Theorem revs1 14688

Description: Singleton words are their own reverses. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
revs1	⊢ (reverse‘⟨“𝑆”⟩) = ⟨“𝑆”⟩

Proof of Theorem revs1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1cli 14529	. . . . 5 ⊢ ⟨“𝑆”⟩ ∈ Word V
2		s1len 14530	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘⟨“𝑆”⟩) = 1
3		1nn 12156	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
4	2, 3	eqeltri 2832	. . . . . 6 ⊢ (♯‘⟨“𝑆”⟩) ∈ ℕ
5		lbfzo0 13615	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝑆”⟩)) ↔ (♯‘⟨“𝑆”⟩) ∈ ℕ)
6	4, 5	mpbir 231	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝑆”⟩))
7		revfv 14686	. . . . 5 ⊢ ((⟨“𝑆”⟩ ∈ Word V ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝑆”⟩))) → ((reverse‘⟨“𝑆”⟩)‘0) = (⟨“𝑆”⟩‘(((♯‘⟨“𝑆”⟩) − 1) − 0)))
8	1, 6, 7	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ((reverse‘⟨“𝑆”⟩)‘0) = (⟨“𝑆”⟩‘(((♯‘⟨“𝑆”⟩) − 1) − 0))
9	2	oveq1i 7368	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘⟨“𝑆”⟩) − 1) = (1 − 1)
10		1m1e0 12217	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 − 1) = 0
11	9, 10	eqtri 2759	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘⟨“𝑆”⟩) − 1) = 0
12	11	oveq1i 7368	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘⟨“𝑆”⟩) − 1) − 0) = (0 − 0)
13		0m0e0 12260	. . . . . . 7 ⊢ (0 − 0) = 0
14	12, 13	eqtri 2759	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘⟨“𝑆”⟩) − 1) − 0) = 0
15	14	fveq2i 6837	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝑆”⟩‘(((♯‘⟨“𝑆”⟩) − 1) − 0)) = (⟨“𝑆”⟩‘0)
16		ids1 14521	. . . . . . 7 ⊢ ⟨“𝑆”⟩ = ⟨“( I ‘𝑆)”⟩
17	16	fveq1i 6835	. . . . . 6 ⊢ (⟨“𝑆”⟩‘0) = (⟨“( I ‘𝑆)”⟩‘0)
18		fvex 6847	. . . . . . 7 ⊢ ( I ‘𝑆) ∈ V
19		s1fv 14534	. . . . . . 7 ⊢ (( I ‘𝑆) ∈ V → (⟨“( I ‘𝑆)”⟩‘0) = ( I ‘𝑆))
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (⟨“( I ‘𝑆)”⟩‘0) = ( I ‘𝑆)
21	17, 20	eqtri 2759	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝑆”⟩‘0) = ( I ‘𝑆)
22	15, 21	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ (⟨“𝑆”⟩‘(((♯‘⟨“𝑆”⟩) − 1) − 0)) = ( I ‘𝑆)
23	8, 22	eqtri 2759	. . 3 ⊢ ((reverse‘⟨“𝑆”⟩)‘0) = ( I ‘𝑆)
24		s1eq 14524	. . 3 ⊢ (((reverse‘⟨“𝑆”⟩)‘0) = ( I ‘𝑆) → ⟨“((reverse‘⟨“𝑆”⟩)‘0)”⟩ = ⟨“( I ‘𝑆)”⟩)
25	23, 24	ax-mp 5	. 2 ⊢ ⟨“((reverse‘⟨“𝑆”⟩)‘0)”⟩ = ⟨“( I ‘𝑆)”⟩
26		revcl 14684	. . . 4 ⊢ (⟨“𝑆”⟩ ∈ Word V → (reverse‘⟨“𝑆”⟩) ∈ Word V)
27	1, 26	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (reverse‘⟨“𝑆”⟩) ∈ Word V
28		revlen 14685	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝑆”⟩ ∈ Word V → (♯‘(reverse‘⟨“𝑆”⟩)) = (♯‘⟨“𝑆”⟩))
29	1, 28	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘(reverse‘⟨“𝑆”⟩)) = (♯‘⟨“𝑆”⟩)
30	29, 2	eqtri 2759	. . 3 ⊢ (♯‘(reverse‘⟨“𝑆”⟩)) = 1
31		eqs1 14536	. . 3 ⊢ (((reverse‘⟨“𝑆”⟩) ∈ Word V ∧ (♯‘(reverse‘⟨“𝑆”⟩)) = 1) → (reverse‘⟨“𝑆”⟩) = ⟨“((reverse‘⟨“𝑆”⟩)‘0)”⟩)
32	27, 30, 31	mp2an 692	. 2 ⊢ (reverse‘⟨“𝑆”⟩) = ⟨“((reverse‘⟨“𝑆”⟩)‘0)”⟩
33	25, 32, 16	3eqtr4i 2769	1 ⊢ (reverse‘⟨“𝑆”⟩) = ⟨“𝑆”⟩

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   I cid 5518  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  0cc0 11026  1c1 11027   − cmin 11364  ℕcn 12145  ..^cfzo 13570  ♯chash 14253  Word cword 14436  ⟨“cs1 14519  reversecreverse 14681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-hash 14254  df-word 14437  df-s1 14520  df-reverse 14682

This theorem is referenced by:  gsumwrev  19295  efginvrel2  19656  vrgpinv  19698