Theorem ids1 14724

Description: Identity function protection for a singleton word. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
ids1	⊢ ⟨“𝐴”⟩ = ⟨“( I ‘𝐴)”⟩

Proof of Theorem ids1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6890	. . . . 5 ⊢ ( I ‘𝐴) ∈ V
2		fvi 6953	. . . . 5 ⊢ (( I ‘𝐴) ∈ V → ( I ‘( I ‘𝐴)) = ( I ‘𝐴))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( I ‘( I ‘𝐴)) = ( I ‘𝐴)
4	3	opeq2i 4837	. . 3 ⊢ ⟨0, ( I ‘( I ‘𝐴))⟩ = ⟨0, ( I ‘𝐴)⟩
5	4	sneqi 4595	. 2 ⊢ {⟨0, ( I ‘( I ‘𝐴))⟩} = {⟨0, ( I ‘𝐴)⟩}
6		df-s1 14723	. 2 ⊢ ⟨“( I ‘𝐴)”⟩ = {⟨0, ( I ‘( I ‘𝐴))⟩}
7		df-s1 14723	. 2 ⊢ ⟨“𝐴”⟩ = {⟨0, ( I ‘𝐴)⟩}
8	5, 6, 7	3eqtr4ri 2795	1 ⊢ ⟨“𝐴”⟩ = ⟨“( I ‘𝐴)”⟩

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451  {csn 4584  ⟨cop 4590   I cid 5545  ‘cfv 6531  0cc0 11181  ⟨“cs1 14722

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fv 6539  df-s1 14723

This theorem is used by:  s1prc  14731  s1cli  14732  revs1  14894