Theorem hocsubdiri 31867

Description: Distributive law for Hilbert space operator difference. (Contributed by NM, 26-Nov-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hods.1	⊢ 𝑅: ℋ⟶ ℋ
hods.2	⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
hods.3	⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hocsubdiri	⊢ ((𝑅 −op 𝑆) ∘ 𝑇) = ((𝑅 ∘ 𝑇) −op (𝑆 ∘ 𝑇))

Proof of Theorem hocsubdiri

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hods.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑅: ℋ⟶ ℋ
2		hods.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
3	1, 2	hosubcli 31856	. . . . 5 ⊢ (𝑅 −op 𝑆): ℋ⟶ ℋ
4		hods.3	. . . . 5 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
5	3, 4	hocoi 31851	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑅 −op 𝑆) ∘ 𝑇)‘𝑥) = ((𝑅 −op 𝑆)‘(𝑇‘𝑥)))
6	1, 4	hocofi 31853	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ
7	2, 4	hocofi 31853	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ
8		hodval 31829	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑅 ∘ 𝑇) −op (𝑆 ∘ 𝑇))‘𝑥) = (((𝑅 ∘ 𝑇)‘𝑥) −ℎ ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)))
9	6, 7, 8	mp3an12 1454	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑅 ∘ 𝑇) −op (𝑆 ∘ 𝑇))‘𝑥) = (((𝑅 ∘ 𝑇)‘𝑥) −ℎ ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)))
10	4	ffvelcdmi 7037	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
11		hodval 31829	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ) → ((𝑅 −op 𝑆)‘(𝑇‘𝑥)) = ((𝑅‘(𝑇‘𝑥)) −ℎ (𝑆‘(𝑇‘𝑥))))
12	1, 2, 11	mp3an12 1454	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ → ((𝑅 −op 𝑆)‘(𝑇‘𝑥)) = ((𝑅‘(𝑇‘𝑥)) −ℎ (𝑆‘(𝑇‘𝑥))))
13	10, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑅 −op 𝑆)‘(𝑇‘𝑥)) = ((𝑅‘(𝑇‘𝑥)) −ℎ (𝑆‘(𝑇‘𝑥))))
14	1, 4	hocoi 31851	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑅 ∘ 𝑇)‘𝑥) = (𝑅‘(𝑇‘𝑥)))
15	2, 4	hocoi 31851	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) = (𝑆‘(𝑇‘𝑥)))
16	14, 15	oveq12d 7386	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑅 ∘ 𝑇)‘𝑥) −ℎ ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) = ((𝑅‘(𝑇‘𝑥)) −ℎ (𝑆‘(𝑇‘𝑥))))
17	13, 16	eqtr4d 2775	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑅 −op 𝑆)‘(𝑇‘𝑥)) = (((𝑅 ∘ 𝑇)‘𝑥) −ℎ ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)))
18	9, 17	eqtr4d 2775	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑅 ∘ 𝑇) −op (𝑆 ∘ 𝑇))‘𝑥) = ((𝑅 −op 𝑆)‘(𝑇‘𝑥)))
19	5, 18	eqtr4d 2775	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑅 −op 𝑆) ∘ 𝑇)‘𝑥) = (((𝑅 ∘ 𝑇) −op (𝑆 ∘ 𝑇))‘𝑥))
20	19	rgen 3054	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ (((𝑅 −op 𝑆) ∘ 𝑇)‘𝑥) = (((𝑅 ∘ 𝑇) −op (𝑆 ∘ 𝑇))‘𝑥)
21	3, 4	hocofi 31853	. . 3 ⊢ ((𝑅 −op 𝑆) ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ
22	6, 7	hosubcli 31856	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∘ 𝑇) −op (𝑆 ∘ 𝑇)): ℋ⟶ ℋ
23	21, 22	hoeqi 31848	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ (((𝑅 −op 𝑆) ∘ 𝑇)‘𝑥) = (((𝑅 ∘ 𝑇) −op (𝑆 ∘ 𝑇))‘𝑥) ↔ ((𝑅 −op 𝑆) ∘ 𝑇) = ((𝑅 ∘ 𝑇) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))
24	20, 23	mpbi 230	1 ⊢ ((𝑅 −op 𝑆) ∘ 𝑇) = ((𝑅 ∘ 𝑇) −op (𝑆 ∘ 𝑇))

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ∘ ccom 5636  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ℋchba 31006   −_ℎ cmv 31012   −_op chod 31027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-hilex 31086  ax-hfvadd 31087  ax-hfvmul 31092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-ltxr 11183  df-sub 11378  df-neg 11379  df-hvsub 31058  df-hodif 31819

This theorem is referenced by:  hocsubdir  31872  unierri  32191  pjclem3  32284