Theorem isorcl 49022

Description: Reverse closure for isomorphism relations. (Contributed by Zhi Wang, 17-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
isorcl.i	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
isorcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌))

Assertion

Ref	Expression
isorcl	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)

Proof of Theorem isorcl

Dummy variables 𝑥 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isorcl.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
2		elfvne0 48837	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐼‘⟨𝑋, 𝑌⟩) → 𝐼 ≠ ∅)
3		df-ov 7390	. . . 4 ⊢ (𝑋𝐼𝑌) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝑌⟩)
4	2, 3	eleq2s 2846	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌) → 𝐼 ≠ ∅)
5		isorcl.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
6	5	neeq1i 2989	. . . 4 ⊢ (𝐼 ≠ ∅ ↔ (Iso‘𝐶) ≠ ∅)
7		n0 4316	. . . 4 ⊢ ((Iso‘𝐶) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (Iso‘𝐶))
8	6, 7	bitri 275	. . 3 ⊢ (𝐼 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (Iso‘𝐶))
9	4, 8	sylib 218	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (Iso‘𝐶))
10		df-iso 17711	. . . 4 ⊢ Iso = (𝑐 ∈ Cat ↦ ((𝑥 ∈ V ↦ dom 𝑥) ∘ (Inv‘𝑐)))
11	10	mptrcl 6977	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (Iso‘𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
12	11	exlimiv 1930	. 2 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ (Iso‘𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
13	1, 9, 12	3syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  Vcvv 3447  ∅c0 4296  ⟨cop 4595   ↦ cmpt 5188  dom cdm 5638   ∘ ccom 5642  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Catccat 17625  Invcinv 17707  Isociso 17708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fv 6519  df-ov 7390  df-iso 17711

This theorem is referenced by:  isorcl2  49023  isoval2  49024