MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  revs1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem revs1 14717
Description: Singleton words are their own reverses. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)
Assertion
Ref Expression
revs1 (reverseβ€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©

Proof of Theorem revs1
StepHypRef Expression
1 s1cli 14557 . . . . 5 βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ© ∈ Word V
2 s1len 14558 . . . . . . 7 (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©) = 1
3 1nn 12222 . . . . . . 7 1 ∈ β„•
42, 3eqeltri 2821 . . . . . 6 (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©) ∈ β„•
5 lbfzo0 13673 . . . . . 6 (0 ∈ (0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©)) ↔ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©) ∈ β„•)
64, 5mpbir 230 . . . . 5 0 ∈ (0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©))
7 revfv 14715 . . . . 5 ((βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ© ∈ Word V ∧ 0 ∈ (0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©))) β†’ ((reverseβ€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©)β€˜0) = (βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©β€˜(((β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©) βˆ’ 1) βˆ’ 0)))
81, 6, 7mp2an 689 . . . 4 ((reverseβ€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©)β€˜0) = (βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©β€˜(((β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©) βˆ’ 1) βˆ’ 0))
92oveq1i 7412 . . . . . . . . 9 ((β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©) βˆ’ 1) = (1 βˆ’ 1)
10 1m1e0 12283 . . . . . . . . 9 (1 βˆ’ 1) = 0
119, 10eqtri 2752 . . . . . . . 8 ((β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©) βˆ’ 1) = 0
1211oveq1i 7412 . . . . . . 7 (((β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©) βˆ’ 1) βˆ’ 0) = (0 βˆ’ 0)
13 0m0e0 12331 . . . . . . 7 (0 βˆ’ 0) = 0
1412, 13eqtri 2752 . . . . . 6 (((β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©) βˆ’ 1) βˆ’ 0) = 0
1514fveq2i 6885 . . . . 5 (βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©β€˜(((β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©) βˆ’ 1) βˆ’ 0)) = (βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©β€˜0)
16 ids1 14549 . . . . . . 7 βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ© = βŸ¨β€œ( I β€˜π‘†)β€βŸ©
1716fveq1i 6883 . . . . . 6 (βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©β€˜0) = (βŸ¨β€œ( I β€˜π‘†)β€βŸ©β€˜0)
18 fvex 6895 . . . . . . 7 ( I β€˜π‘†) ∈ V
19 s1fv 14562 . . . . . . 7 (( I β€˜π‘†) ∈ V β†’ (βŸ¨β€œ( I β€˜π‘†)β€βŸ©β€˜0) = ( I β€˜π‘†))
2018, 19ax-mp 5 . . . . . 6 (βŸ¨β€œ( I β€˜π‘†)β€βŸ©β€˜0) = ( I β€˜π‘†)
2117, 20eqtri 2752 . . . . 5 (βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©β€˜0) = ( I β€˜π‘†)
2215, 21eqtri 2752 . . . 4 (βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©β€˜(((β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©) βˆ’ 1) βˆ’ 0)) = ( I β€˜π‘†)
238, 22eqtri 2752 . . 3 ((reverseβ€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©)β€˜0) = ( I β€˜π‘†)
24 s1eq 14552 . . 3 (((reverseβ€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©)β€˜0) = ( I β€˜π‘†) β†’ βŸ¨β€œ((reverseβ€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©)β€˜0)β€βŸ© = βŸ¨β€œ( I β€˜π‘†)β€βŸ©)
2523, 24ax-mp 5 . 2 βŸ¨β€œ((reverseβ€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©)β€˜0)β€βŸ© = βŸ¨β€œ( I β€˜π‘†)β€βŸ©
26 revcl 14713 . . . 4 (βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ© ∈ Word V β†’ (reverseβ€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©) ∈ Word V)
271, 26ax-mp 5 . . 3 (reverseβ€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©) ∈ Word V
28 revlen 14714 . . . . 5 (βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ© ∈ Word V β†’ (β™―β€˜(reverseβ€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©)) = (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©))
291, 28ax-mp 5 . . . 4 (β™―β€˜(reverseβ€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©)) = (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©)
3029, 2eqtri 2752 . . 3 (β™―β€˜(reverseβ€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©)) = 1
31 eqs1 14564 . . 3 (((reverseβ€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©) ∈ Word V ∧ (β™―β€˜(reverseβ€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©)) = 1) β†’ (reverseβ€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©) = βŸ¨β€œ((reverseβ€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©)β€˜0)β€βŸ©)
3227, 30, 31mp2an 689 . 2 (reverseβ€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©) = βŸ¨β€œ((reverseβ€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©)β€˜0)β€βŸ©
3325, 32, 163eqtr4i 2762 1 (reverseβ€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3466   I cid 5564  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  0cc0 11107  1c1 11108   βˆ’ cmin 11443  β„•cn 12211  ..^cfzo 13628  β™―chash 14291  Word cword 14466  βŸ¨β€œcs1 14547  reversecreverse 14710
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-hash 14292  df-word 14467  df-s1 14548  df-reverse 14711
This theorem is referenced by:  gsumwrev  19281  efginvrel2  19643  vrgpinv  19685
  Copyright terms: Public domain W3C validator