Theorem ffvelcdmi 7021

Description: A function's value belongs to its codomain. (Contributed by NM, 6-Apr-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
ffvelcdmi.1	⊢ 𝐹:𝐴⟶𝐵

Assertion

Ref	Expression
ffvelcdmi	⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ffvelcdmi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelcdmi.1	. 2 ⊢ 𝐹:𝐴⟶𝐵
2		ffvelcdm 7019	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵)
3	1, 2	mpan 690	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-dif 3908  df-un 3910  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-fv 6494

This theorem is referenced by:  f0cli  7036  cantnfval2  9584  cantnfle  9586  cantnflt  9587  cantnfres  9592  cantnfp1lem3  9595  cantnflem1b  9601  cantnflem1d  9603  cantnflem1  9604  wemapwe  9612  cnfcomlem  9614  cnfcom  9615  cnfcom3lem  9618  cnfcom3  9619  ackbij1lem14  10145  ackbij1lem15  10146  ackbij1lem16  10147  ackbij1lem18  10149  fpwwe2lem7  10550  nqercl  10844  uzssz  12774  axdc4uzlem  13908  hashkf  14257  hashcl  14281  hashxrcl  14282  hashgadd  14302  cjcl  15030  limsupcl  15398  limsuplt  15404  limsupval2  15405  limsupgre  15406  limsupbnd2  15408  cn1lem  15523  climcn1lem  15528  caucvgrlem2  15600  fsumrelem  15732  ackbijnn  15753  efcl  16007  sincl  16053  coscl  16054  rpnnen2lem9  16149  rpnnen2lem12  16152  sadcaddlem  16386  sadadd2lem  16388  sadadd3  16390  sadaddlem  16395  sadasslem  16399  sadeq  16401  algcvg  16505  algcvgb  16507  algcvga  16508  algfx  16509  eucalgcvga  16515  eucalg  16516  xpsaddlem  17495  xpsvsca  17499  xpsle  17501  efgtf  19619  efgtlen  19623  efginvrel2  19624  efginvrel1  19625  efgsp1  19634  efgredleme  19640  efgredlemc  19642  efgred  19645  efgred2  19650  efgcpbllemb  19652  frgpnabllem1  19770  xpsdsval  24285  xrhmeo  24860  ioorcl  25494  volsup2  25522  volivth  25524  itg2const2  25658  itg2gt0  25677  dvcjbr  25869  dvcj  25870  dvfre  25871  rolle  25910  deg1xrcl  26003  plypf1  26133  resinf1o  26461  efif1olem4  26470  eff1olem  26473  logrncl  26492  relogcl  26500  asincl  26799  acoscl  26801  atancl  26807  asinrebnd  26827  dvatan  26861  leibpilem2  26867  leibpi  26868  areacl  26888  areage0  26889  divsqrtsumo1  26910  emcllem6  26927  emcllem7  26928  gamcl  26970  chtcl  27035  chpcl  27050  ppicl  27057  mucl  27067  sqff1o  27108  bposlem7  27217  dchrisum0lem2a  27444  mulog2sumlem1  27461  pntrsumo1  27492  pntrsumbnd  27493  pntrsumbnd2  27494  selbergr  27495  selberg3r  27496  selberg34r  27498  pntrlog2bndlem1  27504  pntrlog2bndlem2  27505  pntrlog2bndlem3  27506  pntrlog2bndlem4  27507  pntrlog2bndlem5  27508  pntrlog2bndlem6  27510  pntrlog2bnd  27511  pntpbnd1a  27512  pntpbnd1  27513  pntpbnd2  27514  pntibndlem2  27518  pntlemn  27527  pntlemj  27530  pntlemf  27532  pntlemo  27534  pntleml  27538  newf  27786  leftf  27797  rightf  27798  elmade  27799  ssltleft  27802  ssltright  27803  lnocoi  30719  nmlno0lem  30755  nmblolbii  30761  blocnilem  30766  blocni  30767  normcl  31087  occl  31266  hococli  31727  hosubcli  31731  hoaddcomi  31734  hodsi  31737  hoaddassi  31738  hocadddiri  31741  hocsubdiri  31742  ho2coi  31743  hoaddridi  31748  ho0coi  31750  hoid1ri  31752  honegsubi  31758  ho01i  31790  ho02i  31791  dmadjrn  31857  nmopnegi  31927  lnopaddi  31933  lnopsubi  31936  hoddii  31951  nmlnop0iALT  31957  lnopmi  31962  lnophsi  31963  lnopcoi  31965  lnopeq0lem1  31967  lnopeqi  31970  lnopunilem1  31972  lnopunilem2  31973  lnophmlem2  31979  nmbdoplbi  31986  nmcopexi  31989  nmcoplbi  31990  nmophmi  31993  lnopconi  31996  lnfn0i  32004  lnfnaddi  32005  lnfnmuli  32006  lnfnsubi  32008  nmbdfnlbi  32011  nmcfnexi  32013  nmcfnlbi  32014  lnfnconi  32017  riesz3i  32024  riesz4i  32025  cnlnadjlem2  32030  cnlnadjlem4  32032  cnlnadjlem6  32034  cnlnadjlem7  32035  nmopadjlem  32051  nmoptrii  32056  nmopcoi  32057  adjcoi  32062  nmopcoadji  32063  bracnln  32071  opsqrlem5  32106  opsqrlem6  32107  hmopidmchi  32113  hmopidmpji  32114  pjsdii  32117  pjddii  32118  pjcohocli  32165  mhmhmeotmd  33893  xrge0pluscn  33906  voliune  34195  volfiniune  34196  ddemeas  34202  eulerpartlems  34327  eulerpartlemsv3  34328  eulerpartlemgc  34329  eulerpartlemgvv  34343  eulerpartlemgf  34346  eulerpartlemgs2  34347  eulerpartlemn  34348  derangen  35144  subfacf  35147  subfacp1lem6  35157  subfaclim  35160  subfacval3  35161  msrrcl  35515  msrid  35517  circum  35646  fpwfvss  43385  liminfval2  45750  ismbl3  45968  ovolsplit  45970  stirlinglem13  46068  fourierdlem55  46143  fourierdlem77  46165  fourierdlem80  46168