MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  revs1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem revs1 14660
Description: Singleton words are their own reverses. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)
Assertion
Ref Expression
revs1 (reverseβ€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©

Proof of Theorem revs1
StepHypRef Expression
1 s1cli 14500 . . . . 5 βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ© ∈ Word V
2 s1len 14501 . . . . . . 7 (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©) = 1
3 1nn 12171 . . . . . . 7 1 ∈ β„•
42, 3eqeltri 2834 . . . . . 6 (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©) ∈ β„•
5 lbfzo0 13619 . . . . . 6 (0 ∈ (0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©)) ↔ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©) ∈ β„•)
64, 5mpbir 230 . . . . 5 0 ∈ (0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©))
7 revfv 14658 . . . . 5 ((βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ© ∈ Word V ∧ 0 ∈ (0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©))) β†’ ((reverseβ€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©)β€˜0) = (βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©β€˜(((β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©) βˆ’ 1) βˆ’ 0)))
81, 6, 7mp2an 691 . . . 4 ((reverseβ€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©)β€˜0) = (βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©β€˜(((β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©) βˆ’ 1) βˆ’ 0))
92oveq1i 7372 . . . . . . . . 9 ((β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©) βˆ’ 1) = (1 βˆ’ 1)
10 1m1e0 12232 . . . . . . . . 9 (1 βˆ’ 1) = 0
119, 10eqtri 2765 . . . . . . . 8 ((β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©) βˆ’ 1) = 0
1211oveq1i 7372 . . . . . . 7 (((β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©) βˆ’ 1) βˆ’ 0) = (0 βˆ’ 0)
13 0m0e0 12280 . . . . . . 7 (0 βˆ’ 0) = 0
1412, 13eqtri 2765 . . . . . 6 (((β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©) βˆ’ 1) βˆ’ 0) = 0
1514fveq2i 6850 . . . . 5 (βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©β€˜(((β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©) βˆ’ 1) βˆ’ 0)) = (βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©β€˜0)
16 ids1 14492 . . . . . . 7 βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ© = βŸ¨β€œ( I β€˜π‘†)β€βŸ©
1716fveq1i 6848 . . . . . 6 (βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©β€˜0) = (βŸ¨β€œ( I β€˜π‘†)β€βŸ©β€˜0)
18 fvex 6860 . . . . . . 7 ( I β€˜π‘†) ∈ V
19 s1fv 14505 . . . . . . 7 (( I β€˜π‘†) ∈ V β†’ (βŸ¨β€œ( I β€˜π‘†)β€βŸ©β€˜0) = ( I β€˜π‘†))
2018, 19ax-mp 5 . . . . . 6 (βŸ¨β€œ( I β€˜π‘†)β€βŸ©β€˜0) = ( I β€˜π‘†)
2117, 20eqtri 2765 . . . . 5 (βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©β€˜0) = ( I β€˜π‘†)
2215, 21eqtri 2765 . . . 4 (βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©β€˜(((β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©) βˆ’ 1) βˆ’ 0)) = ( I β€˜π‘†)
238, 22eqtri 2765 . . 3 ((reverseβ€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©)β€˜0) = ( I β€˜π‘†)
24 s1eq 14495 . . 3 (((reverseβ€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©)β€˜0) = ( I β€˜π‘†) β†’ βŸ¨β€œ((reverseβ€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©)β€˜0)β€βŸ© = βŸ¨β€œ( I β€˜π‘†)β€βŸ©)
2523, 24ax-mp 5 . 2 βŸ¨β€œ((reverseβ€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©)β€˜0)β€βŸ© = βŸ¨β€œ( I β€˜π‘†)β€βŸ©
26 revcl 14656 . . . 4 (βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ© ∈ Word V β†’ (reverseβ€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©) ∈ Word V)
271, 26ax-mp 5 . . 3 (reverseβ€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©) ∈ Word V
28 revlen 14657 . . . . 5 (βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ© ∈ Word V β†’ (β™―β€˜(reverseβ€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©)) = (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©))
291, 28ax-mp 5 . . . 4 (β™―β€˜(reverseβ€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©)) = (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©)
3029, 2eqtri 2765 . . 3 (β™―β€˜(reverseβ€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©)) = 1
31 eqs1 14507 . . 3 (((reverseβ€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©) ∈ Word V ∧ (β™―β€˜(reverseβ€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©)) = 1) β†’ (reverseβ€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©) = βŸ¨β€œ((reverseβ€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©)β€˜0)β€βŸ©)
3227, 30, 31mp2an 691 . 2 (reverseβ€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©) = βŸ¨β€œ((reverseβ€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©)β€˜0)β€βŸ©
3325, 32, 163eqtr4i 2775 1 (reverseβ€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3448   I cid 5535  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  0cc0 11058  1c1 11059   βˆ’ cmin 11392  β„•cn 12160  ..^cfzo 13574  β™―chash 14237  Word cword 14409  βŸ¨β€œcs1 14490  reversecreverse 14653
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-hash 14238  df-word 14410  df-s1 14491  df-reverse 14654
This theorem is referenced by:  gsumwrev  19154  efginvrel2  19516  vrgpinv  19558
  Copyright terms: Public domain W3C validator