Theorem revs1 14907

Description: Singleton words are their own reverses. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
revs1	⊢ (reverse‘⟨“𝑆”⟩) = ⟨“𝑆”⟩

Proof of Theorem revs1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1cli 14745	. . . . 5 ⊢ ⟨“𝑆”⟩ ∈ Word V
2		s1len 14746	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘⟨“𝑆”⟩) = 1
3		1nn 12339	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
4	2, 3	eqeltri 2857	. . . . . 6 ⊢ (♯‘⟨“𝑆”⟩) ∈ ℕ
5		lbfzo0 13827	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝑆”⟩)) ↔ (♯‘⟨“𝑆”⟩) ∈ ℕ)
6	4, 5	mpbir 234	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝑆”⟩))
7		revfv 14905	. . . . 5 ⊢ ((⟨“𝑆”⟩ ∈ Word V ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝑆”⟩))) → ((reverse‘⟨“𝑆”⟩)‘0) = (⟨“𝑆”⟩‘(((♯‘⟨“𝑆”⟩) − 1) − 0)))
8	1, 6, 7	mp2an 705	. . . 4 ⊢ ((reverse‘⟨“𝑆”⟩)‘0) = (⟨“𝑆”⟩‘(((♯‘⟨“𝑆”⟩) − 1) − 0))
9	2	oveq1i 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘⟨“𝑆”⟩) − 1) = (1 − 1)
10		1m1e0 12408	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 − 1) = 0
11	9, 10	eqtri 2784	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘⟨“𝑆”⟩) − 1) = 0
12	11	oveq1i 7428	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘⟨“𝑆”⟩) − 1) − 0) = (0 − 0)
13		0m0e0 12454	. . . . . . 7 ⊢ (0 − 0) = 0
14	12, 13	eqtri 2784	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘⟨“𝑆”⟩) − 1) − 0) = 0
15	14	fveq2i 6886	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝑆”⟩‘(((♯‘⟨“𝑆”⟩) − 1) − 0)) = (⟨“𝑆”⟩‘0)
16		ids1 14737	. . . . . . 7 ⊢ ⟨“𝑆”⟩ = ⟨“( I ‘𝑆)”⟩
17	16	fveq1i 6884	. . . . . 6 ⊢ (⟨“𝑆”⟩‘0) = (⟨“( I ‘𝑆)”⟩‘0)
18		fvex 6896	. . . . . . 7 ⊢ ( I ‘𝑆) ∈ V
19		s1fv 14751	. . . . . . 7 ⊢ (( I ‘𝑆) ∈ V → (⟨“( I ‘𝑆)”⟩‘0) = ( I ‘𝑆))
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (⟨“( I ‘𝑆)”⟩‘0) = ( I ‘𝑆)
21	17, 20	eqtri 2784	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝑆”⟩‘0) = ( I ‘𝑆)
22	15, 21	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ (⟨“𝑆”⟩‘(((♯‘⟨“𝑆”⟩) − 1) − 0)) = ( I ‘𝑆)
23	8, 22	eqtri 2784	. . 3 ⊢ ((reverse‘⟨“𝑆”⟩)‘0) = ( I ‘𝑆)
24		s1eq 14740	. . 3 ⊢ (((reverse‘⟨“𝑆”⟩)‘0) = ( I ‘𝑆) → ⟨“((reverse‘⟨“𝑆”⟩)‘0)”⟩ = ⟨“( I ‘𝑆)”⟩)
25	23, 24	ax-mp 5	. 2 ⊢ ⟨“((reverse‘⟨“𝑆”⟩)‘0)”⟩ = ⟨“( I ‘𝑆)”⟩
26		revcl 14903	. . . 4 ⊢ (⟨“𝑆”⟩ ∈ Word V → (reverse‘⟨“𝑆”⟩) ∈ Word V)
27	1, 26	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (reverse‘⟨“𝑆”⟩) ∈ Word V
28		revlen 14904	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝑆”⟩ ∈ Word V → (♯‘(reverse‘⟨“𝑆”⟩)) = (♯‘⟨“𝑆”⟩))
29	1, 28	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘(reverse‘⟨“𝑆”⟩)) = (♯‘⟨“𝑆”⟩)
30	29, 2	eqtri 2784	. . 3 ⊢ (♯‘(reverse‘⟨“𝑆”⟩)) = 1
31		eqs1 14753	. . 3 ⊢ (((reverse‘⟨“𝑆”⟩) ∈ Word V ∧ (♯‘(reverse‘⟨“𝑆”⟩)) = 1) → (reverse‘⟨“𝑆”⟩) = ⟨“((reverse‘⟨“𝑆”⟩)‘0)”⟩)
32	27, 30, 31	mp2an 705	. 2 ⊢ (reverse‘⟨“𝑆”⟩) = ⟨“((reverse‘⟨“𝑆”⟩)‘0)”⟩
33	25, 32, 16	3eqtr4i 2794	1 ⊢ (reverse‘⟨“𝑆”⟩) = ⟨“𝑆”⟩

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   I cid 5545  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  0cc0 11193  1c1 11194   − cmin 11534  ℕcn 12328  ..^cfzo 13781  ♯chash 14467  Word cword 14651  ⟨“cs1 14735  reversecreverse 14900

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-hash 14468  df-word 14652  df-s1 14736  df-reverse 14901

This theorem is used by:  gsumwrev  19573  efginvrel2  19934  vrgpinv  19976