𝑆): ℋ⟶ ℋ
4		hods.3	. . . . 5 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
5	3, 4	hocoi 31796	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑅 −op 𝑆) ∘ 𝑇)‘𝑥) = ((𝑅 −op 𝑆)‘(𝑇‘𝑥)))
6	1, 4	hocofi 31798	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ
7	2, 4	hocofi 31798	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ
8		hodval 31774	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑅 ∘ 𝑇) −op (𝑆 ∘ 𝑇))‘𝑥) = (((𝑅 ∘ 𝑇)‘𝑥) −ℎ ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)))
9	6, 7, 8	mp3an12 1451	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑅 ∘ 𝑇) −op (𝑆 ∘ 𝑇))‘𝑥) = (((𝑅 ∘ 𝑇)‘𝑥) −ℎ ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)))
10	4	ffvelcdmi 7117	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
11		hodval 31774	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ) → ((𝑅 −op 𝑆)‘(𝑇‘𝑥)) = ((𝑅‘(𝑇‘𝑥)) −ℎ (𝑆‘(𝑇‘𝑥))))
12	1, 2, 11	mp3an12 1451	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ → ((𝑅 −op 𝑆)‘(𝑇‘𝑥)) = ((𝑅‘(𝑇‘𝑥)) −ℎ (𝑆‘(𝑇‘𝑥))))
13	10, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑅 −op 𝑆)‘(𝑇‘𝑥)) = ((𝑅‘(𝑇‘𝑥)) −ℎ (𝑆‘(𝑇‘𝑥))))
14	1, 4	hocoi 31796	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑅 ∘ 𝑇)‘𝑥) = (𝑅‘(𝑇‘𝑥)))
15	2, 4	hocoi 31796	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) = (𝑆‘(𝑇‘𝑥)))
16	14, 15	oveq12d 7466	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑅 ∘ 𝑇)‘𝑥) −ℎ ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) = ((𝑅‘(𝑇‘𝑥)) −ℎ (𝑆‘(𝑇‘𝑥))))
17	13, 16	eqtr4d 2783	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑅 −op 𝑆)‘(𝑇‘𝑥)) = (((𝑅 ∘ 𝑇)‘𝑥) −ℎ ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)))
18	9, 17	eqtr4d 2783	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑅 ∘ 𝑇) −op (𝑆 ∘ 𝑇))‘𝑥) = ((𝑅 −op 𝑆)‘(𝑇‘𝑥)))
19	5, 18	eqtr4d 2783	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑅 −op 𝑆) ∘ 𝑇)‘𝑥) = (((𝑅 ∘ 𝑇) −op (𝑆 ∘ 𝑇))‘𝑥))
20	19	rgen 3069	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ (((𝑅 −op 𝑆) ∘ 𝑇)‘𝑥) = (((𝑅 ∘ 𝑇) −op (𝑆 ∘ 𝑇))‘𝑥)
21	3, 4	hocofi 31798	. . 3 ⊢ ((𝑅 −op 𝑆) ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ
22	6, 7	hosubcli 31801	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∘ 𝑇) −op (𝑆 ∘ 𝑇)): ℋ⟶ ℋ
23	21, 22	hoeqi 31793	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ (((𝑅 −op 𝑆) ∘ 𝑇)‘𝑥) = (((𝑅 ∘ 𝑇) −op (𝑆 ∘ 𝑇))‘𝑥) ↔ ((𝑅 −op 𝑆) ∘ 𝑇) = ((𝑅 ∘ 𝑇) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))
24	20, 23	mpbi 230	1 ⊢ ((𝑅 −op 𝑆) ∘ 𝑇) = ((𝑅 ∘ 𝑇) −op (𝑆 ∘ 𝑇))

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067   ∘ ccom 5704  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ℋchba 30951   −_ℎ cmv 30957   −_op chod 30972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-hilex 31031  ax-hfvadd 31032  ax-hfvmul 31037

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-sub 11522  df-neg 11523  df-hvsub 31003  df-hodif 31764

This theorem is referenced by:  hocsubdir  31817  unierri  32136  pjclem3  32229