Theorem ffvelcdmi 7117

Description: A function's value belongs to its codomain. (Contributed by NM, 6-Apr-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
ffvelcdmi.1	⊢ 𝐹:𝐴⟶𝐵

Assertion

Ref	Expression
ffvelcdmi	⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ffvelcdmi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelcdmi.1	. 2 ⊢ 𝐹:𝐴⟶𝐵
2		ffvelcdm 7115	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵)
3	1, 2	mpan 689	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-fv 6581

This theorem is referenced by:  f0cli  7132  cantnfval2  9738  cantnfle  9740  cantnflt  9741  cantnfres  9746  cantnfp1lem3  9749  cantnflem1b  9755  cantnflem1d  9757  cantnflem1  9758  wemapwe  9766  cnfcomlem  9768  cnfcom  9769  cnfcom3lem  9772  cnfcom3  9773  ackbij1lem14  10301  ackbij1lem15  10302  ackbij1lem16  10303  ackbij1lem18  10305  fpwwe2lem7  10706  nqercl  11000  uzssz  12924  axdc4uzlem  14034  hashkf  14381  hashcl  14405  hashxrcl  14406  hashgadd  14426  cjcl  15154  limsupcl  15519  limsuplt  15525  limsupval2  15526  limsupgre  15527  limsupbnd2  15529  cn1lem  15644  climcn1lem  15649  caucvgrlem2  15723  fsumrelem  15855  ackbijnn  15876  efcl  16130  sincl  16174  coscl  16175  rpnnen2lem9  16270  rpnnen2lem12  16273  sadcaddlem  16503  sadadd2lem  16505  sadadd3  16507  sadaddlem  16512  sadasslem  16516  sadeq  16518  algcvg  16623  algcvgb  16625  algcvga  16626  algfx  16627  eucalgcvga  16633  eucalg  16634  xpsaddlem  17633  xpsvsca  17637  xpsle  17639  efgtf  19764  efgtlen  19768  efginvrel2  19769  efginvrel1  19770  efgsp1  19779  efgredleme  19785  efgredlemc  19787  efgred  19790  efgred2  19795  efgcpbllemb  19797  frgpnabllem1  19915  xpsdsval  24412  xrhmeo  24996  ioorcl  25631  volsup2  25659  volivth  25661  itg2const2  25796  itg2gt0  25815  dvcjbr  26007  dvcj  26008  dvfre  26009  rolle  26048  deg1xrcl  26141  plypf1  26271  resinf1o  26596  efif1olem4  26605  eff1olem  26608  logrncl  26627  relogcl  26635  asincl  26934  acoscl  26936  atancl  26942  asinrebnd  26962  dvatan  26996  leibpilem2  27002  leibpi  27003  areacl  27023  areage0  27024  divsqrtsumo1  27045  emcllem6  27062  emcllem7  27063  gamcl  27105  chtcl  27170  chpcl  27185  ppicl  27192  mucl  27202  sqff1o  27243  bposlem7  27352  dchrisum0lem2a  27579  mulog2sumlem1  27596  pntrsumo1  27627  pntrsumbnd  27628  pntrsumbnd2  27629  selbergr  27630  selberg3r  27631  selberg34r  27633  pntrlog2bndlem1  27639  pntrlog2bndlem2  27640  pntrlog2bndlem3  27641  pntrlog2bndlem4  27642  pntrlog2bndlem5  27643  pntrlog2bndlem6  27645  pntrlog2bnd  27646  pntpbnd1a  27647  pntpbnd1  27648  pntpbnd2  27649  pntibndlem2  27653  pntlemn  27662  pntlemj  27665  pntlemf  27667  pntlemo  27669  pntleml  27673  newf  27915  leftf  27922  rightf  27923  elmade  27924  ssltleft  27927  ssltright  27928  lnocoi  30789  nmlno0lem  30825  nmblolbii  30831  blocnilem  30836  blocni  30837  normcl  31157  occl  31336  hococli  31797  hosubcli  31801  hoaddcomi  31804  hodsi  31807  hoaddassi  31808  hocadddiri  31811  hocsubdiri  31812  ho2coi  31813  hoaddridi  31818  ho0coi  31820  hoid1ri  31822  honegsubi  31828  ho01i  31860  ho02i  31861  dmadjrn  31927  nmopnegi  31997  lnopaddi  32003  lnopsubi  32006  hoddii  32021  nmlnop0iALT  32027  lnopmi  32032  lnophsi  32033  lnopcoi  32035  lnopeq0lem1  32037  lnopeqi  32040  lnopunilem1  32042  lnopunilem2  32043  lnophmlem2  32049  nmbdoplbi  32056  nmcopexi  32059  nmcoplbi  32060  nmophmi  32063  lnopconi  32066  lnfn0i  32074  lnfnaddi  32075  lnfnmuli  32076  lnfnsubi  32078  nmbdfnlbi  32081  nmcfnexi  32083  nmcfnlbi  32084  lnfnconi  32087  riesz3i  32094  riesz4i  32095  cnlnadjlem2  32100  cnlnadjlem4  32102  cnlnadjlem6  32104  cnlnadjlem7  32105  nmopadjlem  32121  nmoptrii  32126  nmopcoi  32127  adjcoi  32132  nmopcoadji  32133  bracnln  32141  opsqrlem5  32176  opsqrlem6  32177  hmopidmchi  32183  hmopidmpji  32184  pjsdii  32187  pjddii  32188  pjcohocli  32235  mhmhmeotmd  33873  xrge0pluscn  33886  voliune  34193  volfiniune  34194  ddemeas  34200  eulerpartlems  34325  eulerpartlemsv3  34326  eulerpartlemgc  34327  eulerpartlemgvv  34341  eulerpartlemgf  34344  eulerpartlemgs2  34345  eulerpartlemn  34346  derangen  35140  subfacf  35143  subfacp1lem6  35153  subfaclim  35156  subfacval3  35157  msrrcl  35511  msrid  35513  circum  35642  fpwfvss  43374  liminfval2  45689  ismbl3  45907  ovolsplit  45909  stirlinglem13  46007  fourierdlem55  46082  fourierdlem77  46104  fourierdlem80  46107