MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  revs1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem revs1 14122
Description: Singleton words are their own reverses. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)
Assertion
Ref Expression
revs1 (reverse‘⟨“𝑆”⟩) = ⟨“𝑆”⟩

Proof of Theorem revs1
StepHypRef Expression
1 s1cli 13954 . . . . 5 ⟨“𝑆”⟩ ∈ Word V
2 s1len 13955 . . . . . . 7 (♯‘⟨“𝑆”⟩) = 1
3 1nn 11640 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ
42, 3eqeltri 2889 . . . . . 6 (♯‘⟨“𝑆”⟩) ∈ ℕ
5 lbfzo0 13076 . . . . . 6 (0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝑆”⟩)) ↔ (♯‘⟨“𝑆”⟩) ∈ ℕ)
64, 5mpbir 234 . . . . 5 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝑆”⟩))
7 revfv 14120 . . . . 5 ((⟨“𝑆”⟩ ∈ Word V ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝑆”⟩))) → ((reverse‘⟨“𝑆”⟩)‘0) = (⟨“𝑆”⟩‘(((♯‘⟨“𝑆”⟩) − 1) − 0)))
81, 6, 7mp2an 691 . . . 4 ((reverse‘⟨“𝑆”⟩)‘0) = (⟨“𝑆”⟩‘(((♯‘⟨“𝑆”⟩) − 1) − 0))
92oveq1i 7149 . . . . . . . . 9 ((♯‘⟨“𝑆”⟩) − 1) = (1 − 1)
10 1m1e0 11701 . . . . . . . . 9 (1 − 1) = 0
119, 10eqtri 2824 . . . . . . . 8 ((♯‘⟨“𝑆”⟩) − 1) = 0
1211oveq1i 7149 . . . . . . 7 (((♯‘⟨“𝑆”⟩) − 1) − 0) = (0 − 0)
13 0m0e0 11749 . . . . . . 7 (0 − 0) = 0
1412, 13eqtri 2824 . . . . . 6 (((♯‘⟨“𝑆”⟩) − 1) − 0) = 0
1514fveq2i 6652 . . . . 5 (⟨“𝑆”⟩‘(((♯‘⟨“𝑆”⟩) − 1) − 0)) = (⟨“𝑆”⟩‘0)
16 ids1 13946 . . . . . . 7 ⟨“𝑆”⟩ = ⟨“( I ‘𝑆)”⟩
1716fveq1i 6650 . . . . . 6 (⟨“𝑆”⟩‘0) = (⟨“( I ‘𝑆)”⟩‘0)
18 fvex 6662 . . . . . . 7 ( I ‘𝑆) ∈ V
19 s1fv 13959 . . . . . . 7 (( I ‘𝑆) ∈ V → (⟨“( I ‘𝑆)”⟩‘0) = ( I ‘𝑆))
2018, 19ax-mp 5 . . . . . 6 (⟨“( I ‘𝑆)”⟩‘0) = ( I ‘𝑆)
2117, 20eqtri 2824 . . . . 5 (⟨“𝑆”⟩‘0) = ( I ‘𝑆)
2215, 21eqtri 2824 . . . 4 (⟨“𝑆”⟩‘(((♯‘⟨“𝑆”⟩) − 1) − 0)) = ( I ‘𝑆)
238, 22eqtri 2824 . . 3 ((reverse‘⟨“𝑆”⟩)‘0) = ( I ‘𝑆)
24 s1eq 13949 . . 3 (((reverse‘⟨“𝑆”⟩)‘0) = ( I ‘𝑆) → ⟨“((reverse‘⟨“𝑆”⟩)‘0)”⟩ = ⟨“( I ‘𝑆)”⟩)
2523, 24ax-mp 5 . 2 ⟨“((reverse‘⟨“𝑆”⟩)‘0)”⟩ = ⟨“( I ‘𝑆)”⟩
26 revcl 14118 . . . 4 (⟨“𝑆”⟩ ∈ Word V → (reverse‘⟨“𝑆”⟩) ∈ Word V)
271, 26ax-mp 5 . . 3 (reverse‘⟨“𝑆”⟩) ∈ Word V
28 revlen 14119 . . . . 5 (⟨“𝑆”⟩ ∈ Word V → (♯‘(reverse‘⟨“𝑆”⟩)) = (♯‘⟨“𝑆”⟩))
291, 28ax-mp 5 . . . 4 (♯‘(reverse‘⟨“𝑆”⟩)) = (♯‘⟨“𝑆”⟩)
3029, 2eqtri 2824 . . 3 (♯‘(reverse‘⟨“𝑆”⟩)) = 1
31 eqs1 13961 . . 3 (((reverse‘⟨“𝑆”⟩) ∈ Word V ∧ (♯‘(reverse‘⟨“𝑆”⟩)) = 1) → (reverse‘⟨“𝑆”⟩) = ⟨“((reverse‘⟨“𝑆”⟩)‘0)”⟩)
3227, 30, 31mp2an 691 . 2 (reverse‘⟨“𝑆”⟩) = ⟨“((reverse‘⟨“𝑆”⟩)‘0)”⟩
3325, 32, 163eqtr4i 2834 1 (reverse‘⟨“𝑆”⟩) = ⟨“𝑆”⟩
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1538  wcel 2112  Vcvv 3444   I cid 5427  cfv 6328  (class class class)co 7139  0cc0 10530  1c1 10531  cmin 10863  cn 11629  ..^cfzo 13032  chash 13690  Word cword 13861  ⟨“cs1 13944  reversecreverse 14115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-hash 13691  df-word 13862  df-s1 13945  df-reverse 14116
This theorem is referenced by:  gsumwrev  18490  efginvrel2  18849  vrgpinv  18891
  Copyright terms: Public domain W3C validator