Theorem revs1 14671

Description: Singleton words are their own reverses. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
revs1	⊢ (reverse‘⟨“𝑆”⟩) = ⟨“𝑆”⟩

Proof of Theorem revs1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1cli 14512	. . . . 5 ⊢ ⟨“𝑆”⟩ ∈ Word V
2		s1len 14513	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘⟨“𝑆”⟩) = 1
3		1nn 12139	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
4	2, 3	eqeltri 2824	. . . . . 6 ⊢ (♯‘⟨“𝑆”⟩) ∈ ℕ
5		lbfzo0 13602	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝑆”⟩)) ↔ (♯‘⟨“𝑆”⟩) ∈ ℕ)
6	4, 5	mpbir 231	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝑆”⟩))
7		revfv 14669	. . . . 5 ⊢ ((⟨“𝑆”⟩ ∈ Word V ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝑆”⟩))) → ((reverse‘⟨“𝑆”⟩)‘0) = (⟨“𝑆”⟩‘(((♯‘⟨“𝑆”⟩) − 1) − 0)))
8	1, 6, 7	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ((reverse‘⟨“𝑆”⟩)‘0) = (⟨“𝑆”⟩‘(((♯‘⟨“𝑆”⟩) − 1) − 0))
9	2	oveq1i 7359	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘⟨“𝑆”⟩) − 1) = (1 − 1)
10		1m1e0 12200	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 − 1) = 0
11	9, 10	eqtri 2752	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘⟨“𝑆”⟩) − 1) = 0
12	11	oveq1i 7359	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘⟨“𝑆”⟩) − 1) − 0) = (0 − 0)
13		0m0e0 12243	. . . . . . 7 ⊢ (0 − 0) = 0
14	12, 13	eqtri 2752	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘⟨“𝑆”⟩) − 1) − 0) = 0
15	14	fveq2i 6825	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝑆”⟩‘(((♯‘⟨“𝑆”⟩) − 1) − 0)) = (⟨“𝑆”⟩‘0)
16		ids1 14504	. . . . . . 7 ⊢ ⟨“𝑆”⟩ = ⟨“( I ‘𝑆)”⟩
17	16	fveq1i 6823	. . . . . 6 ⊢ (⟨“𝑆”⟩‘0) = (⟨“( I ‘𝑆)”⟩‘0)
18		fvex 6835	. . . . . . 7 ⊢ ( I ‘𝑆) ∈ V
19		s1fv 14517	. . . . . . 7 ⊢ (( I ‘𝑆) ∈ V → (⟨“( I ‘𝑆)”⟩‘0) = ( I ‘𝑆))
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (⟨“( I ‘𝑆)”⟩‘0) = ( I ‘𝑆)
21	17, 20	eqtri 2752	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝑆”⟩‘0) = ( I ‘𝑆)
22	15, 21	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ (⟨“𝑆”⟩‘(((♯‘⟨“𝑆”⟩) − 1) − 0)) = ( I ‘𝑆)
23	8, 22	eqtri 2752	. . 3 ⊢ ((reverse‘⟨“𝑆”⟩)‘0) = ( I ‘𝑆)
24		s1eq 14507	. . 3 ⊢ (((reverse‘⟨“𝑆”⟩)‘0) = ( I ‘𝑆) → ⟨“((reverse‘⟨“𝑆”⟩)‘0)”⟩ = ⟨“( I ‘𝑆)”⟩)
25	23, 24	ax-mp 5	. 2 ⊢ ⟨“((reverse‘⟨“𝑆”⟩)‘0)”⟩ = ⟨“( I ‘𝑆)”⟩
26		revcl 14667	. . . 4 ⊢ (⟨“𝑆”⟩ ∈ Word V → (reverse‘⟨“𝑆”⟩) ∈ Word V)
27	1, 26	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (reverse‘⟨“𝑆”⟩) ∈ Word V
28		revlen 14668	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝑆”⟩ ∈ Word V → (♯‘(reverse‘⟨“𝑆”⟩)) = (♯‘⟨“𝑆”⟩))
29	1, 28	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘(reverse‘⟨“𝑆”⟩)) = (♯‘⟨“𝑆”⟩)
30	29, 2	eqtri 2752	. . 3 ⊢ (♯‘(reverse‘⟨“𝑆”⟩)) = 1
31		eqs1 14519	. . 3 ⊢ (((reverse‘⟨“𝑆”⟩) ∈ Word V ∧ (♯‘(reverse‘⟨“𝑆”⟩)) = 1) → (reverse‘⟨“𝑆”⟩) = ⟨“((reverse‘⟨“𝑆”⟩)‘0)”⟩)
32	27, 30, 31	mp2an 692	. 2 ⊢ (reverse‘⟨“𝑆”⟩) = ⟨“((reverse‘⟨“𝑆”⟩)‘0)”⟩
33	25, 32, 16	3eqtr4i 2762	1 ⊢ (reverse‘⟨“𝑆”⟩) = ⟨“𝑆”⟩

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3436   I cid 5513  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  0cc0 11009  1c1 11010   − cmin 11347  ℕcn 12128  ..^cfzo 13557  ♯chash 14237  Word cword 14420  ⟨“cs1 14502  reversecreverse 14664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-hash 14238  df-word 14421  df-s1 14503  df-reverse 14665

This theorem is referenced by:  gsumwrev  19245  efginvrel2  19606  vrgpinv  19648