MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  revs1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem revs1 14747
Description: Singleton words are their own reverses. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)
Assertion
Ref Expression
revs1 (reverseβ€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©

Proof of Theorem revs1
StepHypRef Expression
1 s1cli 14587 . . . . 5 βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ© ∈ Word V
2 s1len 14588 . . . . . . 7 (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©) = 1
3 1nn 12253 . . . . . . 7 1 ∈ β„•
42, 3eqeltri 2825 . . . . . 6 (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©) ∈ β„•
5 lbfzo0 13704 . . . . . 6 (0 ∈ (0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©)) ↔ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©) ∈ β„•)
64, 5mpbir 230 . . . . 5 0 ∈ (0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©))
7 revfv 14745 . . . . 5 ((βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ© ∈ Word V ∧ 0 ∈ (0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©))) β†’ ((reverseβ€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©)β€˜0) = (βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©β€˜(((β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©) βˆ’ 1) βˆ’ 0)))
81, 6, 7mp2an 691 . . . 4 ((reverseβ€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©)β€˜0) = (βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©β€˜(((β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©) βˆ’ 1) βˆ’ 0))
92oveq1i 7430 . . . . . . . . 9 ((β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©) βˆ’ 1) = (1 βˆ’ 1)
10 1m1e0 12314 . . . . . . . . 9 (1 βˆ’ 1) = 0
119, 10eqtri 2756 . . . . . . . 8 ((β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©) βˆ’ 1) = 0
1211oveq1i 7430 . . . . . . 7 (((β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©) βˆ’ 1) βˆ’ 0) = (0 βˆ’ 0)
13 0m0e0 12362 . . . . . . 7 (0 βˆ’ 0) = 0
1412, 13eqtri 2756 . . . . . 6 (((β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©) βˆ’ 1) βˆ’ 0) = 0
1514fveq2i 6900 . . . . 5 (βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©β€˜(((β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©) βˆ’ 1) βˆ’ 0)) = (βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©β€˜0)
16 ids1 14579 . . . . . . 7 βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ© = βŸ¨β€œ( I β€˜π‘†)β€βŸ©
1716fveq1i 6898 . . . . . 6 (βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©β€˜0) = (βŸ¨β€œ( I β€˜π‘†)β€βŸ©β€˜0)
18 fvex 6910 . . . . . . 7 ( I β€˜π‘†) ∈ V
19 s1fv 14592 . . . . . . 7 (( I β€˜π‘†) ∈ V β†’ (βŸ¨β€œ( I β€˜π‘†)β€βŸ©β€˜0) = ( I β€˜π‘†))
2018, 19ax-mp 5 . . . . . 6 (βŸ¨β€œ( I β€˜π‘†)β€βŸ©β€˜0) = ( I β€˜π‘†)
2117, 20eqtri 2756 . . . . 5 (βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©β€˜0) = ( I β€˜π‘†)
2215, 21eqtri 2756 . . . 4 (βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©β€˜(((β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©) βˆ’ 1) βˆ’ 0)) = ( I β€˜π‘†)
238, 22eqtri 2756 . . 3 ((reverseβ€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©)β€˜0) = ( I β€˜π‘†)
24 s1eq 14582 . . 3 (((reverseβ€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©)β€˜0) = ( I β€˜π‘†) β†’ βŸ¨β€œ((reverseβ€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©)β€˜0)β€βŸ© = βŸ¨β€œ( I β€˜π‘†)β€βŸ©)
2523, 24ax-mp 5 . 2 βŸ¨β€œ((reverseβ€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©)β€˜0)β€βŸ© = βŸ¨β€œ( I β€˜π‘†)β€βŸ©
26 revcl 14743 . . . 4 (βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ© ∈ Word V β†’ (reverseβ€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©) ∈ Word V)
271, 26ax-mp 5 . . 3 (reverseβ€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©) ∈ Word V
28 revlen 14744 . . . . 5 (βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ© ∈ Word V β†’ (β™―β€˜(reverseβ€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©)) = (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©))
291, 28ax-mp 5 . . . 4 (β™―β€˜(reverseβ€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©)) = (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©)
3029, 2eqtri 2756 . . 3 (β™―β€˜(reverseβ€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©)) = 1
31 eqs1 14594 . . 3 (((reverseβ€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©) ∈ Word V ∧ (β™―β€˜(reverseβ€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©)) = 1) β†’ (reverseβ€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©) = βŸ¨β€œ((reverseβ€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©)β€˜0)β€βŸ©)
3227, 30, 31mp2an 691 . 2 (reverseβ€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©) = βŸ¨β€œ((reverseβ€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©)β€˜0)β€βŸ©
3325, 32, 163eqtr4i 2766 1 (reverseβ€˜βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘†β€βŸ©
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3471   I cid 5575  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  0cc0 11138  1c1 11139   βˆ’ cmin 11474  β„•cn 12242  ..^cfzo 13659  β™―chash 14321  Word cword 14496  βŸ¨β€œcs1 14577  reversecreverse 14740
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-hash 14322  df-word 14497  df-s1 14578  df-reverse 14741
This theorem is referenced by:  gsumwrev  19319  efginvrel2  19681  vrgpinv  19723
  Copyright terms: Public domain W3C validator