MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  revs1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem revs1 14803
Description: Singleton words are their own reverses. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)
Assertion
Ref Expression
revs1 (reverse‘⟨“𝑆”⟩) = ⟨“𝑆”⟩

Proof of Theorem revs1
StepHypRef Expression
1 s1cli 14643 . . . . 5 ⟨“𝑆”⟩ ∈ Word V
2 s1len 14644 . . . . . . 7 (♯‘⟨“𝑆”⟩) = 1
3 1nn 12277 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ
42, 3eqeltri 2837 . . . . . 6 (♯‘⟨“𝑆”⟩) ∈ ℕ
5 lbfzo0 13739 . . . . . 6 (0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝑆”⟩)) ↔ (♯‘⟨“𝑆”⟩) ∈ ℕ)
64, 5mpbir 231 . . . . 5 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝑆”⟩))
7 revfv 14801 . . . . 5 ((⟨“𝑆”⟩ ∈ Word V ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝑆”⟩))) → ((reverse‘⟨“𝑆”⟩)‘0) = (⟨“𝑆”⟩‘(((♯‘⟨“𝑆”⟩) − 1) − 0)))
81, 6, 7mp2an 692 . . . 4 ((reverse‘⟨“𝑆”⟩)‘0) = (⟨“𝑆”⟩‘(((♯‘⟨“𝑆”⟩) − 1) − 0))
92oveq1i 7441 . . . . . . . . 9 ((♯‘⟨“𝑆”⟩) − 1) = (1 − 1)
10 1m1e0 12338 . . . . . . . . 9 (1 − 1) = 0
119, 10eqtri 2765 . . . . . . . 8 ((♯‘⟨“𝑆”⟩) − 1) = 0
1211oveq1i 7441 . . . . . . 7 (((♯‘⟨“𝑆”⟩) − 1) − 0) = (0 − 0)
13 0m0e0 12386 . . . . . . 7 (0 − 0) = 0
1412, 13eqtri 2765 . . . . . 6 (((♯‘⟨“𝑆”⟩) − 1) − 0) = 0
1514fveq2i 6909 . . . . 5 (⟨“𝑆”⟩‘(((♯‘⟨“𝑆”⟩) − 1) − 0)) = (⟨“𝑆”⟩‘0)
16 ids1 14635 . . . . . . 7 ⟨“𝑆”⟩ = ⟨“( I ‘𝑆)”⟩
1716fveq1i 6907 . . . . . 6 (⟨“𝑆”⟩‘0) = (⟨“( I ‘𝑆)”⟩‘0)
18 fvex 6919 . . . . . . 7 ( I ‘𝑆) ∈ V
19 s1fv 14648 . . . . . . 7 (( I ‘𝑆) ∈ V → (⟨“( I ‘𝑆)”⟩‘0) = ( I ‘𝑆))
2018, 19ax-mp 5 . . . . . 6 (⟨“( I ‘𝑆)”⟩‘0) = ( I ‘𝑆)
2117, 20eqtri 2765 . . . . 5 (⟨“𝑆”⟩‘0) = ( I ‘𝑆)
2215, 21eqtri 2765 . . . 4 (⟨“𝑆”⟩‘(((♯‘⟨“𝑆”⟩) − 1) − 0)) = ( I ‘𝑆)
238, 22eqtri 2765 . . 3 ((reverse‘⟨“𝑆”⟩)‘0) = ( I ‘𝑆)
24 s1eq 14638 . . 3 (((reverse‘⟨“𝑆”⟩)‘0) = ( I ‘𝑆) → ⟨“((reverse‘⟨“𝑆”⟩)‘0)”⟩ = ⟨“( I ‘𝑆)”⟩)
2523, 24ax-mp 5 . 2 ⟨“((reverse‘⟨“𝑆”⟩)‘0)”⟩ = ⟨“( I ‘𝑆)”⟩
26 revcl 14799 . . . 4 (⟨“𝑆”⟩ ∈ Word V → (reverse‘⟨“𝑆”⟩) ∈ Word V)
271, 26ax-mp 5 . . 3 (reverse‘⟨“𝑆”⟩) ∈ Word V
28 revlen 14800 . . . . 5 (⟨“𝑆”⟩ ∈ Word V → (♯‘(reverse‘⟨“𝑆”⟩)) = (♯‘⟨“𝑆”⟩))
291, 28ax-mp 5 . . . 4 (♯‘(reverse‘⟨“𝑆”⟩)) = (♯‘⟨“𝑆”⟩)
3029, 2eqtri 2765 . . 3 (♯‘(reverse‘⟨“𝑆”⟩)) = 1
31 eqs1 14650 . . 3 (((reverse‘⟨“𝑆”⟩) ∈ Word V ∧ (♯‘(reverse‘⟨“𝑆”⟩)) = 1) → (reverse‘⟨“𝑆”⟩) = ⟨“((reverse‘⟨“𝑆”⟩)‘0)”⟩)
3227, 30, 31mp2an 692 . 2 (reverse‘⟨“𝑆”⟩) = ⟨“((reverse‘⟨“𝑆”⟩)‘0)”⟩
3325, 32, 163eqtr4i 2775 1 (reverse‘⟨“𝑆”⟩) = ⟨“𝑆”⟩
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480   I cid 5577  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156  cmin 11492  cn 12266  ..^cfzo 13694  chash 14369  Word cword 14552  ⟨“cs1 14633  reversecreverse 14796
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-s1 14634  df-reverse 14797
This theorem is referenced by:  gsumwrev  19385  efginvrel2  19745  vrgpinv  19787
  Copyright terms: Public domain W3C validator